专题04 线段与角（知识必备+8大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学期末复习讲义以“核心考点-知识梳理-题型突破”为主线构建线段与角知识体系，通过对比表格呈现线段、射线、直线的区别联系，用分层框架梳理中点、角平分线等重难点，清晰展现概念、计算、作图的内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，典例结合变式覆盖选择、解答等题型，如线段中点动态计算培养推理意识，尺规作图强化几何直观，基础通关与综合拓展题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学与学生自主复习提升。

专题04 线段与角（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念辨析 能清晰区分直线、射线、线段的定义、端点数量、延伸方向及长度特性，准确表述角的静态定义与动态形成过程；熟练掌握线段中点、角平分线的定义；明确余角、补角的概念及适用条件。 基础热点，多以选择、填空题形式出现。 考查直线、射线、线段的本质区别；角的定义与分类。 线段与角的计算 能结合图形进行线段的和、差、倍、分计算，灵活运用中点性质解决问题；能完成角的和差运算，利用角平分线性质进行角度推导。 重难点，覆盖选择、填空、解答多种题型。考查含中点的线段长度计算、含角平分线的角度计算是重中之重，题目多结合图形给出条件，要求学生从图形中提取数量关系，灵活运用和差倍分规律求解。 余角与补角的应用 熟练计算一个角的余角与补角，掌握“同角（或等角）的余角相等”“同角（或等角）的补角相等”的性质应用 核心考点，不仅考查余角、补角的度数计算，更侧重其性质（同角/等角的余角/补角相等）的应用，常与角平分线结合考查角的等量关系。 规范作图技能 能使用直尺、圆规作图，包括画一条线段等于已知线段、画线段的和与差；用量角器或三角尺画指定度数的角、画角的和差及角平分线，作图过程规范，保留作图痕迹。 重点考查直尺、圆规的基本使用，作图步骤的规范性与痕迹保留，体现新课标对“实践操作”与“几何直观”核心素养的要求。 知识点01 点与线 1. 线段、射线、直线的概念 名称 线段 射线 直线 概念 绷紧的琴弦、 黑板的边沿都可以近似地看作线段 将线段向一 个 方向无限延长 就形成了射线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 图形 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线、线段是直线的一部分；将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就形成了直线；将射线反向无限延长就形成了直线 2. 线段、射线、直线的表示方法 名称 图例 表示方法 线段 (1)用一个小写字母表示，如线段 ； (2)用表示端点的两个大写字母表示，如线段 AB(或 BA) 射线 用两个大写字母表示，表示端点的字母在前，如射线 OA 直线 (1)用一个小写字母表示，如直线 ； (2)用表示直线上任意两点的两个大写字母表示，如直线 AB(或 BA) 3.直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线 4.射线表示方法的注意事项： (1) 表示射线时端点字母必须写在前面，如射线 OA 和射线 AO 表示的是不同的射线； (2)在字母前要加上“射线”两个字； (3)端点不同，所表示的射线一定不同； (4)只有端点和延伸方向都相同时，才表示同一条射线 . 5.线段的基本事实:两点之间，线段最短 6.两点间距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 7.画一条线段等于已知线段 （1）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=a，如下图： （2）测量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. 9.线段的比较： 比较两条线段的长短，常用三种方法，度量法、叠合法、截取法 知识点02 线段的和差与线段中点 1.线段的和与差的概念 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2.线段和、差的作法 (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a-b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 3.线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 细节剖析 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点03角 1. 角的定义 (1) 静态： 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫作角的边，如图 4.2-1 ①所示，角的顶点是 O，角的边是射线OA， OB. (2) 动态：角也可以看成 是由一条射 线绕 着它的端点旋转而成的 . 如图 4.2-1 ②所 示， ∠ AOB 可以看成是以 O 为端点的射线，从 OA 的位置绕点 O 旋转到 OB 的位 置而成的图形 . 2. 平角和周角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 4.2-1 ③ . 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角，如图 4.2-1 ④ . 在小学数学中，我们已经知道 :1 平角 =180° ，1 周角 =360° . 3.角的四种表示方法 名称 图例 记法 表示方法 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，A， B 分别表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一点为顶点的角只有一个时，可用顶点字母来表示角 用一个阿拉伯数字 表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 用希腊字母表示 ∠ α 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 4.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点归纳： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 5.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 6.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 7.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点归纳：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 8.角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 9.余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点归纳： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型一 线段的相关概念 【典例1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【变式1-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．经过两点能且只能画一条射线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线与射线是同一条射线 【变式1-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）下列说法错误的个数有（   ） ①在“线段”中，A、B分别表示这条线段的两个端点． ②连接两点的线段叫做这两点间的距离． ③如果线段等于线段，则点B是线段的中点． ④如果线段，P是线段上一点，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 题型二 线段的和与差 【典例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在射线上顺次截取，，在线段上截取，那么线段 就是所要画的段段． 【变式2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知线段，点C是线段上任意一点（不与点A，B重合），点M、N在线段上，，，求的长． 题型三 线段中点的有关计算 【典例3】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，点C是线段的中点，如果，，那么 ． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海·期末）在直线上顺次取三点，且使得，如果点是线段的中点，那么 【变式3-2】（24-25六年级上·上海松江·期末）已知点、、在直线上，若，，点是线段的中点，那么线段的长是多少？ 小明同学画出图形，做了如下解答： 因为，，在直线上， 所以， 因为，，∴， 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 小明考虑得全面吗？如果不全面，请画出图形并补全解题过程；如果全面，请说明理由． 【变式3-3】（24-25六年级上·上海·期末）如图，线段，点是的中点，延长到点，使， (1)求线段的长； (2)线段占线段的几分之几？ 题型四 作线段 【典例4】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段，使它等于． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知线段a和线段b． (1)用无刻度直尺和圆规画线段，使；（保留作图痕迹，不用写作图步骤） (2)如果点M是线段的中点，，，求线段b的长度． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·期末）已知线段a、b（如图）． (1)用直尺和圆规在射线上画出线段，使．（保留画图痕迹、写出结论，不要求写出画法） (2)在（1）的图形中， ①画出线段的中点M（写出结论） ②如果厘米，线段厘米，那么__________厘米． 题型五 角度制计算 【典例5】（24-25六年级上·上海松江·期末）计算： ． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【变式5-3】（25-26六年级上·上海·期末）计算： ． 题型六 方向角 【典例6】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在 观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【变式6-1】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，货船与港口相距海里，港口相对货船的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距海里处 B．北偏西方向，相距海里处 C．南偏东方向，相距海里处 D．北偏东方向，相距海里处 【变式6-2】．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知、两个城市的位置如图所示．那么城在城的 方向． 【变式6-3】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 题型七 角平分线的有关计算 【典例7】．（24-25六年级上·上海·期末）如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分，则的度数为 ． 【变式7-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知锐角，平面内有一射线，且，如果射线平分，那么 （用含的式子表示） 【变式7-2】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 【变式7-3】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 题型八 余角、补角有关计算 【典例8】（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为 ． 【变式8-1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）若，则的余角大小为 ． 【变式8-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 【变式8-3】（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）四点这一时刻，分针和时针的夹角是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23六年级下·上海长宁·期末）下列射线中，表示北偏西方向的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，请指出射线的方向 ． 4．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 5．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算： ． 6．（23-24六年级下·上海·期末）已知，则的余角的大小是 ． 7．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为 ． 8．（24-25六年级上·上海·期末）已知，那么的余角等于 ． 9．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 10．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段、． (1)用直尺、圆规画线段，使得；（不写画法，写出结论并保留画图痕迹） (2)在（1）的条件下，取线段的中点，如果，，那么_________． 11．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下列说法错误的是（   ） A．将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点； B．如果一个角等于它的余角，那么这个角和它的补角也相等； C．如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等； D．经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 4．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）已知线段，，下列说法正确的是（    ） A．点P不能在直线上 B．点P只能在直线外 C．点P只在线段延长线上 D．点P不能在线段上 5．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知线段，延长到C，使，D为中点，且，那么线段的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（23-24六年级下·上海·期末）下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 7．（23-24六年级下·上海宝山·期末）计算： ． 8．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： ． 9． （23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，如果，，那么 ． 10．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 11．（23-24六年级下·上海松江·期末）地图上有一点，如果点在点的北偏西方向上，点在点的南偏东方向上，那么 12．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知是线段的中点，点、把线段三等分，已知线段的长为，那么的长为 ． 13.（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 14．（22-23六年级下·上海嘉定·期末）如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，，，．    (1)写出图中的互余的角___________， (2)___________度． (3)利用直尺和圆规作的角平分线． (4)射线OA、OE分别表示从点O出发东、西两个方向，那么点F点O的___________方向． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）已知，画射线，使与互补，那么的度数为 ． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，，以点为顶点，射线为一边，利用含30°角的三角板画．则的度数为 ． 3．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 5．（24-25六年级上·上海·期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 6．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 线段与角（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念辨析 能清晰区分直线、射线、线段的定义、端点数量、延伸方向及长度特性，准确表述角的静态定义与动态形成过程；熟练掌握线段中点、角平分线的定义；明确余角、补角的概念及适用条件。 基础热点，多以选择、填空题形式出现。 考查直线、射线、线段的本质区别；角的定义与分类。 线段与角的计算 能结合图形进行线段的和、差、倍、分计算，灵活运用中点性质解决问题；能完成角的和差运算，利用角平分线性质进行角度推导。 重难点，覆盖选择、填空、解答多种题型。考查含中点的线段长度计算、含角平分线的角度计算是重中之重，题目多结合图形给出条件，要求学生从图形中提取数量关系，灵活运用和差倍分规律求解。 余角与补角的应用 熟练计算一个角的余角与补角，掌握“同角（或等角）的余角相等”“同角（或等角）的补角相等”的性质应用 核心考点，不仅考查余角、补角的度数计算，更侧重其性质（同角/等角的余角/补角相等）的应用，常与角平分线结合考查角的等量关系。 规范作图技能 能使用直尺、圆规作图，包括画一条线段等于已知线段、画线段的和与差；用量角器或三角尺画指定度数的角、画角的和差及角平分线，作图过程规范，保留作图痕迹。 重点考查直尺、圆规的基本使用，作图步骤的规范性与痕迹保留，体现新课标对“实践操作”与“几何直观”核心素养的要求。 知识点01 点与线 1. 线段、射线、直线的概念 名称 线段 射线 直线 概念 绷紧的琴弦、 黑板的边沿都可以近似地看作线段 将线段向一 个 方向无限延长 就形成了射线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 图形 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线、线段是直线的一部分；将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就形成了直线；将射线反向无限延长就形成了直线 2. 线段、射线、直线的表示方法 名称 图例 表示方法 线段 (1)用一个小写字母表示，如线段 ； (2)用表示端点的两个大写字母表示，如线段 AB(或 BA) 射线 用两个大写字母表示，表示端点的字母在前，如射线 OA 直线 (1)用一个小写字母表示，如直线 ； (2)用表示直线上任意两点的两个大写字母表示，如直线 AB(或 BA) 3.直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线 4.射线表示方法的注意事项： (1) 表示射线时端点字母必须写在前面，如射线 OA 和射线 AO 表示的是不同的射线； (2)在字母前要加上“射线”两个字； (3)端点不同，所表示的射线一定不同； (4)只有端点和延伸方向都相同时，才表示同一条射线 . 5.线段的基本事实:两点之间，线段最短 6.两点间距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 7.画一条线段等于已知线段 （1）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=a，如下图： （2）测量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. 9.线段的比较： 比较两条线段的长短，常用三种方法，度量法、叠合法、截取法 知识点02 线段的和差与线段中点 1.线段的和与差的概念 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2.线段和、差的作法 (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a-b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 3.线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 细节剖析 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点03角 1. 角的定义 (1) 静态： 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫作角的边，如图 4.2-1 ①所示，角的顶点是 O，角的边是射线OA， OB. (2) 动态：角也可以看成 是由一条射 线绕 着它的端点旋转而成的 . 如图 4.2-1 ②所 示， ∠ AOB 可以看成是以 O 为端点的射线，从 OA 的位置绕点 O 旋转到 OB 的位 置而成的图形 . 2. 平角和周角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 4.2-1 ③ . 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角，如图 4.2-1 ④ . 在小学数学中，我们已经知道 :1 平角 =180° ，1 周角 =360° . 3.角的四种表示方法 名称 图例 记法 表示方法 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，A， B 分别表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一点为顶点的角只有一个时，可用顶点字母来表示角 用一个阿拉伯数字 表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 用希腊字母表示 ∠ α 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 4.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点归纳： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 5.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 6.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 7.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点归纳：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 8.角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 9.余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点归纳： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型一 线段的相关概念 【典例1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【答案】C 【详解】解：A、通过观察不一定能说明线段比线段短，不符合题意； B、用刻度尺量得线段厘米，线段厘米，说明线段比线段长，不符合题意； C、将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上，说明线段比线段短，符合题意； D、将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上，说明线段比线段长，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．经过两点能且只能画一条射线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【详解】解：A、经过两点能画无数条射线，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）下列说法错误的个数有（   ） ①在“线段”中，A、B分别表示这条线段的两个端点． ②连接两点的线段叫做这两点间的距离． ③如果线段等于线段，则点B是线段的中点． ④如果线段，P是线段上一点，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①在“线段”中，A、B分别表示这条线段的两个端点．因此①正确； ②连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，因此②不正确； ③如果线段等于线段，点B不一定在线段上，因此③不正确； ④如果线段，P是线段AB上一点，则，因此④不正确； 综上所述，不正确的有②③④，共3个， 故选：C． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， ∵点在线段的延长线上， ． 故选：B． 题型二 线段的和与差 【典例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在射线上顺次截取，，在线段上截取，那么线段 就是所要画的段段． 【答案】/ 【知识点】线段的和与差 【分析】此题考查了基本作图，画出图形是解题的关键． 根据题意画出图形，由线段的和差关系可得出结论． 【详解】解：由题画出图形如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 即所画的的线段就是的长． 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知线段，点C是线段上任意一点（不与点A，B重合），点M、N在线段上，，，求的长． 【答案】 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和与差，根据线段之间的数量关系以及和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵，， ∴； ∴． 题型三 线段中点的有关计算 【典例3】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，点C是线段的中点，如果，，那么 ． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海·期末）在直线上顺次取三点，且使得，如果点是线段的中点，那么 【详解】解：如图： ，， ， 点是线段的中点， ， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海松江·期末）已知点、、在直线上，若，，点是线段的中点，那么线段的长是多少？ 小明同学画出图形，做了如下解答： 因为，，在直线上， 所以， 因为，，∴， 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 小明考虑得全面吗？如果不全面，请画出图形并补全解题过程；如果全面，请说明理由． 【详解】解：当点C在线段外时，如图所示， 根据题意，得， 因为，， ∴． 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 当点C在线段之间时，如图所示， 根据题意，得， 因为，， ∴． 又因为点为线段的中点， 所以， 所以． 所以的长为或. 所以小明的解答不全面，的长为或. 【变式3-3】（24-25六年级上·上海·期末）如图，线段，点是的中点，延长到点，使， (1)求线段的长； (2)线段占线段的几分之几？ 【详解】（1）解：∵线段，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴线段占线段的五分之二． 题型四 作线段 【典例4】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段，使它等于． 【详解】解：如图，线段即为所求作的线段： 【变式4-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知线段a和线段b． (1)用无刻度直尺和圆规画线段，使；（保留作图痕迹，不用写作图步骤） (2)如果点M是线段的中点，，，求线段b的长度． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵点M是线段的中点，， ∴， ∵， ∴． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·期末）已知线段a、b（如图）． (1)用直尺和圆规在射线上画出线段，使．（保留画图痕迹、写出结论，不要求写出画法） (2)在（1）的图形中， ①画出线段的中点M（写出结论） ②如果厘米，线段厘米，那么__________厘米． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段． （2）解：①如图，点M即为所求作的点； ②∵点M为的中点，厘米， ∴厘米， ∵，厘米， ∴， 解得：厘米． 题型五 角度制计算 【典例5】（24-25六年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了度分秒的运算， 先将化为，再根据度分秒的运算求出解即可． 【详解】原式． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-3】（25-26六年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】先将度分进行单位统一，当分不够减时，从度借化为，再进行分和度的分别相减．本题主要考查了度分秒的减法运算，熟练掌握度分秒之间的进制（）并灵活进行单位转换是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型六 方向角 【典例6】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在 观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【详解】解：过点作的平行线，交延长线于点 观察可知， ， ， 与平行 ， ， 灯塔在灯塔北偏西． 故选：B． 【变式6-1】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，货船与港口相距海里，港口相对货船的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距海里处 B．北偏西方向，相距海里处 C．南偏东方向，相距海里处 D．北偏东方向，相距海里处 【答案】A 【详解】解：由图可知，港口相对货船的位置可描述为南偏西方向，相距海里处， 故选：． 【变式6-2】．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知、两个城市的位置如图所示．那么城在城的 方向． 【答案】北偏东 【详解】解：， 城在城的北偏东 方向， 故答案为：北偏东． 【变式6-3】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 题型七 角平分线的有关计算 【典例7】．（24-25六年级上·上海·期末）如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角的定义，由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵A、O、E三点在同一条直线上， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知锐角，平面内有一射线，且，如果射线平分，那么 （用含的式子表示） 【详解】解：如图所示，当射线在内部时， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 如图所示，当射线在外部时， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【变式7-2】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【变式7-3】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数， 理由如下： 射线平分， ， ， ， ； 即的度数是的度数的； 所以如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数； （3）解：只给出的度数，能确定的度数，理由如下： ， ， 射线平分， ， 平分， ， 的度数已知， 和已知， 由和得 ， ， ， 已知， 即已知， ， ，， ， ， ， 即已知可以确定． 题型八 余角、补角有关计算 【典例8】（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为 ． 【答案】/ 【知识点】角度的四则运算、求一个角的补角 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，解题的关键是熟练掌握互为补角的两个角和为． 【详解】解：， 即的补角的度数为． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）若，则的余角大小为 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角 【分析】本题考查了余角和补角、度分秒的换算，解题关键是明确和为的两个角互为余角．根据和为的两个角互为余角计算即可． 【详解】解：∵， ∴的余角是， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 【答案】45 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角，根据补角的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式8-3】（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当在外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）四点这一时刻，分针和时针的夹角是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：4：00，此时时针与分针相距4份， 此时时针与分针所成的角度， 故选：D． 2．（22-23六年级下·上海长宁·期末）下列射线中，表示北偏西方向的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵射线表示北偏西方向，只有C选项符合， 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，请指出射线的方向 ． 【答案】南偏西 【详解】解：由图可得：射线的方向为南偏西， 故答案为：南偏西． 4．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】 根据度分秒的减法，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（23-24六年级下·上海·期末）已知，则的余角的大小是 ． 【答案】 【详解】解：的余角的大小是， 故答案为：． 7．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为 ． 【答案】 【详解】解：， 则的补角为 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海·期末）已知，那么的余角等于 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为： ． 10．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段、． (1)用直尺、圆规画线段，使得；（不写画法，写出结论并保留画图痕迹） (2)在（1）的条件下，取线段的中点，如果，，那么_________． 【详解】（1）解：依题意，线段如图所示： ， ∴； （2）解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 11．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴，解得， 即． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下列说法错误的是（   ） A．将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点； B．如果一个角等于它的余角，那么这个角和它的补角也相等； C．如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等； D．经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线． 【答案】B 【详解】解：A、将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点，故此选项说法正确，不符合题意； B、如果一个角等于它的余角，那么这个角是，它的补角是，所以这个角和它的补角不相等，故此选项说法错误，符合题意； C、如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等，故此选项说法正确，不符合题意； D、经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，一副三角板中的角度有、、、， A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不能画出的角度，故选项C符合题意， D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：平分， ， ， 故选：C． 4．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）已知线段，，下列说法正确的是（    ） A．点P不能在直线上 B．点P只能在直线外 C．点P只在线段延长线上 D．点P不能在线段上 【答案】D 【详解】解：如图，   ． 根据图示知，点P可以在直线上，也可以在直线外，但是不能在线段上． 故选D． 5．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知线段，延长到C，使，D为中点，且，那么线段的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：根据题意画出图形如图所示： ∵D是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 6．（23-24六年级下·上海·期末）下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 【答案】C 【详解】解：A. 若，则的余角的度数为，说法正确； B. 一个锐角的余角比这个角的补角小，说法正确； C. 互补的两个角一个是锐角一个是钝角，也有可能是两个直角，原说法错误； D. 如果大于，那么的补角小于的补角，说法正确； 故选C． 7．（23-24六年级下·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 9． （23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，如果，，那么 ． 【答案】90 【详解】解：∵，， ∴，， 则， 故答案为：90． 10．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 【答案】 【详解】解：与互余， ， ， 与互补， ， ， ， 故答案为：． 11．（23-24六年级下·上海松江·期末）地图上有一点，如果点在点的北偏西方向上，点在点的南偏东方向上，那么 【答案】 【详解】解：由题意可知，． 故答案为：．    12．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知是线段的中点，点、把线段三等分，已知线段的长为，那么的长为 ． 【答案】 【详解】解：解：，， ， 故答案为： ． 13.（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 【详解】（1）解：设运动时间为秒， ，， ， 或 解得或， 答：当点出发秒或秒后，的长度等于长度的2倍 （2）解：当点的运动时间超过9秒，则点P在点B的右侧， 点为的中点，点为的中点 ，， 又， ， 答：的长度是一个定值，这个值是． 14．（22-23六年级下·上海嘉定·期末）如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，，，．    (1)写出图中的互余的角___________， (2)___________度． (3)利用直尺和圆规作的角平分线． (4)射线OA、OE分别表示从点O出发东、西两个方向，那么点F点O的___________方向． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 故和互余；和∠DOE互余； 故答案为：和；和∠DOE； （2）解：由（1）知， 所以， 所以， 故答案为：； （3）解：的角平分线如图：   ； （4）解：如图，作，即为正北方向， 因为，， 所以， 因为平分， 所以， 所以，    那么点F点O的北偏东方向． 故答案为：北偏东． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）已知，画射线，使与互补，那么的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了补角的定义，互补的两个角的和等于，作出图形，根据互为补角的两个角的和等于求出的度数，再分射线在的内部与外部两种情况，然后求解即可． 【详解】解：∵，与互补， ∴， 如图，在的内部， ， 如图，在的外部时， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，，以点为顶点，射线为一边，利用含30°角的三角板画．则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，属于基础题，关键要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 【详解】解：如图， 如果射线在下方，， 如果射线在射线的上方，． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 3．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17；②同意，见解析． 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）设，可得，根据与互补列出方程求出的值即可； （2）根据角平分线的意义求出，即可得出绪论； （3）根据求出，由是的平分线可得出，再分在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵平分， ∴， ∵与互补， ∴ ∵ ∴ 解得，， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵是的平分线， ∴ 又 ∵ ∴； （3）解：∵且 ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵与互余， ∴ ∴ ①若在内部时，如图， 则； ②若在外部时，如图， 则； 综上，或． 5．（24-25六年级上·上海·期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或时，；（3）或 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 6．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $