专题03 一元一次方程（知识必备+6大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学一元一次方程期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，将一元一次方程的概念、解法、实际应用及综合拓展按知识逻辑分层呈现，清晰展现各模块内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，既有概念辨析、规范解法等基础题型，又有含参问题、数轴动点等综合题，结合《算法统宗》古题等实际应用培养模型意识与运算能力。分层练习（基础通关、重难突破、综合拓展）满足不同学生需求，助力自主复习与教师精准教学。

专题03 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元一次方程的概念与等式性质 掌握一元一次方程的概念、等式性质及基础解法，通过大量基础题训练，确保解题步骤规范、正确率高，筑牢得分根基。 基础考点：多以选择题、填空题形式出现，考查对概念的辨析和简单应用 一元一次方程的解法 能按照“去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为1”的一般步骤，规范、熟练地解一元一次方程，同时掌握检验方程解的方法，能发现并纠正解题过程中的常见错误。 必考点：贯穿选择、填空、解答题，基础解法题直接考查步骤规范性，综合解法题多以中档题形式出现，考查灵活解题能力 一元一次方程的应用 掌握一元一次方程解决实际问题的完整流程（审—设—找—列—解—验—答），能准确分析实际情境中的数量关系，提炼等量关系，建立一元一次方程模型，解决各类高频应用问题。 重难点:多以解答题形式出现（通常1-2道大题），部分区会将其作为压轴题，占分比高，是拉开分数差距的关键模块。 综合拓展问题 系统梳理一元一次方程综合拓展的核心题型相关知识，涵盖含参数一元一次方程、一元一次方程与实际应用、一元一次方程与几何图形等，明确各类题型的知识关联点。 重难点：与代数式结合的综合题、数学文化类方程问题，多以中档题或压轴题的小题形式出现，考查综合运用知识的能力。 知识点01 一元一次方程 1. 一元一次方程的概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 知识点02 一元一次方程的解法 一、移项： 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 利用移项解一元一次方程的步骤: （1）移项：把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； （2）合并同类项； （3）系数化为 1. 二、去括号 解一元一次方程的步骤： 去括号→移项→合并 同类项→系数化为1. 若括号外的因数是负数，去括号时，原括号内各项的符号要改变. 三、去分母 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点03 一元一次方程的实际应用 1.列方程解应用题的步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.列一元一次方程解应用题的常见题型 （1)和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 （2）行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 (3)工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 题型一 一元一次方程的概念 【典例1-1】（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【变式1-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为 ． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·期末）已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 题型二 等式的性质 【典例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 【变式2-1】（25-26六年级上·上海·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【变式2-2】（25-26六年级上·上海普陀·月考）若，则 ，是根据 ． 【变式2-3】（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 题型三 解一元一次方程 【典例3-1】（24-25六年级上·上海·期末）解方程： 【典例3-2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【典例3-3】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）解方程：． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海·期末）解方程： 【变式3-2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： 【变式3-3】（24-25六年级上·上海·期末）解方程：． 【变式3-4】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）解方程： 【变式3-5】（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 题型四 一元一次方程含参问题 【典例4-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于m的方程解为3，那么x的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【典例4-2】（24-25六年级上·上海崇明·期末）已知关于的方程与有相同的解，则 ． 【典例4-3】（24-25六年级上·上海·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）已知是关于的方程的解，那么的值是 ． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·期末）已知与互为相反数， 那么m的值是 ． 【变式4-3】（24-25六年级上·上海·期末）已知是一元一次方程的解， 那么a的值是 ． 【变式4-4】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）已知是方程的解，求关于x的方程的解． 题型五 一元一次方程实际应用 【典例5-1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 【典例5-2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）在综合与实践课程中，小丽同学在学习完“你的膳食健康吗？”课程后，对顾村实验学校为学生提供的午餐有A、B两种套餐进行了调查研究．（每天只提供一种午餐） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬菜类（克） 其它（克） A 160 95 120 125 B 200 70 140 90 为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克．那么在一周里小丽同学应该选择A、B套餐各几天时，能达到控制主食摄入量的目的（说明：一周按5天计算） 【典例5-3】（24-25六年级上·上海·期末）一个长方形的周长是厘米，若将长减少厘米，宽增加厘米，则长方形就变成了正方形，求长方形的面积． 【典例5-4】（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 【典例5-5】（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【典例5-6】（24-25六年级上·上海·期末）列方程解应用题：A站和B站相距，一列慢车从A站开出，速度为，一列快车从B站开出，速度为． (1)若两车相向而行，同时出发，行驶几小时后两车相遇？ (2)若两车同向而行，慢车在前，慢车开出后快车再出发，快车开出几小时后追上慢车？ 【典例5-7】（24-25六年级上·上海闵行·期末）某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆． (1)求该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量（用含有x的代数式表示）； (2)如果该汽车企业第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，求该企业前三季度销售的新能源汽车数量． 【典例5-8】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海·期末）列一元一次方程解决实际问题． 小明每天早上要到距家的学校去上学．一天，小明以的速度出发，出发后，小明的爸爸发现小明忘带了语文书．于是，爸爸立即以的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他．爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 【变式5-3】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）2024年巴黎奥运会上，我国获得金、银、铜牌总共91枚．已知获得的银牌数是铜牌数的，获得的金牌数是铜牌数的，求在这届奥运会上我国获得的金牌数是多少枚？ 【变式5-4】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）一个长方形正好可以分成两个相同大小的正方形．已知这个长方形的周长为，求这个长方形的长和宽． 【变式5-5】（24-25六年级上·上海·期末）为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 题型六 与数轴有关的一元一次方程应用 【典例6】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是和16，动点M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，点M的速度是2个单位长度/秒，N的速度是4个单位长度/秒，点M、点N分别与点B、点A重合时，停止运动． (1)若运动t秒钟时，点M、N重合，求t的值以及重合点在数轴上所表示的数； (2)若运动t秒钟时，点M、N之间距离为30，求t的值； (3)设点P是线段中点，点Q是线段中点，若运动t秒钟时点P、Q重合，求t的值． 【变式6】（24-25六年级上·上海宝山·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）下列式子属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）若方程是一元一次方程，则的值为 ． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知是关于的方程的解，那么的值是 ． 5．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程：． 6．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 7．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程：． 8．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，用了，再从乙码头逆流而行到达甲码头，用了，已知该轮船在静水中的速度为30km/，水流的速度是多少？甲、乙码头相距多少千米？ 9． （24-25六年级上·上海青浦·期末）数学兴趣小组原来女生占小组的，后来又加入了4名女生，现在女生占全组人数的一半，求原来这个小组共有多少名学生． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）解方程：． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）解方程： 3．（24-25六年级上·上海·期末）解方程： (1) (2) 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 5．（24-25六年级上·上海普陀·期末）一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先行后轿车出发，客车的速度为，轿车的速度为．问：轿车出发多久后追上客车？ 6．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人间时向南行进．行人的速度是每小时千米，骑自行车的人的速度是每小时千米．如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是秒，通过骑自行车的人的时间是秒．同这列火车的车长是多少米？ 7．（24-25六年级上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 8．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）在数轴上，点、在原点两侧且到原点的距离均为3厘米（点在点左侧）．现有动点、分别从、两点向右沿正半轴方向运动，速度分别为每秒4厘米和每秒2厘米，当、两点相距1厘米时，经过的时间是 秒． 2．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 3．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 4．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 5．（24-25六年级上·上海闵行·期末）数学课上老师提出了这样一个问题： 运动员小丽，小明在400米长的环形跑道上练习长跑，已知小丽的速度为170米/分，小明的速度为250米/分． (1)如果两人同时由同一起点同向出发，求两人第一次相遇的时间． (2)老师对这个问题进一步展开研究，如果两人同时由同一起点同向出发，他认为既然可以算出第一次相遇的时间，那一定可以算出第二次，第三次……第a次（a为正整数）相遇的时间． ①用含有a的代数式表示出两人第a次相遇的时间； ②当两人恰好在起点处相遇，求a满足的条件． (3)小闵认为类比老师的研究方法，如果两人同时由同一起点反向出发，可以得到两人在起点处相遇和两人相遇次数的规律．请你找到这个规律，并说明理由． 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元一次方程的概念与等式性质 掌握一元一次方程的概念、等式性质及基础解法，通过大量基础题训练，确保解题步骤规范、正确率高，筑牢得分根基。 基础考点：多以选择题、填空题形式出现，考查对概念的辨析和简单应用 一元一次方程的解法 能按照“去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为1”的一般步骤，规范、熟练地解一元一次方程，同时掌握检验方程解的方法，能发现并纠正解题过程中的常见错误。 必考点：贯穿选择、填空、解答题，基础解法题直接考查步骤规范性，综合解法题多以中档题形式出现，考查灵活解题能力 一元一次方程的应用 掌握一元一次方程解决实际问题的完整流程（审—设—找—列—解—验—答），能准确分析实际情境中的数量关系，提炼等量关系，建立一元一次方程模型，解决各类高频应用问题。 重难点:多以解答题形式出现（通常1-2道大题），部分区会将其作为压轴题，占分比高，是拉开分数差距的关键模块。 综合拓展问题 系统梳理一元一次方程综合拓展的核心题型相关知识，涵盖含参数一元一次方程、一元一次方程与实际应用、一元一次方程与几何图形等，明确各类题型的知识关联点。 重难点：与代数式结合的综合题、数学文化类方程问题，多以中档题或压轴题的小题形式出现，考查综合运用知识的能力。 知识点01 一元一次方程 1. 一元一次方程的概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 知识点02 一元一次方程的解法 一、移项： 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 利用移项解一元一次方程的步骤: （1）移项：把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； （2）合并同类项； （3）系数化为 1. 二、去括号 解一元一次方程的步骤： 去括号→移项→合并 同类项→系数化为1. 若括号外的因数是负数，去括号时，原括号内各项的符号要改变. 三、去分母 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点03 一元一次方程的实际应用 1.列方程解应用题的步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.列一元一次方程解应用题的常见题型 （1)和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 （2）行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 (3)工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 题型一 一元一次方程的概念 【典例1-1】（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D 【典例1-2】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【详解】解：由题意可知，， 解得：， 故答案为：1． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， ， 代入得，， 解得：． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·期末）已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）得， ∴方程为， 整理得， 解得． 题型二 等式的性质 【典例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边同乘和（或除以）同一个数（除数不为），结果仍相等．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、可变形为， 故该选项不符合题意； B、可变形为， 故该选项不符合题意； C、可变形为， 故该选项不符合题意； D、可变形为， 故该选项符合题意； 故选： D． 【变式2-1】（25-26六年级上·上海·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【详解】本题考查了等式的性质． 逐一验证每个选项的变形是否符合等式的基本性质，如移项变号、等式两边同乘同除等． 【分析】解：A：，移项得，，原变形错误； B：，两边同乘2得，原变形错误； C：，移项得 ，，原变形正确； D：，两边同除以2得，原变形错误； 故选：C． 【变式2-2】（25-26六年级上·上海普陀·月考）若，则 ，是根据 ． 【答案】 等式的基本性质一 【知识点】等式的性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质一，灵活运用等式的基本性质一是解决本题的关键． 由方程，通过等式的基本性质，两边同时加上，即可得到，从而填空即可． 【详解】解：根据等式的基本性质1可得， ， 故答案为：；等式的基本性质一． 【变式2-3】（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型三 解一元一次方程 【典例3-1】（24-25六年级上·上海·期末）解方程： 【答案】 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得： ． 【典例3-2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，． 【典例3-3】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， ． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海·期末）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要查了解一元一次方程．先去括号，再移项合并同类项，即可求解． 【详解】解： 去括号得：， 移项合并同类项得： 解得：． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： 【答案】 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∴原方程的解是． 【变式3-3】（24-25六年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 【变式3-4】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）解方程： 【答案】 【详解】解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 【变式3-5】（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （3）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （4）解： 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 题型四 一元一次方程含参问题 【典例4-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于m的方程解为3，那么x的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入方程中求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于m的方程解为3， ∴， ∴， 故选：A． 【典例4-2】（24-25六年级上·上海崇明·期末）已知关于的方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【详解】解：由得：， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 【典例4-3】（24-25六年级上·上海·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为 整理得：，即， 解得， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）已知是关于的方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·期末）已知与互为相反数， 那么m的值是 ． 【答案】1 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为1． 【变式4-3】（24-25六年级上·上海·期末）已知是一元一次方程的解， 那么a的值是 ． 【答案】3 【详解】解：把代入方程得：， ∴； 故答案为3． 【变式4-4】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）已知是方程的解，求关于x的方程的解． 【答案】 【详解】解：把代入方程得 ， 解得， 将代入方程中，得 ， 解得． 题型五 一元一次方程实际应用 【典例5-1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 【详解】解：设客房有间， 根据题意可得：， 解得； 则房客有（人）； 答：客房有8间，房客有63人． 【典例5-2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）在综合与实践课程中，小丽同学在学习完“你的膳食健康吗？”课程后，对顾村实验学校为学生提供的午餐有A、B两种套餐进行了调查研究．（每天只提供一种午餐） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬菜类（克） 其它（克） A 160 95 120 125 B 200 70 140 90 为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克．那么在一周里小丽同学应该选择A、B套餐各几天时，能达到控制主食摄入量的目的（说明：一周按5天计算） 【详解】解：设在一周里小丽同学应该选择A套餐m天，则选择B套餐天， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：在一周里小丽同学应该选择A套餐3天，B套餐2天时． 【典例5-3】（24-25六年级上·上海·期末）一个长方形的周长是厘米，若将长减少厘米，宽增加厘米，则长方形就变成了正方形，求长方形的面积． 【详解】解：设长方形的长为厘米， 长方形的周长是厘米， 长方形的宽为：厘米， 根据题意得：， 解得：， ， 即长方形的长为厘米，宽为厘米， 长方形的面积为（平方厘米）． 【典例5-4】（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 【详解】解：设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛， 根据题意，可得 ， 解得 （场）， 所以 （场）． 答：这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛． 【典例5-5】（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【详解】（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． 【典例5-6】（24-25六年级上·上海·期末）列方程解应用题：A站和B站相距，一列慢车从A站开出，速度为，一列快车从B站开出，速度为． (1)若两车相向而行，同时出发，行驶几小时后两车相遇？ (2)若两车同向而行，慢车在前，慢车开出后快车再出发，快车开出几小时后追上慢车？ 【详解】（1）解：设后两车相遇，根据题意得：     ， 解得， 答：行驶10小时后两车相遇； （2）解：设快车开出后追上慢车，根据题意得： ， 解得： 答：快车开出小时后追上慢车． 【典例5-7】（24-25六年级上·上海闵行·期末）某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆． (1)求该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量（用含有x的代数式表示）； (2)如果该汽车企业第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，求该企业前三季度销售的新能源汽车数量． 【详解】（1）解：由题意得，第二季度销售的新能源汽车数量为万辆，第三季度销售的新能源汽车数量为万辆， 前三季度一共销售的新能源汽车的数量为万辆． 答：该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量为万辆． （2）解：由题意得，， 解得：， 代入，则， 答：该企业前三季度销售的新能源汽车数量为万辆． 【典例5-8】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【详解】（1）解∶甲队单独完成这项工程需40天，且甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的． 乙队单独完成这项工程需 (天)． 设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天， 根据题意得∶， 解得∶． 答∶完成这项工程总共用了30天； （2）分配给甲队万元，分配给乙队万元， 理由如下∶甲队完成的工程量为，乙队完成的工程量为． 该企业为了这项工程一共支付a万元的费用， 按照完成工程量的比例来分配，应该分配给甲队万元，乙队万元． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【详解】解：设寺里有x个和尚， 根据题意得：，解得：． 答：寺里有624个和尚． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海·期末）列一元一次方程解决实际问题． 小明每天早上要到距家的学校去上学．一天，小明以的速度出发，出发后，小明的爸爸发现小明忘带了语文书．于是，爸爸立即以的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他．爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 【详解】解：设爸爸追上小明用了， 依题意有， 解得． 则， 答：爸爸追上小明用了，追上小明时，距离学校还有． 【变式5-3】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）2024年巴黎奥运会上，我国获得金、银、铜牌总共91枚．已知获得的银牌数是铜牌数的，获得的金牌数是铜牌数的，求在这届奥运会上我国获得的金牌数是多少枚？ 【详解】解：设在这届奥运会上我国获得的铜牌数是x枚， 由题意得，， 解得， ∴， 答：在这届奥运会上我国获得的金牌数是40枚． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）一个长方形正好可以分成两个相同大小的正方形．已知这个长方形的周长为，求这个长方形的长和宽． 【详解】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为cm， 根据题意得：， 解得：， ∴（cm）． 答：这个长方形的长为cm，宽为cm． 【变式5-5】（24-25六年级上·上海·期末）为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 【详解】解：设应先安排x个工程队单独修6天’ ， 解得：． 答：应先安排3个工程队单独修6天． 题型六 与数轴有关的一元一次方程应用 【典例6】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是和16，动点M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，点M的速度是2个单位长度/秒，N的速度是4个单位长度/秒，点M、点N分别与点B、点A重合时，停止运动． (1)若运动t秒钟时，点M、N重合，求t的值以及重合点在数轴上所表示的数； (2)若运动t秒钟时，点M、N之间距离为30，求t的值； (3)设点P是线段中点，点Q是线段中点，若运动t秒钟时点P、Q重合，求t的值． 【详解】（1）解：（秒），（秒）． 当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：t的值为，重合点在数轴上所表示的数为； （2）当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为或； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为． 【变式6】（24-25六年级上·上海宝山·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点B表示数1，表示数， ∴， ∴， ∴是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数2， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数6， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； 故答案为：； （2）解：设点P表示的数为x， ①∵，点P在点A，B之间， ∴， ∵点P是点A、B的“关联点”， ∴或， ∴或， 解得或； 即点P所表示的数为或； ②∵，点P在点B的右侧， ∴，，， ∴． 当A是B，P“关联点”时， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 当B是A，P“关联点”时， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 即此时P表示的数为16或22； 当P为A，B的“关联点”时， ∴， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 综上所述，P表示的数为19或16或22． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）下列式子属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元一次方程； B、含有两个未知数，不是一元一次方程； C、未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程； D、不是方程，不是一元一次方程； 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海·期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）若方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：1． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知是关于的方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：把代入方程得到：， 解得， 故答案为： ． 5．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程：． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 6．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边同时除以，得． 7．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程：． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 8．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，用了，再从乙码头逆流而行到达甲码头，用了，已知该轮船在静水中的速度为30km/，水流的速度是多少？甲、乙码头相距多少千米？ 【详解】解：设水流的速度为千米/时，根据题意得， ． 解得：． 甲、乙码头距离为． 答：水流的速度为千米/时，甲、乙码头相距千米． 9．（24-25六年级上·上海青浦·期末）数学兴趣小组原来女生占小组的，后来又加入了4名女生，现在女生占全组人数的一半，求原来这个小组共有多少名学生． 【详解】解：设原来这个小组有x名学生，根据题意，得 ， 解得． 所以原来这个小组共有名学生． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）解方程： 【详解】解： ． 3．（24-25六年级上·上海·期末）解方程： (1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． 5．（24-25六年级上·上海普陀·期末）一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先行后轿车出发，客车的速度为，轿车的速度为．问：轿车出发多久后追上客车？ 【详解】解：设轿车出发x小时后追上客车， 根据题意：， 解得：， 答：轿车出发小时后追上客车． 6．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人间时向南行进．行人的速度是每小时千米，骑自行车的人的速度是每小时千米．如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是秒，通过骑自行车的人的时间是秒．同这列火车的车长是多少米？ 【详解】解：千米/小时＝米/秒=1米/秒，千米/小时＝米/秒=4米/秒， 设这列火车的速度是x米/秒， 根据题意得：， 解得：， ∴（米）． 答：这列火车的车长是米． 7．（24-25六年级上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 【详解】解：设年后，小郑的年龄是妈妈的一半， 根据题意得： 答：年后，小郑的年龄是妈妈的一半． 8．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【详解】（1）解：小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是等式的性质1； 他的解答过程从第①步开始出现错误，因为右边的1没有乘以12． 故答案为：等式的性质1，① （2）解： 方程两边同乘以12，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 解得：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）在数轴上，点、在原点两侧且到原点的距离均为3厘米（点在点左侧）．现有动点、分别从、两点向右沿正半轴方向运动，速度分别为每秒4厘米和每秒2厘米，当、两点相距1厘米时，经过的时间是 秒． 【答案】秒或秒 【详解】解：由题意可得，表示，表示3，设运动时间为秒， 则秒时，表示的数为，表示的数为， 由题意得： ∴或， 分别解得：或， 故答案为：秒或秒． 2．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 3．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 【详解】解：设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里， 则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间为小时；由于甲丙的速度比为，t小时丙行驶了公里，甲丙间相距公里，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇时甲丙路程的比等于速度的比知，甲行驶的路程是丙行驶的路程的3倍，则丙行驶的路程为公里， 所以丙从出发到C点一共行驶的路程为公里，行驶的时间为小时，剩下的路程为甲丙骑车的路程公里，需要的时间为小时； 由于三人同时到达终点B城，则， 解得：， 则乙步行的路程为（公里）； 答：乙步行的路程为40公里． 4．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 5．（24-25六年级上·上海闵行·期末）数学课上老师提出了这样一个问题： 运动员小丽，小明在400米长的环形跑道上练习长跑，已知小丽的速度为170米/分，小明的速度为250米/分． (1)如果两人同时由同一起点同向出发，求两人第一次相遇的时间． (2)老师对这个问题进一步展开研究，如果两人同时由同一起点同向出发，他认为既然可以算出第一次相遇的时间，那一定可以算出第二次，第三次……第a次（a为正整数）相遇的时间． ①用含有a的代数式表示出两人第a次相遇的时间； ②当两人恰好在起点处相遇，求a满足的条件． (3)小闵认为类比老师的研究方法，如果两人同时由同一起点反向出发，可以得到两人在起点处相遇和两人相遇次数的规律．请你找到这个规律，并说明理由． 【详解】（1）解：设两人第一次相遇的时间为x分钟， 由题意得，， 解得， 答：两人第一次相遇的时间为5分钟； （2）解：①由（1）可知出发5分钟时，两人第一次相遇，即出发5分钟小明比小丽多走400米，则第二次相遇时，小明比小丽多走800米，第三次相遇时，小明比小丽多走1200米，……第a次（a为正整数）相遇，小明比小丽多走米， ∴两人第a次相遇的时间分钟； ②由（2）7①可知，两人第a次相遇的时间的时间为分钟， ∴两人第a次相遇的时间为分钟， ∴两人第a次相遇时，小明的路程为米，小丽的路程为米， ∵两人恰好在起点处相遇， ∴小明和小丽所走的路程都要为400的整数倍， ∴都能被400整除， ∵，， ∴和一定要是整数， ∴a一定要是8的倍数； （3）解：每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处，理由如下： 设两人第一次相遇的时间为y分钟， 由题意得，， 解得， ∴两人第一次相遇的时间为分钟； ∵每一次相遇后到下一次相遇，二者的路程之和都为400米， ∴每一次相遇后到下一次相遇的时间都为分钟； ∴第n次相遇的时间为分钟， ∴第n次相遇时，小明的路程为米，小丽的路程为米， ∵两人恰好在起点处相遇， ∴和是400的整倍数， ∵， ∵都是整数， ∴n一定是42的倍数， ∴每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处． 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）数2对应的点与数对应的点重合， 对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：； （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， 设点对应的数为，点对应的数为， ， 解得：， 则， 点对应的数为，点对应的数为4.5， 故答案为：，4.5； （4）①根据题意，，点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②动点从点向左出发，点对应的数为， ∵、两点之间的距离为8个单位长度， ∴当点在点的右侧， 解得：； 当点在点的左侧， ， 解得：， 答：t值为1.5或9.5时，、两点之间的距离为8个单位长度． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $