专题03 一元一次方程的应用重难点题型专训（1个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年六年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版五四制2024）

专题03 一元一次方程的应用重难点题型专训 （1个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 拓展训练一 一元一次方程与数轴应用 拓展训练二 一元一次方程综合应用 拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题 知识点一：用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海松江·开学考试）一种皮鞋，先按成本价提高后标价，为了促销，又按标价打八折出售，现知每双皮鞋卖出后赚8元，则这种皮鞋的成本价是多少？ 【答案】元 【分析】本题考查了销售盈亏问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设这种皮鞋的成本价是x元，利用利润=售价进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这种皮鞋的成本价是x元， 根据题意得：， 解得：． 答：这种皮鞋的成本价是元． 2．（25-26六年级上·上海宝山·开学考试）汉服是传承四千多年的传统民族服装，以清雅平易为主，讲究天人合一．服装厂要生产一批汉服，已完成的与未完成的套数比是．如果再生产600套，已完成的比未完成的少，这批汉服有多少套？ 【答案】这批汉服有9000套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，按比例设未知数是解题关键．分析题意，设开始已完成的有套，未完成的有套，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设开始已完成的有套，未完成的有套． 根据题意可列： 解得： 则， （套） 答：这批汉服有9000套． 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·期末）一艘船从甲地到乙地顺水而行，用了3小时；从乙地返回甲地逆水而行，用了4小时．已知水流的速度为每小时4千米，船在静水中的平均速度为每小时x千米，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系式：顺水的所用时间顺水的速度逆的所用时间逆的速度，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 顺水的速度为（）千米／小时， 逆的速度为（）千米／小时， ， 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海长宁·期末）两地相距345千米，一列慢车从地出发，每小时行驶60千米，一列快车从地出发，每小时行驶90千米，快车提前30分钟出发．两车相向而行，慢车行驶了多少小时后，两车相遇，若设慢车行驶了小时后，两车相遇，根据题意，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，相遇时两车行驶的总路程等于345千米，据此列方程，同时要注意换算单位． 【详解】解：慢车行驶了x小时后，两车相遇， 根据题意得出：． 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）一船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用．若设甲、乙两码头的距离为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程；根据所用时间得到相应的等量关系是解决本题的关键；注意顺流速度=静水船速+水速度；逆流速度=静水船速水速度． 根据所用的总时间可得相应的等量关系为：顺流全程的时间+逆流全程的时间，把相关数值代入即可． 【详解】解：顺流的速度为， ∴顺流的时间为：； 同理可得逆流的时间为：， 可列方程：． 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲的速度为，乙的速度为，两地相距． (1)求两人相遇的时间； (2)若甲出发时携带一只小狗以的速度奔向乙，遇到乙后立即返回奔向甲，如此反复直至两人相遇，求小狗跑的总路程． 【答案】(1)2小时 (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用； （1）设两人相遇，根据题意得：，再解方程即可； （2）确定小狗的运动时间，再利用时间乘以速度即可得到答案. 【详解】（1）解：设两人相遇，根据题意得： ， 解得：， 答：两人相遇. （2）解：由（1）得：两人相遇， ∴小狗跑的总路程为. 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，属于共享经济理念的出行服务．某地滴滴快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：1．车费=里程费+时长费+远途费，其中里程费按行车的实际里程计算； 2．时长费按行车的实际时间计算； 3．远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收元． (1)已知小张从学校乘坐滴滴快车回家，乘车时长为10分钟，没有产生远途费的情况下支付了元车费．试求小张家到学校的里程． (2)星期六早上，小张和聪聪两人从该地出发，各自乘坐滴滴快车去省城参加无人机航展大赛，行车时间分别为分钟、分钟．已知聪聪比小张的行车里程多8公里，两人所付车费、计费项目都相同．设，试求出的值． 【答案】(1)3公里 (2)52分钟 【分析】（1）设小张的乘车里程为公里，根据题意得，，解方程即可． （2）根据聪聪比小张的行车里程多8公里，大于7公里了，判定二人都有远途费，设小张行车里程为公里，则聪聪行车里程为公里，根据两人所付车费、计费项目都相同．建立等式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握分层计价问题的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设小张的乘车里程为公里，根据题意得， ， ， 解得， 答：小张家到学校的里程为3公里． （2）解：聪聪比小张的行车里程多8公里，两人计费项目也相同 两人均是远途乘车，都产生远途费， 设小张行车里程为公里，则聪聪行车里程为公里， 依题意得 ， ， ， 答：的值为52分钟． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材，最多可以制作（   ）张桌子． A．10 B．40 C．160 D．200 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键． 设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿，利用制作桌腿的总数量是制作桌面总数量的4倍，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入20x中，即可解答． 【详解】解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴最多可以制作200张桌子． 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海松江·开学考试）某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套？（一个螺栓配两个螺母）设生产螺栓有m人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了实际问题与一元一次方程的应用-配套问题，解题的关键是建立等量关系． 因为生产螺栓有人，则生产螺母有人，由一个螺栓配两个螺母可知，螺母的个数是螺栓的个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：因为生产螺栓有人，则生产螺母有人， 由题意得：， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海长宁·期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有37人，在乙处植树的有32人，由于甲处植树任务较近，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，若设从乙处调配x人去甲处，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】先求出调配后，甲处的人数为人，乙处的人数为人，再根据“调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍”建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：调配后，甲处的人数为人，乙处的人数为人， 则可列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键． 3．（24-25六年级上·上海虹口·期末）七年级四班共有学生48人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．每个盒身匹配2个盒底，那么问有多少人制作盒身，多少人制作盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】26人制作盒身，22人制作盒底 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设有x人制作盒身，根据“制作的盒底数量是盒身数量的2倍”即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x人制作盒身，则有人制作盒底．根据题意得 解得， ∴ 答：有26人制作盒身，22人制作盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）应用题 (1)小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度． (2)某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作． ①求甲、乙合作多少天才能把该工程完成． ②在①的条件下，甲队每天的施工费用为2500元，乙队每天的施工费用为3000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元． 【答案】(1)该河的水流速度为2千米/时 (2)应安排生产螺钉和螺母的工人10名，12名 (3)①甲、乙合作20天才能把该工程完成；②120000元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设该河的水流速度为x千米/时，由题意得等量关系：顺水速度×顺水行驶时间=逆水行驶速度×逆水行驶时间，根据等量关系列出方程，再解即可． （2）设分配x名工人生产螺母，则人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． （3）①设甲、乙合作x天才能把该工程完成，根据总工程量=甲单独做4天完成的部分+甲、乙合作完成的部分即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； ②根据总费用=单天费用×工作时间即可算出甲、乙两队的费用，将其相加即可得出结论． 【详解】（1）解：设该河的水流速度为x千米/时，由题意得： ， 解得：， 答：该河的水流速度为2千米/时． （2）解：设分配x名工人生产螺母，则人生产螺钉，由题意得 ， 解得：， 则， 答：应安排生产螺钉和螺母的工人10名，12名． （3）解：①设甲、乙合作x天才能把该工程完成， 根据题意得：， 解得：． 答：甲、乙合作20天才能把该工程完成． ②甲队的费用为（元）， 乙队的费用为（元）， （元）． 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共120000元． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（24-25六年级上·上海松江·期末）一项工程，甲单独完成需要天，每天需要支付工费元；乙单独完成需要天，每天需要支付工费元．若由甲、乙共同参与，在不超过天的时间内完成该工程，则需要支付的总工费最少是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际问题，设甲、乙合作x天完成工程，，计算得，即可得． 【详解】解：设甲、乙合作x天完成工程， 则需要支付的总工费最少是：（元）， 故选：C． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）一道条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要天完成，，还需要几天完成任务． 根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图，设两队合作还需天完成任务，并列方程为 根据上面信息，下面结论不正确的是（    ）    A．乙队单独完成需要天完成； B．处代表的代数式 C．处代表的实际意义：甲先做天的工作量 D．甲先做天，然后甲乙两队合作天完成了整个工程． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据线段图结合题意，找出等量关系列方程解决即可，找出题目中的数量关系是解题的关键． 【详解】解：由图可知：点乙队单独完成需要天完成，故说法正确，不符合题意； 处代表的实际意义：甲先做天的工作量，故说法正确，不符合题意； 处代表的代数式 ，故说法正确，不符合题意； 由，解得，甲乙两队再合作天完成了整个工程，故说法不正确，符合题意； 故选：． 2．（2025七年级·上海嘉定·模拟预测）一个蓄水池中有两个进水管甲、乙和一个排水管丙．单独打开甲进水管，6小时可将空水池注满；单独打开乙进水管，8小时可将空水池注满；单独打开丙排水管，9小时可将满池水排空．如果先将甲、乙两个进水管同时打开2小时，然后再打开丙排水管，那么要将空水池注满总共所需的时间为 小时． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设打开丙管后x小时可注满水池．等量关系为：甲注水量+乙注水量丙排水量． 据此列出方程并解答． 【详解】解：设打开丙管后x小时可注满水池， 由题意得，， ， ∴， ∴， 解得．    答：打开丙管后小时可注满水池． 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作8天才能完成该工程； (2)甲、乙两队各获得工程款万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和算式，准确计算； （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可； （2）根据题意求得各自完成工作量，再按比例分配，计算即可． 【详解】（1）.解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程，则甲队单独施工的时间为天， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作8天才能完成该工程； （2）解：由（1）知乙队完成工作量，则甲队也完成工作量， 按比例分配得甲队获得工程款万元，乙队获得工程款万元， 答：甲、乙两队各获得工程款万元． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 【答案】(1)该中学一共有120个教室 (2)乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设该中学一共有x个教室，根据“甲工程队比乙工程队要多用20天”，列出方程求解即可； （2）设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了，根据（1）中求出的教室总数，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该中学一共有x个教室， ， 解得：， 答：该中学一共有120个教室． （2）解：设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了， ， 解得：， ∴乙工程队共粉刷32天，学校需要付给乙工程队的费用为：（元）； 甲工程队共粉刷天，学校需要付给甲工程队的费用为：（元）． 答：乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元． 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·期末）某商品每件标价为元，若按标价打8折后，仍可获利，则该商品每件的进价为多少元？若设每件的进价为x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意找出题中存在的等量关系：售价成本价利润，列方程即可． 【详解】解：设每件的进价为x元，则可列方程为， 故选：C． 1．（24-25六年级上·上海松江·开学考试）某公园淡季的门票价是60元，比旺季门票便宜20%．这个公园旺季时门票票价多少元？下面四位同学想法，其中错误的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查列方程解应用题，百分数的应用，关键是根据题意找出基本数量关系． 根据题意，把公园旺季门票价钱看作单位“1”，有关系式：淡季门票=旺季门票旺季门票．关系式也可变形为：淡季门票=旺季门票或淡季门票旺季门票=旺季门票．设旺季门票为x元，列方程为：或或者是．由此判断． 【详解】解：把公园旺季门票价钱看作单位“1”，有关系式： 淡季门票=旺季门票-旺季门票， 或者：淡季门票=旺季门票， 或：淡季门票旺季门票=旺季门票． 设旺季门票为x元，列方程为： 或或者是． 所以A、C、D都是正确的，错误的是B． 故选：B． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）某书店同时卖出了进价不同的和两本课外书，售价均为元，按成本计算，书店工作人员发现书盈利了，而书却亏损了，则这次书店是 （从“赚了”“赔了”“不赚不赔”“条件不够无法判断”中选填） 【答案】赔了 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分别设课外书进价元，课外书进价元，根据题意列出方程，求出、进价，即可得解．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设课外书进价元， 根据题意，得：， 解得：， 设课外书进价元， 根据题意，得：， 解得：， ∵， ∴这次书店是赔了． 故答案为：赔了． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）为响应新农村建设，改善农村居住环境，某村村委会准备购买A，B两种桶装环保漆，对村里古建筑民居进行粉刷，已知A种环保漆每桶价格比B种环保漆多20元，购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元．求A，B两种环保漆每桶价格分别是多少元． 【答案】A桶装环保漆每桶价格为180元，B桶装环保漆每桶价格为160元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设A桶装环保漆每桶价格为x元，则B桶装环保漆每桶价格为元，根据购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元建立方程求解即可． 【详解】解：设A桶装环保漆每桶价格为x元，则B桶装环保漆每桶价格为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A桶装环保漆每桶价格为180元，B桶装环保漆每桶价格为160元． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）“一纸书来只为墙，让他三尺又何妨．”闻名遐迩的桐城六尺巷承载着谦逊礼让的深厚文化内涵．吸引着八方游客纷至沓来．六尺巷景区有一家文创小店，小店购进了两种爆款文创产品．一种是带有六尺巷精美壁画图案的折扇，另一种是印着“六尺巷”故事简介与经典诗句的帆布袋，进价与售价如下表： 文创产品 进价 售价 折扇 10 15 帆布袋 16 25 某天，小店卖出的折扇数量比帆布袋数量的2倍还多3个．经计算这两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，请问这天卖出帆布袋和折扇各多少个？ 【答案】卖出帆布袋30个，卖出折扇63个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， 设卖出帆布袋个，则卖出折扇个，根据两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，列方程求解即可． 【详解】解：设卖出帆布袋个，则卖出折扇个， 由题意得：， 解得：，则， 答：卖出帆布袋30个，卖出折扇63个． 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（24-25六年级上·上海青浦·期末）某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列一元一次方程即可． 【详解】设该队胜了x场，则该队负了场，胜场得分：分，负场得分：分． 因为共得15分， 所以方程应为：． 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）某小组5名同学参加一次知识模拟预测，共答20道题，每题分值相同，答对得分，答错或不答扣分，下面是4名同学的得分情况（如表）：下列说法正确的是（    ） 序号 答对题数 答错或不答题数 得分 1 18 2 84 2 17 m 76 3 20 0 100 4 10 10 n A． B．这次知识模拟预测我得了50分 C．如果我多答对一题就可以多拿8分 D．错一题得1分 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的知识点；求解的关键是数量掌握一元一次方程的性质，并运用到实际问题求解过程中，即可得到答案． 先根据第3名同学的答题情况得到结论：答对一题得5分；再根据第一名同学的答题情况得到结论：答错一题扣3分；然后据以上结论可进一步求得m、n的值可判断选项A；用列方程的方法可得出答对的题目数为分数则不合题意，于是可判断选项B；根据多答对一题则少答错一题可判断选项C；根据题干答错扣分可判断选项D． 【详解】解：由于共有20道题，因第3名同学全部答对，得分为100分，且没有扣分， ∴答对每道题得分：（分）， 设答错一道题扣分为t分，根据第一名同学的答题情况可列方程： ， 解得：． 再由第2名同学的答题情况得：， 解得：． 由第四名同学的答题情况可得：（分） A．，此选项错误； B．设我答对了x道题，则答错了道题，根据题意列出方程： 解得：． 因x必须是整数，故此选项错误； C．因多答对一题就意味着少答错一题，故多拿（分），此选项正确； D．因题干指明答错扣分，故此选项错误． 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）某试卷由10道题组成，答对一题得4分，答错一题倒扣1分．有一考生做了全部10道题，得20分，则该考生做对了 道题． 【答案】6 【分析】设该考生做对了道题，则答错了道题，根据“有一考生做了全部10道题，得20分”，列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设该考生做对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：， 该考生做对了6道题， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场记0分，一个队比赛了20场，平了5场，共得35分，那么该队负了 场． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设该队胜场，根据记分规则和得分总数，可列方程求解． 【详解】解：设该队胜场，依题意得：， 解得：， 所以． 即该队负了5场． 故答案为：5． 4．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）山西某中学举行英语对话听力挑战赛，每位选手共挑战轮，每轮个题目，每轮结果呈现形式为（其中答对题，答错题），每种不同的结果产生的积分也不相同．甲、乙、丙三位同学的挑战结果如下表： 第轮 第轮 第轮 第轮 总积分 甲 乙 丙 (1)结果为，积___________分；结果为，积___________分． (2)设的结果积分，请利用方程的知识，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：设结果为积分，根据乙同学的总积分可得： ，解得， 故结果为积分； 设结果为积分，根据甲同学的总积分可得： ，解得， 故结果为积分； 故答案为：；． （2）解：根据题意列方程为：， 解得， 故的值为． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（24-25六年级上·上海静安·期末）把一些笔记本分给某班学生，如果每人分2本，则剩余20本；如果每人分3本，则还缺30本，设该班有x名学生，可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这个班级有x名学生，根据两种不同的分法的图书总数相等，列出方程即可解题． 【详解】这个班级有x名学生，依题意得， 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购买相差6元的2种快餐各1份，结账时，店员说：“你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样．”这位同学想了想说：“我还是只多买1瓶指定饮料吧，麻烦您以最便宜的方式给我结账，谢谢！”这位同学要付的金额是（    ） A．55 B．54 C．58 D．61 【答案】A 【分析】设价格较低的快餐的单价为x元，则价格较高的快餐的单价为（x+6）元，根据“你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样”即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其价格较高的快餐搭配1瓶指定饮料，求出该同学应付金额即可得出结论． 【详解】解：设价格较低的快餐的单价为x元，则价格较高的快餐的单价为（x+6）元， 依题意得：x+（x+6）=29×2， 解得：x=26， ∴x+6=26+6=32， ∴这位同学要付的金额是x+29=26+29=55． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）梦洁和嘉丽是邻居，星期天他们两家人准备去郊外的农家乐游玩，早上两家人同时乘坐了两辆不同价格的出租车，梦洁家乘坐的是起步4公里8元，以后每公里收1.2元，嘉丽家乘坐的是起步3公里6元，以后每公里收1.3元，两家人几乎同时到达农家乐，付款后梦洁发现两家人的车费仅差1.5元．则两家住地离公园的路程为 公里． 【答案】26 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得两家住地离公园的路程，注意路程为正数． 【详解】解：设两家住地离公园的路程为x公里， 由题意得：或， 解得：或， ∵x为正数， ∴， 故答案为：26． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．先根据“遇见影城”的优惠方式可计算出总费用；然后设６人中学生x人，则成年人人，根据“时光影城”的优惠方式计算费用列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解∶共有6人看电影，根据“遇见影城”的优惠方式总费用为： (元)， ．购票的总费用是240元； 设6人中学生x人，则成年人人， 根据“时光影城”的优惠方式计算费用得： ， 解得：． 故答案为：2． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）（用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元）     优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 （包含100） 无优惠 （包含200） 无优惠 （包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算； (2)小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由． 【答案】(1)甲 (2)应选择甲超市，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）计算在甲、乙超市购物分别所付的费用，再比较大小即可得出结论； （2）先求出234元在甲超市能购买的商品原价，再通过列一元一次方程求出在乙超市能购买的商品原价，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：在甲超市购物所付的费用为：（元）， 在乙超市购物所付的费用为：（元）， ， 去甲超市更划算． 故答案为：甲． （2）解：应选择甲超市，理由如下： 在甲超市能购买的商品原价为：（元）， 设在乙超市能购买的商品原价为元， 由题意得，， 解得：， ， 为了买到原价最多的商品，应选择甲超市． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（24-25六年级上·上海长宁·期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程，根据一个两位数的表示方法：，结合个位数字与十位数字的和为9，以及个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，列出方程即可．找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原两位数的十位数字是x，由题意，得：； 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，一个小组同学尝试将数字，，，，，，0，1，2，3，4，5这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“使6条边上四个数之和都相等”列方程求解．找到相等关系是解题的关键． 【详解】解：设每条边上四个数之和为， 则我们可以确定其中有三个数的边上的圆圈里的数， ， ， 将其填入相应的圆圈中，如图， 再求另外两个空圆圈里的数， ， ， 将其填入相应的圆圈中，如图， 统计已填入的具体数有，，，，，，0，1，2，3，4，5， 没有填入的数有：，2，3， ∵与相差1， ∴，， ∴，， ， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·开学考试）我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设，由，得：，，于是，即，解方程得，于是得，则无限循环小数化成分数为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程的应用，循环小数，设，则，将它们作差后解方程即可． 【详解】解：设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海崇明·期末）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一、图1即洛书，将其圆圈个数按顺序填入正方形方格中，就得到了一个幻方（图2）即满足每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的三个数字之和都相等．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个幻方，则 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程，再计算即可． 【详解】解：根据题意可得， 移项得， 故答案为：2． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）【理解概念】 若将一个自然数各位上的数字按照从高位数字到低位数字排成一列后，后一个数减去前一个数的差是一个常数，则这个数叫作“幸福数”．如：四位数2468排成一列后为：2，4，6，8．因为，且差为2是常数，故2468是一个差为2的四位“幸福数”．又如，9876，6666等也是“幸福数”． 若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个数为“三生三世数”．例如：3579与9753，8765与5678，…，都是“三生三世数”． 规定：把高位数字为x，差为2的三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和与222的商记为． 【运用概念】 例如：当时，三位“幸福数”为135，它的“三生三世数”为531，三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和为，，所以． （1）计算：，； 【拓展创新】（2）已知，求x的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据题意可得“幸福数”与“三生三世数”，然后按所规定的运算顺序进行计算即可得； （2）设三位数的最高位为，根据定义表示出“幸福数”与“三生三世数”，然后按规定的运算顺序列出方程，解方程即可得． 本题主要考查阅读类题型的理解能力和数据的整理能力，用含的式子正确表示是解此题的关键． 【详解】解：（1）由题可知， 当时，“幸福数”：246；“三生三世数”：642， ； 同理可得，当时，“幸福数”：579；“三生三世数”：975， ； （2）设三位数的最高位为x，则“幸福数”：；“三生三世数”： 又∵， ∴， 解得，． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）如图，一个长方形的周长为26，如果这个长方形的长减少4，宽增加3，就可围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（   ）      A．11，2 B．10，3 C．8，5 D．7，6 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，熟练掌握长方形周长及正方形边长相等是解决问题的关键． 根据题意，设这个长方形的长为，由一个长方形的周长为26得到长方形的宽为，从而由这个长方形的长减少4，宽增加3，就可以围成一个正方形得到，解得，从而得到长方形的长与宽． 【详解】解：设这个长方形的长为， ∵长方形的周长为26， ∴长方形的宽为， ∵这个长方形的长减少4，宽增加3，就可以围成一个正方形， ∴，解得：， ∴长方形的宽， 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海静安·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求得，，，故可列式，计算求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵结合图形可得，，， ∴，，， ∴“优美矩形”的周长为， 又∵“优美矩形”的周长为， ∴， 解得：， ∴正方形的边长为， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）在数轴上，点、在原点两侧且到原点的距离均为3厘米（点在点左侧）．现有动点、分别从、两点向右沿正半轴方向运动，速度分别为每秒4厘米和每秒2厘米，当、两点相距1厘米时，经过的时间是 秒． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及一元一次方程的应用，正确理解题意，注意分类讨论是解题的关键． 由题意可得，表示，表示3，设运动时间为秒，则由题意得秒或表示的数为，表示的数为，则，解方程即可． 【详解】解：由题意可得，表示，表示3，设运动时间为秒， 则秒时，表示的数为，表示的数为， 由题意得： ∴或， 分别解得：或， 故答案为：秒或秒． 3．（24-25六年级上·宝山·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为，3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，折叠点为，则点表示的数为_____，与重合的点为_____； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由； (3)点、点分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点以6个单位长度/分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1；4 (2)存在，的值为或4 (3)24个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，理解题意正确列出方程是解题的关键． （1）由折叠的性质可知，点为点与点的中点，求出点表示的数，设与重合的点为，列出方程解出的值，即可得出答案； （2）分三种情况①点在点的左侧；②点在点和点之间；③点在点的右侧，分别列出方程，求出对应的值，即可解答； （3）设经过分钟后点与点重合，根据题意列出方程，解出的值，即可求出点所经过的总路程． 【详解】（1）解：由题意得，点为点与点的中点， 点表示的数为， 设与重合的点为， 由题意得，， 解得：， 与重合的点为4． 故答案为：1；4． （2）解：若点在点的左侧，则，， 点到点、点的距离之和为6， ， 解得：； 若点在点和点之间，则，， 此时，不符合题意； 若点在点的右侧，则，， 点到点、点的距离之和为6， ， 解得：； 存在点，的值为或4． （3）解：设经过分钟后点与点重合， 由题意得，， 解得：， 当点与点重合时，点所经历的运动时间为4分钟， 点所经过的总路程是个单位长度． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图所示，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形空白（图中阴影部分）．已知每张卡片的短边长度是12厘米，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程思想求解几何应用题，关键找到等量关系；根据图中可知：3个短边3个长边5个长边，小正方形的边长长边短边．两个等量关系可求解． 【详解】设长方形卡片的长为， 依题意得：， 解得：； 设图中小正形的边长为， 依题意得：， ∴图中阴影部分的面积为：． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（24-25六年级上·湖上海闵行·阶段练习）学校在一次研学活动中，师生乘坐客车前往，若每辆客车乘30人，则还有8人不能上车；若每辆客车乘38人，则少用了一辆车，并空了2个座位．则师生人数一共为（    ） A．188人 B．158人 C．97人 D．48人 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．师生一共有x人，根据若每辆客车乘30人，则还有8人不能上车；若每辆客车乘38人，则少用了一辆车，并空了2个座位列方程求解即可． 【详解】解：师生一共有x人，由题意得， ， 解得， 经检验符合题意． 故选A． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）把1~9这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”。如图所示是可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第二行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意得：x+8=7+5， 解得x=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程是解题的关键． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）某企业原有管理人员和营销人员人数之比是3：2，总人数为180人，为了扩大市场，应从管理人员中抽调 人参加营销工作，就能使营销人员是管理人员人数的2倍． 【答案】 【分析】先求得原有管理人员和营销人员的人数，再设从管理人员中抽调人参加营销工作，就能使营销人员是管理人员人数的2倍，列方程求解即可． 【详解】解：原有管理人员和营销人员人数之比是3：2，总人数为180人， 则原有管理人员有（人），原有营销人员有（人） 设从管理人员中抽调人参加营销工作，就能使营销人员是管理人员人数的2倍 则 解得 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确的列出一元一次方程． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）甲、乙两个工程队，甲队人数是乙队人数的1.2倍，现在从甲队中抽出24人到乙队，这样乙队人数就是甲队人数的1.5倍，求乙队原来有多少人？若设乙队原来有人，可列方程 ． 【答案】 【分析】设乙队原来有人，则甲队原来有人，然后根据“从甲队中抽出24人到乙队，这样乙队人数就是甲队人数的1.5倍”列方程即可． 【详解】解：设乙队原来有人，则甲队原来有人， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）王芳和张华同时采摘樱桃，平均每小时王芳比张华多采摘，两人半小时共采摘． (1)王芳和张华平均每小时各采摘多少樱桃？ (2)两人共同采摘了若干小时后，王芳从她采摘的樱桃中取出给了张华，这时两人的樱桃一样多．她们共同采摘了多长时间？ 【答案】(1)王芳和张华平均每小时分别采摘樱桃， (2)她们共同采摘了2小时 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键． （1）设王芳平均每小时采摘樱桃，根据两人半小时共采摘列方程求解即可； （2）设她们共同采摘了y 小时，根据王芳从她采摘的樱桃中取出给了张华，这时两人的樱桃一样多列方程求解即可． 【详解】（1）解：设王芳平均每小时采摘樱桃，则张华平均每小时采摘樱桃．     根据题意，得．      解这个方程，得．     所以 答：王芳和张华平均每小时分别采摘樱桃，． （2）解： 设她们共同采摘了y 小时． 根据题意，得，       解这个方程，得．      答：她们共同采摘了2小时． 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小莉家该月用水x吨，根据水费的计算方法，每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元，超过10吨的部分每吨3.5元，将x吨水分为两部分，10吨和超过10吨的部分，分别算出水费相加，列出关于x的方程即可． 【详解】解：设小莉家该月用水x吨，根据题意得： ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，是解题的关键． 1．（2025七年级·上海嘉定·专题练习）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（    ）元． 汽车修理费x元 赔偿率 0＜x≤500 60% 500＜x≤1000 70% 1000＜x≤3000 80% … … A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5 【答案】B 【分析】根据表可以首先确定此人的修理费应该大于1000元，并且小于3000元，则赔偿率是80%，则若修理费是x元，则在保险公司得到的赔偿金额是(x-1000) ×0.8+300+350元 ，就可以列出方程，求出x的值． 【详解】解：∵500×60%＝300（元）， （1000﹣500）×70%＝500×70%＝350（元）， （3000﹣1000）×80%＝2000×80%＝1600（元）， 且300＜2000，300+350＝650＜2000，300+350+1600＝2350＞2000， ∴此人的汽车修理费x的范围是：1000＜x≤3000， 可得，300+350+（x﹣1000）×80%＝2000， 解得x＝2687.5， ∴此人的汽车修理费是2687.5元， 故选：B． 【点睛】解决问题的关键是读懂题意，确定修理费的范围，正确表示出赔偿金额是解决本题的关键． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度比第一档提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度比第一档提价0.3元，某居民家12月份用电165度，则该居民12月份需要交电费 元；如果该居民12月份交电费222元，则该居民家12月份用电 度． 【答案】 99 360 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由，利用该居民12月份需要交电费的金额该居民12月份的用电量，可求出该居民12月份需要交电费的金额；设该居民家12月份用电x度，求出用电量为240度及400度时需交电费金额，由，可得出，再根据该居民12月份交电费222元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴该居民12月份需要交电费（元）； 设该居民家12月份用电x度， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：， 即该居民家12月份用电360度． 故答案为：99，360． 3．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）为了促进节约用水，合理配置水资源，提高用水效率，促进水资源可持续利用，上海嘉定各地正逐渐推广和实行阶梯水价政策．“阶梯水价”是指对使用自来水的用户实行分类计量收费和超定额累进加价制的收费方式．这种收费方式将水价分为多个阶梯，每一阶梯都有一个固定的单位水价，但单位水价会随着用水量的增加而逐步提高．阶梯式计量水费第一级水价第一级水量基数第二级水价第二级水量基数第三级水价第三级水量基数． 以下为某市的水费价目表（水费按月缴纳）： 第一级水价：月用水量不超过16吨的部分（含16吨），每吨2元． 第二级水价：月用水量超过16吨但不超过30吨部分（含30吨），每吨元． 第三级水价：月用水量超过30吨的部分，每吨元． (1)若某月李华家用水量为24吨，则水费为______元；某月张磊家用水量为x（）吨，则用含x的式子表示张磊家当月应缴纳的水费为______元． (2)若小杨家8月份和9月份共用水70吨（其中8月份用水量超过16吨但不超过30吨，9月份用水量超过了30吨），一共缴纳的水费为231元，问小杨家8月份和9月份各用水多少吨? 【答案】(1)60； (2)8月份共用20吨水，则9月份共用50吨水 【分析】本题主要考查了列代数式及有理数的混合运算，理解题中所给收费标准及对用水量进行正确的分类讨论是解题的关键 （1）根据该户居民的用水量，发现，再结合题中所给相应阶梯的收费标准即可解决问题；张磊家用水量为x（）吨，结合题中所给相应阶梯的收费标准即可解决问题； （2）设8月份共用a吨水，则9月份共用吨，根据相应阶梯的收费标准列式求出a的结果，进而得出结果． 【详解】（1）解： （元）； 元， 故答案为：60； （2）设8月份共用a吨水，则9月份共用吨水， ， 解得：， 故吨， 答：8月份共用20吨水，则9月份共用50吨水． 4．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元／） 第一档气量 不超出的部分 第二档气量 超出不超出的部分 a 第三档气量 超出的部分 (1)若甲用户今年已使用天然气，共缴费用1632元，求a的值； (2)在（1）的条件下，若某用户年用气量为，请用含x的式子表示每年支出的燃气费． 【答案】(1) (2)当时，每年支出的燃气费为元；当时， 每年支出的燃气费为元，当时，每年支出的燃气费为元． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用； （1）由分段计费可得：，再解方程即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，再列代数式并化简即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为3． （2）解：当时，每年支出的燃气费为元； 当时， 每年支出的燃气费为元， 当时， 每年支出的燃气费为： 元． 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（24-25六年级上·上海闵行·期末）幼儿园的老师给班上的小朋友分发糖果每人分发4个糖果还多了5个，每人分发5个糖果还缺10个，则小朋友的数量和糖果的数量分别是（　　） A．10，45 B．15，65 C．10，65 D．20，85 【答案】B 【分析】设小朋友的数量是x人，则糖果的数量为（4x+5）颗，再根据每人分发5个糖果还缺10个，列出方程求解即可． 【详解】解：设小朋友的数量是x人，则糖果的数量为（4x+5）颗， 由题意得：， 解得， ∴小朋友的数量为15人， ∴糖果的数量是4×15+5=65颗， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系进行求解． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，首先理解题意找出题中存在的等量关系：原来拔草的人数支援拔草的人数(原来植树的人数支援植树的人数)，根据此等式列方程即可． 【详解】解：设支援拔草的有人，则支援植树的为人，现在拔草的总人数为人，植树的总人数为人． 根据等量关系列方程得，． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海金山·期中）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升． 【答案】12 【分析】先将单位换成升，根据：单位的粟，可换得单位的粝米．……，列比例式计算可得结论． 【详解】解：根据题意得：2斗升， 设可以换得的粝米为x升， 则， 解得：， 故2斗的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为12升． 故选：12． 【点睛】本题考查了比例的应用，本题首先要弄清题意，正确列比例式是解决本题的关键． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·开学考试）甲、乙两根绳共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是3∶2，甲、乙两根绳原来各长多少米？ 【答案】甲绳原来长为10米，乙绳原来长为12米． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，根据比例关系列出方程是解题关键．设甲绳原来长为x米，则乙绳原来长为米，根据题意可求出甲绳截去后长为米，进而由比例关系可列出方程，求解即可． 【详解】解：设甲绳原来长为x米，则乙绳原来长为米， 甲绳截去后长为米， 所以， 解得：， 所以甲绳原来长为10米，乙绳原来长为米． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2)①见解析；②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）将偶数由小到大按顺序排列如图所示，任意选取“”型框中的5个数（如阴影部分所示），则这5个数的和不可能是（    ） A．224 B．354 C．574 D．614 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设第一个数为，则其他数字为：，，，，根据题意列出方程，解方程分别讨论．根据108在表中的第6列，即可求解． 【详解】解：设第一个数为，则其他数字为：，，，， ，解得：，在第1列，则这5个数的和可以为224； ，解得：，在第2列，则这5个数的和可以为354； ，解得：，在第4列，则这5个数的和可以为614； ，解得：． 又108在表中的第列， 这5个数的和不可能是． 故选：C． 1．（24-25六年级上·上海长宁·期末）在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（　　） A．54 B．62 C．65 D．75 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设三个数中最小的数为x，则另外两数分别为，，令三个数之和分别为四个选项中的数，解之即可得出x的值，再结合月历表的特征注意判断即可． 【详解】解：设三个数中最小的数为x，则另外两数分别为，， ∴三个数的和为， 依题意得：， 解得，由月历表可知此时框出的三个数是11，18，25，故A符合题意； ，解得，不是整数，故B不符合题意， ，解得，不是整数，故C不符合题意， ，解得，由月历表可知此时不能框出符合题意的三个数，故D不符合题意， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·课后作业）如图，在一个月历上的5个数的和为75，则B和D分别是 号、 号． 【答案】 14 8 【分析】根据月历上的规律，设中间A处的数为x，表示出B、C、D、E代表的数，再列方程求解即可． 【详解】月历上横向相邻的两数相差1，纵向相邻的两个数相差7， 设中间A处的数为x，则B、C分别为，，D、E分别为，， 由题意得：， 解得：x=15， ∴，，即B是14号，D是8号． 故答案为：14，8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确日历上的数据规律，找准等量关系是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）如图是11月的月历． （1）如图1，带阴影的方框是同一列的连续三个数，不改变阴影的方框的大小，可以在月历中移动方框的位置． ①若设方框中最中间的数为x，则方框最上面的数为 ，方框最下面的数 ． ②在①条件下，若方框里三个数的和为54，请求出这三个数． （2）如图2，带阴影的框是“z”字型框，判断其方框中的五个数的和是否为5的倍数？若不改变阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，方框中的五个数的和是否仍为5的倍数？并说明理由．    【答案】（1）①，；②这三个数是11，18，25；（2）方框中的五个数的和是5的倍数；将方框移动，方框中的五个数的和是否仍为5的倍数． 【分析】（1）①设三个数中中间的数为x，根据日历中同一列上下相邻的数相隔7表示另外两个数即可； ②根据三个数之和为54列出方程，进而求解即可； （2）根据图形分别写出5个数，计算即可求解；设“z”字型框中中间的数为y，根据日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7表示另外三个数，根据整式的加减，进而求解即可． 【详解】解：（1）①设三个数中中间的数为x， 则方框最上面的数为，方框最下面的数， 故答案为：，； ②根据题意得：， 解得， 则． 答：这三个数是11，18，25； （2）这5个数分别是2，3，10，17，18， ∴， ∴方框中的五个数的和是5的倍数； 设“z”字型框中中间的数为y， 根据题意得：， ∴将方框移动，方框中的五个数的和是否仍为5的倍数． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用．解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第一次上海嘉定代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领上海嘉定各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】这个最小数是12 【分析】设这个最小数为x，则四个数分别为x，x+1，x+7，x+8，根据圈出的这四个数的和是64，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这个最小的数是. 根据题意，得. 解，得. 答：这个最小数是12. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（2025·上海宝山·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”大意为：“甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步．现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？设甲走了x步才追上乙，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据甲的路程减去100等于乙在和甲相同时间内所走的路程，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得，甲走的时间为：，故可列方程为： ； 故选A． 1．（2025·上海静安·模拟预测）宋元时期朱世述所著的《四元宝鉴》中记载了一则李白沽酒的数学故事：李白提着酒壶去沽酒，他每遇到一个店，就把壶中的酒加上1倍，每见一次花，来了诗兴，就喝1斗酒．就这样三次遇上店和花，壶中的酒便喝光了，求壶中原有多少酒？设壶中原有斗酒，可以列得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系． 设壶中原有斗酒，根据壶中酒的数量列出方程即可． 【详解】解：设壶中原有斗酒，根据题意得， ， 故选：B． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的钱数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱．答：甲的钱数是 ，乙的钱数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲原有x钱，则乙原有钱，根据题意可得甲所有钱的乙的钱，据此列方程可求解． 【详解】解：设甲原有x钱，则乙原有钱，根据题意，得： ，解得， 则， 故答案为：，． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 【答案】共有人，辆车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 设共有人，根据车的辆数不变列出方程解答即可． 【详解】解：设共有人， 由题意，得， 解得， 所以， 答：共有人，辆车． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期末）在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 【答案】（1）画图见解析；（2）快马20天可以追上慢马． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意画图表示即可； （2）设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程快慢马速度之差快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）如图所示： （2）设快马x天可以追上慢马， 由题意，得， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 【拓展训练一 一元一次方程与数轴应用】 1．（25-26六年级上·上海松江·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，B点对应的数为18．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位秒的速度向右运动． (1)线段的中点M所对应的数是 ； (2)两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，点C对应的数是 ； (3)当电子蚂蚁P运动到点A后又以相同的速度向右运动，当它们运动 秒时，两只电子蚂蚁间的距离为10个单位长度？ 【答案】(1)3； (2)0； (3)2或4或10或20． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，中点的定义，两点之间的距离等知识点，掌握路程=速度×时间以及数形结合的思想是解题的关键． （1）计算出线段之间的距离，根据中点的定义即可知道M所在位置； （2）设两只电子蚂蚁在数轴上的点C 相遇所用时间为t秒，根据路程=速度×时间建立方程，解方程即可； （3）设当它们运动x秒时，两只电子蚂蚁间的距离为10个单位长度，分四种情况讨论：电子蚂蚁P、Q未相遇前；电子蚂蚁P、Q相遇后，P未到A时；电子蚂蚁P未追上电子蚂蚁Q时；电子蚂蚁P追上电子蚂蚁Q时；列方程分别求解即可． 【详解】（1）解: A、B间距离为：， ， 所以线段的中点M在B点左侧且距离B点15个单位长度， 所以线段的中点M所对应的数是3； 故答案为：3； （2）设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇所用时间为t秒， 则： 解得：， ， 所以两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇时，C点在B点左侧且距离B点18个单位长度， 所以点C对应的数是0； 故答案为：0； （3）设当它们运动x秒时，两只电子蚂蚁间的距离为10个单位长度，则： 电子蚂蚁P、Q未相遇前， 解得：， 电子蚂蚁P、Q相遇后，P未到A时， 解得：， 当电子蚂蚁P运动到点A时所用时间为：（秒）， 此时另一只电子蚂蚁Q运动路程为：，两只蚂蚁相距20， 电子蚂蚁P运动到点A 后又以相同的速度向右运动， 电子蚂蚁P未追上电子蚂蚁Q时， 解得：， 电子蚂蚁P追上电子蚂蚁Q时， 解得：， 所以当电子蚂蚁P运动到点A后又以相同的速度向右运动，当它们运动2秒或4秒或10秒或20秒时，两只电子蚂蚁间的距离为10个单位长度． 故答案为：2或4或10或20． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ (3)在(2)中与点重合时，点立即掉头，保持速度不变向右运动，运动到点时又再次掉头，以同样的速度向左运动，求点与点又经过多少秒相遇？相遇点代表的数是多少？ 【答案】(1) (2)当点运动秒时，点与点相遇 (3)点与点又经过秒相遇，相遇点代表的数是 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意结合数轴可得数轴上点表示的数是，即可求解； （2）设当点运动秒时，点与点相遇，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）当点，第一次相遇时，点运动的路程为．设点与点又经过秒相遇，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为， 数轴上点表示的数是． 故答案为：； （2）设当点运动秒时，点与点相遇， 根据题意得：， 解得：． 答：当点运动秒时，点与点相遇； （3）当点，第一次相遇时，点运动的路程为． 设点与点又经过秒相遇， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：点与点又经过秒相遇，相遇点代表的数是． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 【答案】【简单应用】（1）；（2）或；【拓展运用】第秒、第秒时、两点相距个单位长度 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， 简单应用： （1）根据题目给定的距离及中点公式即可求得； （2）利用点与点的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； 拓展运用:结合运动方式写出点和点在秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：简单应用：（1）∵点在数轴上所对应的数为，点表示的数为， ∴， 、两点的中点表示的数为． 故答案为：， （2）∵若、两点间的距离，点在数轴上所对应的数为， 当点在点左边时，则点的为：， 当点在点右边时，则点的为：， 故答案为：， 拓展运用: 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距个单位长度， 当点在点左侧时： 解得； 当点在点右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒或秒会相距个单位长度． 【拓展训练二 一元一次方程综合应用】 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 【答案】(1)篮球的进价为元，足球的进价为元 (2)购进篮球个，购进足球个 (3)元 【分析】（）设足球的价格为元，则篮球的价格为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进篮球个，则购进足球个，根据题意求出单个篮球和足球的利润，进而列出方程解答即可求解； （）分别求出活动后单个篮球和足球的利润，进而根据题意列出算式计算即可； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设足球的价格为元，则篮球的价格为元， 根据题意得，， 解得， ∴， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元； （2）解：设购进篮球个，则购进足球个， 由题意得，篮球的标价为元，足球的标价为元， ∴单个篮球的利润为元，单个足球的利润为元， ∴， 解得， ∴， 答：购进篮球个，购进足球个； （3）解：由题意得，篮球售价为元，单个利润为元，足球剩下部分售价为元，单个利润为元， ∴利润为：元， 答：该店可获得利润元． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）小明在数学活动课上学习了木杆挂重物问题，觉得意犹未尽，在课余时间制作了如图简易杆秤，其中秤盘质量，秤砣质量，秤纽与秤盘的水平距离为 ，秤纽与零刻线的水平距离为，零刻线与末刻线水平距离为．当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． (1)求l，a的值； (2)小明将数学教材放在秤盘上，秤砣位于零刻线右侧处时，杆秤平衡，求数学教材的质量． 【答案】(1)， (2)数学教材的质量为 【分析】本题考查了杠杆平衡原理的应用及一元一次方程的求解，解题的关键是根据杆秤平衡时“动力动力臂阻力阻力臂”的原理列出方程，进而求解未知量． （1）根据秤盘不放重物、秤砣在零刻线时杆秤平衡的条件，列出关于l和a的第一个方程；再根据秤盘放入重物、秤砣在末刻线时杆秤平衡的条件，结合零刻线与末刻线的距离列出第二个方程，联立求解得到l和a的值． （2）设数学教材的质量为未知数，根据秤盘放教材、秤砣在零刻线右侧处时杆秤平衡的条件，利用杠杆平衡原理列出方程，求解得出教材质量． 【详解】（1）∵秤盘不放重物，在零刻线时，杆秤平衡， ∴． ∴， 当秤盘放入质量为的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． ， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）设数学教材的重量为， ∴， ∴， 答：数学教材的质量为． 【拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）下列是用木棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图形中共有______根木棒，第7个图形中共有______根木棒； (2)第n个图形中共有______根木棒（用含n的式子表示）；第______个图形中有根木棒； (3)请判断上组图形中前个图形木棒数的总和是否为的倍数，填______（是或否）． 【答案】(1) (2)， (3)是 【分析】本题考查了图形规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据图形即可确定木棒的根数； （2）由（1）即可得出一般规律求解； （3）前个图形木棒数的总和为，将该式化简即可判断． 【详解】（1）解：第1个图形中共有木棒：（根）； 第2个图形中共有木棒：（根）； 第3个图形中共有木棒：（根）； ∴第4个图形中共有木棒：（根）； 第7个图形中共有木棒：（根）； 故答案为： （2）解：由（1）得：第个图形中共有木棒：（根）； 令， 解得： 故答案为：， （3）解：前个图形木棒数的总和为： ∴前个图形木棒数的总和是的倍数， 故答案为：是 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）数学综合与实践课上，王老师和同学们一起利用循环小数的循环规律，根据设计了“”的图案（教材第70页）．我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．我们以无限循环小数为例进行探究：设…，两边同乘以10得：，即，解得， ∴．请仿照这一方法解决以下问题： (1)无限循环小数写成分数为 ． (2)大小比较： 　　1．（选填“＞”“＝”或“＜”） (3)请把无限循环小数写成分数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题干转化思想是解题关键． （1）设，两边同乘以10，得到，求出的值； （2）设，两边同乘以10，得到，求出，即可得到答案； （3）设，两边同乘以100得到，解得：，再根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 两边同乘以10得：，即， 解得：，即无限循环小数写成分数为， 故答案为； （2）解：设， 两边同乘以10得：，即， 解得：，即无限循环小数写成， 即， 故答案为：； （3）解：设， 两边同乘以100得，，即， 解得：，即无限循环小数写成分数为， 则． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）【背景知识】 本学期我们学习了“字母表示数”，利用字母表示数或数量关系，获得一般规律，进而可以进行推理和判断．如图． 课堂上，我们用字母表示正方形的个数，根据火柴棒摆放的规律，进一步用字母描述了正方形的个数和火柴棒的根数之间的关系，从而可推断搭个这样的正方形需要根火柴棒． 【问题情境】 利用数轴上的点所表示的数的直观特点，借助字母表示数，可以进一步研究数字的一般规律问题． 已知：如图所示，在数轴上原点表示数是，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为5，点P为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 （1）求的值； （2）当为线段中点时，求的值； （3）在数轴上是否存在一点，使点到点，点的距离和为19？若存在，求出点表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为，的值为3；（2）8；（3）存在，或10 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题． （1）由点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2，即可得出的值，由点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为5，可得，即可得出的值； （2）由为线段中点可得，即可得出答案； （3）分两种情况：当在左侧时，当在的右侧时，分别列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2； ， ∵点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为5， ， 解得； 的值为，的值为3； （2）为线段中点， ， 解得， 的值为8； （3）在数轴上存在一点，使点到点，点的距离和为19， 理由如下： 当在左侧时，， 解得； 当在的右侧时，， 解得； ∴点表示的数为或10． 1．（25-26六年级上·上海闵行·开学考试）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本：如果每人分4本，则缺25本，设有x名学生，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程，设有x名学生，依题意列出方程即可，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有x名学生， 依题意得， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）小云在某月的月历中圈出了三个日期a，b，c，并求出它们的和为27，则这三个日期在日历中的排布不可能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是要清楚的知道日历中每个数都是整数，且上下相差7，左右相邻的数相差1．根据日历中每个数都是整数，且上下相差7，左右相邻的数相差1，再依次列出方程求解判断即可． 【详解】解：设日期b所表示的数是x， A． ，故此选项不符合题意； B． ，故此选项不符合题意； C． ，故此选项不符合题意； D． ，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都一样．如图2是一个不完整的幻方，如果同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为（   ） A．5 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据九宫格特点“同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等”列出等式解题即可． 【详解】解：设正中间的方格中的数字为，如图所示， ∵同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等 则 ∴ 解得：， 故选：B． 4．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）如图，一块长、宽的长方形纸板，一块长、宽的长方形纸板，与一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小正方形的边长为，依据小正方形的边长的表达式，可得方程，进而得出大正方形的边长及面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 依题意得， 解得， ， ∴大正方形的边长为厘米， ∴大正方形的面积是（平方厘米）， 答：大正方形的面积是平方厘米． 故选：D 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）强强利用两个完全相同的瓶子和一些沙子做成了如图所示的沙漏（两瓶子的瓶底相连，中间有一个小孔）．初始时刻上方瓶子中沙子的高度为，终止时刻下方的瓶子中空余部分的高度为．若每个瓶子的容积都为，则沙子的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，圆柱体的容积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．此题还有注意单位的统一．设瓶子的底面积为S，根据沙子的体积+空余部分的体积=2000列方程求解即可． 【详解】解：设瓶子的底面积为S ， 初始时刻时，沙子的体积是， 终止时刻时，空白部分的体积是 根据题意列方程得，， 解得， ， 故选B． 6．（24-25六年级上·上海长宁·期末）某种商品进价为每千克元，按标价的八折销售时，利润率为，则这种商品每件的标价为 ． 【答案】每千克元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这种商品每件的标价为x元，利用利润=售价-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这种商品每件的标价为每千克x元， 根据题意得：， 解得：， 这种商品每件的标价为每千克元． 故答案为：每千克300元． 7．（24-25六年级上·上海虹口·开学考试）某班学生分两队参加劳动，其中甲队人数是乙队人数的2倍，后因劳动需要，从甲队抽调16人支援乙队，使得甲队人数比乙队人数的一半少3人，则甲队原有 人． 【答案】28 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设乙队原来的人数为x人，甲队原来的人数为人，根据从甲队抽调16人支援乙队，使得甲队人数比乙队人数的一半少3人列方程解决即可． 【详解】解：设乙队原来的人数为x人，甲队原来的人数为人． 根据题意，得．　　 解得．　　 当时， ， 则甲队原有28人， 故答案为：28． 8．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）两车同时从甲、乙两地相对开出，A车每小时行60千米，B车速度是A车速度的，经过10小时两车相距200千米，则甲、乙两地相距 千米． 【答案】1500或1100 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙两地相距千米，分两车相遇前相距200 和相遇后两车相距200 两种情况列方程计算即可． 【详解】解：设甲、乙两地相距千米， 根据题意得：或， 解得：或1100 ， 故答案为：1500或1100． 9．（24-25六年级上·上海嘉定·开学考试）【数阵图】如图，要把1到10这10个数填入圈内，使外面5个三角形中的数等于其所在三角形的三个顶点上的数的和，那么 ． 【答案】16 【分析】本题考查数字问题，计算5个三角形各顶点上的数的和时，外面5个圆圈中的数各被加了一次，而里面5个圆圈的数各被加了两次，由此可解． 【详解】解：外面5个三角形中的数等于其所在三角形的三个顶点上的数的和， ， ， ， 故答案为：16． 10．（2025·上海青浦·模拟预测）小亮利用杠杆原理（动力动力臂=阻力阻力臂）制作了如图所示的天平（杠杆、托盘质量忽略不计），然后用它来称取物品质量．如图1，当天平左盘放置质量为的物品，右盘中放置砝码时，天平平衡．如图2，将某物品放在右盘后，左盘放置砝码，才可使天平再次平衡，则该物品的质量是 g． 【答案】40 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设该药品质量为x克，根据“动力×动力臂=阻力×阻力臂”得，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设该药品质量为x克， 由题意可得： 解得． 故答案为：． 11．（25-26六年级上·上海普陀·开学考试）两个工程队合作修建一条长900米的公路，他们各从公路的一端同时相向施工．甲队每天修建35米，乙队每天修建25米，两队修建几天可以完成任务？（用方程解） 【答案】15天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程成为解题的关键． 设两队修建x天可以完成，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设两队修建x天可以完成，得： ， ， ， ． 答：两队修建15天可以完成任务． 12．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）由于换季，某品牌鞋店准备对某款鞋打折出售，如果按原售价的七折出售，将亏损19元，而按原售价的八五折出售，将盈利26元．问该款鞋的原售价是多少元？ 【答案】该款鞋的原售价是300元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该款鞋的原售价为元，根据“按原售价的七折出售，将亏损19元，而按原售价的八五折出售，将盈利26元”列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设该款鞋的原售价为元， 根据题意得 解得， 故该款鞋的原售价是300元． 13．（24-25六年级上·上海宝山·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 【答案】(1)若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇 (2)若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可； （2）设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇． （2）解：设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇． 14．（25-26六年级上·上海青浦·阶段练习）已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题： (1)运动前线段的长为______；运动1秒后线段的长为______； (2)运动秒后，点，点运动的距离分别为______和______； (3)求为何值时，点与点恰好重合； (4)在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为5，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6；4 (2)； (3)的值为3时，点与点恰好重合 (4)t的值为或，理由见解析 【分析】本题考查数轴、一元一次方程等知识，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式，学会构建方程解决问题． （1）根据两点间距离公式计算即可； （2）根据题意计算即可； （3）由（2）可得，点A表示的数为，点B表示的数为，令点A和点B表示的数相等构建方程，即可解决问题； （4）分点A在点B左侧和点A在点B右侧两种情形构建方程，即可解决问题． 【详解】（1）解： ， 由题意得，运动1秒后，A表示，B表示， ∴ ， 故答案为：6，4； （2）解：由题意得，运动秒后，点运动的距离为，点运动的距离， 故答案为：，； （3）解：由（2）可得运动秒后，点的位置为，点B的位置为， 当点A与点B恰好重合时，， ， ， ， 故t的值为3时，点A与点B恰好重合； （4）解：存在，理由如下： 由（3）可知，t秒时点A表示的数为：，点B表示的数为：， 当点A在点B左侧时：， ， ， ， 解得， 当点A在点B右侧时：， ， ， ， 解得， ∴存在某一时刻t，使得线段的长为5，t的值为或． 15．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，在长方形中，，动点沿边从点开始，向点以的速度运动；动点从点开始沿边，向点以的速度运动同时开始运动，当点到达点时，点和点同时停止运动，运动的时间为． (1)当 ___________时，点与点重合； (2)用含的代数式表示线段的长度； (3)当为何值时，？ (4)当点在边上时， ___________时，． 【答案】(1)4 (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用时间线段的长度点的运动速度，即可求出结论； （2）利用时间路程速度，可求出各节点的时间，分及两种情况，用含的代数式表示出的长度即可； （3）分及两种情况考虑，当时，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值； （4）当点在边上时，，此时，根据，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题主要考点了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：， 当时，点与点重合． 故答案为：； （2）解：． 根据题意得：当时，； 当时，． 线段的长度为； （3）解：当时，， 根据题意得：， 解得：； 当时，， 根据题意得：， 解得： 答：当为或时，； （4）解：当点在边上时，，此时， 根据题意得：或， 解得：或， 或时，． 故答案为：或 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程的应用重难点题型专训 （1个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 拓展训练一 一元一次方程与数轴应用 拓展训练二 一元一次方程综合应用 拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题 知识点一：用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海松江·开学考试）一种皮鞋，先按成本价提高后标价，为了促销，又按标价打八折出售，现知每双皮鞋卖出后赚8元，则这种皮鞋的成本价是多少？ 2．（25-26六年级上·上海宝山·开学考试）汉服是传承四千多年的传统民族服装，以清雅平易为主，讲究天人合一．服装厂要生产一批汉服，已完成的与未完成的套数比是．如果再生产600套，已完成的比未完成的少，这批汉服有多少套？ 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·期末）一艘船从甲地到乙地顺水而行，用了3小时；从乙地返回甲地逆水而行，用了4小时．已知水流的速度为每小时4千米，船在静水中的平均速度为每小时x千米，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海长宁·期末）两地相距345千米，一列慢车从地出发，每小时行驶60千米，一列快车从地出发，每小时行驶90千米，快车提前30分钟出发．两车相向而行，慢车行驶了多少小时后，两车相遇，若设慢车行驶了小时后，两车相遇，根据题意，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）一船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用．若设甲、乙两码头的距离为，则可列方程为 ． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲的速度为，乙的速度为，两地相距． (1)求两人相遇的时间； (2)若甲出发时携带一只小狗以的速度奔向乙，遇到乙后立即返回奔向甲，如此反复直至两人相遇，求小狗跑的总路程． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，属于共享经济理念的出行服务．某地滴滴快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：1．车费=里程费+时长费+远途费，其中里程费按行车的实际里程计算； 2．时长费按行车的实际时间计算； 3．远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收元． (1)已知小张从学校乘坐滴滴快车回家，乘车时长为10分钟，没有产生远途费的情况下支付了元车费．试求小张家到学校的里程． (2)星期六早上，小张和聪聪两人从该地出发，各自乘坐滴滴快车去省城参加无人机航展大赛，行车时间分别为分钟、分钟．已知聪聪比小张的行车里程多8公里，两人所付车费、计费项目都相同．设，试求出的值． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材，最多可以制作（   ）张桌子． A．10 B．40 C．160 D．200 1．（24-25六年级上·上海松江·开学考试）某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套？（一个螺栓配两个螺母）设生产螺栓有m人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海长宁·期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有37人，在乙处植树的有32人，由于甲处植树任务较近，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，若设从乙处调配x人去甲处，则可列方程为 ． 3．（24-25六年级上·上海虹口·期末）七年级四班共有学生48人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．每个盒身匹配2个盒底，那么问有多少人制作盒身，多少人制作盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）应用题 (1)小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度． (2)某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作． ①求甲、乙合作多少天才能把该工程完成． ②在①的条件下，甲队每天的施工费用为2500元，乙队每天的施工费用为3000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（24-25六年级上·上海松江·期末）一项工程，甲单独完成需要天，每天需要支付工费元；乙单独完成需要天，每天需要支付工费元．若由甲、乙共同参与，在不超过天的时间内完成该工程，则需要支付的总工费最少是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）一道条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要天完成，，还需要几天完成任务． 根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图，设两队合作还需天完成任务，并列方程为 根据上面信息，下面结论不正确的是（    ）    A．乙队单独完成需要天完成； B．处代表的代数式 C．处代表的实际意义：甲先做天的工作量 D．甲先做天，然后甲乙两队合作天完成了整个工程． 2．（2025七年级·上海嘉定·模拟预测）一个蓄水池中有两个进水管甲、乙和一个排水管丙．单独打开甲进水管，6小时可将空水池注满；单独打开乙进水管，8小时可将空水池注满；单独打开丙排水管，9小时可将满池水排空．如果先将甲、乙两个进水管同时打开2小时，然后再打开丙排水管，那么要将空水池注满总共所需的时间为 小时． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 4．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·期末）某商品每件标价为元，若按标价打8折后，仍可获利，则该商品每件的进价为多少元？若设每件的进价为x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海松江·开学考试）某公园淡季的门票价是60元，比旺季门票便宜20%．这个公园旺季时门票票价多少元？下面四位同学想法，其中错误的是（ ）． A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）某书店同时卖出了进价不同的和两本课外书，售价均为元，按成本计算，书店工作人员发现书盈利了，而书却亏损了，则这次书店是 （从“赚了”“赔了”“不赚不赔”“条件不够无法判断”中选填） 3．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）为响应新农村建设，改善农村居住环境，某村村委会准备购买A，B两种桶装环保漆，对村里古建筑民居进行粉刷，已知A种环保漆每桶价格比B种环保漆多20元，购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元．求A，B两种环保漆每桶价格分别是多少元． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）“一纸书来只为墙，让他三尺又何妨．”闻名遐迩的桐城六尺巷承载着谦逊礼让的深厚文化内涵．吸引着八方游客纷至沓来．六尺巷景区有一家文创小店，小店购进了两种爆款文创产品．一种是带有六尺巷精美壁画图案的折扇，另一种是印着“六尺巷”故事简介与经典诗句的帆布袋，进价与售价如下表： 文创产品 进价 售价 折扇 10 15 帆布袋 16 25 某天，小店卖出的折扇数量比帆布袋数量的2倍还多3个．经计算这两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，请问这天卖出帆布袋和折扇各多少个？ 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（24-25六年级上·上海青浦·期末）某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）某小组5名同学参加一次知识模拟预测，共答20道题，每题分值相同，答对得分，答错或不答扣分，下面是4名同学的得分情况（如表）：下列说法正确的是（    ） 序号 答对题数 答错或不答题数 得分 1 18 2 84 2 17 m 76 3 20 0 100 4 10 10 n A． B．这次知识模拟预测我得了50分 C．如果我多答对一题就可以多拿8分 D．错一题得1分 2．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）某试卷由10道题组成，答对一题得4分，答错一题倒扣1分．有一考生做了全部10道题，得20分，则该考生做对了 道题． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场记0分，一个队比赛了20场，平了5场，共得35分，那么该队负了 场． 4．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）山西某中学举行英语对话听力挑战赛，每位选手共挑战轮，每轮个题目，每轮结果呈现形式为（其中答对题，答错题），每种不同的结果产生的积分也不相同．甲、乙、丙三位同学的挑战结果如下表： 第轮 第轮 第轮 第轮 总积分 甲 乙 丙 (1)结果为，积___________分；结果为，积___________分． (2)设的结果积分，请利用方程的知识，求的值． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（24-25六年级上·上海静安·期末）把一些笔记本分给某班学生，如果每人分2本，则剩余20本；如果每人分3本，则还缺30本，设该班有x名学生，可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购买相差6元的2种快餐各1份，结账时，店员说：“你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样．”这位同学想了想说：“我还是只多买1瓶指定饮料吧，麻烦您以最便宜的方式给我结账，谢谢！”这位同学要付的金额是（    ） A．55 B．54 C．58 D．61 2．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）梦洁和嘉丽是邻居，星期天他们两家人准备去郊外的农家乐游玩，早上两家人同时乘坐了两辆不同价格的出租车，梦洁家乘坐的是起步4公里8元，以后每公里收1.2元，嘉丽家乘坐的是起步3公里6元，以后每公里收1.3元，两家人几乎同时到达农家乐，付款后梦洁发现两家人的车费仅差1.5元．则两家住地离公园的路程为 公里． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）（用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元）     优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 （包含100） 无优惠 （包含200） 无优惠 （包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算； (2)小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（24-25六年级上·上海长宁·期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，一个小组同学尝试将数字，，，，，，0，1，2，3，4，5这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 2．（24-25六年级上·上海徐汇·开学考试）我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设，由，得：，，于是，即，解方程得，于是得，则无限循环小数化成分数为 ． 3．（24-25六年级上·上海崇明·期末）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一、图1即洛书，将其圆圈个数按顺序填入正方形方格中，就得到了一个幻方（图2）即满足每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的三个数字之和都相等．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个幻方，则 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）【理解概念】 若将一个自然数各位上的数字按照从高位数字到低位数字排成一列后，后一个数减去前一个数的差是一个常数，则这个数叫作“幸福数”．如：四位数2468排成一列后为：2，4，6，8．因为，且差为2是常数，故2468是一个差为2的四位“幸福数”．又如，9876，6666等也是“幸福数”． 若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个数为“三生三世数”．例如：3579与9753，8765与5678，…，都是“三生三世数”． 规定：把高位数字为x，差为2的三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和与222的商记为． 【运用概念】 例如：当时，三位“幸福数”为135，它的“三生三世数”为531，三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和为，，所以． （1）计算：，； 【拓展创新】（2）已知，求x的值． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）如图，一个长方形的周长为26，如果这个长方形的长减少4，宽增加3，就可围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（   ）      A．11，2 B．10，3 C．8，5 D．7，6 1．（24-25六年级上·上海静安·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）在数轴上，点、在原点两侧且到原点的距离均为3厘米（点在点左侧）．现有动点、分别从、两点向右沿正半轴方向运动，速度分别为每秒4厘米和每秒2厘米，当、两点相距1厘米时，经过的时间是 秒． 3．（24-25六年级上·宝山·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为，3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，折叠点为，则点表示的数为_____，与重合的点为_____； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由； (3)点、点分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点以6个单位长度/分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图所示，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形空白（图中阴影部分）．已知每张卡片的短边长度是12厘米，求图中阴影部分的面积． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（24-25六年级上·湖上海闵行·阶段练习）学校在一次研学活动中，师生乘坐客车前往，若每辆客车乘30人，则还有8人不能上车；若每辆客车乘38人，则少用了一辆车，并空了2个座位．则师生人数一共为（    ） A．188人 B．158人 C．97人 D．48人 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）把1~9这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”。如图所示是可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）某企业原有管理人员和营销人员人数之比是3：2，总人数为180人，为了扩大市场，应从管理人员中抽调 人参加营销工作，就能使营销人员是管理人员人数的2倍． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）甲、乙两个工程队，甲队人数是乙队人数的1.2倍，现在从甲队中抽出24人到乙队，这样乙队人数就是甲队人数的1.5倍，求乙队原来有多少人？若设乙队原来有人，可列方程 ． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）王芳和张华同时采摘樱桃，平均每小时王芳比张华多采摘，两人半小时共采摘． (1)王芳和张华平均每小时各采摘多少樱桃？ (2)两人共同采摘了若干小时后，王芳从她采摘的樱桃中取出给了张华，这时两人的樱桃一样多．她们共同采摘了多长时间？       【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 1．（2025七年级·上海嘉定·专题练习）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（    ）元． 汽车修理费x元 赔偿率 0＜x≤500 60% 500＜x≤1000 70% 1000＜x≤3000 80% … … A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5 2．（2025·上海闵行·模拟预测）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度比第一档提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度比第一档提价0.3元，某居民家12月份用电165度，则该居民12月份需要交电费 元；如果该居民12月份交电费222元，则该居民家12月份用电 度． 3．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）为了促进节约用水，合理配置水资源，提高用水效率，促进水资源可持续利用，上海嘉定各地正逐渐推广和实行阶梯水价政策．“阶梯水价”是指对使用自来水的用户实行分类计量收费和超定额累进加价制的收费方式．这种收费方式将水价分为多个阶梯，每一阶梯都有一个固定的单位水价，但单位水价会随着用水量的增加而逐步提高．阶梯式计量水费第一级水价第一级水量基数第二级水价第二级水量基数第三级水价第三级水量基数． 以下为某市的水费价目表（水费按月缴纳）： 第一级水价：月用水量不超过16吨的部分（含16吨），每吨2元． 第二级水价：月用水量超过16吨但不超过30吨部分（含30吨），每吨元． 第三级水价：月用水量超过30吨的部分，每吨元． (1)若某月李华家用水量为24吨，则水费为______元；某月张磊家用水量为x（）吨，则用含x的式子表示张磊家当月应缴纳的水费为______元． (2)若小杨家8月份和9月份共用水70吨（其中8月份用水量超过16吨但不超过30吨，9月份用水量超过了30吨），一共缴纳的水费为231元，问小杨家8月份和9月份各用水多少吨? 4．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元／） 第一档气量 不超出的部分 第二档气量 超出不超出的部分 a 第三档气量 超出的部分 (1)若甲用户今年已使用天然气，共缴费用1632元，求a的值； (2)在（1）的条件下，若某用户年用气量为，请用含x的式子表示每年支出的燃气费． 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（24-25六年级上·上海闵行·期末）幼儿园的老师给班上的小朋友分发糖果每人分发4个糖果还多了5个，每人分发5个糖果还缺10个，则小朋友的数量和糖果的数量分别是（　　） A．10，45 B．15，65 C．10，65 D．20，85 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海金山·期中）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·开学考试）甲、乙两根绳共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是3∶2，甲、乙两根绳原来各长多少米？ 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）将偶数由小到大按顺序排列如图所示，任意选取“”型框中的5个数（如阴影部分所示），则这5个数的和不可能是（    ） A．224 B．354 C．574 D．614 1．（24-25六年级上·上海长宁·期末）在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（　　） A．54 B．62 C．65 D．75 2．（24-25六年级上·上海嘉定·课后作业）如图，在一个月历上的5个数的和为75，则B和D分别是 号、 号． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）如图是11月的月历． （1）如图1，带阴影的方框是同一列的连续三个数，不改变阴影的方框的大小，可以在月历中移动方框的位置． ①若设方框中最中间的数为x，则方框最上面的数为 ，方框最下面的数 ． ②在①条件下，若方框里三个数的和为54，请求出这三个数． （2）如图2，带阴影的框是“z”字型框，判断其方框中的五个数的和是否为5的倍数？若不改变阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，方框中的五个数的和是否仍为5的倍数？并说明理由．    4．（24-25六年级上·上海松江·期末）2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第一次上海嘉定代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领上海嘉定各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（2025·上海宝山·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”大意为：“甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步．现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？设甲走了x步才追上乙，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海静安·模拟预测）宋元时期朱世述所著的《四元宝鉴》中记载了一则李白沽酒的数学故事：李白提着酒壶去沽酒，他每遇到一个店，就把壶中的酒加上1倍，每见一次花，来了诗兴，就喝1斗酒．就这样三次遇上店和花，壶中的酒便喝光了，求壶中原有多少酒？设壶中原有斗酒，可以列得方程（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的钱数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱．答：甲的钱数是 ，乙的钱数是 ． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 4．（24-25六年级上·上海宝山·期末）在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 【拓展训练一 一元一次方程与数轴应用】 1．（25-26六年级上·上海松江·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，B点对应的数为18．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位秒的速度向右运动． (1)线段的中点M所对应的数是 ； (2)两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，点C对应的数是 ； (3)当电子蚂蚁P运动到点A后又以相同的速度向右运动，当它们运动 秒时，两只电子蚂蚁间的距离为10个单位长度？ 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ (3)在(2)中与点重合时，点立即掉头，保持速度不变向右运动，运动到点时又再次掉头，以同样的速度向左运动，求点与点又经过多少秒相遇？相遇点代表的数是多少？ 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 【拓展训练二 一元一次方程综合应用】 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）小明在数学活动课上学习了木杆挂重物问题，觉得意犹未尽，在课余时间制作了如图简易杆秤，其中秤盘质量，秤砣质量，秤纽与秤盘的水平距离为 ，秤纽与零刻线的水平距离为，零刻线与末刻线水平距离为．当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． (1)求l，a的值； (2)小明将数学教材放在秤盘上，秤砣位于零刻线右侧处时，杆秤平衡，求数学教材的质量． 【拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）下列是用木棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图形中共有______根木棒，第7个图形中共有______根木棒； (2)第n个图形中共有______根木棒（用含n的式子表示）；第______个图形中有根木棒； (3)请判断上组图形中前个图形木棒数的总和是否为的倍数，填______（是或否）． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）数学综合与实践课上，王老师和同学们一起利用循环小数的循环规律，根据设计了“”的图案（教材第70页）．我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．我们以无限循环小数为例进行探究：设…，两边同乘以10得：，即，解得， ∴．请仿照这一方法解决以下问题： (1)无限循环小数写成分数为 ． (2)大小比较： 　　1．（选填“＞”“＝”或“＜”） (3)请把无限循环小数写成分数． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）【背景知识】 本学期我们学习了“字母表示数”，利用字母表示数或数量关系，获得一般规律，进而可以进行推理和判断．如图． 课堂上，我们用字母表示正方形的个数，根据火柴棒摆放的规律，进一步用字母描述了正方形的个数和火柴棒的根数之间的关系，从而可推断搭个这样的正方形需要根火柴棒． 【问题情境】 利用数轴上的点所表示的数的直观特点，借助字母表示数，可以进一步研究数字的一般规律问题． 已知：如图所示，在数轴上原点表示数是，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为5，点P为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 （1）求的值； （2）当为线段中点时，求的值； （3）在数轴上是否存在一点，使点到点，点的距离和为19？若存在，求出点表示的数；若不存在，请说明理由． 1．（25-26六年级上·上海闵行·开学考试）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本：如果每人分4本，则缺25本，设有x名学生，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）小云在某月的月历中圈出了三个日期a，b，c，并求出它们的和为27，则这三个日期在日历中的排布不可能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都一样．如图2是一个不完整的幻方，如果同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为（   ） A．5 B．1 C．0 D． 4．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）如图，一块长、宽的长方形纸板，一块长、宽的长方形纸板，与一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）强强利用两个完全相同的瓶子和一些沙子做成了如图所示的沙漏（两瓶子的瓶底相连，中间有一个小孔）．初始时刻上方瓶子中沙子的高度为，终止时刻下方的瓶子中空余部分的高度为．若每个瓶子的容积都为，则沙子的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级上·上海长宁·期末）某种商品进价为每千克元，按标价的八折销售时，利润率为，则这种商品每件的标价为 ． 7．（24-25六年级上·上海虹口·开学考试）某班学生分两队参加劳动，其中甲队人数是乙队人数的2倍，后因劳动需要，从甲队抽调16人支援乙队，使得甲队人数比乙队人数的一半少3人，则甲队原有 人． 8．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）两车同时从甲、乙两地相对开出，A车每小时行60千米，B车速度是A车速度的，经过10小时两车相距200千米，则甲、乙两地相距 千米． 9．（24-25六年级上·上海嘉定·开学考试）【数阵图】如图，要把1到10这10个数填入圈内，使外面5个三角形中的数等于其所在三角形的三个顶点上的数的和，那么 ． 10．（2025·上海青浦·模拟预测）小亮利用杠杆原理（动力动力臂=阻力阻力臂）制作了如图所示的天平（杠杆、托盘质量忽略不计），然后用它来称取物品质量．如图1，当天平左盘放置质量为的物品，右盘中放置砝码时，天平平衡．如图2，将某物品放在右盘后，左盘放置砝码，才可使天平再次平衡，则该物品的质量是 g． 11．（25-26六年级上·上海普陀·开学考试）两个工程队合作修建一条长900米的公路，他们各从公路的一端同时相向施工．甲队每天修建35米，乙队每天修建25米，两队修建几天可以完成任务？（用方程解） 12．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）由于换季，某品牌鞋店准备对某款鞋打折出售，如果按原售价的七折出售，将亏损19元，而按原售价的八五折出售，将盈利26元．问该款鞋的原售价是多少元？ 13．（24-25六年级上·上海宝山·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 14．（25-26六年级上·上海青浦·阶段练习）已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题： (1)运动前线段的长为______；运动1秒后线段的长为______； (2)运动秒后，点，点运动的距离分别为______和______； (3)求为何值时，点与点恰好重合； (4)在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为5，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 15．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，在长方形中，，动点沿边从点开始，向点以的速度运动；动点从点开始沿边，向点以的速度运动同时开始运动，当点到达点时，点和点同时停止运动，运动的时间为． (1)当 ___________时，点与点重合； (2)用含的代数式表示线段的长度； (3)当为何值时，？ (4)当点在边上时， ___________时，． 学科网（北京）股份有限公司 $