专题02 二次根式全章复习（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学二次根式期末复习讲义通过核心考点表格与思维导图系统构建知识体系，梳理二次根式的概念、性质、运算等8个知识点，每个知识点配套定义解析、典型例题及易错点提示，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分类突破10种典型题型，如几何面积应用、规律探究等，融入“一化二找三合并”等解题步骤指导，培养运算能力与应用意识。基础通关练与重难突破练分层设计，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供清晰路径。

二次根式的概念 形如√a的代数式（其中a为有理式 1.非负性：√a≥0（因为√a是a的算术平方根） 2.性质1：(Va)2=a(a≥0)： a(a>0) 3.性质2： a Hal- 0(a=0): 二次根式的性质 -a(a<0) 4.性质3： √ab=Va√b(a≥0，b≥0)： 5.性质4： a va (a≥0，b>0)。 被开方数中各因式的指数都为1 最简二次根式 被开方数不含分母。 二次根式 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如 那么这几个二次根式叫作同类二次根式 加减运算 步骤为”一化二找三合并" 乘法法则 √a.Vb=Vab(a≥0，b≥ 乘除运算 除法法则 V6V分(a≥0，b>0) 1.移：将分子、分母中能 分母有理化 2.乘： 分子、分母同乘分 3.化：化简计算结果。 1.应用乘除、加减法法则： 混合运算 2.实数的运算律、性质及运算顺序仍适用； 3.可运用整式的乘法公式. ，叫做二次根式 果被开方数相同， 0) 开得尽方的因数/因式移到根号外； 母的有理化因式： 专题02 二次根式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式有意义的条件 理解二次根式有意义的条件（被开方数非负），能结合分式条件（分母不为0）求未知数取值范围 基础必考点，常出小题；易忽略分母不为0的限制，或遗漏被开方数“等于0”的情况 二次根式的性质 掌握二次根式的非负性、平方性质等核心性质，能区分与，准确化简含字母的二次根式 重点考点，小题/解答题均涉及；易混淆两个平方性质的取值范围，应用时忽略a、b的非负条件 最简二次根式 理解最简二次根式的定义（不含分母、不含能开得尽方的因式），能判断并将二次根式化为最简形式 基础考点，常与同类二次根式结合考查；易未分解被开方数就判断，或忽略被开方数含分母的情况 同类二次根式 理解同类二次根式的定义（最简形式下被开方数相同），能判断同类二次根式并合并 基础考点，小题为主；易未化简直接判断，或误将被开方数直接相等作为同类的条件 二次根式的加减运算 掌握“一化二找三合并”的步骤，能将二次根式化为最简后合并同类二次根式 重点考点，小题/解答题均涉及；易将非同类二次根式强行合并，或去括号时符号出错 二次根式的乘除运算 掌握二次根式乘除法则，能进行含系数的根式乘除运算，确保结果化为最简 重点考点，小题为主；易忽略系数与根式分别运算，或除法中未讨论字母取值范围 分母有理化 掌握分母有理化的方法，能找到有理化因式，化简含根号的分母 基础考点，常结合化简求值考查；易分子漏乘有理化因式，或化简后未整理至最简形式 二次根式的混合运算 掌握混合运算顺序（先乘方开方，再乘除，最后加减），能运用整式乘法公式简化计算 重点考点，解答题常考；易混淆运算顺序，或运用公式时符号、系数运算错误 知识点1 二次根式的概念 形如的代数式（其中为有理式），叫做二次根式。 在实数范围内： 二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即有意义； 二次根式无意义的条件：被开方数为负数，即无意义。 判断有意义的条件。 解：由，得且，所以当且时，有意义。 1. 忽略二次根式有意义时，被开方数“等于0”的情况； 2. 若二次根式位于分母中，忘记分母不能为0的限制。 知识点2 二次根式的性质 1. 非负性：（因为是的算术平方根）； 2. 性质1：； 3. 性质2：； 4. 性质3：； 5. 性质4：。 同时，与的区别： 意义：是“非负数的算术平方根的平方”，是“实数的平方的算术平方根”； 的取值：中，中为任意实数； 结果：，。 求的值。 解：，因为，所以结果为。 1. 混淆与的取值范围，误将的当作任意实数； 2. 应用性质3、4时，忽略a,b的非负（或正数）条件，比如错误写。 知识点3 最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1. 被开方数中各因式的指数都为1（即不含能开得尽方的因数或因式）； 2. 被开方数不含分母。 判断是否为最简二次根式。 解：将12ab分解素因数：，因数的指数为2（能开得尽方），所以不是最简二次根式。 1. 判断前未将被开方数分解素因数/因式，误把含开方因数的式子当作最简二次根式； 2. 忽略被开方数含分母的情况，比如误认是最简二次根式。 知识点4 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。 判断与是否为同类二次根式： 化简，其最简形式的被开方数为3，与的被开方数一致，因此与是同类二次根式。 已知两个二次根式是同类二次根式，被开方数不一定相等。例如（化简为）与（化简为） 是同类二次根式，但12≠27 知识点5 二次根式的加减运算 二次根式的加减运算归为合并同类二次根式，步骤为＂一化二找三合并＂： 1．化：将每个二次根式化为最简二次根式； 2．找：找出同类二次根式； 3．合并：将同类二次根式的系数相加减，被开方数（式）和根指数保持不变。 合并 ： 先分组同类二次根式： 再合并系数： 。 总结 1．只有同类二次根式才能合并，非同类二次根式不能合并（如 ）； 2．去括号时，若括号前是＂—＂号，需注意符号变化； 3．结果中二次根式的系数是带分数的，要化为假分数。 知识点6 二次根式的乘除运算 乘法法则：（两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变）；若有系数，需系数与系数相乘、根式与根式相乘，即 。 除法法则：（两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变）；若有系数，需系数与系数相除、根式与根式相除。 1．计算 ： 按法则： 。 2．计算 ： 按法则： 。 总结 1．二次根式相乘时，不必先化为最简二次根式，但结果需化为最简； 2．除法中被开方数含字母且未给范围时，需讨论字母的取值； 3．系数相乘后是分数的，要约分并表示为假分数。 知识点7 分母有理化 分母有理化：把分母中的根号化去的过程；方法是分子、分母同乘适当的代数式（有理化因式），使分母不含根号。 有理化因式：两个含二次根式的非零代数式相乘，积不含二次根式，则二者互为有理化因式（如 与 。 1．计算 （分母有理化）： 2．把 分母有理化： 总结（分母有理化三步法） 1．移：将分子、分母中能开得尽方的因数／因式移到根号外； 2．乘：分子、分母同乘分母的有理化因式； 3．化：化简计算结果。 知识点8 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算需遵循： 1．应用乘除、加减法法则； 2．实数的运算律、性质及运算顺序（先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的）仍适用； 3．可运用整式的乘法公式（如平方差、完全平方公式）。 1．计算 ： 按顺序运算： 。 2．计算 ： 展开并化简： 。 总结 1．不可混淆运算顺序； 2．运用乘法公式时，注意符号和系数的运算； 3．最终结果需化为最简二次根式。 题型一 二次根式有意义的条件（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：二次根式 有意义需满足被开方数 ；与分式结合时，额外满足分母不为零。 2．关键步骤： 根据条件列不等式（组）； 解一元一次不等式（组），得到未知数取值范围； 结合题意验证解的合理性。 3．易错点：遗漏分母不为零的条件；忽略被开方数隐含的非负关系。 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）在实数范围内，当 时，有意义． 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）当 时，代数式有意义． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【变式4】已知实数a满足，那么的值是 ． 题型二 同类二次根式（重点） 解｜题｜技｜巧 1.核心定义:化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式(与根号外系数无关)。 2.关键步骤: 将所有根式化为最简二次根式， 对比化简后被开方数是否一致; 含参数时，列方程使被开方数相等，求解后验证是否为最简二次根式 3.易错点:未化简直接判断;忽略“最简”前提条件。 【典例2】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（        ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 题型三 最简二次根式（重点） 解｜题｜技｜巧 1.核心条件:同时满足①被开方数不含分母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 2.关键步骤: 检查被开方数是否含分母，含则分母有理化;。 对被开方数因式分解，提取能开得尽方的因式; 验证化简后是否符合最简二次根式条件。 3.易错点:化简时忽略字母正负;被开方数因式分解不彻底。 【典例3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海虹口·月考）下列根式中，最简二次根式是（）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）二次根式，，，中，其中是最简二次根式的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型四 分母有理化（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心目的：消除分母中的二次根式，利用平方差公式 。 2．关键步骤： 确定有理化因式： 分母为 ，因式为 ； 分母为 ，因式为 ； 分子分母同乘有理化因式，保持分式值不变； 化简分子分母，得到最简形式。 3．易错点：分子漏乘有理化因式；化简后未整理至最简。 【典例4】（25-26八年级上·上海宝山·期中）的倒数是 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）的有理化因式是 ． 【变式2】（23-24八年级上·上海徐汇·期中）的有理化因式是 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海金山·期中）解不等式：． 【变式4】（25-26八年级上·上海金山·期中）解方程：． 【变式5】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知，求代数式 的值． 题型五 利用二次根式的性质化简（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心性质： （ 为任意实数）； ； 。 2．关键步骤： 根据已知条件判断被开方数中字母的正负； 套用二次根式性质化简，将 转化为绝对值形式； 根据字母正负去掉绝对值符号； 合并同类项或整理至最简。 3．易错点：混淆 与 ；未判断字母符号直接去绝对值。 【典例5】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海金山·期中）当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知，请你化简下列代数式 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海金山·期中）若，则 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）化简： ． 【变式5】（25-26八年级上·上海崇明·期中）当时，化简： ． 题型六 二次根式的加减运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1.核心法则:二次根式加减本质是合并同类二次根式，非同类二次根式不能直接加减。 2.关键步骤: 将每个参与运算的二次根式化为最简二次根式，筛选出被开方数相同的最简二次根式; 保持被开方数和根指数不变，仅将根号外系数相加合并。 3.易错点:未化简直接进行加减运算;同类二次根式判断错误;系数加减计算失误。 【典例6】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简： 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）计算： 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【变式3】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【变式4】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算： 题型七 二次根式的混合运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。 2．核心公式： 平方差公式： ； 完全平方公式： 。 3．关键步骤： 先将所有根式化为最简二次根式； 乘法运算优先运用平方差、完全平方公式简化计算； 除法运算转化为乘法后，进行分母有理化； 最后合并同类二次根式，整理至最简。 4．易错点：运算顺序混乱；公式展开漏项；除法未转化为乘法直接运算。 【典例7】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： 【变式1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）计算：． 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【变式3】（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 题型八 二次根式的化简求值（难点） 解｜题｜技｜巧 1.核心思路:优先化简代数式或对已知条件变形，避免直接代入繁琐计算，利用整体思想简化求值。 2.关键步骤: 对代数式进行因式分解、约分、合并同类二次根式，化为最简形式; 处理已知条件:分母有理化、平方变形、整体代换转化; 将处理后的已知条件代入最简代数式，计算时注意符号和根式化简。0 3.易错点:代入时符号错误;整体思想应用不熟练;结果未化简至最简二次根式。 【典例8】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）先化简，后求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级上·上海虹口·月考）已知，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）已知，，求的值． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中. 【变式4】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式5】（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型九 二次根式的应用（难点） 解｜题｜技｜巧 1.核心关联:用二次根式表示几何图形的边长、面积，或实际问题中的物理量，代入对应公式计算。 2.关键步骤: 用二次根式表示所求的边长、面积或物理量; 代入相关公式(几何面积公式、物理公式等) 统一数据单位，确保运算一致性; 结合实际意义验证结果，必要时保留根号或按要求取近似值。 3.易错点:边长、面积表示错误;公式代入时数据遗漏或错误;未结合实际意义取舍结果.。 【典例9】如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海松江·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ． 【变式2】如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 题型十 规律探究（难点） 解｜题｜技｜巧 1.核心思路:解读题干新定义或已知规律，转化为二次根式的化简、运算问题，归纳通用方法。 2.关键步骤: 精准理解新定义或规律的本质内涵， 通过少量特例验证规律的合理性; 归纳总结通用解题方法或公式: 运用归纳的方法解决新问题，确保符合定义或规律要求。 3.易错点:误解新定义或规律本质;规律归纳不全面;应用规律时忽略前提条件。 【典例10】定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）【阅读】除了用分母有理化，我们还可以这样化简： ，我们把这样的化简方法叫作“二次根式的因式分解法”． 【完成任务】 (1)如果二次根式能用“二次根式的因式分解法”化简，请写出一个A的值，并将用“二次根式的因式分解法”进行化简； (2)用“二次根式的因式分解法”化简（其中、）． 【变式2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·上海松江·期中）已知求的值． 2．要使式子有意义，则a的取值范围是 ． 3．（25-26八年级上·上海虹口·月考）已知，，求的值． 4．（24-25八年级上·上海·期中）写出的一个有理化因式 ． 5．（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝ ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 2．（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知，求的值． 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）整理易错题是一种很好的学习习惯，小海和小华同学就把自己这段时间里容易做错的题目进行了收集整理，还分享给对方学习，想通过这种方式一起进步： 小海分享的题目：下列从左到右的变形正确的有_____． ①．    ②． 小华同学回答：①②都正确． 小华分享的题目：下列解法和变形错误的有_____． ①．方程的解是     ②． 小海同学回答：①②都错误． 请你判断一下，小海和小华谁的解答不正确，帮其订正一下，并说明理由． 4．（25-26八年级上·上海闵行·月考）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式有意义的条件 理解二次根式有意义的条件（被开方数非负），能结合分式条件（分母不为0）求未知数取值范围 基础必考点，常出小题；易忽略分母不为0的限制，或遗漏被开方数“等于0”的情况 二次根式的性质 掌握二次根式的非负性、平方性质等核心性质，能区分与，准确化简含字母的二次根式 重点考点，小题/解答题均涉及；易混淆两个平方性质的取值范围，应用时忽略a、b的非负条件 最简二次根式 理解最简二次根式的定义（不含分母、不含能开得尽方的因式），能判断并将二次根式化为最简形式 基础考点，常与同类二次根式结合考查；易未分解被开方数就判断，或忽略被开方数含分母的情况 同类二次根式 理解同类二次根式的定义（最简形式下被开方数相同），能判断同类二次根式并合并 基础考点，小题为主；易未化简直接判断，或误将被开方数直接相等作为同类的条件 二次根式的加减运算 掌握“一化二找三合并”的步骤，能将二次根式化为最简后合并同类二次根式 重点考点，小题/解答题均涉及；易将非同类二次根式强行合并，或去括号时符号出错 二次根式的乘除运算 掌握二次根式乘除法则，能进行含系数的根式乘除运算，确保结果化为最简 重点考点，小题为主；易忽略系数与根式分别运算，或除法中未讨论字母取值范围 分母有理化 掌握分母有理化的方法，能找到有理化因式，化简含根号的分母 基础考点，常结合化简求值考查；易分子漏乘有理化因式，或化简后未整理至最简形式 二次根式的混合运算 掌握混合运算顺序（先乘方开方，再乘除，最后加减），能运用整式乘法公式简化计算 重点考点，解答题常考；易混淆运算顺序，或运用公式时符号、系数运算错误 知识点1 二次根式的概念 形如的代数式（其中为有理式），叫做二次根式。 在实数范围内： 二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即有意义； 二次根式无意义的条件：被开方数为负数，即无意义。 判断有意义的条件。 解：由，得且，所以当且时，有意义。 1. 忽略二次根式有意义时，被开方数“等于0”的情况； 2. 若二次根式位于分母中，忘记分母不能为0的限制。 知识点2 二次根式的性质 1. 非负性：（因为是的算术平方根）； 2. 性质1：； 3. 性质2：； 4. 性质3：； 5. 性质4：。 同时，与的区别： 意义：是“非负数的算术平方根的平方”，是“实数的平方的算术平方根”； 的取值：中，中为任意实数； 结果：，。 求的值。 解：，因为，所以结果为。 1. 混淆与的取值范围，误将的当作任意实数； 2. 应用性质3、4时，忽略a,b的非负（或正数）条件，比如错误写。 知识点3 最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1. 被开方数中各因式的指数都为1（即不含能开得尽方的因数或因式）； 2. 被开方数不含分母。 判断是否为最简二次根式。 解：将12ab分解素因数：，因数的指数为2（能开得尽方），所以不是最简二次根式。 1. 判断前未将被开方数分解素因数/因式，误把含开方因数的式子当作最简二次根式； 2. 忽略被开方数含分母的情况，比如误认是最简二次根式。 知识点4 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。 判断与是否为同类二次根式： 化简，其最简形式的被开方数为3，与的被开方数一致，因此与是同类二次根式。 已知两个二次根式是同类二次根式，被开方数不一定相等。例如（化简为）与（化简为） 是同类二次根式，但12≠27 知识点5 二次根式的加减运算 二次根式的加减运算归为合并同类二次根式，步骤为＂一化二找三合并＂： 1．化：将每个二次根式化为最简二次根式； 2．找：找出同类二次根式； 3．合并：将同类二次根式的系数相加减，被开方数（式）和根指数保持不变。 合并 ： 先分组同类二次根式： 再合并系数： 。 总结 1．只有同类二次根式才能合并，非同类二次根式不能合并（如 ）； 2．去括号时，若括号前是＂—＂号，需注意符号变化； 3．结果中二次根式的系数是带分数的，要化为假分数。 知识点6 二次根式的乘除运算 乘法法则：（两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变）；若有系数，需系数与系数相乘、根式与根式相乘，即 。 除法法则：（两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变）；若有系数，需系数与系数相除、根式与根式相除。 1．计算 ： 按法则： 。 2．计算 ： 按法则： 。 总结 1．二次根式相乘时，不必先化为最简二次根式，但结果需化为最简； 2．除法中被开方数含字母且未给范围时，需讨论字母的取值； 3．系数相乘后是分数的，要约分并表示为假分数。 知识点7 分母有理化 分母有理化：把分母中的根号化去的过程；方法是分子、分母同乘适当的代数式（有理化因式），使分母不含根号。 有理化因式：两个含二次根式的非零代数式相乘，积不含二次根式，则二者互为有理化因式（如 与 。 1．计算 （分母有理化）： 2．把 分母有理化： 总结（分母有理化三步法） 1．移：将分子、分母中能开得尽方的因数／因式移到根号外； 2．乘：分子、分母同乘分母的有理化因式； 3．化：化简计算结果。 知识点8 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算需遵循： 1．应用乘除、加减法法则； 2．实数的运算律、性质及运算顺序（先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的）仍适用； 3．可运用整式的乘法公式（如平方差、完全平方公式）。 1．计算 ： 按顺序运算： 。 2．计算 ： 展开并化简： 。 总结 1．不可混淆运算顺序； 2．运用乘法公式时，注意符号和系数的运算； 3．最终结果需化为最简二次根式。 题型一 二次根式有意义的条件（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：二次根式 有意义需满足被开方数 ；与分式结合时，额外满足分母不为零。 2．关键步骤： 根据条件列不等式（组）； 解一元一次不等式（组），得到未知数取值范围； 结合题意验证解的合理性。 3．易错点：遗漏分母不为零的条件；忽略被开方数隐含的非负关系。 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得到不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得且， 故答案为：且． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）在实数范围内，当 时，有意义． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）当 时，代数式有意义． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件．根据分母不为零且根号内表达式非负，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ ， 由 解得 ， 由 解得 ， 综上，x的取值范围为 且 ． 故答案为： 且 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得：． 解得：． 故答案为： 【变式4】已知实数a满足，那么的值是 ． 【答案】2026 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 题型二 同类二次根式（重点） 解｜题｜技｜巧 1.核心定义:化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式(与根号外系数无关)。 2.关键步骤: 将所有根式化为最简二次根式， 对比化简后被开方数是否一致; 含参数时，列方程使被开方数相等，求解后验证是否为最简二次根式 3.易错点:未化简直接判断;忽略“最简”前提条件。 【典例2】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的概念，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先将各二次根式化简，再根据同类二次根式的概念进行判断即可． 【详解】A、因为，所以A不符合题意； B、因为，所以B不符合题意； C、因为，所以C符合题意； D、因为，所以D不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式为同类二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】 1 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，理解最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关键．先由被开方数相等列方程 ，然后验证被开方数非负且为最简二次根式． 【详解】由同类二次根式的定义，得： ， 移项整理： ， 解得，， 当 时，，不是最简二次根式，不符合题意， 当 时，，，最简二次根式，符合题意， 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元一次方程，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，得出，解方程即可得解，熟练掌握同类二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， 解得：， 故答案为． 【变式4】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、同类二次根式、求一个数的平方根、分式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、同类二次根式的定义、平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键． 先根据二次根式和分式有意义的条件求得，进而得；再根据同类二次根式的被开方数相同求得，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． 题型三 最简二次根式（重点） 解｜题｜技｜巧 1.核心条件:同时满足①被开方数不含分母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 2.关键步骤: 检查被开方数是否含分母，含则分母有理化;。 对被开方数因式分解，提取能开得尽方的因式; 验证化简后是否符合最简二次根式条件。 3.易错点:化简时忽略字母正负;被开方数因式分解不彻底。 【典例3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一分析每个选项是否满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： ，不是最简二次根式． ，不是最简二次根式． ，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． ，不是最简二次根式． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选： C． 【变式2】（25-26八年级上·上海虹口·月考）下列根式中，最简二次根式是（）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式要满足的条件①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数或因式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．被开方数含分母3，需分母有理化，故不是最简二次根式；     B．符合最简二次根式条件，是最简二次根式；     C．被开方数可分解为，其中是平方项，可提取，化简为，故不是最简二次根式； D．，故不是最简二次根式． 故选B． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）二次根式，，，中，其中是最简二次根式的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 判断每个二次根式是否满足最简二次根式的条件：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：对于：被开方数可因式分解为，但无完全平方因式，故为最简二次根式； 对于：被开方数含（因），可化为，故不是最简二次根式； 对于：被开方数，分母4是平方数，可化为，故不是最简二次根式； 对于：被开方数为分式，含分母，故不是最简二次根式； 综上，只有1个是最简二次根式， 故选：B． 题型四 分母有理化（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心目的：消除分母中的二次根式，利用平方差公式 。 2．关键步骤： 确定有理化因式： 分母为 ，因式为 ； 分母为 ，因式为 ； 分子分母同乘有理化因式，保持分式值不变； 化简分子分母，得到最简形式。 3．易错点：分子漏乘有理化因式；化简后未整理至最简。 【典例4】（25-26八年级上·上海宝山·期中）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查分母有理化，原式通过分母有理化进行化简即可． 【详解】解：的倒数为， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）的有理化因式是 ． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式为． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·上海徐汇·期中）的有理化因式是 ． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海金山·期中）解不等式：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算、求一元一次不等式的解集、分母有理化 【分析】本题主要考查了解不等式、二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，掌握有理化是解题的关键． 先解不等式可得，然后再分母有理化即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 【变式4】（25-26八年级上·上海金山·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】分母有理化、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了一元一次方程，分母有理化，先去括号再移项，合并同类项，系数化1，最后进行分母有理化，即可作答． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，得． 【变式5】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知，求代数式 的值． 【答案】， 【知识点】利用二次根式的性质化简、分母有理化、运用完全平方公式进行运算、十字相乘法 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质进行化简，因式分解等知识．熟练掌握分母有理化，利用二次根式的性质进行化简，因式分解是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，进行因式分解可得化简结果，分母有理化可得的值，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， 将代入得，原式． 题型五 利用二次根式的性质化简（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心性质： （ 为任意实数）； ； 。 2．关键步骤： 根据已知条件判断被开方数中字母的正负； 套用二次根式性质化简，将 转化为绝对值形式； 根据字母正负去掉绝对值符号； 合并同类项或整理至最简。 3．易错点：混淆 与 ；未判断字母符号直接去绝对值。 【典例5】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查平方根的性质．选项A、B、C在满足条件时总是成立，而选项D中，即使左边有意义，右边也可能无意义（当且时），因此变形不一定正确． 【详解】解：∵平方根的被开方数必须非负， A、左边要求且，此时右边也有意义且等式成立，故变形正确； B、对任意实数a成立，故变形正确； C、当，成立，变形正确； D、左边要求，但当且时，左边有意义，右边无意义，等式不成立，故变形不一定正确． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·上海金山·期中）当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式和绝对值的非负性，结合取值范围简化表达式．将根号内的表达式化为完全平方形式，再根据x的取值范围化简绝对值． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知，请你化简下列代数式 ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了二次根式的化简和加法，正确化简二次根式是关键． 由已知条件 可知 ，从而在化简时需考虑，即 ，由于 ，有 ，代入代数式 并合并同类二次根式即可． 【详解】解：由 ， ∵ ， ∴ ， 故，且 。 ∴， 代入 ， 得。 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海金山·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题、合并同类项 【分析】本题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质、取绝对值、整式的加减等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先通过完全平方公式简化两个根式，再根据二次根式化简，然后根据x的取值范围去绝对值，最后相加并合并同类项即可． 【详解】解：由完全平方公式，有： ， ， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5】（25-26八年级上·上海崇明·期中）当时，化简： ． 【答案】2 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简，绝对值的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．根据x的取值范围，将算术平方根化为绝对值形式，再根据非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数化简绝对值，最后合并同类项． 【详解】解： ∵， ∴ ． 故答案为：2． 题型六 二次根式的加减运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1.核心法则:二次根式加减本质是合并同类二次根式，非同类二次根式不能直接加减。 2.关键步骤: 将每个参与运算的二次根式化为最简二次根式，筛选出被开方数相同的最简二次根式; 保持被开方数和根指数不变，仅将根号外系数相加合并。 3.易错点:未化简直接进行加减运算;同类二次根式判断错误;系数加减计算失误。 【典例6】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简： 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，判断出字母的符号是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义判断出a和b的符号，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴a和b同号， ∴， ∵要使和有意义， ∴，， ∴，， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把原式整理得出，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，准确的计算是解决本题的关键． 先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据合并同类二次根式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的加减运算． 先化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】解： 题型七 二次根式的混合运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。 2．核心公式： 平方差公式： ； 完全平方公式： 。 3．关键步骤： 先将所有根式化为最简二次根式； 乘法运算优先运用平方差、完全平方公式简化计算； 除法运算转化为乘法后，进行分母有理化； 最后合并同类二次根式，整理至最简。 4．易错点：运算顺序混乱；公式展开漏项；除法未转化为乘法直接运算。 【典例7】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 先化简至最简二次根式，再合并同类项计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； 根据二次根式的混合运算法则解答即可． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型八 二次根式的化简求值（难点） 解｜题｜技｜巧 1.核心思路:优先化简代数式或对已知条件变形，避免直接代入繁琐计算，利用整体思想简化求值。 2.关键步骤: 对代数式进行因式分解、约分、合并同类二次根式，化为最简形式; 处理已知条件:分母有理化、平方变形、整体代换转化; 将处理后的已知条件代入最简代数式，计算时注意符号和根式化简。0 3.易错点:代入时符号错误;整体思想应用不熟练;结果未化简至最简二次根式。 【典例8】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】； 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值．先将分子进行因式分解，再约分化简，最后代入数据求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式1】（25-26八年级上·上海虹口·月考）已知，求的值． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求得，易得，再运用二次根式的混合运算法则化简原式，最后将、代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ． 【变式2】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先分母有理化得到，再求出和的值，最后把所求式子变形为并代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了分式、二次根式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再进行化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 把代入： ． 【变式4】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是利用乘法公式化简． 先利用平方差公式、完全平方公式进行约分，然后合并同类二次根式，再代入求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式5】（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 题型九 二次根式的应用（难点） 解｜题｜技｜巧 1.核心关联:用二次根式表示几何图形的边长、面积，或实际问题中的物理量，代入对应公式计算。 2.关键步骤: 用二次根式表示所求的边长、面积或物理量; 代入相关公式(几何面积公式、物理公式等) 统一数据单位，确保运算一致性; 结合实际意义验证结果，必要时保留根号或按要求取近似值。 3.易错点:边长、面积表示错误;公式代入时数据遗漏或错误;未结合实际意义取舍结果.。 【典例9】如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·上海松江·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、二次根式的应用 【分析】本题考查了正方形面积与边长的关系，二次根式的计算和面积的和差关系，先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再根据正方形面积公式求出大正方形的面积，最后用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 【变式2】如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据裁去的两个小正方形的面积可求出这两个小正方形的边长，进而可求出大正方形的面积，再用大正方形的面积减去裁去的两个小正方形的面积即可得到阴影面积． 【详解】解：由题意得，裁去的两个小正方形的边长分别为， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影面积为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)可能造成伤害，理由如下 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的实际应用，通过具体情境考查二次根式，读懂题意，理解题中现实情境相关的公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）根据公式，代入计算公式求出这个苹果产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解∶ 物体从的高处自由下落， ． 故答案为∶； （2）解∶ 可能造成伤害，理由如下∶ ，，， （焦）焦 答：可能会对楼下的行人造成伤害． 题型十 规律探究（难点） 解｜题｜技｜巧 1.核心思路:解读题干新定义或已知规律，转化为二次根式的化简、运算问题，归纳通用方法。 2.关键步骤: 精准理解新定义或规律的本质内涵， 通过少量特例验证规律的合理性; 归纳总结通用解题方法或公式: 运用归纳的方法解决新问题，确保符合定义或规律要求。 3.易错点:误解新定义或规律本质;规律归纳不全面;应用规律时忽略前提条件。 【典例10】定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：关于的“美好数”， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）【阅读】除了用分母有理化，我们还可以这样化简： ，我们把这样的化简方法叫作“二次根式的因式分解法”． 【完成任务】 (1)如果二次根式能用“二次根式的因式分解法”化简，请写出一个A的值，并将用“二次根式的因式分解法”进行化简； (2)用“二次根式的因式分解法”化简（其中、）． 【答案】(1)（答案不唯一），化简结果为 (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． （1）取，再根据二次根式的因式分解法进行化简即可； （2）根据二次根式的因式分解法进行化简即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2） ． 【变式2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分母有理化、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化以及代数式的整体代入求值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 通过分母有理化得到的表达式，进而推导出关于的二次式的整体值，再将代数式进行变形后整体代入计算． 【详解】（1）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ． （2）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·上海松江·期中）已知求的值． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式，本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是先利用因式分解对原式进行化简，再代入求值． 根据平方差公式、完全平方公式结合分母有理化进行化简，再将代入进行求解即可． 【详解】解： ， 当时， ． 2．要使式子有意义，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数成为解题的关键． 根据二次根式有意义的条列立不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：，解得：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海虹口·月考）已知，，求的值． 【答案】16 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、分母有理化、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 分母有理化可得，易得，然后根据完全平方公式可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·上海·期中）写出的一个有理化因式 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 5．（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 【答案】4 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化， 先分母有理化求出x，y，再因式分解代入求值即可． 【详解】解：，， ∴． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝ ． 【答案】4 【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了分母有理化、利用二次根式的性质化简，通过分母有理化，将每一项化为差的形式，再利用裂项相消即可求解． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：4． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)13 (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了分母有理化、通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化将化简，得到，，再利用完全平方公式变形求值即可； （2）先求出的值，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知，求的值． 【答案】． 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，首先需要根据二次根式有意义的条件确定的值，进而确定y的值，再把所求式子约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：， 和， 解得， 将代入的表达式中，， 把和代入需要求值的表达式中， ． 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）整理易错题是一种很好的学习习惯，小海和小华同学就把自己这段时间里容易做错的题目进行了收集整理，还分享给对方学习，想通过这种方式一起进步： 小海分享的题目：下列从左到右的变形正确的有_____． ①．    ②． 小华同学回答：①②都正确． 小华分享的题目：下列解法和变形错误的有_____． ①．方程的解是     ②． 小海同学回答：①②都错误． 请你判断一下，小海和小华谁的解答不正确，帮其订正一下，并说明理由． 【答案】小华的解答不正确．理由见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简、解一元二次方程——直接开平方法、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，解一元二次方程，因式分解等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． 小华对小海分享的题目判断错误，因未考虑变形成立的条件；小海对小华分享的题目判断正确．需帮小华订正其错误判断． 【详解】解：小海分享的题目： ①由等式左边得：， ∴且， ∴，即①正确； ②由等式左边得： 和 ， ∴同号， 当，时，， 当，时，， ∴且，等式成立；当，时，等式不成立， ∴②错误． ∴小华回答“①②都正确”不准确，需附加条件． 小华分享的题目： ①方程 的解为或， ∴仅说错误． ② 与 不相等， 例如时，左边，右边， ∴等式都错误． ∴小海回答“①②都错误”正确． 综上，小华的解答不正确． 4．（25-26八年级上·上海闵行·月考）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 【答案】(1)2 (2) 【知识点】二次根式的混合运算、无理方程 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式的运算法则为解题的关键． （1）运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由题意可得：，则， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的应用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案； （2）将变形为再代入求值即可； （3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解．． 【详解】（1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $