专题04 直角三角形（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学直角三角形专题复习讲义以思维导图统领知识体系，通过核心考点表格梳理性质与判定、全等判定、角平分线、勾股定理等六大模块，明确复习目标与考情规律，用例题解析与易错点提示构建“概念-应用-避坑”的递进脉络。 讲义亮点在于“题型-技巧-素养”三维设计，涵盖23类典型题型，如勾股定理与折叠问题通过设未知数构建方程培养运算能力，网格与最短路径问题发展几何直观。每题型配“解题技巧+避坑指南”，基础与重难通关练分层设置，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

专题04 直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直角三角形的性质及判定 掌握直角三角形两锐角互余、斜边中线等于斜边一半的性质，能通过两锐角互余或中线与边的关系判定直角三角形 基础必考点，小题、解答题均涉及；易混淆性质与判定的逻辑关系，忽略斜边中线的应用前提，误用中线逆定理的条件 直角三角形全等的判定 熟练运用“直角三角形判定定理”及普通全等判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）证明直角三角形全等 重点核心考点，解答题常考；易将“直角三角形判定定理”用于非直角三角形，重复证明直角相等，混淆斜边与直角边的对应关系 角平分线的作法 掌握尺规作已知角平分线的步骤，理解作图的理论依据（SSS全等） 基础考点，作图题为主；易将角平分线误作线段，忽略作图时的半径要求 角平分线的性质及定理 掌握角平分线上的点到角两边距离相等的性质，能利用逆定理判断点是否在角平分线上 重点考点，结合全等考查；易忽略“垂线段”的垂直条件，误将非垂直距离当作判定依据 勾股定理及变式 熟练运用勾股定理（a²+b²=c²）及变式求直角三角形边长，掌握面积法证明思路 核心考点，贯穿各类题型；易未确定斜边就代入公式，单位不统一，忽略分类讨论边长角色 勾股定理的逆定理及勾股数 能通过三边关系判断三角形是否为直角三角形，识别勾股数 重点考点，常与实际应用结合；易遗漏“先找最长边”的步骤，混淆勾股数的正整数要求 知识点01 直角三角形的性质及判定 1. 性质定理（1）：直角三角形的两个锐角互余。推理依据：三角形内角和定理；数学语言：在 中，，则。 2. 判定定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形。推理依据：三角形内角和定理；数学语言：在中，若，则，是直角三角形。 3. 性质定理（2）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；其逆定理为“若三角形一边上的中线等于 该边的一半，则这个三角形是直角三角形”。 数学语言：在中，，为AB中点，则。 示例 1. 性质与判定综合应用 已知：在中，于点，。 求证：是直角三角形。 证明：，（直角三角形两锐角互余）； 又， ， 是直角三角形（两个锐角互余的三角形是直角三角形）。 示例2. 斜边中线性质应用 已知：在中，，是AC的中点，于， 。 求：的度数。 解：是AC中点，，（直角三角形斜边中线等于斜边一半），； ，，， ； 又，。 1. 性质与判定逻辑混淆：误将“直角三角形→两锐角互余”的性质直接反向使用，忽略需结合三角形内角 和推导“两锐角互余→直角三角形”的步骤。 2. 斜边中线前提遗漏：将“斜边上的中线等于斜边一半”错误应用于普通三角形，未先确认三角形为直 角三角形。 3. 中线逆定理条件错误：使用“中线等于边的一半→直角三角形”时，误将非对应边的中线套用该结论。 知识点02 直角三角形全等的判定定理 1.判定定理：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等；该定理仅 适用于直角三角形。 2. 一般判定方法：判定普通三角形全等的“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，同样适用于直角三角形（直角 为隐含的相等条件）。 已知：，，，。 求证：。 证明：，，即； ，，和均为直角三角形； 在和中，， （直角三角形的判定定理）； ，（内错角相等，两直线平行）。 1. 定理范围误用：将定理应用于非直角三角形的全等判定。 2. 忽略直角隐含条件：使用普通判定方法时，重复证明直角三角形的“直角相等”（此为隐含条件）。 3. 条件匹配错误：混淆“斜边”与“直角边”，误将两条直角边对应相等当作定理的判定条件。 知识点03 作已知角的平分线 作∠AOB的平分线步骤： 1. 以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA、OB于D、E； 2. 分别以D、E为圆心，DE长为半径作弧，交于∠AOB内一点C； 3. 作射线OC，OC即为∠AOB的平分线。 （注意：角平分线是射线，不能表述为“连接OC”） 理论依据 连接CD、CE，在△OCD和△OCE中： ，故△OCD≌△OCE（SSS），得∠COD=∠COE，即OC平分∠AOB。 用尺规四等分∠AOB： 1. 按上述步骤作∠AOB的平分线OC； 2. 再分别作∠AOC、∠COB的平分线OM、ON，OM、ON、OC将∠AOB四等分。 知识点04 角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等。 数学语言：若OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 证明过程 ∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠2； ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°； 在△PDO和△PEO中：，故△PDO≌△PEO（AAS），得PD=PE。 已知点P、D在∠AOB的平分线上，OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，求证PM=PN： 1. ∵OD平分∠AOB，OA=OB，OD=OD，∴△AOD≌△BOD（SAS），得∠ADO=∠BDO； 2. ∵P在OD上，PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN（角平分线性质）。 知识点05 角平分线的性质定理的逆定理 定理：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上。 数学语言：若Q在∠AOB内，QD⊥OA，QE⊥OB且QD=QE，则Q在∠AOB的平分线上。 证明过程 作射线OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO=90°； 又QD=QE，OQ公共边，故Rt△QDO≌Rt△QEO（HL），得∠1=∠2，即OQ平分∠AOB。 △ABC中，∠B、∠C的外角平分线交于P，求证P在∠CAB的平分线上： 1. 作PF⊥AB，PG⊥BC，PH⊥AC； 2. ∵P在∠B外角平分线上，∴PF=PG；∵P在∠C外角平分线上，∴PH=PG； 3. 故PF=PH，又PF⊥AB，PH⊥AC，∴P在∠CAB的平分线上。 忽略垂直条件错用角平分线定理 “到角的两边距离相等”指“垂线段长度相等”，不能错误将非垂线段当作距离。 已知OB=OC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD、BE交于O，求证∠1=∠2： 1. ∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴∠OEC=∠ODB=90°； 2. 在△OEC和△ODB中：，故△OEC≌△ODB（AAS），得OE=OD； 3. ∵OE⊥AC，OD⊥AB且OE=OD，∴AO平分∠CAB，即∠1=∠2。 知识点06 勾股定理及相关基础 1. 直角三角形三边关系定理：在直角三角形中，斜边大于直角边。 证明：在Rt△ACB中，∠C=90°，由“直角三角形两锐角互余”得∠A<∠C，根据“大角对大边”，得BC<AB， 同理AC<AB。 2. 垂线段性质定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3. 勾股定理： （1）定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 （2）数学语言：若直角三角形的直角边为、，斜边为，则。 （3）变式：，，，，。 4. 勾股定理的证明（面积法）：通过两种方法计算同一图形的面积，利用面积相等推导（如大正方形面积 =4个直角三角形面积+小正方形面积，进而推出）。 勾股定理示例:在△ACB中，，，，，求AC。 解：在Rt△ABD中，； ； 在Rt△ADC中，。 知识点07 勾股定理的逆定理及勾股数 1.勾股定理的逆定理： （1）定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 （2）数学语言：若三角形三边、、满足，则该三角形是直角三角形。 2. 判断直角三角形的方法： （1）利用直角三角形定义，求出一个内角为90°； （2）利用勾股定理的逆定理：先找最长边，验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。 3. 勾股数： （1）定义：若正整数、、满足，则、、称为一组勾股数。 （2）说明：勾股数对应的三角形是直角三角形；勾股数有无数组；直角三角形的三边不一定是勾股数。 下列各组数中，是勾股数的是（B）。 A. 0.3 0.4 0.5 B. 7 24 25 D. 解析：A（非正整数）、C（非正整数）、D（）均不符合，B中且为正整数，故为勾股数。 应用勾股定理时未分类讨论直角边与斜边 “勾三股四弦五”的前提是3、4为直角边，题目未明确边长角色时，需分“第三边是斜边”“第三边是直 角边”两种情况讨论，避免遗漏。 已知直角三角形的两边长分别是3、4，求第三边长。 解：（1）当3、4为直角边时，第三边（斜边）； （2）当4为斜边、3为直角边时，第三边。 题型一 直角三角形的两个锐角互余（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：若 是 Rt 且 ，则 ；已知一个锐角 ，直接用＂ 求另一个锐角 避坑指南：仅适用于直角三角形，不能直接用于任意三角形 注意细节： 若题目给＂三角形两角为 ＂，需先验证第三角为 （或用勾股定理证是直角三角形），再用此结论； 计算角度时，步骤写＂∵ 是 Rt ＂，避免跳步 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）中，，，则 °． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 【变式2】已知是的高，，，的度数是 ． 题型二 斜边的中线等于斜边的一半（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：Rt 中，取斜边 A B 中点 ，连接直角顶点 与 ，则 ；反之，若三角形一边中线 = 这边的一半，此三角形是 Rt 避坑指南：仅限斜边的中线，直角边的中线不满足此结论 注意细节： 画图时需标注＂ O 是 AB 中点＂，并连接 OC （标中线符号）； 等腰 Rt △ 中，斜边中线同时是高、角平分线（三线合一），会将原三角形分成两个小等腰 Rt △ 【典例2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）如图，，E为的中点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，，是三角形的一条中线，若，的度数是 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 题型三 直角三角形的判定定理（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：仅用于 Rt ：两个 Rt 中，若斜边相等 + 一条直角边相等，则两三角形全等（记＂斜边 + 直角边＂） 注意细节： 书写证明时，必须先标＂Rt ：＂在 Rt 和 Rt 中，∵（斜边）， （直角边）， ∴ ； 斜边和直角边需对应顶点（如 AB 对应 DE ，不能混对应） 【典例3】下列命题中，假命题是（    ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 B．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等 【变式1】已知下列说法，其中结论正确的个数是（  ） ①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ． 【变式4】（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    题型四 全等的性质和直角三角形判定力度综合（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：先通过 HL 证Rt △ 全等，再用＂全等三角形对应边相等、对应角相等＂推导边／角关系 避坑指南：全等后对应边／角需严格匹配顶点顺序（如 ，则 AB 对应 对应 ） 注意细节： 推导时需写＂（全等三角形对应边相等）＂，不能直接跳步写＂ ； 若要证多条边／角，分步骤对应，避免混淆 【典例4】（25-26八年级上·上海·期中）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在等腰中，，，平分，交于点，，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（    ） A．10 B．13 C．15 D．17 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 【变式4】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为 ．    题型五 含30度角的直角三角形（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：Rt △ 中，若一个锐角为 ，则 角对的直角边 斜边；反之，若 Rt 中一条直角边 斜边，则该边对的角为 避坑指南：是＂ 角对的直角边＂，不是邻边；仅限 Rt △ 注意细节： 若 角对的边为 a ，斜边为 2 a ，另一条直角边为＂ （别漏乘 ）； 已知直角边为 2 ，若它是 对的边，斜边 ；若它是邻边，需用勾股定理计算斜边 【典例5】（24-25八年级上·上海·月考）如图，在 中，，为斜边的中线，为斜边的高，如果恰好平分，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（   ） ①若，则；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（24-25八年级上·上海·月考）下列命题中，正确命题的个数有（） ①点P是的平分线上一点，点M、N分别在边上，则； ②在中，是边的中线，且，则是直角三角形； ③在中，若，则； ④已知点C是线段上的一点，点D是线段外的一点，且，则直线是线段的垂直平分线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】（24-25八年级上·上海普陀·月考）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则 B．在中，，则 C．在中，，则 D．在中，，则 【变式4】（25-26八年级上·上海·期中）中，，上的高为，，则顶角 ． 题型六 角平分线的性质定理（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：角平分线上的点到角两边的垂线段长度相等；反之，到角两边垂线段相等的点在角的平分线上 避坑指南：必须是＂垂线段＂（垂直距离），不是任意线段 注意细节： 用性质时，需在图中标＂＂（如 ），并写＂: 平分 ， ∴ ； 逆定理需确认点在角的内部（外部点也可能距离相等，但不在平分线上） 【典例6】（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．5 D． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列说法错误的是（    ） A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C．在中，，D是边的中点，则有 D．在中，若，则 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 题型七 用勾股定理解三角形（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：Rt 中，（ a , b 为直角边， 为斜边）；已知两边，代入公式求第三边 避坑指南：先确定斜边（最长边），避免把直角边当斜边代入 注意细节： 若已知两边为 3、4，未明确斜边，需分情况：①4 是斜边，第三边 ；②3、4 是直角边，第三边 ； 结果为无理数时要化简（如 ），单位需统一（如厘米、米不能混算） 【典例7】（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式1】（23-24八年级上·上海青浦·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．直角都相等 B．全等三角形的对应角相等 C．在中，角所对的边是斜边的一半 D．在中，、、为三角形三边的长，若，则是直角三角形 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）直角三角形斜边长是10，则该三角形中的角所对的直角边长是 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，于点，，． (1)求和的长； (2)求的长（提示：利用三角形面积公式）． 【变式4】（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在边上作一点D，使得点D到边与边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的长． 题型八 以直角三角形三边为边长的图形面积（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法:拿直角三角形的两条直角边和斜边，分别当边长做形状一样的图形(比如都是正方形、都是正三角形)，那两条直角边对应的图形面积加起来，刚好等于斜边对应的图形面积 避坑指南:必须是“形状一样的图形"，如果图形形状不同，这个面积关系不成立 注意细节: 如果做的是圆，要先说清楚是拿边当圆的直径还是半径: 哪怕是不规则但形状一样的图形，这个“直角边图形面积和等于斜边图形面积”的规律也,成立 【典例8】如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·上海普陀·月考）如图，三角形为直角三角形，字母A、B、C表示正方形的面积，B的值为289，C的值为64，那么 ． 【变式2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是 ． 题型九 勾股定理与网格问题（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法:网格里要算某条线段的长度，就把这条线段当成直角三角形的斜边，数出这条线段在水平方向占了几个格子、垂直方向占了几个格子，再用勾股定理算出长度 避坑指南:不能斜着数格子，必须沿网格线数水平和垂直方向的格子数 注意细节: 网格默认每个小方格的边长是 1: 比如某条线段水平占了 3个格子、垂直占了 4 个格子，那它的长度就是 5 【典例9】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图是5×5的正方形网格，以点D．E的两个顶点作位置不同的格点三角形（顶点在网格横线与竖线的交点上的三角形称为格点三角形），使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画几个（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图、是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论） 例如：在图中，是格点，要作出线段的中点，可利用无刻度直尺，连接格点所得线段与线段交点就是线段中点，利用可说明． (1)在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线； (2)在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出等腰直角三角形，点是格点； (3)在（2）的基础上，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线． 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形． 要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 题型十 勾股定理与折叠问题（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：①折叠前后对应边／角相等（标相等符号）；②设未知数（如折叠后重合线段为 x ）；③在折叠形成的 Rt △ 中，用勾股定理列方程求解 避坑指南：别漏＂折叠前后的相等边＂，方程需在＊＊同一个 Rt △＊＊中列 注意细节： 折叠矩形时，原边 折叠后 AE ，需在图中标＂ ＂； 设未知数后，剩余线段用＂原长＂表示（如原长为 8 ，剩余线段 ），避免多个未知数 【典例10】如图长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（        ） A．2 B． C． D．1 【变式1】如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 【变式2】在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【变式3】如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为 【变式4】在中，，，，点D、E为，上两个动点，若将沿折叠，点C的对应点落在边上，若为直角三角形，则此时的值为 ． 题型十一 利用勾股定理证明线段平方关系（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：找到待证线段所在的直角三角形，用勾股定理写出该线段的平方表达式，再通过公共边、相等边等条件，将不同直角三角形的平方关系做等量代换，推导得出结论。 避坑指南：不能直接凭空推导平方关系，必须先明确线段对应的直角三角形（标注直角符号）。 注意细节： 证明时要明确写出 “在 Rt△XXX 中，由勾股定理得：XX² = XX² + XX²”，再进行代换； 若线段分属不同直角三角形，需借助公共边作为 “中间桥梁” 关联关系。 【典例11】定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在中，，且，如果是奇异三角形，那么 . 【变式1】已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BA＝AC，点E、F是线段BC上两动点且∠EAF＝45°，请写出BE、EF、FC之间的等量关系并证明. 【变式2】中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 【变式3】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 题型十二 勾股定理的证明方法（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：常用 “面积法”—— 将证明用的图形（如赵爽弦图、梯形）的面积用两种方式表示（整体面积 = 各部分面积之和），化简等式后得到勾股定理的形式。 避坑指南：计算面积时，不要漏算、多算图形的组成部分（比如弦图里的小正方形）。 注意细节： 以赵爽弦图为例：大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积，按此关系列等式后化简； 证明过程要说明 “面积的两种表示方式”，再推导等式，不能直接写结果。 【典例12】（24-25八年级上·上海·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种． (1)请写出勾股定理的内容_____． (2)请写出一种勾股定理的证明方法． 【变式1】如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． (1)求证：； (2)如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【变式2】（23-24八年级上·上海·月考）若在中，，，，，则试用两种方法证明． 【变式3】综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． (1)请用分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ， ，边上的高为______． 题型十三 以弦图为背景的计算题（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：弦图由 4 个全等直角三角形和 1 个小正方形组成，先明确直角三角形的直角边与小正方形边长的关系（小正方形边长 = 两条直角边的长度差），再结合大 / 小正方形的边长、面积，用勾股定理计算直角边长度。 避坑指南：不要混淆 “大正方形边长（直角三角形的斜边）” 与 “小正方形边长（直角边的差）”。 注意细节： 若大正方形面积是 25、小正方形面积是 1，则直角三角形斜边为 5，直角边差为 1，结合勾股定理可算出直角边； 计算后要舍去负数解（边长为正数）。 【典例13】（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 【变式2】在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 ． 【变式3】如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则 ． 题型十四 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：梯子长度是不变的斜边，先算滑落前梯子顶端到地面的高度（用勾股定理），再算滑落后顶端的新高度，两者的差值就是滑落高度。 避坑指南：梯子长度是 “定值”，不能当成变化的边。 注意细节： 例如：梯子长 5 米，原底部距墙 3 米，滑落后底部距墙 4 米，则原顶端高度为 4 米、新顶端高度为 3 米，滑落高度 = 4-3=1 米； 计算顶端高度时，用 “梯子长度 ² - 底部距墙距离 ²” 开平方。 【典例14】如图： 米长的滑梯 开始在 点距墙面水平距离 米，当向后移动 米， 点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离 （大于、小于或等于） 米． 【变式1】一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．    【变式2】如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 【变式3】（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 题型十五 求旗杆高度(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：旗杆（垂直地面）、地面、绳子组成直角三角形（绳子是斜边），若绳子比旗杆长一段，设旗杆高为未知数，绳子长度为 “旗杆高 + 多出的长度”，结合地面距离，用勾股定理列方程求解。 避坑指南：绳子长度是 “旗杆高度 + 多出的长度”，不要搞反两者的关系。 注意细节： 例如：旗杆垂直地面，绳子比旗杆长 2 米，绳子拉到地面距旗杆底部 6 米，设旗杆高为 x，则绳子长 x+2，列方程 x² + 6² = (x+2)² 求解； 解方程时展开完全平方要注意符号，避免计算错误。 【典例15】将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【变式1】强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【变式2】今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺． 题型十六 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：小鸟直线飞行的距离是斜边，将 “两物体的水平距离”“高度差” 作为直角边，用勾股定理计算斜边长度。 避坑指南：垂直方向的长度是 “两物体的高度差”，不是其中一个物体的高度。 注意细节： 例如：树高 12 米，另一棵树高 4 米，两树间距 9 米，飞行距离为 “高度差（8 米）” 和 “水平距离（9 米）” 组成的直角三角形的斜边； 结果是无理数时要化简（如√12 化简为 2√3）。 【典例16】如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1】已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米． 【变式2】如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 题型十七 求大树折断前的高度(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：大树折断后，树桩是一条直角边，折断部分是斜边，触地点到树桩的距离是另一条直角边，先算折断部分的长度（用勾股定理），再加上树桩高度就是原树高。 避坑指南：原树高是 “树桩高度 + 折断部分长度”，不要只算树桩高度。 注意细节： 例如：树桩高 3 米，触地点距树桩 4 米，则折断部分长 5 米，原树高 = 3+5=8 米； 触地点到树桩的距离是 “水平距离”，需与树桩垂直。 【典例17】《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【变式1】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺（1丈尺）． 题型十八 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：水杯的底面直径和高度组成直角三角形的两条直角边，筷子在杯内的部分是斜边；若筷子露出杯口，总长 = 杯内部分长度 + 露出长度。 避坑指南：计算时用 “底面直径”（不是半径）作为直角边。 注意细节： 例如：水杯高 12cm、底面直径 5cm，杯内筷子最长为 13cm，若筷子长 15cm，则露出长度 = 15-13=2cm； 筷子垂直放时，杯内部分长度等于水杯高度。 【典例18】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ． 题型十九 求最短路径(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：将立体图形（如长方体、圆柱）展开成平面图形，最短路径就是展开图中两点间的线段（斜边），再用勾股定理计算长度。 避坑指南：展开立体图形时要选对 “展开面”，避免展开错误导致路径变长。 注意细节： 圆柱展开是长方形，其中一边是圆柱的高，另一边是底面周长的一半； 长方体要选择 “展开后直角边和最小” 的方式，确保路径最短。 【典例19】如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这圈彩带的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是（   ）． A．6 B．8 C．10 D．10 题型二十 判断三边能否构成直角三角形（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：先找出三边中最长的边，计算 “最长边的平方” 与 “另外两边的平方和”，若两者相等，则能构成直角三角形。 避坑指南：必须先确定 “最长边”，不能随便选一边计算平方。 注意细节： 例如：三边 3、4、5，最长边是 5，5²=25，3²+4²=25，因此能构成； 计算平方时要准确（如 12²=144，不要算成 121）。 【典例20】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（   ） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 【变式2】（24-25八年级上·上海·期末）下列命题中，逆命题不正确的是（  ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 【变式3】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 题型二十一 在网格中判断直角三角形（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：用勾股定理计算三边长度（将每条边看作直角三角形的斜边，数出水平、垂直方向的网格数），再按 “最长边平方是否等于另两边平方和” 判断。 避坑指南：数网格时要沿水平 / 垂直方向数，不能斜着数格子。 注意细节： 例如：网格中三点，某边斜跨 2 个水平格、3 个垂直格，长度为√(2²+3²)； 计算完三边长度后，再用逆定理判断。 【典例21】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式1】如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝ 度． 【变式2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题： (1)在网格中画，使的三个顶点都在小正方形的格点上，三边的长分别为． (2)判断的形状，并说明理由． (3)求作点，使，且点到的距离相等．（保留作图痕迹） 题型二十二 利用勾股定理的逆定理求解（重难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：计算三边的平方，找到最长边，验证 “最长边的平方是否等于另外两边的平方和”；若相等，该三角形是直角三角形，且最长边对的角是直角。 避坑指南：不要混淆 “勾股定理（由直角推边的关系）” 和 “逆定理（由边的关系推直角）”。 注意细节： 若三边平方为 9、16、25，最长边平方 25=9+16，因此是直角三角形，最长边对的角为 90°； 结论要明确 “哪条边对的角是直角”。 【典例22】如图，在中，，，，点P为边上一点，点P关于直线的对称点为点Q，联结、，与边交于点D．当时，则 ． 【变式1】（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【变式2】（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 题型二十三 勾股定理逆定理的实际应用（重难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：先测量 / 计算出实际问题中三条线段的长度，再用逆定理判断是否为直角三角形，进而解决问题（如判断场地的角是否为直角）。 避坑指南：不能直接假设是直角三角形，必须先得到三边长度再判断。 注意细节： 例如：场地三边为 6m、8m、10m，6²+8²=10²，因此是直角三角形，对应角为直角； 若长度是小数，计算平方时要精确（如 2.5²=6.25）。 【典例23】我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【变式2】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，点D、A、E在直线m上，于点D，于点E，且．若，则              2．（24-25八年级上·上海普陀·月考）如图，在中，，，于，则 ． 3．（24-25八年级上·上海·月考）如图，在中，，点分别是上的动点，将沿直线翻折，点B的对点恰好落在边上，如果中有一个角是，则的长度为 ． 4．请在数轴上作出对应的点(合理标注，保留作图痕迹，不写做法)。    5．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． (1)求证：； (2)取边的中点，求证：． 期末重难通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 2．（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，． 求证：． 3．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足时，求出此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求的值； (3)在运动过程中，求出当为何值时，是等腰三角形，请直接写出结果． 试卷第1页，共3页 1 / 125 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直角三角形的性质及判定 掌握直角三角形两锐角互余、斜边中线等于斜边一半的性质，能通过两锐角互余或中线与边的关系判定直角三角形 基础必考点，小题、解答题均涉及；易混淆性质与判定的逻辑关系，忽略斜边中线的应用前提，误用中线逆定理的条件 直角三角形全等的判定 熟练运用“直角三角形判定定理”及普通全等判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）证明直角三角形全等 重点核心考点，解答题常考；易将“直角三角形判定定理”用于非直角三角形，重复证明直角相等，混淆斜边与直角边的对应关系 角平分线的作法 掌握尺规作已知角平分线的步骤，理解作图的理论依据（SSS全等） 基础考点，作图题为主；易将角平分线误作线段，忽略作图时的半径要求 角平分线的性质及定理 掌握角平分线上的点到角两边距离相等的性质，能利用逆定理判断点是否在角平分线上 重点考点，结合全等考查；易忽略“垂线段”的垂直条件，误将非垂直距离当作判定依据 勾股定理及变式 熟练运用勾股定理（a²+b²=c²）及变式求直角三角形边长，掌握面积法证明思路 核心考点，贯穿各类题型；易未确定斜边就代入公式，单位不统一，忽略分类讨论边长角色 勾股定理的逆定理及勾股数 能通过三边关系判断三角形是否为直角三角形，识别勾股数 重点考点，常与实际应用结合；易遗漏“先找最长边”的步骤，混淆勾股数的正整数要求 知识点01 直角三角形的性质及判定 1. 性质定理（1）：直角三角形的两个锐角互余。推理依据：三角形内角和定理；数学语言：在 中，，则。 2. 判定定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形。推理依据：三角形内角和定理；数学语言：在中，若，则，是直角三角形。 3. 性质定理（2）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；其逆定理为“若三角形一边上的中线等于 该边的一半，则这个三角形是直角三角形”。 数学语言：在中，，为AB中点，则。 示例 1. 性质与判定综合应用 已知：在中，于点，。 求证：是直角三角形。 证明：，（直角三角形两锐角互余）； 又， ， 是直角三角形（两个锐角互余的三角形是直角三角形）。 示例2. 斜边中线性质应用 已知：在中，，是AC的中点，于， 。 求：的度数。 解：是AC中点，，（直角三角形斜边中线等于斜边一半），； ，，， ； 又，。 1. 性质与判定逻辑混淆：误将“直角三角形→两锐角互余”的性质直接反向使用，忽略需结合三角形内角 和推导“两锐角互余→直角三角形”的步骤。 2. 斜边中线前提遗漏：将“斜边上的中线等于斜边一半”错误应用于普通三角形，未先确认三角形为直 角三角形。 3. 中线逆定理条件错误：使用“中线等于边的一半→直角三角形”时，误将非对应边的中线套用该结论。 知识点02 直角三角形全等的判定定理 1.判定定理：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等；该定理仅 适用于直角三角形。 2. 一般判定方法：判定普通三角形全等的“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，同样适用于直角三角形（直角 为隐含的相等条件）。 已知：，，，。 求证：。 证明：，，即； ，，和均为直角三角形； 在和中，， （直角三角形的判定定理）； ，（内错角相等，两直线平行）。 1. 定理范围误用：将定理应用于非直角三角形的全等判定。 2. 忽略直角隐含条件：使用普通判定方法时，重复证明直角三角形的“直角相等”（此为隐含条件）。 3. 条件匹配错误：混淆“斜边”与“直角边”，误将两条直角边对应相等当作定理的判定条件。 知识点03 作已知角的平分线 作∠AOB的平分线步骤： 1. 以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA、OB于D、E； 2. 分别以D、E为圆心，DE长为半径作弧，交于∠AOB内一点C； 3. 作射线OC，OC即为∠AOB的平分线。 （注意：角平分线是射线，不能表述为“连接OC”） 理论依据 连接CD、CE，在△OCD和△OCE中： ，故△OCD≌△OCE（SSS），得∠COD=∠COE，即OC平分∠AOB。 用尺规四等分∠AOB： 1. 按上述步骤作∠AOB的平分线OC； 2. 再分别作∠AOC、∠COB的平分线OM、ON，OM、ON、OC将∠AOB四等分。 知识点04 角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等。 数学语言：若OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 证明过程 ∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠2； ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°； 在△PDO和△PEO中：，故△PDO≌△PEO（AAS），得PD=PE。 已知点P、D在∠AOB的平分线上，OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，求证PM=PN： 1. ∵OD平分∠AOB，OA=OB，OD=OD，∴△AOD≌△BOD（SAS），得∠ADO=∠BDO； 2. ∵P在OD上，PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN（角平分线性质）。 知识点05 角平分线的性质定理的逆定理 定理：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上。 数学语言：若Q在∠AOB内，QD⊥OA，QE⊥OB且QD=QE，则Q在∠AOB的平分线上。 证明过程 作射线OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO=90°； 又QD=QE，OQ公共边，故Rt△QDO≌Rt△QEO（HL），得∠1=∠2，即OQ平分∠AOB。 △ABC中，∠B、∠C的外角平分线交于P，求证P在∠CAB的平分线上： 1. 作PF⊥AB，PG⊥BC，PH⊥AC； 2. ∵P在∠B外角平分线上，∴PF=PG；∵P在∠C外角平分线上，∴PH=PG； 3. 故PF=PH，又PF⊥AB，PH⊥AC，∴P在∠CAB的平分线上。 忽略垂直条件错用角平分线定理 “到角的两边距离相等”指“垂线段长度相等”，不能错误将非垂线段当作距离。 已知OB=OC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD、BE交于O，求证∠1=∠2： 1. ∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴∠OEC=∠ODB=90°； 2. 在△OEC和△ODB中：，故△OEC≌△ODB（AAS），得OE=OD； 3. ∵OE⊥AC，OD⊥AB且OE=OD，∴AO平分∠CAB，即∠1=∠2。 知识点06 勾股定理及相关基础 1. 直角三角形三边关系定理：在直角三角形中，斜边大于直角边。 证明：在Rt△ACB中，∠C=90°，由“直角三角形两锐角互余”得∠A<∠C，根据“大角对大边”，得BC<AB， 同理AC<AB。 2. 垂线段性质定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3. 勾股定理： （1）定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 （2）数学语言：若直角三角形的直角边为、，斜边为，则。 （3）变式：，，，，。 4. 勾股定理的证明（面积法）：通过两种方法计算同一图形的面积，利用面积相等推导（如大正方形面积 =4个直角三角形面积+小正方形面积，进而推出）。 勾股定理示例:在△ACB中，，，，，求AC。 解：在Rt△ABD中，； ； 在Rt△ADC中，。 知识点07 勾股定理的逆定理及勾股数 1.勾股定理的逆定理： （1）定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 （2）数学语言：若三角形三边、、满足，则该三角形是直角三角形。 2. 判断直角三角形的方法： （1）利用直角三角形定义，求出一个内角为90°； （2）利用勾股定理的逆定理：先找最长边，验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。 3. 勾股数： （1）定义：若正整数、、满足，则、、称为一组勾股数。 （2）说明：勾股数对应的三角形是直角三角形；勾股数有无数组；直角三角形的三边不一定是勾股数。 下列各组数中，是勾股数的是（B）。 A. 0.3 0.4 0.5 B. 7 24 25 D. 解析：A（非正整数）、C（非正整数）、D（）均不符合，B中且为正整数，故为勾股数。 应用勾股定理时未分类讨论直角边与斜边 “勾三股四弦五”的前提是3、4为直角边，题目未明确边长角色时，需分“第三边是斜边”“第三边是直 角边”两种情况讨论，避免遗漏。 已知直角三角形的两边长分别是3、4，求第三边长。 解：（1）当3、4为直角边时，第三边（斜边）； （2）当4为斜边、3为直角边时，第三边。 题型一 直角三角形的两个锐角互余（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：若 是 Rt 且 ，则 ；已知一个锐角 ，直接用＂ 求另一个锐角 避坑指南：仅适用于直角三角形，不能直接用于任意三角形 注意细节： 若题目给＂三角形两角为 ＂，需先验证第三角为 （或用勾股定理证是直角三角形），再用此结论； 计算角度时，步骤写＂∵ 是 Rt ＂，避免跳步 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）中，，，则 °． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查角度的减法运算，直角三角形的性质；根据直角三角形的性质，两锐角互余，可得即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴. 故答案为：. 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余得到，结合已知条件，不难求得的度数． 【详解】解：在中，，因此， 又， 将两式相加，得：， 即， 所以， 故答案为：． 【变式2】已知是的高，，，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形内角和． 分高在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当高在内部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以； 当高在外部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以． 故答案为：或． 题型二 斜边的中线等于斜边的一半（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：Rt 中，取斜边 A B 中点 ，连接直角顶点 与 ，则 ；反之，若三角形一边中线 = 这边的一半，此三角形是 Rt 避坑指南：仅限斜边的中线，直角边的中线不满足此结论 注意细节： 画图时需标注＂ O 是 AB 中点＂，并连接 OC （标中线符号）； 等腰 Rt △ 中，斜边中线同时是高、角平分线（三线合一），会将原三角形分成两个小等腰 Rt △ 【典例2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，设斜边的长为，则斜边上的中线长度为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握直角三角形斜边上的中线为斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：设斜边的长为，则斜边上的中线长度为， ∵斜边及其中线之和等于， ∴， ∴， 即斜边长是. 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）如图，，E为的中点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质．根据直角三角形斜边上中线的性质得，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、含30度角的直角三角形的性质；过点作于，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出、，求出，进而求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，为中点，斜边， ，， 在中，，，为中点，斜边， ， ∴， 为等边三角形， ， ， ∴，． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，，是三角形的一条中线，若，的度数是 ． 【答案】/102度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 由直角三角形斜边中线的性质得到，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵在中，，是三角形的一条中线， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求得是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，取的中点，连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ，． 如图，取的中点，连接， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 题型三 直角三角形的判定定理（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：仅用于 Rt ：两个 Rt 中，若斜边相等 + 一条直角边相等，则两三角形全等（记＂斜边 + 直角边＂） 注意细节： 书写证明时，必须先标＂Rt ：＂在 Rt 和 Rt 中，∵（斜边）， （直角边）， ∴ ； 斜边和直角边需对应顶点（如 AB 对应 DE ，不能混对应） 【典例3】下列命题中，假命题是（    ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 B．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等 【答案】D 【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意； B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意； C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意； D、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【变式1】已知下列说法，其中结论正确的个数是（  ） ①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】用HL证全等（HL）、线段垂直平分线的判定、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】分别根据等腰三角形三线合一的性质、等腰三角形的对称性、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理分别对各项进行判断即可． 【详解】解：①等腰三角形底边上的高就是这条边上的中线，故原说法错误； ②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线所在的直线，故原说法错误； ③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，只能说明这个点在这条线段的垂直平分线上，此说法错误； ④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，正确． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质、轴对称图形、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题． 【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 【变式4】（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 题型四 全等的性质和直角三角形判定力度综合（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：先通过 HL 证Rt △ 全等，再用＂全等三角形对应边相等、对应角相等＂推导边／角关系 避坑指南：全等后对应边／角需严格匹配顶点顺序（如 ，则 AB 对应 对应 ） 注意细节： 推导时需写＂（全等三角形对应边相等）＂，不能直接跳步写＂ ； 若要证多条边／角，分步骤对应，避免混淆 【典例4】（25-26八年级上·上海·期中）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐个判断命题的真假．①直角三角形有两边相等未明确是哪两条边，故①不一定成立；②等腰直角三角形腰相等则全等；③不一定成立；④等腰三角形顶角和底边对应相等则全等；⑤当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等． 【详解】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，不一定成立，原命题是假命题； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题． ⑤ 两边和其中一边上的高对应相等，当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等，是假命题． 其中真命题的个数是2个； 故选：B． 【变式1】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在等腰中，，，平分，交于点，，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些 知识点是解题的关键． 由角平分线得到，再证明，继而 【详解】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 的周长 ， ， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（    ） A．10 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明得到，则，进一步证明得到，则． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题的关键，根据题意易证得，，即可得到，进而可推算出的长． 【详解】解：∵，平分，， ∴， 在与中 ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 【变式4】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为 ．    【答案】/55度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由，，，根据证明，则，，所以，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 题型五 含30度角的直角三角形（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：Rt △ 中，若一个锐角为 ，则 角对的直角边 斜边；反之，若 Rt 中一条直角边 斜边，则该边对的角为 避坑指南：是＂ 角对的直角边＂，不是邻边；仅限 Rt △ 注意细节： 若 角对的边为 a ，斜边为 2 a ，另一条直角边为＂ （别漏乘 ）； 已知直角边为 2 ，若它是 对的边，斜边 ；若它是邻边，需用勾股定理计算斜边 【典例5】（24-25八年级上·上海·月考）如图，在 中，，为斜边的中线，为斜边的高，如果恰好平分，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 可得，再由三角形外角的性质可得，再证明是等边三角形，，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵在 中，，为斜边的中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， ∵为斜边的高，恰好平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，，故B选项正确，不符合题意； ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【变式1】（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（   ） ①若，则；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可判断①正确；先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可判断②正确；在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式可得，然后根据全等三角形的性质可得，，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，结论①正确； ∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，则结论②正确； 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论③正确； 如图，过点作于点，作于点， 由上已得：，即平分， ∴， ∴， 由上已证：，， ∴，， ∴，则结论④正确； 综上，结论中正确的有4个， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·上海·月考）下列命题中，正确命题的个数有（） ①点P是的平分线上一点，点M、N分别在边上，则； ②在中，是边的中线，且，则是直角三角形； ③在中，若，则； ④已知点C是线段上的一点，点D是线段外的一点，且，则直线是线段的垂直平分线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形、判断命题真假 【分析】根据直角三角形的判定、角平分线的性质、含角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定即可作出判断． 【详解】解：①点P是的平分线上一点，点M、N分别在边上，且，则，故原命题错误； ②在中，是边的中线，且， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 故原命题正确； ③在中，若，，则，故原命题错误； ④已知点C是线段上的中点，点D是线段外的一点，且，则直线是线段的垂直平分线，故原命题错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题真假的关键是要熟悉课本中的定理． 【变式3】（24-25八年级上·上海普陀·月考）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则 B．在中，，则 C．在中，，则 D．在中，，则 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角的直角三角形的性质及其逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，逆定理为：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边为斜边的一半，那么这个锐角为．据此分析即可． 【详解】解：A、不是斜边，故不能用角的直角三角形的逆定理判断，故不符合题意； B、不知哪个角为直角，故错误，不符合题意； C、在中，，则，符合角的直角三角形的逆定理，符合题意； D、应为，故错误，不符合题意， 故选：C． 【变式4】（25-26八年级上·上海·期中）中，，上的高为，，则顶角 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,等边三角形的性质与判定；根据为锐角三角形和钝角三角形两种情况分类讨论解答即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图1：取的中点，连接 ∴， ， ∴ ，， ， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ； 当为钝角三角形时，如图2：取的中点，连接 同理可得， ， 综上所述，或． 故答案为：或． 题型六 角平分线的性质定理（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：角平分线上的点到角两边的垂线段长度相等；反之，到角两边垂线段相等的点在角的平分线上 避坑指南：必须是＂垂线段＂（垂直距离），不是任意线段 注意细节： 用性质时，需在图中标＂＂（如 ），并写＂: 平分 ， ∴ ； 逆定理需确认点在角的内部（外部点也可能距离相等，但不在平分线上） 【典例6】（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．5 D． 【答案】A 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：过点作， 则：， ∴， ∵点为直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵是的平分线， ∴当时，， ∴线段的长不可能是2． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列说法错误的是（    ） A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C．在中，，D是边的中点，则有 D．在中，若，则 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查角平分线的性质、直角三角形的性质等，根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等，故A正确； B、到角两边所在直线距离相等的点可能不在角的内部，不一定在角平分线上，故B错误； C、在中，，D是中点，则是斜边中线，有，故C正确； D、在中，，则，故D正确． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为 ． 【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接，过点O作于点E，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F，如图所示： 由，分别平分，，于点，， 故， 故， ， 解得， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质；作于点，由平分交于点，于点，得，根据，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， 是的角平分线， 平分交于点， 于点，于点， ， ∵，， 解得： 故答案为：． 题型七 用勾股定理解三角形（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：Rt 中，（ a , b 为直角边， 为斜边）；已知两边，代入公式求第三边 避坑指南：先确定斜边（最长边），避免把直角边当斜边代入 注意细节： 若已知两边为 3、4，未明确斜边，需分情况：①4 是斜边，第三边 ；②3、4 是直角边，第三边 ； 结果为无理数时要化简（如 ），单位需统一（如厘米、米不能混算） 【典例7】（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了角平分线的性质应用，利用等面积法计算是解题的关键． 根据已知条件求出，过点作，，，根据等面积法计算即可； 【详解】过点作，，，连接， ，，， ， 平分，平分， ， ， ， , ， 点到边的距离为． 故选． 【变式1】（23-24八年级上·上海青浦·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．直角都相等 B．全等三角形的对应角相等 C．在中，角所对的边是斜边的一半 D．在中，、、为三角形三边的长，若，则是直角三角形 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题． 分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据角、全等三角形的判定和含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，假命题，不符合题意； B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； C、在中，一个角所对的边是斜边的一半，则这个角的度数为，真命题，符合题意； D、在中，、、为三角形三边的长，若这个三角形为直角三角形，则，由于直角边斜边不确定，假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）直角三角形斜边长是10，则该三角形中的角所对的直角边长是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，熟知所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 先求得所对的直角边，再利用勾股定理即可． 【详解】解：在直角三角形中，若一个角为，则另一个锐角为， 所以的角所对的直角边长是， 根据勾股定理可得的角所对的直角边长是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，于点，，． (1)求和的长； (2)求的长（提示：利用三角形面积公式）． 【答案】(1)的长为，的长为； (2)的长为． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查含角的直角三角形，勾股定理，三角形的高相关的计算． （1）由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得； （2）将和代入三角形的面积公式，可得，用表示，即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． ∴的长为，的长为． （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． ∴的长为． 【变式4】（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在边上作一点D，使得点D到边与边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的判定与性质，30度角的直角三角形，勾股定理，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解点D到边与边的距离相等，即作出的平分线，交于一点，即为点，即可作答． （2）先求出，结合角平分线的定义，得出，根据等角对等边，得，运用30度角的直角三角形的性质以及勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：点D如图所示： （2）解：∵，． ∴， 由（1）的作图痕迹，得出是的角平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴． 题型八 以直角三角形三边为边长的图形面积（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法:拿直角三角形的两条直角边和斜边，分别当边长做形状一样的图形(比如都是正方形、都是正三角形)，那两条直角边对应的图形面积加起来，刚好等于斜边对应的图形面积 避坑指南:必须是“形状一样的图形"，如果图形形状不同，这个面积关系不成立 注意细节: 如果做的是圆，要先说清楚是拿边当圆的直径还是半径: 哪怕是不规则但形状一样的图形，这个“直角边图形面积和等于斜边图形面积”的规律也,成立 【典例8】如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理可知，以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积． 【详解】解：设直角三角形的三边从小到大是 ∴ 如图，过A作于H， ， 则； 同理 ， 又 则． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·上海普陀·月考）如图，三角形为直角三角形，字母A、B、C表示正方形的面积，B的值为289，C的值为64，那么 ． 【答案】225 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理和正方形的面积计算公式可得A的面积加C的面积等于B的面积，据此求解即可． 【详解】解：由勾股定理和正方形的性质可得正方形A的面积加上正方形C的面积等于正方形B的面积， ∵B的值为289，C的值为64， ∴A的值为， 故答案为：225． 【变式2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出正方形的边长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，字母所表示的正方形的边长为， ∴字母所表示的正方形面积等于 故答案为：． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是 ． 【答案】+24 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】连结BD，然后根据勾股定理求得BD的值和△BAD的面积，再根据勾股定理逆定理得到△BDC是直角三角形，所以可以得到△BDC的面积，从而得到四边形ABCD的面积． 【详解】解：如图，连结BD， ∵∠BAD=90°， ∴， ∵， ， ∴BD=6， ∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2， ∴∠BDC=90°， ∴S△ABD=，S△BDC=， ∴四边形ABCD的面积是= S△ABD+ S△BDC=+24 故答案为： +24． 【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型九 勾股定理与网格问题（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法:网格里要算某条线段的长度，就把这条线段当成直角三角形的斜边，数出这条线段在水平方向占了几个格子、垂直方向占了几个格子，再用勾股定理算出长度 避坑指南:不能斜着数格子，必须沿网格线数水平和垂直方向的格子数 注意细节: 网格默认每个小方格的边长是 1: 比如某条线段水平占了 3个格子、垂直占了 4 个格子，那它的长度就是 5 【典例9】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，掌握勾股定理求出线段的长，垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 连接，，，，，，，，结合网格的特点，根据勾股定理求出各线段的长，得到，，根据线段的垂直平分线的判定及性质即可解答． 【详解】解：连接，，，，，，，， ∵每个小正方形的边长都为1， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴直线是的垂直平分线， ∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线． 故选：C 【变式1】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图是5×5的正方形网格，以点D．E的两个顶点作位置不同的格点三角形（顶点在网格横线与竖线的交点上的三角形称为格点三角形），使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画几个（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定，勾股定理等知识，取格点，，，，分别连接，，，，，，，，由可得，，，，即可得出答案，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，，，，分别连接，，，，，，，， 由图可知，， ， ， ， ， ∴，， 在和中， ， ∴， 同理：，，， ∴共有个与全等， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图、是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论） 例如：在图中，是格点，要作出线段的中点，可利用无刻度直尺，连接格点所得线段与线段交点就是线段中点，利用可说明． (1)在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线； (2)在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出等腰直角三角形，点是格点； (3)在（2）的基础上，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，K，连接交网格线于点M，作直线即可； （2）根据等腰直角三角形的判定画出图形即可； （3）取与格线交点，即的中点M，与的交点为N，作直线即可，由图知则，即点都在的垂直平分线上，故为所求作． 【详解】（1）解：如图a中，直线即为所求； （2）解：如图b中，点或即为所求； （3）解：如图b中，直线即为所求． 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形． 要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】作图见详解 【知识点】勾股定理与网格问题、正方形性质理解、格点作图题 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题．利用勾股定理在网格中分别找到的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】解：如图：排列形式如图③，画出分割线并在正方形网格图④中用实线画出拼接成的新正方形． 题型十 勾股定理与折叠问题（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：①折叠前后对应边／角相等（标相等符号）；②设未知数（如折叠后重合线段为 x ）；③在折叠形成的 Rt △ 中，用勾股定理列方程求解 避坑指南：别漏＂折叠前后的相等边＂，方程需在＊＊同一个 Rt △＊＊中列 注意细节： 折叠矩形时，原边 折叠后 AE ，需在图中标＂ ＂； 设未知数后，剩余线段用＂原长＂表示（如原长为 8 ，剩余线段 ），避免多个未知数 【典例10】如图长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（        ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理，设，则，由折叠性质可知，， ，求出，，在中，，即，即可求解． 【详解】解：设，则， 由折叠性质可知，， ， 在中，，， ， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 【变式1】如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角、勾股定理与折叠问题 【分析】过点A作于点G，过点D作与点H，根据等边对等角得出，进而得出，分别根据勾股定理得出长度，设，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】过点A作于点G，过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵将沿某直线翻折使得点与点重合， ∴垂直平方， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2】在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【答案】1或 【知识点】三线合一、勾股定理与折叠问题 【分析】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．分两种情况：当时，根据及将折叠，使点B与点A重合，可得，可得到的面积；当时，过A作于H，设，则，可得，，又，可得，再利用勾股定理可得，可得到的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵， ∴， ∵将折叠，使点B与点A重合， ∴， ∴的面积是：； 当时， 如图，过A作于H，设， ∵， ∴， ∴， ∵将折叠，使点B与点A重合， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的面积是：．． 故答案为：1或． 【变式3】如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为 【答案】 【知识点】点到直线的距离、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且G为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长． 【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示， 由折叠的性质可得：， 则为的中垂线， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长． 【变式4】在中，，，，点D、E为，上两个动点，若将沿折叠，点C的对应点落在边上，若为直角三角形，则此时的值为 ． 【答案】或 【知识点】勾股定理与折叠问题、含30度角的直角三角形、公式法解一元二次方程 【分析】根据为直角三角形，分两种情况进行讨论：①如图1，当时，②如图2，当时，分别根据含直角三角形的性质和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ①如图1，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴， ②如图2，当时，， 由折叠可得，，， ∴点A、D重合，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， 综上，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含直角三角形的性质以及解一元二次方程，解题时选择适当的直角三角形，根据折叠的性质和含直角三角形的性质表示出线段的长度，运用勾股定理列出方程是解题的关键． 题型十一 利用勾股定理证明线段平方关系（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：找到待证线段所在的直角三角形，用勾股定理写出该线段的平方表达式，再通过公共边、相等边等条件，将不同直角三角形的平方关系做等量代换，推导得出结论。 避坑指南：不能直接凭空推导平方关系，必须先明确线段对应的直角三角形（标注直角符号）。 注意细节： 证明时要明确写出 “在 Rt△XXX 中，由勾股定理得：XX² = XX² + XX²”，再进行代换； 若线段分属不同直角三角形，需借助公共边作为 “中间桥梁” 关联关系。 【典例11】定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在中，，且，如果是奇异三角形，那么 . 【答案】1：： 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】由△ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2＝a2＋b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2＝b2＋c2，记作②，或2b2＝a2＋c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值． 【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∴根据勾股定理得：c2＝a2＋b2，记作①， 又Rt△ABC是奇异三角形， ∴2a2＝b2＋c2，②， 将①代入②得：a2＝2b2，即a＝b（不合题意，舍去）， ∴2b2＝a2＋c2，③， 将①代入③得：b2＝2a2，即b＝a， 将b＝a代入①得：c2＝3a2，即c＝a， 则a：b：c＝1：：． 故答案为：1：：． 【点睛】此题考查了新定义的知识，勾股定理．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用． 【变式1】已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BA＝AC，点E、F是线段BC上两动点且∠EAF＝45°，请写出BE、EF、FC之间的等量关系并证明. 【答案】BE2+ FC2= EF2，证明见解析. 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】将△ABE逆时针旋转90度到△ACD的位置，点B、E的对应点为点C、D，首先证明∠EAF＝∠FAD＝45°，然后利用SAS证明△AEF≌△ADF，得到EF＝DF，求出∠FCD＝90°，根据勾股定理可得结论. 【详解】BE2+ FC2= EF2， 证明：如图，将△ABE逆时针旋转90度到△ACD的位置，点B、E的对应点为点C、D， ∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，BE=CD， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠FAC＝45°， ∴∠CAD +∠FAC＝45°， ∴∠EAF＝∠FAD＝45°， 又∵AE=AD，AF=AF， ∴△AEF≌△ADF（SAS）， ∴EF＝DF， ∵∠ACD＝∠ABE＝∠ACB＝45°， ∴∠FCD＝90°， ∴FC2+CD2=DF2，即BE2+ FC2= EF2. 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 【变式2】中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、利用勾股定理证明线段平方关系、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）联结MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得,根据点F是CD中点，即可判断是的垂直平分线； （2）证明是的垂直平分线，可得，进而在中，，等量代换即可得 【详解】（1）证明：联结MD． ∵， ∴ ∵点M是AE的中点， ∴．同理可证：， ∴． ∵点F是CD中点， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵点M是AE的中点， ∴． ∵， ∴点M，点C在线段AD的垂直平分线上． ∴CM是线段AD的垂直平分线． ∴，． ∴． ∴中， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 题型十二 勾股定理的证明方法（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：常用 “面积法”—— 将证明用的图形（如赵爽弦图、梯形）的面积用两种方式表示（整体面积 = 各部分面积之和），化简等式后得到勾股定理的形式。 避坑指南：计算面积时，不要漏算、多算图形的组成部分（比如弦图里的小正方形）。 注意细节： 以赵爽弦图为例：大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积，按此关系列等式后化简； 证明过程要说明 “面积的两种表示方式”，再推导等式，不能直接写结果。 【典例12】（24-25八年级上·上海·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种． (1)请写出勾股定理的内容_____． (2)请写出一种勾股定理的证明方法． 【答案】(1)一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． (2)见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理及其证明： （1）直接写出勾股定理即可； （2）利用赵爽弦图进行证明即可． 【详解】（1）解：勾股定理内容为：一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为，斜边为）和一个小正方形组成，则：大正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， ∴． 【变式1】如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． (1)求证：； (2)如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理的证明方法 【分析】（1）根据已知得到，，证得，，推出； （2）证明即可得到结论； 根据全等三角形的性质得到，根据四边形的面积即可推出． 【详解】（1）证明：∵三角形是直角三角形，直角顶点C在直线上， ∴， ∵过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． ∴， ∴，， ∴； （2）在和中 ∴， ∴； ∵， ∴， ∵四边形的面积 ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的推导，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理及勾股定理的公式是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·上海·月考）若在中，，，，，则试用两种方法证明． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形的性质、勾股定理的证明方法 【分析】方法一：用4个全等的拼成如图所示的“弦图”，由图可得：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为，根据大正方形的面积建立等式即可得到答案； 方法二：用两个全等的和一个等腰直角三角形构成直角梯形，由全等三角形的性质可得，，，，，用两种方法表示出梯形的面积，建立等式即可得出答案． 【详解】证明：方法一：如图，用4个全等的拼成如图所示的“弦图”， ， 由图可得：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， ， ； 方法二：如图，用两个全等的和一个等腰直角三角形构成直角梯形， ， ， ，，，，， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、掌握正方形、三角形、梯形的面积的计算是解此题的关键． 【变式3】综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． (1)请用分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ， ，边上的高为______． 【答案】(1)见解析 (2)6， 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用 （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 化简得：； （2）解：设边上的高为，则： ， ∴， ∴ 即AB边上的高是， 故答案为：，． 题型十三 以弦图为背景的计算题（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：弦图由 4 个全等直角三角形和 1 个小正方形组成，先明确直角三角形的直角边与小正方形边长的关系（小正方形边长 = 两条直角边的长度差），再结合大 / 小正方形的边长、面积，用勾股定理计算直角边长度。 避坑指南：不要混淆 “大正方形边长（直角三角形的斜边）” 与 “小正方形边长（直角边的差）”。 注意细节： 若大正方形面积是 25、小正方形面积是 1，则直角三角形斜边为 5，直角边差为 1，结合勾股定理可算出直角边； 计算后要舍去负数解（边长为正数）。 【典例13】（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键． 由正方形性质和勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：设大正方形的边长为，则大正方形的面积是， ， ， ， ， 小正方形的面积为：， 即， ， ， ， 故选D． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 【答案】3，2 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据大正方形与小正方形的面积得出关于、的等式求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 小正方形的边长为， 小正方形面积是1， ， ， 大正方形面积是13，即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，2． 【变式2】在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长，利用勾股定理列方程，然后再求出AB和BC的长． 【详解】解：∵小正方形的面积是25， ∴AC=5， ∵△ABC≌△CDE， ∴设AB=CD=x， ∵大正方形的面积为49， ∴BD=7， ∴BC+CD=7， ∴BC=7-x， 在Rt△ABC中：， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为:． 【点睛】此题主要考查了利用勾股定理列方程，解一元二次方程，三角形全等的性质，掌握勾股定理列出方程是解题的关键． 【变式3】如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的知识，掌握勾股定理的知识是解答本题的关键； 本题需要先分别求得，，，然后找到规律，即可求解； 【详解】解：由勾股定理可得：，，，， ∴， 故答案为：； 题型十四 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：梯子长度是不变的斜边，先算滑落前梯子顶端到地面的高度（用勾股定理），再算滑落后顶端的新高度，两者的差值就是滑落高度。 避坑指南：梯子长度是 “定值”，不能当成变化的边。 注意细节： 例如：梯子长 5 米，原底部距墙 3 米，滑落后底部距墙 4 米，则原顶端高度为 4 米、新顶端高度为 3 米，滑落高度 = 4-3=1 米； 计算顶端高度时，用 “梯子长度 ² - 底部距墙距离 ²” 开平方。 【典例14】如图： 米长的滑梯 开始在 点距墙面水平距离 米，当向后移动 米， 点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离 （大于、小于或等于） 米． 【答案】等于 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方． 直接利用勾股定理得出的长，进而求出的长，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∵当向后移动 1 米， ， ， 则． 故下滑的距离为 1 米， 故答案为：等于． 【变式1】一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．    【答案】 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，在中，由勾股定理得，则，则在中，由勾股定理得，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯子底端将向左滑动米， 故答案为：． 【变式2】如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 【答案】点到地面的垂直距离 【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确求出梯子的长度是解题的关键． 在中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出的长． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故点到地面的垂直距离． 【变式3】（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 【答案】行走的通道拓宽了米 【知识点】含30度角的直角三角形、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查勾股定理解三角形，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；也考查了含30度角直角三角形的性质，在直角三角形中，30度角所对的直角边长度为斜边的一半；根据勾股定理分别求出两次梯子距墙根的距离，求差得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则． 答：行走的通道拓宽了米． 题型十五 求旗杆高度(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：旗杆（垂直地面）、地面、绳子组成直角三角形（绳子是斜边），若绳子比旗杆长一段，设旗杆高为未知数，绳子长度为 “旗杆高 + 多出的长度”，结合地面距离，用勾股定理列方程求解。 避坑指南：绳子长度是 “旗杆高度 + 多出的长度”，不要搞反两者的关系。 注意细节： 例如：旗杆垂直地面，绳子比旗杆长 2 米，绳子拉到地面距旗杆底部 6 米，设旗杆高为 x，则绳子长 x+2，列方程 x² + 6² = (x+2)² 求解； 解方程时展开完全平方要注意符号，避免计算错误。 【典例15】将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用勾股定理求出长方形对角线长度，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长． 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 【变式1】强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【答案】D 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 【变式2】今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺． 【答案】 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设尺， 由题意得，尺，尺，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 题型十六 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：小鸟直线飞行的距离是斜边，将 “两物体的水平距离”“高度差” 作为直角边，用勾股定理计算斜边长度。 避坑指南：垂直方向的长度是 “两物体的高度差”，不是其中一个物体的高度。 注意细节： 例如：树高 12 米，另一棵树高 4 米，两树间距 9 米，飞行距离为 “高度差（8 米）” 和 “水平距离（9 米）” 组成的直角三角形的斜边； 结果是无理数时要化简（如√12 化简为 2√3）。 【典例16】如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 【变式1】已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米． 【答案】 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，首先求出两棵树的高度差为（米），然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两棵树的高度差为（米），间距为10米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离为（米）． 故答案为：． 【变式2】如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【答案】小鸟至少飞行了10米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键． 题型十七 求大树折断前的高度(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：大树折断后，树桩是一条直角边，折断部分是斜边，触地点到树桩的距离是另一条直角边，先算折断部分的长度（用勾股定理），再加上树桩高度就是原树高。 避坑指南：原树高是 “树桩高度 + 折断部分长度”，不要只算树桩高度。 注意细节： 例如：树桩高 3 米，触地点距树桩 4 米，则折断部分长 5 米，原树高 = 3+5=8 米； 触地点到树桩的距离是 “水平距离”，需与树桩垂直。 【典例17】《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【答案】A 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 【详解】设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 【变式1】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据列得等式，熟练掌握勾股定理是解题的关键 【详解】解：设，则， ∵， ∴ ∴， 故选：B 【变式2】如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺（1丈尺）． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．设长为x尺，则尺，直接根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】解：设长为x尺，则尺， 在中，尺， ， ， 解得：， 则折断处离地面（即）的高度是尺． 故答案为：． 题型十八 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：水杯的底面直径和高度组成直角三角形的两条直角边，筷子在杯内的部分是斜边；若筷子露出杯口，总长 = 杯内部分长度 + 露出长度。 避坑指南：计算时用 “底面直径”（不是半径）作为直角边。 注意细节： 例如：水杯高 12cm、底面直径 5cm，杯内筷子最长为 13cm，若筷子长 15cm，则露出长度 = 15-13=2cm； 筷子垂直放时，杯内部分长度等于水杯高度。 【典例18】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，当笔斜放时，运用勾股定理可得的最大值，当笔竖立时可得最小值，由此即可求解． 【详解】解：当笔竖立时，； 当笔斜放时，， ∴， 故选：A ． 【变式1】如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 画轴露出筒口外的长度最少，即在筒内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：底面直径为，高为， 画轴露出筒口外的长度最少为：． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ． 【答案】2 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：如图所示：是直角三角形， ∵底面半径为半径为，高为， ， 由勾股定理得：， ∴吸管露在杯口外的长度最少为：， 答：吸管露在杯口外的长度最少2厘米， 故答案为：2． ． 题型十九 求最短路径(勾股定理的应用)（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：将立体图形（如长方体、圆柱）展开成平面图形，最短路径就是展开图中两点间的线段（斜边），再用勾股定理计算长度。 避坑指南：展开立体图形时要选对 “展开面”，避免展开错误导致路径变长。 注意细节： 圆柱展开是长方形，其中一边是圆柱的高，另一边是底面周长的一半； 长方体要选择 “展开后直角边和最小” 的方式，确保路径最短。 【典例19】如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求边长是解题的关键；先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得， 在中，， 故选：． 【变式1】某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这圈彩带的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图， 此时所需彩带的长度最短， ∴； 故选C． 【变式2】如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是（   ）． A．6 B．8 C．10 D．10 【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开图，最短路径问题，勾股定理等知识点．首先画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可． 【详解】解：如图，将圆柱体的侧面展开并连接， ∵圆柱的底面半径为，， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短的路线长是． 故选：C． 题型二十 判断三边能否构成直角三角形（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：先找出三边中最长的边，计算 “最长边的平方” 与 “另外两边的平方和”，若两者相等，则能构成直角三角形。 避坑指南：必须先确定 “最长边”，不能随便选一边计算平方。 注意细节： 例如：三边 3、4、5，最长边是 5，5²=25，3²+4²=25，因此能构成； 计算平方时要准确（如 12²=144，不要算成 121）。 【典例20】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（   ） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为8，15，17的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为，2，的三角形不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴三边长为1，2，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期末）下列命题中，逆命题不正确的是（  ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、判断三边能否构成直角三角形、写出命题的逆命题 【分析】本题考查写一个命题的逆命题的方法及平行线的判定，全等三角形的判定，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，注意要分清命题的条件与结论，难度适中．首先写出各个命题的逆命题，然后根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题是：内错角相等，两直线平行，正确，故本选项不符合题意； B、逆命题是：如果两个三角形对应角相等，那么它们全等三角形，错误，故此选项符合题意； C、逆命题是：如果一个三角形两个锐角互余，那么这个三角形为直角三角形，正确，故本选项不符合题意； D、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】证明是直角三角形，，过点E作于点H，得到，即可判断选项B正确；由是边上的中线得到，则点在线段的垂直平分线上，即可判断选项C正确；由，得到，即可判断选项D正确；如果，则，证明，则，得到是等边三角形，则，与已知矛盾，即可判断A错误． 【详解】解：∵中， ∴， ∴是直角三角形，， 过点E作于点H， ∵是的角平分线，， ∴， ∴点到的距离等于线段的长度， 故选项B正确； ∵是边上的中线， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D正确； 如果，则，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴错误， 故选项A错误， 故选：A 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 题型二十一 在网格中判断直角三角形（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：用勾股定理计算三边长度（将每条边看作直角三角形的斜边，数出水平、垂直方向的网格数），再按 “最长边平方是否等于另两边平方和” 判断。 避坑指南：数网格时要沿水平 / 垂直方向数，不能斜着数格子。 注意细节： 例如：网格中三点，某边斜跨 2 个水平格、3 个垂直格，长度为√(2²+3²)； 计算完三边长度后，再用逆定理判断。 【典例21】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点、在网格中判断直角三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 【变式1】如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝ 度． 【答案】 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】连接、，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：连接、，如下图： 由勾股定理得，，， ，， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形，为直角三角形， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理． 【变式2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题： (1)在网格中画，使的三个顶点都在小正方形的格点上，三边的长分别为． (2)判断的形状，并说明理由． (3)求作点，使，且点到的距离相等．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了作图，勾股定理的逆定理； （1）根据要求作出三角形即可； （2）根据勾股定理逆定理求解即可； （3）作的垂直平分线，作的角平分线，和相交于点P． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：三边的长分别为， 是直角三角形 （3）解：点如图所示， 题型二十二 利用勾股定理的逆定理求解（重难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：计算三边的平方，找到最长边，验证 “最长边的平方是否等于另外两边的平方和”；若相等，该三角形是直角三角形，且最长边对的角是直角。 避坑指南：不要混淆 “勾股定理（由直角推边的关系）” 和 “逆定理（由边的关系推直角）”。 注意细节： 若三边平方为 9、16、25，最长边平方 25=9+16，因此是直角三角形，最长边对的角为 90°； 结论要明确 “哪条边对的角是直角”。 【典例22】如图，在中，，，，点P为边上一点，点P关于直线的对称点为点Q，联结、，与边交于点D．当时，则 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理的逆定理求解、含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】首先由勾股定理的逆定理可得出，由直角三角形的性质可得，再根据轴对称图形的性质及等腰三角形的性质，可求出，由直角三角形的性质得出，再由勾股定理可得出答案． 【详解】解：，，， ，， ， ， ，， ， ， 点P关于直线的对称点为点Q， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，轴对称图形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，再分别求和的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ， ∴四边形的面积． 【变式2】（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案； （2）根据两个三角形的面积和求出答案即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示． ∵，， ∴， 根据勾股定理得， 在中，， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）． 题型二十三 勾股定理逆定理的实际应用（重难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法：先测量 / 计算出实际问题中三条线段的长度，再用逆定理判断是否为直角三角形，进而解决问题（如判断场地的角是否为直角）。 避坑指南：不能直接假设是直角三角形，必须先得到三边长度再判断。 注意细节： 例如：场地三边为 6m、8m、10m，6²+8²=10²，因此是直角三角形，对应角为直角； 若长度是小数，计算平方时要精确（如 2.5²=6.25）。 【典例23】我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 直接利用勾股定理的逆定理结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为3里，4里，5里，构成了直角三角形， ∴该沙田的面积为（平方里）． 故选A． 【变式1】如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、与方向角有关的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 【变式2】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，点D、A、E在直线m上，于点D，于点E，且．若，则              【答案】8 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键． 根据，得，再结合已知可推出，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 2．（24-25八年级上·上海普陀·月考）如图，在中，，，于，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30 度角的直角三角形的性质，推出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·月考）如图，在中，，点分别是上的动点，将沿直线翻折，点B的对点恰好落在边上，如果中有一个角是，则的长度为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理．分两种情况讨论：或，根据相关性质求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，，，， 若，则， ， 又， 是等边三角形， 设，则， 在中，， ， 即， ； 若，则， ， ，， ， 即是直角三角形， 在中，设，则，， ， ， 解得， 在中，， ， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 4．请在数轴上作出对应的点(合理标注，保留作图痕迹，不写做法)。    【答案】见解析 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】根据，所以在数轴上以原点O向左数出3个单位（为点A）作为直角三角形的一条直角边，过点作数轴的垂线并截取为1个单位长度，连接，求得，最后以点O为圆心，以为半径画弧，交数轴的负半轴于点C即为所求． 【详解】解：如图：点C即为所求．    作法：在数轴上以原点O向左数出3个单位确定点，过点作数轴的垂线并截取为1个单位长度，连接，以点O为圆心，以为半径画弧，交数轴的负半轴于点C． 【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，勾股定理，熟练掌握借助勾股定理在数轴上表示无理数是解题的关键． 5．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． (1)求证：； (2)取边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质： （1）勾股定理逆定理，结合完全平方公式进行判定即可； （2）延长交于点G，证明，，得到，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得证． 【详解】（1）证明：， ． （勾股定理的逆定理）； （2）证明：延长交于点G， ，， ． 又， ． ， ． ． ． ． 又，， ． ． 又， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． 期末重难通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、实数与数轴、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查勾股定理与全等三角形的应用，熟练掌握勾股定理与全等三角形是解题关键． （1）先由勾股定理得正方形边长，再结合点A表示的数，推出表示的数． （2）通过证明，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，推导得出结论． （3）利用勾股定理，结合面积为5、1的正方形，构造直角三角形得到斜边，再拼成正方形． 【详解】（1）解：由题可知， 点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合， 若在A的左侧，则表示的数为， 若在A的右侧，则表示的数为， 表示的数为或． 故答案为：或． （2）证明：在与中， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图所示，四边形即为所求， 将面积为1的正方形与面积为5的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 2．（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据角平分线的性质可得，进而证明得出，证明得出，根据线段关系，即可求解． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 3．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足时，求出此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求的值； (3)在运动过程中，求出当为何值时，是等腰三角形，请直接写出结果． 【答案】(1) (2) (3)当x为或时，为等腰三角形 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质， （1）先求出，则，根据题意列方程并解方程即可解决； （2）作于点H，证明，求出，，根据勾股定理列方程并解方程即可解决； （3）当点P在上时，根据直接求出；当点P在上时，是等腰三角形，有三种情况：①若使；②若；③若分别求出结论即可． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， 由题意得：点在上时，，则， ， ， ， 解得：； （2）当点恰好在的角平分线上，作于点H， 又∵， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：； （3）当点P在上时，是等腰三角形， ， ， 解得：； 当点P在上时，不存在； 当点P在上时，是等腰三角形，有三种情况： ①若使， 则P点运动路程为， 故时，为等腰三角形； ②若，作于点D， ， ， 在中，， ， ∴P运动的路程为， 则，为等腰三角形； ③若， ， ， ， ， 此时P运动的路程为， 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当x为或时，为等腰三角形． 试卷第1页，共3页 1 / 125 学科网（北京）股份有限公司 $两锐角互余一数学语言：在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90° 性质定理 斜边中线等于斜边一半：CD=专AB(D为斜边中点) 斜边中线性质 1.直角三角形的性质与判定 逆定理：若一边中线等于该边一半，则为直角三角形 角判定：两锐角互余的三角形是直角三角形 判定定理 边判定：勾股定理逆定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 特殊判定 仅适用于直角三角形 2.直角三角形全等的判定 SSS、SAS、ASA、AAS同样适用 般判定 注意：直角是隐含条件，不需重复证明 以O为圆心作弧交两边于D、E 尺规作图步骤 分别以D、E为圆心，相同半径作弧交于C 3.角平分线的作法与性质 作射线OC即为角平分线 性质：角平分线上的点到角两边距离相等 性质定理 逆定理：到角两边距离相等的点在角平分线上 定理内容 a2+b2=c2(a、b为直角边，c为斜边) 求线段长：在直角三角形中已知两边求第三边 几何证明：证明线段平方关系 应用题型 4.勾股定理及其应用 梯子滑动问题 旗杆高度问题 实际应用： 最短路径问题（立体图形展开） 直角三角形 折竹问题、水杯筷子问题 勾股定理的证明 逆定理 若三角形三边满足a2+b2=c2, 则该三角形为直角三角形 5.勾股定理的逆定理与勾股数 定义：满足a2+b2=c2的正整数组（如3,4,5） 勾股数 注意：勾股数对应三角形是直角三角形，但直角三 角形三边不一定是勾股数 30°角所对直角边=是斜边 含30°角的直角三角形 三边比例：1：V√3：2 6.特殊直角三角形 两直角边相等 等腰直角三角形 三边比例：1：1：√2 网格线段长计算一水平格数m,垂直格数n,则线段长=√m2+n2 7.网格与勾股定理 直角三角形判定一计算三边平方，验证最长边平方是否等于另两边平方和 折叠前后对应边/角相等 8.折叠问题（翻折变换) 解题关键 设未知数，在折叠形成的直角三角形中用勾股定理解方程 4个全等直角三角形+1个小正方形 结构特征 小正方形边长=两直角边之差 9. 弦图模型 已知大、小正方形面积求直角边 应用 勾股定理的证明两锐角互余一数学语言：在△ABC中，∠C=90°，则 性质定理 斜边中线等于斜边：CD=是AB(D为斜边中点) 斜边中线性质 1. 直角三角形的性质与判定 儿逆定理：若一边中线等于该边一半，则为直角三角形 角判定：两锐角 的三角形是直角三角形 判定定理 边判定：勾股定理逆定理 边和一条边对应相等的两个直角三角形全等 特殊判定 仅适用于直角三角形 2.直角三角形全等的判定 SSS、SAS、ASA、AAS同样适用 般判定 注意：直角是隐含条件，不需重复证明 以O为圆心作弧交两边于D、E 尺规作图步骤 分别以D、E为圆心，相同半径作弧交于C 3.角平分线的作法与性质 作射线OC即为角平分线 性质：角平分线上的点到角两边距离相等 性质定理 逆定理：到角两边距离相等的点在角平分线上 定理内容 人 a2+b2=c2(a、b为直角边，c为斜边) 求线段长：在直角三角形中已知两边求第三边 几何证明：证明线段平方关系 应用题型 4.勾股定理及其应用 梯子滑动问题 旗杆高度问题 实际应用： 最短路径问题（立体图形展开） 直角三角形 折竹问题、水杯筷子问题 勾股定理的证明 逆定理 若三角形三边满足 则该三角形为直角三角形一， 5.勾股定理的逆定理与勾股数 定义：满足a2+b2=c2的 组（如3,4,5) 勾股数 注意：勾股数对应三角形是直角三角形，但直角三 角形三边不一定是勾股数 30° 角所对直角边=是斜边 含30°角的直角三角形 三边比例：1：V3:2 6.特殊直角三角形 两直角边相等 等腰直角三角形 三边比例：1：1：vV2 网格线段长计算一水平格数m,垂直格数n,则线段长=√m2+n2 7.网格与勾股定理 直角三角形判定一计算三边平方，验证最长边平方是否等于另两边平方和 折叠前后对应边/角相等 8.折叠问题（翻折变换） 解题关键 设未知数，在折叠形成的直角三角形中用勾股定理解方程 4个全等直角三角形+1个小正方形 结构特征 小正方形边长=两直角边之差 9.弦图模型 己知大、小正方形面积求直角边 应用 勾股定理的证明