专题01 集合与逻辑（期末复习讲义）高一数学上学期沪教版必修第一册

该高中数学集合与逻辑期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点，涵盖集合含义、运算及逻辑命题等内容，以知识点分点讲解配合例题与易错提示，构建清晰知识脉络，突出子集关系、充分必要条件等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，基础通关练巩固集合运算等基础，重难突破练聚焦新定义题型与反证法应用，通过“若p则q”命题改写等实例培养数学思维，助力学生逻辑推理能力提升，教师可据此实施精准分层教学。

专题01 集合与逻辑（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律（上海沪教版） 集合的含义与表示 理解集合的确定性、互异性、无序性，能选择列举法或描述法表示集合 基础必考点，常出选择题/填空题前半部分，分值4分；易忽略元素互异性，描述法中代表元素混淆 元素与集合的关系 掌握元素与集合的“属于”“不属于”关系，能根据元素特征求参数 基础考点，选择题/填空题前半部分高频，分值4分；易误用符号（元素对集合用“⊆”），忽略参数验证互异性 集合的基本关系（子集、真子集、相等） 能判断集合间的子集、真子集关系，掌握有限集的子集个数公式 高频考点，选择题/填空题前半部分，分值4分；易漏算空集，混淆子集与真子集的个数公式 集合的运算（交集、并集、补集） 熟练进行集合的交、并、补运算，能用数轴或Venn图辅助求解 重点考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题前三题（14分）；易混淆交集与并集，补集运算忽略全集范围 命题与推出关系 能判断命题的真假，理解推出关系的传递性，会改写“若p则q”形式 基础考点，选择题/填空题前半部分，分值4分；易将疑问句、祈使句当作命题，推出关系方向颠倒 充分条件与必要条件 能判断充分、必要条件，掌握“充分不必要”“必要不充分”的逻辑转化 高频考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题前三题（14分）；易颠倒充分与必要关系，混淆“只要…就…”与“只有…才…” 充要条件 能判断充要条件，会证明简单命题的充要性 中档考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题前三题（14分）；易只证一个方向，忽略双向验证 反证法 理解反证法的定义，会用反证法证明简单命题 难点考点，大题后两题（18分）偶尔涉及；易假设不当，推导的“矛盾”非与已知/公理冲突 集合新定义 能解读集合新规则，转化为常规集合知识求解 重难点考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题后两题（18分）压轴；易误解新定义本质，分类讨论不全面 知识点01 集合与元素的含义 我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类,概括地说,把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集.集合通常用大写字母A、B、C……表示。集合所含的各个对象叫做该集合的元素. 元素通常用小写字母a、b、c……表示. 1．下列各对象的全体不能构成集合的有 .（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【答案】② 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念判断即可. 【详解】因为②所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而①③④研究对象确定符合集合的概念. 故答案为：② 确定性缺失：如＂好看的电影＂因标准不定，不能构成集合。 互异性忽略：集合 错误，需去重为 。 关系表述错：元素与集合是＂属于 ＂，非集合间的＂包含 ＂。 符号混用：集合用大写（如 A），元素用小写（如 a），勿颠倒。 知识点02 元素与集合的关系 关系 含义 记法 读法 属于 是集合中的元素 属于 不属于 不是集合中的元素 不属于 2．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为 . 【答案】7 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 符号错用：元素对集合用＂＂，勿用集合间的＂＂（如＂＂错，应为＂＂）。 表述混淆：元素是＂属于＂集合，勿说＂包含于＂（＂包含于＂是集合间关系）。 对象误判：勿将集合当元素（如＂＂错， 是集合，应是＂＂）。 知识点03 集合中元素的三个特性 性质 含义 示例 确定性 集合的元素是确定的.也就是说,给定一个集合,一个对象在不在这个集合中就确定了 若用集合 表示＂中国的直辖市＂，则上海 ，苏州 互异性 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的 若实数 、 是集合 中的两个元素，则 无序性 组成集合的元素无先后顺序之分 由1、0组成的集合和由0、1 组成的集合是同一个集合 3．已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、集合元素互异性的应用 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 确定性：对象标准模糊（如＂高个子＂），无法构成集合。 互异性：集合含重复元素（如 ），需去重为 。 无序性：误认元素顺序改变集合（如 与 是同一集合）。 知识点04两个集合相等 如果两个集合 A与B的组成元素完全相同,就称这两个集合相等，记作A=B （1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等． （2）判断两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如 、、组成的集合与方程 的解组成的集合相等． 4．下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可. 【详解】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误； B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误； C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确； 故选：C 误判顺序：错认为 与 不相等（集合元素无序）。 忽略互异性：错将 与 判为不等（重复元素需去重）。 漏查元素：仅部分元素相同就判相等（如 与 ）。 知识点05 集合的分类 元素个数有限的集合称为有限集，否则就称为无限集． 如：一元二次方程 的解组成的集合为有限集；周长为 1 的三角形组成的集合为无限集． 5．集合的简单分类 （1）有限集：元素个数 的集合称为有限集． （2）无限集：元素个数 的集合称为无限集． （3） 元素的集合称为空集，记作． 【答案】 有限 无限 不含有任何 【知识点】集合的分类 【分析】根据题意，结合集合元素的个数，进行分类，即可求解. 【详解】根据集合的元素个数的多少，可分为有限集、无限集和空集. 空集误判：将 等同于 （ 含元素 无元素）。 有限／无限混淆：误将＂所有自然数＂判为有限集，或＂小于 5 的正整数＂判为无限集。 分类标准错：按元素属性（如数集、点集）分类时，混淆个数分类标准。 知识点06 常用数集的符号 数学中,常常需要用到数的集合,数的集合简称数集.常用的数集可以用以下特定的符号来表示 数集 符号 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 大小写混淆：如将 N （自然数集）写成 （整数集）写成 z （数集符号均为大写）。自然数集误判：误以为 （标准定义 ），或混淆 N 与 （正整数集）。符号记混：如将 Q（有理数集）与 R（实数集）、 （整数集）弄反。 多余符号：误写＂ （正整数集规范记为 或 ）。 知识点07 空集 不含有任何元素的集合称为空集,记作Ø 6．若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】空集的性质及应用 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 与 混淆： 无元素， 含元素 0 ，二者不等； 书写错误：勿写＂＂，规范符号为 ； 关系误判： 是任何集合的子集，非任何集合的元素（如 , 但 。 知识点08 列举法 将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法 能用列举法表示的集合一般是有限集，但对于一些有规律的无限集,在不会引起歧义的前提下,也可用列举法表示.例如，全体正偶数组成的集合可以表示为｛2,4,6,…,2n，…｝ 大括号“｛｝”表示“所有”“整体”的含义示例:实数集R可以写成｛实数｝,但如果写成{实数集}、｛全体实数｝、{R}都是不正确的. 集合可用列举法表示为 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】由集合的描述，应用列举法写出集合即可. 【详解】由. 故答案为： 元素模糊：列举不确定对象（如＂好人＂），违反确定性； 元素重复：含重复元素（如 ），违反互异性； 列举不全：漏写应含元素（如＂小于 5 的正整数＂漏 4）； 适用错误：无限集用列举法（如＂所有整数＂）； 类型混淆：混合不同类型元素（如 ｛1，（2，3）}) 。 知识点09 描述法 在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线,并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征,即： （1）所有描述的内容都要写在大括号内，如＂｛x｜x＝2k}, ＂不符合要求，应写为 ． （2）精确地写出集合中代表元素的符号，如 不能写成 ． 代表元素混淆：数集（ ）与点集（ ）勿混； 特征模糊：描述无明确标准（如＂有趣的数＂）； 格式错误：漏写竖线（|）或颠倒＂代表元素 | 特征＂顺序； 范围不明：未注明代表元素取值范围（如未标 ）。 知识点10 区间 1.区间的概念及几何表示 2.含“∞”的区间的几何表示 8．若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】区间的定义与表示 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 1．开闭混淆：如＂＂写为 （应为 ）； 2．端点误判：误将 包含 1 或 3 ； 3．无限区间错写：加闭区间于 （如 ，应为 ）； 4．与集合／不等式混淆：如 误写为 。 知识点11 子集 定义 对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）．对任何集合，规定． 我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系． 9．已知集合，集合的子集个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合的子集定义，即可求得. 【详解】集合的子集分别是：，，，共有4个. 故选：. 1．漏空集：忽略 是任何集合的子集； 2．真子集混淆：将子集与真子集等同（真子集不含原集合）； 3．元素／集合误判：如＂＂错（应为 ）； 4．个数计算错： 元集合子集数为 ，漏算空集或原集合。 知识点12 真子集 定义 对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂ 真包含于＂（或＂真包含＂）． 【注意：有的教材对真子集符号表示为，真包含于（或真包含）】 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 性质 （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． 满足的集合的个数为____________. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 分析：根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案. 解析：因为 所以集合中一定有元素， 所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个， 答案：7 1．与子集混淆：真子集 原集合 ； 2．空集误判： 是任何非空集合的真子集，非 的真子集； 3．个数错算： 元集真子集数为 （漏减原集合）； 4．符号误用：勿用＂＂代替＂＂； 5．对象误判：＂＂错（应为 ，且 ）。 知识点13 集合相等 定义 已知两个集合与，若，且 ，则称这两个集合相等，记作．如图是集合 的维恩图． 已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 分析：根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解. 解析：由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， 答案：C 1．误判顺序：认为 与 不等（集合元素无序）； 2．忽略互异性：将 与 判为不等（去重后元素一致）； 3．漏查元素：部分元素相同即判相等（如 与 ）。 知识点14有限集合的子集(真子集)个数 写出集合 的所有子集，并指出哪些是真子集． 可以按照子集的元素个数分类： 不含任何元素的子集 1 个：空集 ； 含 1 个元素的子集 3 个： ； 含 2 个元素的子集 3 个： ； 含 3 个元素的子集 1 个： 。 除集合 本身外，其余 7 个都是真子集． 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n 满足的集合M的个数为____个. 分析：通过列举法即可求解. 解析：由题意可知：可以是：，，共3个， 答案：3. 1．公式混淆：子集数 与真子集数 弄反； 2． 值误算：将重复元素计入集合元素个数（如 为 2 元集， ）； 3．漏减情况：真子集漏减原集合（少减 1），非空真子集漏减空集与原集合（少减 2）； 4．空集特例：忽略 只有 1 个子集（自身），无真子集。 知识点15数轴表示法 1. 数轴法 对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法:在数轴上,若端点值是集合中的元素则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示. 集合与用数轴表示分别如图所示． 2. 数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． （2）集合或与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． 1．端点虚实混淆： 用实心点， 用空心点，勿颠倒； 2．方向画反：大于向右、小于向左，避免与不等号方向矛盾； 3．单位长度不均：刻度间隔不一致，导致范围误读； 4．空集／全体实数误表示：空集不画任何线（勿画点），全体实数是整个数轴（勿漏画）； 5．多区间连接错：＂ 或 ＂需分开画，勿连成连续区间。 知识点16交集 自然语言 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集,记 符号语言 图形语言 (1)两集合为不包含关系时 ①与有部分公共元素: ② (2) 两集合为包含关系时： ① ② ③ 仍是一个集合，中的任意元素都是与的公共元素，同时与的公共元素都属于 ． 2.交集概念中的＂且＂即＂同时＂的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素． 3.交集概念中的＂所有＂两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来． 4.当集合和集合没有公共元素时，不能说集合与集合没有交集，而是集合与集合的交集为空集，即． 2.交集的运算性质 性质 说明 两个集合的交集满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集定义计算即可． 【详解】由已知可得， 故选：C． 1．概念混淆：与并集弄反，误将＂共同元素＂当＂所有元素＂； 2．空集误判：无公共元素时，交集是 も（非＂无交集＂）； 3．符号误用：把 （交集）写成 （并集）； 4．子集漏判： 时，（非 ）； 5．数轴错画：误将非重叠部分当交集（应为重叠区间）。 知识点17并集 自然语言 定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记 符号语言 图形语言 （1）两集合为不包含关系时: ①A与B有部分公共元素; ②A与B没有公共元素 （2）两集合为包含关系时 ① ② ③ 并集的运算性质 性质 说明 两个集合的并集满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合律 并集关系与子集关系的转化 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 求集合的并集的方法 (1)对于有限集,直接把集合的素合并在一起写在大括号内，要注意集合中元素的互异性.(2)对于无限集,一般地在数轴画出集合相应图形所覆盖的域，然后找出图形覆盖的全部域，要注意端点值的取舍. 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据集合的并集定义求解即得. 【详解】因集合，则． 故选： C． 1．概念混淆：与交集弄反，误将＂所有元素＂当＂共同元素＂； 2．符号误用：把 （并集）写成 （交集）； 3．空集误判：（非 ）； 4．子集漏判： 时，（非 ）； 5．数轴错画：误将重叠部分当并集（应为全部覆盖区间）。 知识点18全集与补集 1.全集的概念 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 2.补集的概念 自然语言 定义 设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作 （读作＂ 补＂）．有时为了强调全集 ，集合 在全集 中的补集 符号语言 图形语言 3.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 12．已知集合是大于的负整数}，，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的概念求，即可确定它所含元素的个数. 【详解】因为， 所以，中的元素个数为3. 故选：A 1．全集未明确：未指定全集就求补集（补集依赖全集）； 2．补集范围错：超出全集找补集，或遗漏全集中的元素； 3．符号误用：补集符号（如CUA）漏写全集 U，或位置颠倒； 4．特例误判： 弄反； 5．相对性忽略：同一集合在不同全集中补集不同（如 与 的补集不同）。 知识点19命题 用自然语言、符号或式子表达,且可以判断其真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题 中至少有一个是非负实数的等价命题是（    ） A．中全不是负数 B．中只有一个是负数 C．中至少有一个是正数 D．不全是负数 【答案】D 【分析】根据等价命题的判定直接得到结果. 【详解】中至少有一个是非负实数，则中非负实数的个数大于等于个， 其等价命题为：中不全是负数. 故选：D. 1．定义误判：将疑问句、祈使句（如＂画直线＂）当作命题； 2．真假颠倒：误将＂对顶角相等＂的逆命题（相等的角是对顶角）判为真； 3．改写错误：＂若 p 则 q ＂逆命题／否命题颠倒条件与结论； 4．量词否定错：全称命题（所有 x 满足）否定为＂存在 x 不满足＂，非＂所有 x 不满足＂； 5．等价性忽略：原命题与逆否命题同真同假，误判为无关。 知识点20推出关系 如果命题＂若 ，则 ＂是真命题，那么就称 推出 ，记作 （或 ）．因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若 且 ，则 ．它是逻辑推理的基础． 注意： ＂若 ，则 ＂与＂＂一样吗？不能将＂若 ，则 ＂与＂＂混为一谈，＂若 ，则 ＂是一个命题，可能是真命题，也可能是假命题，只有＂若 ，则 ＂为真命趣时，才有＂＂，即＂＂等价于＂若 ，则 ＂为真命题． 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）把各个命题写成“若p，则q”的形式，再利用逆命题的定义写出逆命题. 【详解】（1）若，则； 逆命题：若，则. （2）若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除； 逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除． （3）若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上． 1．充分必要混淆：误将 说成＂ 是 的充分条件＂（应为 是 的充分条件）； 2．逆推误判：认为 则 （单向推出 双向等价）； 3．符号误用：把＂⇒＂（单向）写成＂⇔＂（双向），或反之； 4．等价性忽略：忘记原命题与逆否命题同推出关系（如 等价于 ）； 5．前提遗漏：忽略推出关系依赖的前提条件（如＂＂需在实数集内）。 知识点21充分条件与必要条件 （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 ． （2）根据定义，如果 推不出 ，那么就称 不是 的充分条件，亦称 不是 的必要条件． （3）对于命题＂若 ，则 ＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． α： β：．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据集合的包含关系推理即可. 【详解】因为是的子集，所以. 故答案为：. 1．关系颠倒： 误说＂ 是 的充分条件＂（应为 是 充分、 是 必要）； 2．联结词误解：＂只要 就 ＂（ 充分）与＂只有 才 ＂（ 必要）弄混； 3．符号对应错：将 拆分为＂ 仅充分＂或＂ 仅必要＂（实际双向充分必要）； 4．单向当双向：认为 p 是 q 的充分条件，则 q 也是 p 的充分条件； 知识点22充要条件 对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作＂ 与 等价＂或＂ 成立当且仅当 成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 1．单向当双向：仅证 就判充要（需双向 ）； 2．符号误用：＂⇒＂与＂⇔＂混淆； 3．定义混淆：将充分／必要条件等同于充要； 4．联结词误读：＂当且仅当＂与＂只要／只有＂弄混； 5．漏证方向：只证一个方向，未证逆方向。 知识点23反证法的定义 要判断命题＂若 ，则 ＂是假命题，只要存在一个满足条件 但不满足结论 的对象就行．但是要判断命题＂若 ，则 ＂是真命题，就需要证明所有满足条件 的对象都满足结论 ，有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论 丕成立，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明＂ 为假＂是不可能发生的，即结论 是正确的，这样的证明方法叫反证法． 一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的(至少有一个是错的) 至少存在一个不满足性质 至少存在一个满足性质 命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ． 【答案】且 【分析】由或的否定为且，从而可得结果. 【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”. 故答案为：且. 1．假设不当：未否定结论全貌（如证＂ ＂，仅假设＂ ＂而非＂ ＂）；； 2．矛盾误判：将计算错误、主观矛盾当作逻辑矛盾（需与已知／公理／假设矛盾）； 3．逻辑遗漏：跳过＂否定结论 → 推矛盾＂直接证原结论，违背反证法逻辑； 4．概念混淆：将反证法与举反例弄混（举反例否定命题，反证法证明命题）。 知识点24反证法证明 反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的真实性的论证方法 反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的 反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了;如果有多种，那么必须一一否定 反证法的步骤 (1)假设结论不成立. (2)从假设出发推出矛盾. (3)假设不成立,则结论成立. 若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【答案】证明见解析 【分析】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾，以此来证明结论成立． 【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 1．假设不彻底：未涵盖结论的所有反面情况（如证 仅假设 ）； 2．推导无依据：使用未证实的条件或逻辑断层； 3．矛盾不成立：推导的＂矛盾＂非与已知／公理／定理冲突； 4．遗漏回归步：推得矛盾后未明确肯定原结论； 5．滥用反证法：可直接证明的命题强行使用，增加复杂度。 题型一 交集的概念及运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．定义核心：交集是两集合共有的元素组成的集合，记为 且 ，本质是＂找公共元素＂。 2．先化简再运算：若集合是不等式（分式、绝对值、二次不等式等）或函数相关（定义域、值域）形式，先解不等式、求定义域／值域化简集合，再找公共部分。 3．辅助工具： 列举法：适用于有限集，直接列出两集合元素，筛选公共元素； 数轴法：适用于数集（区间形式），在数轴上标注两集合范围，重叠部分即为交集； Venn 图法：直观呈现集合关系，阴影重叠区域为交集。 4．特殊情况：若两集合无公共元素，交集为空集 ；若 ，则 。 【典例1】（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，则 . 【变式1】（2024·上海闵行·一模）设集合，，则 ． 【变式2】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 【变式3】（24-25高一上·上海普陀·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，集合 ，求 . 【变式5】（24-25高一上·上海奉贤·期末）已知全集为，集合． (1)求集合A和； (2)将图中阴影部分表示的集合用数学表达式写出来并求解． 题型二 根据交集结果求集合或参数（重点） 解｜题｜技｜巧 1．化简基础：先将已知集合化为最简形式（如区间、列举式），明确集合的元素特征。 2．分类讨论： 空集优先：若 ，需先考虑其中一个集合为空集的情况（如含参数的一元二次不等式解集为空集）； 非空情况：根据交集的元素个数（如＂恰有一个整数＂＂包含某个元素＂），结合数轴标注区间端点，列不等式组求解。 3．端点验证：参数涉及区间端点时，需检验端点是否满足条件（避免多解或漏解，注意等号是否成立）。 4．集合关系转化：若 ，则 ，转化为包含关系求参数，简化计算。 【典例2】（2023高一上·上海·专题练习）设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·上海·期末）已知，设集合，集合. (1)分别求集合A和B； (2)若，求a的取值范围. 【变式2】（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【变式3】（24-25高一上·上海松江·期末）设全集，集合. (1)求图中阴影部分表示的集合 : (2)在① ; ② ; ③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 题型三 并集的概念及运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．定义核心：并集是两集合所有元素组成的集合（重复元素只算一次），记为 或 ，本质是＂合并所有元素＂。 2．化简优先：同交集运算，先化简集合（解不等式、求定义域等），再合并范围或元素。 3．辅助工具： 数轴法：数集合并时，数轴上覆盖的所有区域即为并集； Venn 图法：两集合覆盖的全部阴影区域为并集。 4．特殊性质：若 ，则 ；空集与任何集合的并集为原集合 。 5．根据并集求参数：由 的结果（如＂并集为全体实数＂并集包含某个区间＂），结合数轴分析集合端点的位置关系，列不等式求解。 【典例3】（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【变式1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则 ． 【变式2】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知函数的定义域为集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【变式3】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型四 包含关系（重点） 解｜题｜技｜巧 1．定义辨析： （ A 是 B 的子集）： A 中所有元素都在 B 中； （ A 是 B 的真子集）： A 是 B 的子集且 B 中至少有一个元素不在 A 中。 2．空集特殊处理：空集是任何集合的子集（ ），是任何非空集合的真子集，解题时需优先考虑空集情况 （如含参数的集合为子集时，先讨论参数使集合为空集的情况）。 3．元素特征法： 有限集：若 ，则 A 的每个元素都属于 B ，结合元素互异性列方程／不等式求解； 无限集（区间）：用数轴表示， 的区间完全包含在 的区间内，注意端点的包含关系（等号是否成立）。 4．验证互异性：由包含关系求参数时，需检验所求参数是否导致集合元素重复，排除不符合互异性的解。 【典例4】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知集合，且，则 ． 【变式1】（24-25高一上·上海普陀·期末）给出下列四个命题：①设集合，则；②空集是任何集合的真子集；③集合表示同一集合；④集合，集合，则，其中正确的命题的序号是 ． 【变式2】设全集为，集合，. (1)求集合、； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3】（24-25高一上·上海静安·期末）已知 (1)设，，判断集合A与集合B的包含关系并说明理由； (2)用反证法证明，a，b，c，d至少有一个不小于1，至少有一个不大于1. 【变式4】（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 题型五 集合的含义与表示（重点） 解｜题｜技｜巧 1．元素三性：牢记确定性（元素明确）、互异性（元素不重复）、无序性（元素顺序无关），解题时优先检验互异性。 2．表示方法选择： 列举法：适用于元素个数有限且较少的集合，直接列举元素； 描述法：适用于元素有共同特征的集合，格式为 的特征 ，需明确代表元素（如 是定义域， 是值域）。 3．元素与集合关系：若 ，则 a 满足 A 的特征条件，列方程求解参数，求解后必检验互异性。 4．新定义集合：紧扣题于给出的新规则（如＂由某些正整数组成，满足特定运算关系＂），逐步推导集合元素，必要时用反证法验证元素个数或范围。 【典例5】（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【变式2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设集合，若，则实数 ． 【变式3】（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 题型六 充分不必要条件（重点） 解｜题｜技｜巧 1．逻辑转化：＂ p 是 q 的充分不必要条件＂等价于＂ 且 ＂，进一步转化为集合关系＂（ P 是 p 的解集， 是 的解集）。 2．步骤： 分别解出 p , q 对应的不等式／方程，得到集合 P , Q。 ，结合数轴分析区间端点的位置关系，列不等式组（注意等号是否成立，充分不必要条件中 不能等于 Q ）。 3．验证：通过举例或逆推验证充分性（ 成立）和必要性（ 不成立），避免逻辑错误。 4．易错点：区分＂充分不必要＂与＂必要不充分＂的集合关系，避免将包含方向搞反。 【典例6】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式1】（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，． (1)若，求和B； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 题型七 必要不充分条件（重点） 解｜题｜技｜巧 1．逻辑转化：＂ p 是 q 的必要不充分条件＂等价于＂ 且＂，进一步转化为集合关系＂＂（ P 是 p 的解集， 是 的解集）。 2．步骤： 解出 p , q 对应的集合 P , Q ，用数轴标注区间，列不等式组（注意端点是否取等号，确保 Q 是 P 的真子集）。 3．特殊场景：涉及自然数、整数等离散集合时，需逐—验证端点附近的元素，确保满足必要不充分关系。 4．等价判定：可通过逆否命题转化（＂ p 是 q 的必要条件＂等价于＂非 p 是非 q 的充分条件＂），简化判断。 【典例7】（24-25高一上·上海徐汇·期末）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式2】（2023·上海宝山·一模）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式3】（24-25高三上·江苏·开学考试）已知都是正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型八 集合的交并补（难点） 解｜题｜技｜巧 1．补集定义：全集 U 中不属于集合 A 的元素组成的集合，记为 且 ，核心是＂找全集里的剩余元素＂。 2．运算顺序：先求补集，再进行交、并运算（＂先补后交并＂），避免运算顺序错误。 3．辅助工具： 数轴法：数集的补集是数轴上全集范围内 A 的补集区间，再与其他集合交并； Venn 图法：阴影部分表示补集，再结合交并规则确定最终区域。 4．性质应用： －; －（德摩根定律），可简化复杂运算。 5．根据交并补求参数：结合补集性质转化集合关系，再用数轴分析端点，列不等式求解，注意全集的范围限制。 【典例8】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则 【变式1】已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【变式2】（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 【变式3】设全集，集合，集合，则 ． 【变式4】（24-25高一上·上海普陀·期末）设集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型九 集合新定义（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．紧扣定义：题干给出新规则（如＂ M 集＂＂倒函数集合＂＂封闭集合＂），先逐字理解定义的核心条件（如＂任意元素满足某运算＂＂元素关系满足某等式＂），将新定义转化为已知的集合、函数或不等式知识。 2．举例验证：对于抽象的新定义，可先举简单例子（如有限集、特殊函数）验证定义，理解本质特征。 3．分类讨论：根据新定义的条件，对集合元素的范围、参数的取值进行分类，逐一分析是否满足定义。 4．反证法应用：当需证明＂至少有一个＂＂至多有一个＂或否定性结论时，可采用反证法，假设与定义矛盾，推导得出原结论成立。 5．转化思想：将新定义的集合关系转化为元素的特征关系（如等式、不等式），再通过解方程、解不等式或函数单调性等知识求解。 【典例9】（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 【变式1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．4 B．2 C．6 D．1 【变式2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知集合，n是正整数，，…，，都是实数．若，则称A为n元“M集”，记作． (1)判断是否为真命题； (2)若，x、y均为正实数，求的取值范围； (3)若，，，且，．记，．证明：当时，对任意实数x恒成立，且． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．已知集合，则 . 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 4．已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及． 5．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（上海市华东模范中学2024-2025学年高一上学期1月期末测试数学试题）已知，函数. (1)当时，若对任意都有，证明：； (2)当时，证明：对任意的充要条件是； (3)当时，请直接写出对任意成立的充要条件. 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 3．（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知是定义在上的函数，给定数集.若对任意的，当时，均有，则称函数在集合上封闭. (1)若，分别判断在和上是否封闭？并说明理由； (2)若在上封闭，当时，，解不等式； (3)证明：“在上封闭，且在上封闭”的必要条件是“在上封闭”. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与逻辑（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律（上海沪教版） 集合的含义与表示 理解集合的确定性、互异性、无序性，能选择列举法或描述法表示集合 基础必考点，常出选择题/填空题前半部分，分值4分；易忽略元素互异性，描述法中代表元素混淆 元素与集合的关系 掌握元素与集合的“属于”“不属于”关系，能根据元素特征求参数 基础考点，选择题/填空题前半部分高频，分值4分；易误用符号（元素对集合用“⊆”），忽略参数验证互异性 集合的基本关系（子集、真子集、相等） 能判断集合间的子集、真子集关系，掌握有限集的子集个数公式 高频考点，选择题/填空题前半部分，分值4分；易漏算空集，混淆子集与真子集的个数公式 集合的运算（交集、并集、补集） 熟练进行集合的交、并、补运算，能用数轴或Venn图辅助求解 重点考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题前三题（14分）；易混淆交集与并集，补集运算忽略全集范围 命题与推出关系 能判断命题的真假，理解推出关系的传递性，会改写“若p则q”形式 基础考点，选择题/填空题前半部分，分值4分；易将疑问句、祈使句当作命题，推出关系方向颠倒 充分条件与必要条件 能判断充分、必要条件，掌握“充分不必要”“必要不充分”的逻辑转化 高频考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题前三题（14分）；易颠倒充分与必要关系，混淆“只要…就…”与“只有…才…” 充要条件 能判断充要条件，会证明简单命题的充要性 中档考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题前三题（14分）；易只证一个方向，忽略双向验证 反证法 理解反证法的定义，会用反证法证明简单命题 难点考点，大题后两题（18分）偶尔涉及；易假设不当，推导的“矛盾”非与已知/公理冲突 集合新定义 能解读集合新规则，转化为常规集合知识求解 重难点考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题后两题（18分）压轴；易误解新定义本质，分类讨论不全面 知识点01 集合与元素的含义 我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类,概括地说,把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集.集合通常用大写字母A、B、C……表示。集合所含的各个对象叫做该集合的元素. 元素通常用小写字母a、b、c……表示. 1．下列各对象的全体不能构成集合的有 .（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【答案】② 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念判断即可. 【详解】因为②所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而①③④研究对象确定符合集合的概念. 故答案为：② 确定性缺失：如＂好看的电影＂因标准不定，不能构成集合。 互异性忽略：集合 错误，需去重为 。 关系表述错：元素与集合是＂属于 ＂，非集合间的＂包含 ＂。 符号混用：集合用大写（如 A），元素用小写（如 a），勿颠倒。 知识点02 元素与集合的关系 关系 含义 记法 读法 属于 是集合中的元素 属于 不属于 不是集合中的元素 不属于 2．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为 . 【答案】7 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 符号错用：元素对集合用＂＂，勿用集合间的＂＂（如＂＂错，应为＂＂）。 表述混淆：元素是＂属于＂集合，勿说＂包含于＂（＂包含于＂是集合间关系）。 对象误判：勿将集合当元素（如＂＂错， 是集合，应是＂＂）。 知识点03 集合中元素的三个特性 性质 含义 示例 确定性 集合的元素是确定的.也就是说,给定一个集合,一个对象在不在这个集合中就确定了 若用集合 表示＂中国的直辖市＂，则上海 ，苏州 互异性 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的 若实数 、 是集合 中的两个元素，则 无序性 组成集合的元素无先后顺序之分 由1、0组成的集合和由0、1 组成的集合是同一个集合 3．已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、集合元素互异性的应用 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 确定性：对象标准模糊（如＂高个子＂），无法构成集合。 互异性：集合含重复元素（如 ），需去重为 。 无序性：误认元素顺序改变集合（如 与 是同一集合）。 知识点04两个集合相等 如果两个集合 A与B的组成元素完全相同,就称这两个集合相等，记作A=B （1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等． （2）判断两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如 、、组成的集合与方程 的解组成的集合相等． 4．下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可. 【详解】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误； B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误； C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确； 故选：C 误判顺序：错认为 与 不相等（集合元素无序）。 忽略互异性：错将 与 判为不等（重复元素需去重）。 漏查元素：仅部分元素相同就判相等（如 与 ）。 知识点05 集合的分类 元素个数有限的集合称为有限集，否则就称为无限集． 如：一元二次方程 的解组成的集合为有限集；周长为 1 的三角形组成的集合为无限集． 5．集合的简单分类 （1）有限集：元素个数 的集合称为有限集． （2）无限集：元素个数 的集合称为无限集． （3） 元素的集合称为空集，记作． 【答案】 有限 无限 不含有任何 【知识点】集合的分类 【分析】根据题意，结合集合元素的个数，进行分类，即可求解. 【详解】根据集合的元素个数的多少，可分为有限集、无限集和空集. 空集误判：将 等同于 （ 含元素 无元素）。 有限／无限混淆：误将＂所有自然数＂判为有限集，或＂小于 5 的正整数＂判为无限集。 分类标准错：按元素属性（如数集、点集）分类时，混淆个数分类标准。 知识点06 常用数集的符号 数学中,常常需要用到数的集合,数的集合简称数集.常用的数集可以用以下特定的符号来表示 数集 符号 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 大小写混淆：如将 N （自然数集）写成 （整数集）写成 z （数集符号均为大写）。自然数集误判：误以为 （标准定义 ），或混淆 N 与 （正整数集）。符号记混：如将 Q（有理数集）与 R（实数集）、 （整数集）弄反。 多余符号：误写＂ （正整数集规范记为 或 ）。 知识点07 空集 不含有任何元素的集合称为空集,记作Ø 6．若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】空集的性质及应用 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 与 混淆： 无元素， 含元素 0 ，二者不等； 书写错误：勿写＂＂，规范符号为 ； 关系误判： 是任何集合的子集，非任何集合的元素（如 , 但 。 知识点08 列举法 将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法 能用列举法表示的集合一般是有限集，但对于一些有规律的无限集,在不会引起歧义的前提下,也可用列举法表示.例如，全体正偶数组成的集合可以表示为｛2,4,6,…,2n，…｝ 大括号“｛｝”表示“所有”“整体”的含义示例:实数集R可以写成｛实数｝,但如果写成{实数集}、｛全体实数｝、{R}都是不正确的. 集合可用列举法表示为 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】由集合的描述，应用列举法写出集合即可. 【详解】由. 故答案为： 元素模糊：列举不确定对象（如＂好人＂），违反确定性； 元素重复：含重复元素（如 ），违反互异性； 列举不全：漏写应含元素（如＂小于 5 的正整数＂漏 4）； 适用错误：无限集用列举法（如＂所有整数＂）； 类型混淆：混合不同类型元素（如 ｛1，（2，3）}) 。 知识点09 描述法 在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线,并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征,即： （1）所有描述的内容都要写在大括号内，如＂｛x｜x＝2k}, ＂不符合要求，应写为 ． （2）精确地写出集合中代表元素的符号，如 不能写成 ． 代表元素混淆：数集（ ）与点集（ ）勿混； 特征模糊：描述无明确标准（如＂有趣的数＂）； 格式错误：漏写竖线（|）或颠倒＂代表元素 | 特征＂顺序； 范围不明：未注明代表元素取值范围（如未标 ）。 知识点10 区间 1.区间的概念及几何表示 2.含“∞”的区间的几何表示 8．若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】区间的定义与表示 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 1．开闭混淆：如＂＂写为 （应为 ）； 2．端点误判：误将 包含 1 或 3 ； 3．无限区间错写：加闭区间于 （如 ，应为 ）； 4．与集合／不等式混淆：如 误写为 。 知识点11 子集 定义 对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）．对任何集合，规定． 我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系． 9．已知集合，集合的子集个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合的子集定义，即可求得. 【详解】集合的子集分别是：，，，共有4个. 故选：. 1．漏空集：忽略 是任何集合的子集； 2．真子集混淆：将子集与真子集等同（真子集不含原集合）； 3．元素／集合误判：如＂＂错（应为 ）； 4．个数计算错： 元集合子集数为 ，漏算空集或原集合。 知识点12 真子集 定义 对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂ 真包含于＂（或＂真包含＂）． 【注意：有的教材对真子集符号表示为，真包含于（或真包含）】 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 性质 （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． 满足的集合的个数为____________. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 分析：根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案. 解析：因为 所以集合中一定有元素， 所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个， 答案：7 1．与子集混淆：真子集 原集合 ； 2．空集误判： 是任何非空集合的真子集，非 的真子集； 3．个数错算： 元集真子集数为 （漏减原集合）； 4．符号误用：勿用＂＂代替＂＂； 5．对象误判：＂＂错（应为 ，且 ）。 知识点13 集合相等 定义 已知两个集合与，若，且 ，则称这两个集合相等，记作．如图是集合 的维恩图． 已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 分析：根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解. 解析：由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， 答案：C 1．误判顺序：认为 与 不等（集合元素无序）； 2．忽略互异性：将 与 判为不等（去重后元素一致）； 3．漏查元素：部分元素相同即判相等（如 与 ）。 知识点14有限集合的子集(真子集)个数 写出集合 的所有子集，并指出哪些是真子集． 可以按照子集的元素个数分类： 不含任何元素的子集 1 个：空集 ； 含 1 个元素的子集 3 个： ； 含 2 个元素的子集 3 个： ； 含 3 个元素的子集 1 个： 。 除集合 本身外，其余 7 个都是真子集． 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n 满足的集合M的个数为____个. 分析：通过列举法即可求解. 解析：由题意可知：可以是：，，共3个， 答案：3. 1．公式混淆：子集数 与真子集数 弄反； 2． 值误算：将重复元素计入集合元素个数（如 为 2 元集， ）； 3．漏减情况：真子集漏减原集合（少减 1），非空真子集漏减空集与原集合（少减 2）； 4．空集特例：忽略 只有 1 个子集（自身），无真子集。 知识点15数轴表示法 1. 数轴法 对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法:在数轴上,若端点值是集合中的元素则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示. 集合与用数轴表示分别如图所示． 2. 数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． （2）集合或与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． 1．端点虚实混淆： 用实心点， 用空心点，勿颠倒； 2．方向画反：大于向右、小于向左，避免与不等号方向矛盾； 3．单位长度不均：刻度间隔不一致，导致范围误读； 4．空集／全体实数误表示：空集不画任何线（勿画点），全体实数是整个数轴（勿漏画）； 5．多区间连接错：＂ 或 ＂需分开画，勿连成连续区间。 知识点16交集 自然语言 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集,记 符号语言 图形语言 (1)两集合为不包含关系时 ①与有部分公共元素: ② (2) 两集合为包含关系时： ① ② ③ 仍是一个集合，中的任意元素都是与的公共元素，同时与的公共元素都属于 ． 2.交集概念中的＂且＂即＂同时＂的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素． 3.交集概念中的＂所有＂两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来． 4.当集合和集合没有公共元素时，不能说集合与集合没有交集，而是集合与集合的交集为空集，即． 2.交集的运算性质 性质 说明 两个集合的交集满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集定义计算即可． 【详解】由已知可得， 故选：C． 1．概念混淆：与并集弄反，误将＂共同元素＂当＂所有元素＂； 2．空集误判：无公共元素时，交集是 も（非＂无交集＂）； 3．符号误用：把 （交集）写成 （并集）； 4．子集漏判： 时，（非 ）； 5．数轴错画：误将非重叠部分当交集（应为重叠区间）。 知识点17并集 自然语言 定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记 符号语言 图形语言 （1）两集合为不包含关系时: ①A与B有部分公共元素; ②A与B没有公共元素 （2）两集合为包含关系时 ① ② ③ 并集的运算性质 性质 说明 两个集合的并集满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合律 并集关系与子集关系的转化 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 求集合的并集的方法 (1)对于有限集,直接把集合的素合并在一起写在大括号内，要注意集合中元素的互异性.(2)对于无限集,一般地在数轴画出集合相应图形所覆盖的域，然后找出图形覆盖的全部域，要注意端点值的取舍. 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据集合的并集定义求解即得. 【详解】因集合，则． 故选： C． 1．概念混淆：与交集弄反，误将＂所有元素＂当＂共同元素＂； 2．符号误用：把 （并集）写成 （交集）； 3．空集误判：（非 ）； 4．子集漏判： 时，（非 ）； 5．数轴错画：误将重叠部分当并集（应为全部覆盖区间）。 知识点18全集与补集 1.全集的概念 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 2.补集的概念 自然语言 定义 设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作 （读作＂ 补＂）．有时为了强调全集 ，集合 在全集 中的补集 符号语言 图形语言 3.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 12．已知集合是大于的负整数}，，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的概念求，即可确定它所含元素的个数. 【详解】因为， 所以，中的元素个数为3. 故选：A 1．全集未明确：未指定全集就求补集（补集依赖全集）； 2．补集范围错：超出全集找补集，或遗漏全集中的元素； 3．符号误用：补集符号（如CUA）漏写全集 U，或位置颠倒； 4．特例误判： 弄反； 5．相对性忽略：同一集合在不同全集中补集不同（如 与 的补集不同）。 知识点19命题 用自然语言、符号或式子表达,且可以判断其真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题 中至少有一个是非负实数的等价命题是（    ） A．中全不是负数 B．中只有一个是负数 C．中至少有一个是正数 D．不全是负数 【答案】D 【分析】根据等价命题的判定直接得到结果. 【详解】中至少有一个是非负实数，则中非负实数的个数大于等于个， 其等价命题为：中不全是负数. 故选：D. 1．定义误判：将疑问句、祈使句（如＂画直线＂）当作命题； 2．真假颠倒：误将＂对顶角相等＂的逆命题（相等的角是对顶角）判为真； 3．改写错误：＂若 p 则 q ＂逆命题／否命题颠倒条件与结论； 4．量词否定错：全称命题（所有 x 满足）否定为＂存在 x 不满足＂，非＂所有 x 不满足＂； 5．等价性忽略：原命题与逆否命题同真同假，误判为无关。 知识点20推出关系 如果命题＂若 ，则 ＂是真命题，那么就称 推出 ，记作 （或 ）．因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若 且 ，则 ．它是逻辑推理的基础． 注意： ＂若 ，则 ＂与＂＂一样吗？不能将＂若 ，则 ＂与＂＂混为一谈，＂若 ，则 ＂是一个命题，可能是真命题，也可能是假命题，只有＂若 ，则 ＂为真命趣时，才有＂＂，即＂＂等价于＂若 ，则 ＂为真命题． 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）把各个命题写成“若p，则q”的形式，再利用逆命题的定义写出逆命题. 【详解】（1）若，则； 逆命题：若，则. （2）若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除； 逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除． （3）若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上． 1．充分必要混淆：误将 说成＂ 是 的充分条件＂（应为 是 的充分条件）； 2．逆推误判：认为 则 （单向推出 双向等价）； 3．符号误用：把＂⇒＂（单向）写成＂⇔＂（双向），或反之； 4．等价性忽略：忘记原命题与逆否命题同推出关系（如 等价于 ）； 5．前提遗漏：忽略推出关系依赖的前提条件（如＂＂需在实数集内）。 知识点21充分条件与必要条件 （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 ． （2）根据定义，如果 推不出 ，那么就称 不是 的充分条件，亦称 不是 的必要条件． （3）对于命题＂若 ，则 ＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． α： β：．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据集合的包含关系推理即可. 【详解】因为是的子集，所以. 故答案为：. 1．关系颠倒： 误说＂ 是 的充分条件＂（应为 是 充分、 是 必要）； 2．联结词误解：＂只要 就 ＂（ 充分）与＂只有 才 ＂（ 必要）弄混； 3．符号对应错：将 拆分为＂ 仅充分＂或＂ 仅必要＂（实际双向充分必要）； 4．单向当双向：认为 p 是 q 的充分条件，则 q 也是 p 的充分条件； 知识点22充要条件 对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作＂ 与 等价＂或＂ 成立当且仅当 成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 1．单向当双向：仅证 就判充要（需双向 ）； 2．符号误用：＂⇒＂与＂⇔＂混淆； 3．定义混淆：将充分／必要条件等同于充要； 4．联结词误读：＂当且仅当＂与＂只要／只有＂弄混； 5．漏证方向：只证一个方向，未证逆方向。 知识点23反证法的定义 要判断命题＂若 ，则 ＂是假命题，只要存在一个满足条件 但不满足结论 的对象就行．但是要判断命题＂若 ，则 ＂是真命题，就需要证明所有满足条件 的对象都满足结论 ，有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论 丕成立，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明＂ 为假＂是不可能发生的，即结论 是正确的，这样的证明方法叫反证法． 一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的(至少有一个是错的) 至少存在一个不满足性质 至少存在一个满足性质 命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ． 【答案】且 【分析】由或的否定为且，从而可得结果. 【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”. 故答案为：且. 1．假设不当：未否定结论全貌（如证＂ ＂，仅假设＂ ＂而非＂ ＂）；； 2．矛盾误判：将计算错误、主观矛盾当作逻辑矛盾（需与已知／公理／假设矛盾）； 3．逻辑遗漏：跳过＂否定结论 → 推矛盾＂直接证原结论，违背反证法逻辑； 4．概念混淆：将反证法与举反例弄混（举反例否定命题，反证法证明命题）。 知识点24反证法证明 反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的真实性的论证方法 反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的 反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了;如果有多种，那么必须一一否定 反证法的步骤 (1)假设结论不成立. (2)从假设出发推出矛盾. (3)假设不成立,则结论成立. 若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【答案】证明见解析 【分析】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾，以此来证明结论成立． 【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 1．假设不彻底：未涵盖结论的所有反面情况（如证 仅假设 ）； 2．推导无依据：使用未证实的条件或逻辑断层； 3．矛盾不成立：推导的＂矛盾＂非与已知／公理／定理冲突； 4．遗漏回归步：推得矛盾后未明确肯定原结论； 5．滥用反证法：可直接证明的命题强行使用，增加复杂度。 题型一 交集的概念及运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．定义核心：交集是两集合共有的元素组成的集合，记为 且 ，本质是＂找公共元素＂。 2．先化简再运算：若集合是不等式（分式、绝对值、二次不等式等）或函数相关（定义域、值域）形式，先解不等式、求定义域／值域化简集合，再找公共部分。 3．辅助工具： 列举法：适用于有限集，直接列出两集合元素，筛选公共元素； 数轴法：适用于数集（区间形式），在数轴上标注两集合范围，重叠部分即为交集； Venn 图法：直观呈现集合关系，阴影重叠区域为交集。 4．特殊情况：若两集合无公共元素，交集为空集 ；若 ，则 。 【典例1】（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的概念即可得解. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 【变式1】（2024·上海闵行·一模）设集合，，则 ． 【答案】/ 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据一元二次方程化简集合，即可由交运算求解. 【详解】由得， 所以， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海普陀·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、求指数函数在区间内的值域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由指数函数性质求值域，由对数函数性质求定义域确定集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由题设， 对于，有，可得， 所以或， 故. 故选：D 【变式4】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，集合 ，求 . 【答案】， 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解分式不等式及含绝对值不等式，再由集合的交集、并集得解. 【详解】因为， 所以或，即， 因为， 所以， 所以，. 【变式5】（24-25高一上·上海奉贤·期末）已知全集为，集合． (1)求集合A和； (2)将图中阴影部分表示的集合用数学表达式写出来并求解． 【答案】(1)，或 (2)数学表达式为或， 【知识点】交集的概念及运算、利用Venn图求集合、补集的概念及运算、分式不等式 【分析】（1）解不等式，得到集合和； （2）根据交集和补集概念表达出阴影部分表示的集合为或，并求出集合. 【详解】（1）由或，解得或， 故， 由， 等价于，解得或， 故或； （2）图中阴影部分表示的集合为或， 因为， 故图中阴影部分表示的集合为. 题型二 根据交集结果求集合或参数（重点） 解｜题｜技｜巧 1．化简基础：先将已知集合化为最简形式（如区间、列举式），明确集合的元素特征。 2．分类讨论： 空集优先：若 ，需先考虑其中一个集合为空集的情况（如含参数的一元二次不等式解集为空集）； 非空情况：根据交集的元素个数（如＂恰有一个整数＂＂包含某个元素＂），结合数轴标注区间端点，列不等式组求解。 3．端点验证：参数涉及区间端点时，需检验端点是否满足条件（避免多解或漏解，注意等号是否成立）。 4．集合关系转化：若 ，则 ，转化为包含关系求参数，简化计算。 【典例2】（2023高一上·上海·专题练习）设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 【变式1】（23-24高一上·上海·期末）已知，设集合，集合. (1)分别求集合A和B； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、分式不等式、根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）解分式不等式得到，结合，求出或； （2）根据交集的结果得到包含关系，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）, 解得，故， 因为，所以，故， 故或； （2）因为，所以， 故或， 结合，解得或， 故a的取值范围是. 【变式2】（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 【变式3】（24-25高一上·上海松江·期末）设全集，集合. (1)求图中阴影部分表示的集合 : (2)在① ; ② ; ③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)条件选择见解析，. 【知识点】根据交集结果求集合或参数、利用Venn图求集合、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）解不等式化简集合，再结合韦恩图求出集合. （2）选择条件①②③，利用交集、并集的结果，结合集合的包含关系分类列式求解. 【详解】（1）解不等式，得，则， 不等式，解得，则， 或，所以. （2）选择条件①，，则， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件②，，则， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件③，，而，因此， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 题型三 并集的概念及运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．定义核心：并集是两集合所有元素组成的集合（重复元素只算一次），记为 或 ，本质是＂合并所有元素＂。 2．化简优先：同交集运算，先化简集合（解不等式、求定义域等），再合并范围或元素。 3．辅助工具： 数轴法：数集合并时，数轴上覆盖的所有区域即为并集； Venn 图法：两集合覆盖的全部阴影区域为并集。 4．特殊性质：若 ，则 ；空集与任何集合的并集为原集合 。 5．根据并集求参数：由 的结果（如＂并集为全体实数＂并集包含某个区间＂），结合数轴分析集合端点的位置关系，列不等式求解。 【典例3】（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】根据集合的交集以及并集的定义即可求解. 【详解】由知，. 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知函数的定义域为集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、求对数型复合函数的定义域、并集的概念及运算、必要条件 【分析】（1）先根据函数求定义域，再根据并集的运算可得； （2）由题意，可得，进而可得. 【详解】（1）由得，得， 故函数的定义域为， 当时，， . （2）若是的必要条件，则， 故，得， 故实数的取值范围为 【变式3】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 题型四 包含关系（重点） 解｜题｜技｜巧 1．定义辨析： （ A 是 B 的子集）： A 中所有元素都在 B 中； （ A 是 B 的真子集）： A 是 B 的子集且 B 中至少有一个元素不在 A 中。 2．空集特殊处理：空集是任何集合的子集（ ），是任何非空集合的真子集，解题时需优先考虑空集情况 （如含参数的集合为子集时，先讨论参数使集合为空集的情况）。 3．元素特征法： 有限集：若 ，则 A 的每个元素都属于 B ，结合元素互异性列方程／不等式求解； 无限集（区间）：用数轴表示， 的区间完全包含在 的区间内，注意端点的包含关系（等号是否成立）。 4．验证互异性：由包含关系求参数时，需检验所求参数是否导致集合元素重复，排除不符合互异性的解。 【典例4】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知集合，且，则 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 【详解】由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·上海普陀·期末）给出下列四个命题：①设集合，则；②空集是任何集合的真子集；③集合表示同一集合；④集合，集合，则，其中正确的命题的序号是 ． 【答案】④ 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等、空集的性质及应用、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由集合间的关系判断①；注意空集自身的关系判断②；求函数的值域、定义域求集合判断③；根据集合元素的无序性判断④. 【详解】①显然是的真子集，但不能表示为，错； ②空集是空集的子集，不是真子集，错； ③由，或，故不是同一集合，错； ④根据集合的无序性知，对. 故答案为：④ 【变式2】设全集为，集合，. (1)求集合、； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、分式不等式、描述法表示集合、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）解不等式可得集合，利用分式不等式的解法可得集合； （2）利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由得，解得，则， 由可得，等价于， 解得，则. （2）因为，则，解得，因此，实数的取值范围是. 【变式3】（24-25高一上·上海静安·期末）已知 (1)设，，判断集合A与集合B的包含关系并说明理由； (2)用反证法证明，a，b，c，d至少有一个不小于1，至少有一个不大于1. 【答案】(1)B是A的真子集，理由见解析 (2)证明见解析 【知识点】判断两个集合的包含关系、反证法证明、分式不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由分式不等式以及绝对值的定义，可得集合，结合集合之间的包含关系，可得答案； （2）写出题干命题的否定，求得不等式组的解集，可得答案. 【详解】（1）由，可得，解得或，则或； 由，，可得，解得或，则或. 所以. （2）假设：都小于或都大于， 令，即，可得，则，解得或； 令，即，可得或，解得或； 令，即，解得；令，即，解得. 所以由不等式组，解得；由不等式组，解得， 与假设矛盾，故原命题正确. 【变式4】（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2) (3)，. 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数新定义、根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）分别求出函数和在区间上的值域，再根据值域的关系判断即可； （2）分类讨论求函数在区间上的值域，再根据值域的关系列不等式，求解即可； （3）由唯一性得，即两个函数的值域相等，分类讨论求值域，列方程组求解即可. 【详解】（1）因为函数是增函数，所以值域， 当时，函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不具有性质. （2）①当时，函数， 此时函数在区间上单调递减，所以值域为， 又，函数在上单调递减，所以值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，因为， 所以，解得， 因此，a的取值范围为. （3）由题意得，的值域为，即， 的对称轴，且开口向下， ①当时，在上单调递减，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ②当时，在上单调递增，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ③当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又，， （i）当，即时，的值域， 由，得，解得，，符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得，解得，所以符合题意， 综上所述，t的取值为，. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于由唯一性得值域相等，再分类讨论求值域即可. 题型五 集合的含义与表示（重点） 解｜题｜技｜巧 1．元素三性：牢记确定性（元素明确）、互异性（元素不重复）、无序性（元素顺序无关），解题时优先检验互异性。 2．表示方法选择： 列举法：适用于元素个数有限且较少的集合，直接列举元素； 描述法：适用于元素有共同特征的集合，格式为 的特征 ，需明确代表元素（如 是定义域， 是值域）。 3．元素与集合关系：若 ，则 a 满足 A 的特征条件，列方程求解参数，求解后必检验互异性。 4．新定义集合：紧扣题于给出的新规则（如＂由某些正整数组成，满足特定运算关系＂），逐步推导集合元素，必要时用反证法验证元素个数或范围。 【典例5】（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【知识点】集合新定义、常用数集或数集关系应用 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 【变式2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设集合，若，则实数 ． 【答案】1 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、对数的运算 【分析】根据元素和集合的关系得到方程，求出 【详解】由题意得，解得. 故答案为：1. 【变式3】（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 题型六 充分不必要条件（重点） 解｜题｜技｜巧 1．逻辑转化：＂ p 是 q 的充分不必要条件＂等价于＂ 且 ＂，进一步转化为集合关系＂（ P 是 p 的解集， 是 的解集）。 2．步骤： 分别解出 p , q 对应的不等式／方程，得到集合 P , Q。 ，结合数轴分析区间端点的位置关系，列不等式组（注意等号是否成立，充分不必要条件中 不能等于 Q ）。 3．验证：通过举例或逆推验证充分性（ 成立）和必要性（ 不成立），避免逻辑错误。 4．易错点：区分＂充分不必要＂与＂必要不充分＂的集合关系，避免将包含方向搞反。 【典例6】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】易知，根据定义即可判断得出结论. 【详解】易知若，由可得，可知充分性成立， 又推不出，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】由，得；反之，，可以为， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】已知，，若是的充分不必要条件， 则，所以，. 故选：B. 【变式3】（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，． (1)若，求和B； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据充分不必要条件求参数、公式法解绝对值不等式、根据集合的包含关系求参数、分式不等式 【分析】（1）分别求出集合A和集合B即可. (2) 因为“”是“”的充分不必要条件，所以,即可求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，化为，则， ，； 化为，则， 所以 （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围为． 题型七 必要不充分条件（重点） 解｜题｜技｜巧 1．逻辑转化：＂ p 是 q 的必要不充分条件＂等价于＂ 且＂，进一步转化为集合关系＂＂（ P 是 p 的解集， 是 的解集）。 2．步骤： 解出 p , q 对应的集合 P , Q ，用数轴标注区间，列不等式组（注意端点是否取等号，确保 Q 是 P 的真子集）。 3．特殊场景：涉及自然数、整数等离散集合时，需逐—验证端点附近的元素，确保满足必要不充分关系。 4．等价判定：可通过逆否命题转化（＂ p 是 q 的必要条件＂等价于＂非 p 是非 q 的充分条件＂），简化判断。 【典例7】（24-25高一上·上海徐汇·期末）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由，得，则，解得或， 所以由“”不能得到“”，由“”能得到“”， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 且：，所以是的必要非充要条件. 故选：B 【变式2】（2023·上海宝山·一模）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为、都是自然数，若是偶数，则、都是偶数或、都是奇数， 所以，“是偶数”“、都是偶数”， “是偶数”“、都是偶数”， 故“是偶数”是“、都是偶数”的必要而不充分条件. 故选：B. 【变式3】（24-25高三上·江苏·开学考试）已知都是正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、基本（均值）不等式的应用 【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出； 当时，且，所以，即，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 题型八 集合的交并补（难点） 解｜题｜技｜巧 1．补集定义：全集 U 中不属于集合 A 的元素组成的集合，记为 且 ，核心是＂找全集里的剩余元素＂。 2．运算顺序：先求补集，再进行交、并运算（＂先补后交并＂），避免运算顺序错误。 3．辅助工具： 数轴法：数集的补集是数轴上全集范围内 A 的补集区间，再与其他集合交并； Venn 图法：阴影部分表示补集，再结合交并规则确定最终区域。 4．性质应用： －; －（德摩根定律），可简化复杂运算。 5．根据交并补求参数：结合补集性质转化集合关系，再用数轴分析端点，列不等式求解，注意全集的范围限制。 【典例8】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 【变式1】已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解. 【详解】全集，集合，， 所以或， 所以． 集合或，且， 所以或， 解得或， 即的范围为． 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算，可得答案. 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 【变式3】设全集，集合，集合，则 ． 【答案】. 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【解析】由已知得，结合全集即可求. 【详解】由题意有，，而， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于简单题. 【变式4】（24-25高一上·上海普陀·期末）设集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）解分式不等式、一元二次不等式求集合，再应用集合的并补运算求集合； （2）讨论参数a求对应集合，结合集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）由题设，则，可得， 所以， 或， 所以，则； （2）由或， 由， 当，则，满足； 当，则，满足； 当，则，不满足； 综上，. 题型九 集合新定义（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．紧扣定义：题干给出新规则（如＂ M 集＂＂倒函数集合＂＂封闭集合＂），先逐字理解定义的核心条件（如＂任意元素满足某运算＂＂元素关系满足某等式＂），将新定义转化为已知的集合、函数或不等式知识。 2．举例验证：对于抽象的新定义，可先举简单例子（如有限集、特殊函数）验证定义，理解本质特征。 3．分类讨论：根据新定义的条件，对集合元素的范围、参数的取值进行分类，逐一分析是否满足定义。 4．反证法应用：当需证明＂至少有一个＂＂至多有一个＂或否定性结论时，可采用反证法，假设与定义矛盾，推导得出原结论成立。 5．转化思想：将新定义的集合关系转化为元素的特征关系（如等式、不等式），再通过解方程、解不等式或函数单调性等知识求解。 【典例9】（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 【答案】9 【知识点】反证法证明、集合新定义 【分析】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值. 【详解】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 【变式1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．4 B．2 C．6 D．1 【答案】A 【知识点】描述法表示集合、函数新定义 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示：    由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是4.， 故选：A 【点睛】关键点点睛：明确点集表示的几何意义为平面区域，这是解答的关键. 【变式2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知集合，n是正整数，，…，，都是实数．若，则称A为n元“M集”，记作． (1)判断是否为真命题； (2)若，x、y均为正实数，求的取值范围； (3)若，，，且，．记，．证明：当时，对任意实数x恒成立，且． 【答案】(1)为真命题，理由见解析 (2) (3)证明过程见解析 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、集合新定义、作差法比较代数式的大小、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）验证满足，故为真命题； （2）由题意得到，变形得到，结合，求出，进而得到的取值范围； （3）首先得到，，又，作差变形得到，从而得到，再根据变形得到. 【详解】（1）为真命题，理由如下： ，， 所以满足，为真命题； （2）由题意得，故，， ， 因为x、y均为正实数，故，所以， 故当时，取得最大值， 且，所以， 的取值范围为 （3），故， 所以，同理可得， 故 ， 又， 所以 ， 因为，，，所以， ， 故， 下证， 由于， 即 ， 若，因为，， 所以， 所以， 满足，满足要求， 又 因为，，， 若，其中， 此时，， 此时，不合要求， 综上，. 【点睛】关键点点睛：第三问，作差法比较大小，反复用到，，又，对式子变形，因式分解，进而判断出大小，得到答案. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【知识点】必要条件、探求命题为真的充要条件、充分条件 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 2．已知集合，则 . 【答案】/ 【知识点】交集的概念及运算 【分析】求得集合，再根据集合的交运算求解即可. 【详解】根据题意，，故. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【分析】（1）先分别求出当时集合和集合，再求它们的交集； （2）根据充分不必要条件可知以是的真子集，由此确定实数的取值范围. 【详解】（1）已知集合，当时，，即. 等价于，所以集合. 对于集合，这是一个分式不等式. 分式不等式等价于. 解不等式，可得，所以集合. 由前面求出的，， 所以. （2）由集合，解不等式可得， 即，所以集合. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 则有（等号不同时成立）. 解第一个不等式，得；解第二个不等式，得. 综上，实数的取值范围是. 4．已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】根据交集的定义和一元二次方程的根求解. 【详解】将两个方程中都代入，得：， 解得：或3， 或3， 所以 . 5．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由，则，，代入集合，求出的取值范围，再求交集即可； （2）由集合，令，得方程的两个根为，通过讨论两个根的大小，求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，代入， 得，即，解得， 因为，则，所以， 所以若，求实数的取值范围为. （2）当时，方程的两个根为， 当，即时，集合， 因为，，所以，解得，则； 当，即时，集合，满足； 当，即时，集合， 因为，，所以，此时， 综上，实数的取值范围为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（上海市华东模范中学2024-2025学年高一上学期1月期末测试数学试题）已知，函数. (1)当时，若对任意都有，证明：； (2)当时，证明：对任意的充要条件是； (3)当时，请直接写出对任意成立的充要条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】充要条件的证明、探求命题为真的充要条件、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意，即可得证； （2）分别证必要性与充分性，即必要性：对任意；充分性：； （3）时，证，由，可得，再证可得，即可求解 【详解】（1）， 根据题意，对任意都有， 由得， 因为，，所以； （2）必要性：对任意， 据此可推出，即，所以， 对任意， 因为，可得，可推出，即， 所以，所以； 充分性：因为，对任意， 可推出，即， 因为，，对任意， 可推出，即， 所以，即， 综上可知，当时，对任意的充要条件是； （3）因为，，任意， 可推出，即， ，即， 又，即， 所以当时， 对任意成立的充要条件是. 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【答案】(1)是倒函数，不是倒函数 (2)没有正整数解，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、函数新定义、零点存在性定理的应用 【分析】（1）利用给定的定义进行判断； （2）先求出时的解析式，利用零点存在定理验证即可； （3）利用函数单调性的定义，倒函数的定义以及充分条件、必要条件的定义进行证明. 【详解】（1）对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立， 又，所以是倒函数. 对于定义域为， 当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数. （2）令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以， 要使有正整数解，则， 令，则函数在上单调递增， 因为， ， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为， 所以没有正整数解. （3）充分性：当时，且， 因为是增函数，所以， 即，， 所以. 必要性：当时， 有， 因为恒大于，所以，即， 所以， 因为是增函数，所以，即. 综上可得是的充要条件. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是理解所给倒函数的定义，使用进行转化. 3．（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知是定义在上的函数，给定数集.若对任意的，当时，均有，则称函数在集合上封闭. (1)若，分别判断在和上是否封闭？并说明理由； (2)若在上封闭，当时，，解不等式； (3)证明：“在上封闭，且在上封闭”的必要条件是“在上封闭”. 【答案】(1)在上封闭，在上不封闭，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】必要条件、函数新定义、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据新定义，任取判断是否在上，取判断是否在上，即可得结论； （2）根据已知得，进而有只在、上有解，分类讨论求解不等式即可； （3）根据已知有，，且任取，都有成立，再结合封闭的定义及必要性定义证明结论. 【详解】（1）在上封闭，在上不封闭，理由如下， 任取，则， 所以在上封闭， 取，则，此时， 所以在上不封闭. （2）在上封闭，则任意，都有， 所以， 当时，，此时， 所以时，， 所以只在、上有解， 当，，可得， 当，，则，可得或， 综上，的解集为. （3）在上封闭，易得，所以，， 在上封闭，则任取，都有成立， 若，则，故， 即，故， 所以在上封闭， 综上，“在上封闭，且在上封闭”的必要条件是“在上封闭” 【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据封闭的定义分别得到、，为关键. 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $