专题01 集合与逻辑（八大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题01 集合与逻辑（八大题型+优选提升题） 集合的表示 1．（24-25高一上·上海·期中）用列举法表示中华人民共和国国旗的颜色名称的集合是 ． 2．（22-23高一上·上海杨浦·期中）若集合为偶数，用列举法表示集合 . 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 . 判断命题的真假、命题的否定 、反证法 4．（23-24高一上·上海闵行·期中）若、中至少有一个小于0，则是 命题.（填“真”或“假”） 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 7．（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 8．（22-23高一上·上海宝山·期中）语句“或”的否定形式是 . 集合的基本运算 9．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合，，则 ． 10．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知集合，，则 ． 11．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知，，则 . 12．（23-24高三上·上海黄浦·期中）已知集合，则 ． 13．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，，则 ． 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合，集合，则 ． 判断集合符号的表述、充分、必要条件 15．（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 16．（23-24高一上·上海徐汇·期中）下列关于集合的符号表述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·上海虹口·期中）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 18．（23-24高一上·上海普陀·期中）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，其中是的充要条件个数有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 求参数范围综合 19．（23-24高三上·上海浦东新·期中）设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，，若，则实数的取值范围是 ． 21．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足则实数的值为 ． 22．（22-23高一上·上海黄浦·期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ． 23．（23-24高一上·上海闵行·期中）设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是 题型6 集合的个数、元素的个数 24．（23-24高一上·上海杨浦·期中）满足的集合有 个. 25．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）集合，则集合的真子集个数为 . 26．（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 27．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知集合，则满足的集合S共有（    ）个 A．3 B．4 C．7 D．8 题型7 文氏图 28．（23-24高一上·上海普陀·期中）设全集，集合，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 29．（20-21高一上·上海黄浦·期中）下列表示图中的阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 题型8 解答综合题 30．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 31．（20-21高一上·上海崇明·期中）已知全集为，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 32．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空集合，. (1)当时，求，； (2)求能使成立的实数的取值范围. 33．（22-23高一上·上海奉贤·期中）设，，，. (1)求a、b的值及A、B； (2)求. 34．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 35．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 36．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若实数、、满足，则称比接近， (1)比接近，求的取值范围； (2)判断：“比接近”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. 一、填空题 1．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有 个. 3．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 4．（23-24高一上·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀= . 5．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 6．（22-23高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 二、单选题 7．（23-24高一上·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 8．（20-21高一上·上海嘉定·期中）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题； ①0是任何数域的元素； ②若数域有非零元素，则; ③集合是一个数域 ④有理数集是一个数域 其中假命题的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 三、解答题 9．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与逻辑（八大题型+优选提升题） 集合的表示 1．（24-25高一上·上海·期中）用列举法表示中华人民共和国国旗的颜色名称的集合是 ． 【答案】{黄色，红色} 【分析】易知国旗颜色，用列举法表示即可. 【解析】易知国旗颜色有黄色与红色， 所以集合为{黄色，红色}， 故答案为：{黄色，红色}. 2．（22-23高一上·上海杨浦·期中）若集合为偶数，用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】直接用列举法写出集合即可. 【解析】因为集合为偶数 故列举法表示集合 故答案为： 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合集合的表示方法，即可求解. 【解析】根据集合的表示方法，可得被4除余3的所有自然数组成的集合为. 故答案为：. 判断命题的真假、命题的否定 、反证法 4．（23-24高一上·上海闵行·期中）若、中至少有一个小于0，则是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】利用反例判断命题的真假即可. 【解析】、中至少有一个小于0包括、都小于0和、两个数中一个小于0，一个大于0， 故当，时，满足条件，但是， 所以命题：若、中至少有一个小于0，则为假命题. 故答案为：假 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】根据题意举出反例即可证明该命题是假命题. 【解析】不妨取，则，不满足， 因此该命题是假命题. 故答案为：假 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【分析】结合一次方程解的性质判断命题的真假即可. 【解析】当时，方程无解，当时，方程的解为， 所以命题“关于x的方程的解集为”是假命题. 故答案为：假. 7．（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 【答案】或. 【分析】利用反证法的概念直接求解. 【解析】用反证法证明命题：“已知，则且”时， 应假设: 或. 故答案为：或. 8．（22-23高一上·上海宝山·期中）语句“或”的否定形式是 . 【答案】 【分析】写命题的否定时，联结词“或”要改成“且”. 【解析】“或”的否定是“且”，即， 故答案为：. 集合的基本运算 9．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合，，则 ． 【答案】 【分析】利用并集的定义，直接运算可得. 【解析】因为，， 所以. 故答案为： 10．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】应用集合的交运算求结果. 【解析】. 故答案为： 11．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知，，则 . 【答案】 【分析】应用并集定义计算即可. 【解析】，， 故答案为: . 12．（23-24高三上·上海黄浦·期中）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得. 【解析】集合，所以. 故答案为： 13．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】联立方程求得交点坐标即可求出两集合的交集. 【解析】，，联立，解得， 所以. 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出方程组的解即可. 【解析】依题意，由，解得或， 所以. 故答案为： 判断集合符号的表述、充分、必要条件 15．（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 【答案】② 【分析】由数集定义、空集性质及集合的关系判断各项正误即可. 【解析】由数集的定义知：，，则①③错； 由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错. 故答案为：② 16．（23-24高一上·上海徐汇·期中）下列关于集合的符号表述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合间的关系判断即可. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，空集是任何集合的子集，故D正确. 故选：D. 17．（23-24高一上·上海虹口·期中）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】首先求解不等式，再根据集合的包含关系，即可判断选项. 【解析】不等式，得或， 而或， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 18．（23-24高一上·上海普陀·期中）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，其中是的充要条件个数有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合韦恩图可直接判断集合间的关系. 【解析】U为全集，A、B为非空集合    对于（1）； 对于（2）； 对于（3）； 对于（4）. 故选：D 求参数范围综合 19．（23-24高三上·上海浦东新·期中）设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件定义即得. 【解析】由，是的充分条件， 所以，故 故选：C 20．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据可求得实数的取值范围. 【解析】因为，，且，则. 故答案为：. 21．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足则实数的值为 ． 【答案】1或或0 【分析】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可. 【解析】因为，所以或或， 若，解得或，当时出现两个1，矛盾；当时符合要求； 若，解得或，经验证都符合要求； 若，解得或者，由上知不符合，经验证时符合， 所以或或或 故答案为：1或或0 22．（22-23高一上·上海黄浦·期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ． 【答案】0 【分析】由题意可得 A是空集 即可求解. 【解析】集合，只有一个子集， 则，， 所以方程无解，即． 故答案为：0． 23．（23-24高一上·上海闵行·期中）设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得命题p是命题q的充分条件，列出不等式，即可得到结果. 【解析】因为，则命题p是命题q的充分条件，则，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 题型6 集合的个数、元素的个数 24．（23-24高一上·上海杨浦·期中）满足的集合有 个. 【答案】7 【分析】根据给定条件，求出集合的非空子集个数即得答案. 【解析】因为，则集合可以是集合与集合的非空子集的并集， 而集合的非空子集的个数为， 所以集合有7个. 故答案为：7 25．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）集合，则集合的真子集个数为 . 【答案】3 【分析】求出集合的真子集可得答案. 【解析】集合，则集合的真子集为， 所以真子集个数为3. 故答案为：3. 26．（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【解析】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 27．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知集合，则满足的集合S共有（    ）个 A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先求出集合，进而求得，，进而根据集合间的包含关系求解即可. 【解析】因为，， 所以，， 所以满足条件的集合为：，，，，，， ，，共8个. 故选：D. 题型7 文氏图 28．（23-24高一上·上海普陀·期中）设全集，集合，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交并补运算即可结合图形求解. 【解析】阴影部分所表示的集合是 由得, 所以, 故选:C 29．（20-21高一上·上海黄浦·期中）下列表示图中的阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集、并集和补集的定义判断即可. 【解析】   ①②③④⑥⑦，②③④⑤⑥⑦，所以②③④⑥⑦，故A正确； ①②③④⑤⑥，所以①②③④⑥，故B错； ①②③④⑤⑥⑦，故C错； ③④⑥，故D错. 故选：A. 题型8 解答综合题 30．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【解析】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 31．（20-21高一上·上海崇明·期中）已知全集为，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）当时，求得集合，进而可求； （2）由已知可得，可得且，求解即可. 【解析】（1）当时，，， 所以； （2），因为， 又因为，所以且，解得，． 32．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空集合，. (1)当时，求，； (2)求能使成立的实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求得，，结合集合交集、并集的运算，即可求解； （2）由得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【解析】（1）当时，集合， ， 由集合交集和并集的定义与运算，可得，. （2）由非空集合，， 因为，可得，因为，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 33．（22-23高一上·上海奉贤·期中）设，，，. (1)求a、b的值及A、B； (2)求. 【答案】(1)，，，； (2). 【分析】（1）根据得到，将代入方程，求出，，从而求出A、B； （2）求出，从而得到. 【解析】（1）因为，故， 所以，， 解得：，， 故，； （2），. 34．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由集合的交集运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得是的真子集。列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）因为，， 当时，则，所以. （2）因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，又，， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 35．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【解析】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 36．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若实数、、满足，则称比接近， (1)比接近，求的取值范围； (2)判断：“比接近”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. 【答案】(1)或 (2)必要不充分条件，证明见解析 【分析】（1）根据题中定义可得出关于的不等式，解之即可； （2）求出条件“比接近”和“”的等价条件，结合充分性与必要性、特殊值法证明即可得出结论. 【解析】（1）解：因为比接近，则，即，即， 解得或， 所以，的取值范围是或. （2）解： 若比接近，则， 由可得，即，可得， 若，则，即，此时，， 若，则，则，则，此时，， 所以，“比接近”“”， 另一方面，若，取，，则， 所以，“比接近” “”， 因此，“比接近”是“”的必要不充分条件. 一、填空题 1．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【解析】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有 个. 【答案】31 【分析】根据集合的定义确定集合中可能含有的元素，然后结合子集个数可得.. 【解析】由题意1和36同时属于或不属于集合，2和18同时属于或不属于集合，3和12同时属于或不属于集合，4和9同时属于或不属于集合，又6也可以属于或不属于集合， 因此满足题意的集合的个数为， 故答案为：31. 3．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 【答案】12 【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可 【解析】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集 集合的子集有个 其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个 故满足题意的集合的个数为 故答案为：12 4．（23-24高一上·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀= . 【答案】 【分析】根据定义，先求A❀B，再求其补集即可. 【解析】因为U=Z, 所以A❀B=， 所以❀= 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 【答案】10 【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论． 【解析】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有种， 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的三个数， 即或或或有种， 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有种， 故有序集合对的个数是. 故答案为：10. 6．（22-23高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合M一致即可. 【解析】对于①.，设，则，故①的集合与M相等； 对于②.令 ，则，其中，故②的集合与M相等； 对于③.当 时，，故③的集合与M不相等； 对于④.令， ， 其中，故④的集合与M相等； 故答案为:①②④ 二、单选题 7．（23-24高一上·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可. 【解析】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 8．（20-21高一上·上海嘉定·期中）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题； ①0是任何数域的元素； ②若数域有非零元素，则; ③集合是一个数域 ④有理数集是一个数域 其中假命题的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】对于①，根据新定义，，，当时，，取，可判断出①，对于②，若数域中有非零元素，可以取实数域，可取，，可判断出②，对于③，由的元素知，是3的倍数，取，时可判断出③，对于④，若是有理数，则当，，则，，，且当时，都成立，判断出④. 【解析】解：对于①，根据新定义，，，当时，，对于，可得，故正确， 对于②，若数域中有非零元素，可以取实数域，可取，，可得，故正确， 对于③，由的元素知，是3的倍数，当，时，，故错误， 对于④，若是有理数，则当，，则，，，且当时，都成立，故正确， 故假命题为③． 故选：C． 三、解答题 9．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【解析】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 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