专题01 实数全章复习（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学实数期末复习讲义通过思维导图构建知识体系，用表格系统梳理7个核心考点的复习目标与考情规律，分13个知识点分层讲解算术平方根、立方根等概念及运算，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型-技巧-例题”分层设计，如“无理数估算”题型通过夹逼法培养推理意识，“实数与数轴”题型结合几何直观理解一一对应关系，基础通关练与重难突破练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生运算能力与抽象思维。

无限不循环小数叫作无理数 概念 小数部分无限且不循环，不能表示成分数形式： 无限循环小数是有理数（能化分数） 特征 概念：有理数和无理数统称为实数 有理数（有限小数无限循环小数） 实数 无理数（无限循环小数） 实 按定义分 正实数（正有理数、正无理数） 实数{0 分类 负实数（负有理数、负无理数） 按正负分 与有理数运算意义相同，正数和0可开平 方，任意实数可开立方 运算意义 加法交换律、结合律； 乘法交换律、结合律、分配律 运算律 先乘方、开方，再乘除，最后加减： 实 有括号先算括号内 运算顺序 涉及无理数的运算，可化简为最简式： 取近似值时先化简再用“四舍五入”法 结果要求 a×10"的形式(1ak10,a是整数/小数，n是整数) 科 算术平方根 无理数 数的概念 分类 平方根 实数 数的运算 立方根 学记数法 有理数的 小数形式 x2=a 定义 1.算术平方根是它本身的数有0和1： 2.一个正数的算术平方根只有1个： 3.Va具有双重非负性：①被开方数a≥0；②Va≥0： 4.√ā省略了根指数2，也读作“二次根号a”。 注意 ①一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍 小数点 移动规律 ②一个数缩小为原来的1/100，它的算术平方根就缩小为原来的1/10 般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫作a的平方根 概念 ①正数有两个平方根，它们互为相反数： ②0的平方根是0： ③负数没有平方根 性质 一般地，如果一个数x的立方等于a, 即c3=a,那么这个数c叫作a的立方根 概念 ①正数的立方根是正数： ②0的立方根是0： ③负数的立方根是负数； 性质 将被开方数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍； 小数点 移动规律 将被开方数缩小为原来的1/1000，它的立方根就缩小为原来的1/10： 任何有理数可写成有限小数或无限循环小数的形式； 反之，有限小数或无限循环小数都是有理数。 表示 分数化小数 分数与小数 的互化 小数化分数 专题01 实数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 考点1 算术平方根 理解算术平方根的定义及双重非负性，能准确求一个数的算术平方根，掌握被开方数与算术平方根的小数点移动规律 基础必考点，常出小题；易混淆算术平方根与平方根，忽略被开方数的非负性，小数点移动位数对应错误 考点2 平方根 理解平方根的定义、表示方法及性质，能求一个非负数的平方根，明确平方与开平方的逆运算关系 基础考点，常考辨析题、计算题；易认为负数有平方根，遗漏负平方根，混淆与算术平方根的表示方法 考点3 立方根 理解立方根的定义、表示方法及性质，能求任意实数的立方根，掌握被开方数与立方根的小数点移动规律 基础考点，小题为主；易省略根指数3，认为负数没有立方根，混淆与平方根的性质，小数点移动方向或位数错误 考点4 无理数 理解无理数的定义及特征，能区分有理数与无理数，掌握无理数的常见形式 基础必考点，常出分类题；易误认为带根号的数都是无理数，混淆无限循环与无限不循环小数，忽略含π的式子的无理数属性 考点5 实数与数轴 理解实数与数轴上点的一一对应关系，会求数轴上实数对应的点，能计算两点距离、对称点 中档考点，小题为主；易误解“有理数与数轴上的点一一对应”，否认无理数在数轴上的对应点，计算对称点时遗漏中点公式 考点6 实数的运算 掌握实数混合运算顺序（先乘方开方，再乘除，最后加减），能运用运算律、平方差/完全平方公式化简计算 重点考点，小题/解答题均涉及；易出错运算顺序，同类二次根式合并时系数运算错误，取近似值前未化简式子 考点7 科学记数法 掌握科学记数法的形式（a×10ⁿ，1≤|a|<10），能将数表示为科学记数法，也能还原原数 基础考点，常出小题；易出错a的取值范围，多算/少算n的值，处理带单位的数时未先转化为原数 知识点01 算术平方根 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫作的算术平方根；规定0的算术平方根是0。 的算术平方根记为“”，读作“根号”，叫作被开方数（被开方数一定是非负数）。 注意： 1. 算术平方根是它本身的数有0和1； 2. 一个正数的算术平方根只有1个； 3. 具有双重非负性：①被开方数；②； 4. 省略了根指数2，也读作“二次根号”。 求的算术平方根。 解：因为，所以的算术平方根是，即。 1. 混淆算术平方根与平方根：误将正数的算术平方根写成两个（如把写成）； 2. 忽略被开方数的非负性：试图求负数的算术平方根（如认为有意义）； 3. 错误认为0的算术平方根是1：实际0的算术平方根是0。 知识点02 被开方数与其算术平方根的小数点移动规律 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的。即被开方数的小数点向右或向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或向左移动一位。 化简。 解：因为，被开方数0.0004是4缩小（即小数点左移4位），对应算术平方根小数点左移2位，所以。 1. 小数点移动位数对应错误：误将被开方数移动一位，算术平方根也移动一位（如认为）； 2. 方向混淆：被开方数小数点左移两位，算术平方根却右移一位（如把算成60）。 知识点03 平方根的概念及其性质 1. 平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根（也称为二次方根），叫作被开方数。 2. 表示方法：正数的两个平方根用“”表示，“”是正平方根（即算术平方根），“”是负平方根；0的平方根记为“”，。 3. 性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根。 4. 开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方（是非负数），平方与开平方互为逆运算。 求0.25的平方根。 解：因为，，所以0.25的平方根是，即。 1. 认为负数有平方根：如错误认为的平方根是； 2. 混淆平方根与算术平方根的表示：将正数的平方根写成单个正数（如把16的平方根写成4）； 3. 混淆开平方与平方的概念：误将开平方当成平方运算（如求时算成256）。 知识点04 立方根 1. 立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根（也称为三次方根），叫作被开方数（可以取任意数）。 2. 表示：一个数的立方根用符号“”表示（根指数3不能省略）。 3. 性质：①正数的立方根是正数；②0的立方根是0；③负数的立方根是负数；任何数都有且只有一个立方根，立方根的符号与这个数的符号相同。 4. 开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方与开立方互为逆运算。 求的立方根。 解：先将带分数化为假分数：，因为，所以的立方根是，即。 1. 省略立方根的根指数3：如把写成； 2. 认为负数没有立方根：如错误认为无意义； 3. 混淆立方根与平方根的性质：误将正数的立方根当成两个（如认为8的立方根是）。 知识点05 被开方数与立方根的小数点移动规律 将被开方数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍；将被开方数缩小为原来的，它的立方根就缩小为原来的。即被开方数的小数点向右或向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或向左移动一位。 化简。 解：因为，被开方数125000是125扩大1000倍，所以。 1. 小数点移动位数对应错误：误将被开方数移动一位，立方根也移动一位（如认为）； 2. 方向混淆：被开方数小数点左移三位，立方根却右移一位（如把算成30）。 知识点06 有理数的小数形式 1. 有理数的表示：任何有理数可写成有限小数或无限循环小数的形式；反之，有限小数或无限循环小数都是有理数。 2. 分数与小数的互化： （1）分数化小数：用分子除以分母，能除尽则化为有限小数；除不尽则化为无限循环小数。 （2）小数化分数： 有限小数：看小数位数，在1后添对应个数的0作分母，去掉小数点的数作分子，再约分。 无限循环小数： 纯循环小数：列方程消去循环部分（如，设，则，求解得）。 混循环小数：拆分有限部分+循环部分，再列方程转化（如）。 将混循环小数化成分数。 解：设，则，故，解得； 又； 因此。 1. 分数化小数时，误将无限循环小数判定为“无限不循环小数”； 2. 化无限循环小数为分数时，纯循环/混循环的方程列写错误（如混循环未拆分有限部分）； 3. 有限小数化分数时，分母0的个数与小数位数不匹配。 知识点07 无理数 1. 概念：无限不循环小数叫作无理数（如等）。 2. 特征：小数部分无限且不循环，不能表示成分数形式；无限循环小数是有理数（能化分数）。 3. 性质：若，则（被开方数越大，算术平方根越大）。 判断下列实数中的无理数：A. B. C. D. 解：（有理数），（有理数），（分数，有理数），是开方开不尽的数（无理数），故答案为C。 1. 误认为“带根号的数都是无理数”（需先化简再判断，如是有理数）； 2. 混淆“无限循环小数”与“无限不循环小数”，误将无限循环小数当作无理数； 3. 忽略含的式子的无理数属性。 知识点08 用计算器求一个正数的算术平方根或求一个数的立方根 1. 求正数的算术平方根步骤：按开机→依次输入。 2. 求一个数的立方根：有键的计算器，依次输入“”“数”“”。 3. 结果说明：计算结果可能是有理数/无理数，取近似值时用“四舍五入”法，按键顺序与计算器型号有关。 用计算器求的算术平方根（保留三位小数）。 解：开机后依次按键“”“2”“=”，显示1.414213562，保留三位小数得。 1. 求算术平方根/立方根时按键顺序错误； 2. 混淆算术平方根（仅非负）与立方根的按键； 3. 取近似值时未按精度要求处理，或提前截断导致误差。 知识点09 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数。 2. 分类： （1）按定义分：实数 （2）按正负分：实数 区分下列数中的有理数与无理数：（相邻“2”间增1个“7”）。 解：有理数：； 无理数：。 1. 0的分类错误（0既不是正实数也不是负实数）； 2. 未化简带根号的数就直接判断类型（如误将当作无理数）； 3. 混淆实数的分类标准，导致分类重叠/遗漏。 知识点10 实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点一一对应：任意一个实数在数轴上有唯一的对应点；数轴上的每个点都表示一个实数。 判断下列说法正确的有：①任何实数都可用数轴上的点表示；②数轴上不相等的实数对应点不同；③数轴上每个点表示有理数；④数轴上每个点表示实数且不同点对应不同实数；⑤有理数与数轴上的点一一对应；⑥每个有理数都可用数轴上的点表示。 解：③⑤错误（数轴对应实数而非仅有理数），①②④⑥正确，共4个。 1. 误认为“有理数与数轴上的点一一对应”，忽略无理数的对应点； 2. 否认无理数在数轴上有对应点，或认为一个实数对应多个数轴点。 知识点11 实数的绝对值和大小比较 1. 绝对值：实数在数轴上对应点到原点的距离，记为|a|，性质；实数的绝对值： 2. 相反数：绝对值相等、符号相反的实数，0的相反数是0；性质：若$a,b$互为相反数，则。 3. 大小比较： 数轴法：右边的数>左边的数； 法则：负数<0<正数；正数绝对值大的大；负数绝对值大的小。 4.数轴两点距离：点的距离。 求的相反数和绝对值。 解：的相反数是； 因为，所以，故。 1. 求负数实数的绝对值时，误写为其本身（如写成）； 2. 比较实数大小时，忽略负数“绝对值大的数更小”； 3. 计算数轴两点距离时，遗漏绝对值符号。 知识点12 实数的运算 1. 运算意义：与有理数运算意义相同，正数和0可开平方，任意实数可开立方。 2. 运算律：加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律（与有理数相同）。 3. 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 4. 结果要求：涉及无理数的运算，可化简为最简式；取近似值时先化简再用“四舍五入”法。 计算。 解：原式。 1. 合并同类二次根式时，系数运算错误（如误算为）； 2. 运算顺序错误（如先算加减再算乘方开方）； 3. 取近似值前未化简式子，导致计算复杂或误差增大。 知识点13 科学记数法 把一个数表示成的形式（，是整数/小数，是整数），叫作科学记数法。 注意： 1. 或时，“1”可省略（如）； 2. 的确定： 时，； 时，。 用科学记数法表示202500000。 解：（小数点左移8位，）。 1. 的范围错误（如写成，）； 2. 的计算错误：大数的多算/少算位数，小数的漏算小数点前的0； 3. 处理带单位的数（如36万）时，未先转化为原数再表示。 题型一 求一个数的算术平方根（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：算术平方根的定义为 ，结果是非负数（即 ），且 ，互为逆运算。 2．关键步骤： 先判断被开方数是否非负（负数没有算术平方根）； 整数的算术平方根直接利用平方数逆推（如 ，因 ）； 小数／分数的算术平方根，先化为分数或整数幂形式（如 ）； 近似计算：利用已知近似值推导（如已知 ，则 ）。 3．易错点：混淆算术平方根与平方根（算术平方根只有 1 个非负值，平方根有 2 个互为相反数）；忽略被开方数的非负性。 4．辅助工具：平方数表、数轴（直观表示算术平方根的范围）。 【典例1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．的立方根是 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握以上定义是解题的关键．根据平方根，立方根，算术平方根，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，的平方根是，则的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. 没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 的平方根是，故该选项正确，符合题意； D. 的立方根是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根等知识，根据立方根、平方根、算术平方根和绝对值的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是0和，故原说法正确； B．平方根是它本身的数是0，故原说法错误； C．算术平方根是它本身的数是0 和1，故原说法错误； D．绝对值是它本身的数是0和正数，故原说法错误， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·月考）已知，，那么 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根；利用平方根的性质，将分解为，然后代入已知近似值进行计算． 【详解】解：因为，且， 所以． 已知， 因此． 故答案为． 【变式4】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 【答案】4 【知识点】求一个数的算术平方根、倒数、求一个数的立方根 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握代数式的化简求值是解题的关键． 根据条件，a、b互为倒数，则；c、d互为相反数，则；的绝对值为，则；的算术平方根是8，则，代入表达式计算即可． 【详解】解：根据题意得，a、b互为倒数，则， c、d互为相反数，则， 的绝对值为，则，即， 的算术平方根是8，则，， ． 题型二 利用算术平方根的非负性解题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心性质：算术平方根具有非负性，即 ，常与平方数 、绝对值 结合，满足＂非负数和为 0 ，则每个非负数均为 0 ＂。 2．关键步骤： 整理等式：将所有非负形式移到等式左边，和为 0 ； 列方程：每个非负项分别等于 0 ，求解参数； 验证：结合实际场景（如三角形边长、未知数取值范围）检验解的合理性。 3．常见场景： 化简含字母的绝对值（结合数轴判断字母正负，再化简 ）； 求参数值（如 ，则 ）； 确定几何图形边长（如等腰三角形边长，需满足三边关系）。 4．易错点：遗漏被开方数的取值限制；化简 时未考虑 的正负（误写为 ，实际为|a|）。 【典例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ． 【答案】3 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键． 观察数轴得：，可得，从而原式变形为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 【变式2】若与互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据相反数的概念列出算式，根据偶次方、算术平方根具有非负性分别求出a、b，计算即可． 【详解】解：由题意得：， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【变式3】已知，为实数，且满足 ，则 ， ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了通过完全平方公式分解因式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性，根据完全平方公式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【变式4】（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、加减消元法、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．根据非负数的性质，算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零则每个部分为零，从而得到关于和的方程组，解出和的值；再根据等腰三角形的性质，分情况讨论，并利用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：，且，， 且． 解方程组得， 、是等腰三角形的两边长， 需分情况讨论： 当为腰时，则腰长为3，底边为7，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立； 当为腰时，则腰长为7，底边为3，此时两边之和，，满足三角形三边关系，故成立． 综上，等腰三角形的三边分别为：，周长为：． 故答案为：． 【变式5】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)负数，理由见解析 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、一元二次方程的根与系数的关系、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2）解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴与是负数． 题型三 算术平方根的实际应用（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心关联：算术平方根与几何图形的边长直接相关（正方形边长 ），与数轴上的距离、拼接图形的面积转化相关。 2．关键步骤： 几何图形：根据面积公式，用算术平方根表示边长（如面积为 3 的正方形，边长为 ）； 数轴应用：实数与数轴上的点一一对应，算术平方根可表示数轴上的距离（如点 A 表示 1 ，到 A 距离为 的点为 ）； 拼接图形：总面积等于各部分面积之和，再通过算术平方根求边长（如两个面积为 2 的正方形拼接为大正方形，面积为 4 ，边长为 2 ）。 3．易措点：混淆＂面积和＂与＂边长和＂；数轴上表示时忽略正负方向。 4．辅助工具：画图法（直观呈现图形拼接、数轴上的点位置）。 【典例3】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商 （填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍，设存在正整数m、n，使得，两式相除得即可判断． 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 【变式1】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 【答案】/ 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，解题的关键是掌握实数与数轴的关系以及求解算术平方根． 先求出面积为3的正方形的边长，根据点表示的数以及点、点的位置，求解即可． 【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则， 由算术平方根的性质可得，， 由题意可得，， 由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边， 则点所表示的数为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】6 【知识点】二次根式的应用、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积．熟练掌握正方形，长方形的面积公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算顺序和法则，是解决本题的关键． 根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：设两个正方形的边长分别是x、y（）， 则． ∴． ∴阴影部分的面积是． 故答案为：6． 【变式4】（25-26八年级上·上海金山·期中）如图，将长方形分成四个区域，其中、两个正方形区域的面积分别为和，则图中剩余区域的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】实数的混合运算、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形． 由A、B两正方形的面积得出相应边长，再利用大长方形面积减去两个正方形区域的面积即可计算出剩余部分面积． 【详解】解：A，B两正方形区域的面积分别是3和16， ∴A，B两正方形边长分别是和4， ∴大长方形的长为，宽为4， ∴剩余区域的面积是为， 故答案为：． 【变式5】（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【答案】(1)2，3 (2) (3) 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴、无理数的大小估算、折叠问题 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 题型四 立方根（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：立方根的定义为 ，满足 ，正数、负数、 0 均有唯一立方根（负数的立方根为负）。 2．关键步骤： 互化运算：立方与立方根互化（如 ，因 ）； 倍数规律：被开方数扩大/缩小 倍，立方根扩大/缩小 倍（如 ，则 ）； 化简含字母的立方根： ，无需考虑字母正负； 与平方根区分：立方根无被开方数非负限制，一个数只有 1 个立方根。 3．易错点：混淆立方根与平方根的正负性（负数无平方根但有立方根）；错误应用倍数规律（误将被开方数的倍数等同于立方根的倍数）。 【典例4】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知，则 ． 【答案】167.6 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根的定义，通过观察给定数字与所求数字的关系，发现，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知， 因为， 所以． 其中， 因此． 故答案为：167.6． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则 ． 【答案】5230000 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）已知，化简： 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一化简再运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入的为36时，输出的值是． 故答案为：． 题型五 求一个数的平方根（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心定义：若 ，则 ，即平方根有两个，互为相反数，其中非负根为算术平方根。 2．关键步骤： 先判断被开方数 （负数无平方根）； 化简根式：将被开方数化为最简形式（如 ）； 同类二次根式：若涉及同类二次根式，需满足被开方数相同（如 与 是同类二次根式，则 ， 求参数：结合平方根的性质（如两根之和、两根之积）或集合元素关系求解。 3．易错点：遗漏负根（如只写 ，忽略－2）；被开方数未化简导致同类二次根式判断错误。 【典例5】（25-26八年级上·上海金山·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和1 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．0.01的平方根是0.1 D．平方根是它本身的数只有0 【答案】D 【知识点】实数与数轴、求一个数的立方根、求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根、数轴与实数的对应关系等基本概念，需逐项判断正误． 【详解】解：A：立方根是它本身的数应满足，即，解得或或，故A错误，不符合题意； B：数轴上的点与实数一一对应，有理数只是实数的一部分，故B错误，不符合题意； C：0.01的平方根是，故C错误，不符合题意； D：平方根是它本身的数应满足算术平方根等于本身，即，解得或，时平方根为，不都等于1，故只有满足，正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期中）若x、y为实数，且，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、求一个数的平方根 【分析】本题考查一元二次方程的解法，换元法，平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为二次方程求解，根据非负性确定 的值，再求表达式的平方根即可． 【详解】解：设 ，则原方程化为 ，即 ． ， 得 或 ． 由于 ，故 ． ∴，其平方根为 ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期中）的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，将带分数化为假分数，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：，的平方根是． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【知识点】同类二次根式、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、求一个数的平方根 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、同类二次根式的定义、平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键． 先根据二次根式和分式有意义的条件求得，进而得；再根据同类二次根式的被开方数相同求得，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． 题型六 无理数（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心定义：无理数是无限不循环小数，常见形式包括：开不尽方的根式（如 ）、特殊常数（如 ）、无限不循环小数（如 ）。 2．关键步骤： 识别方法：排除有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）； 化简判断：将根式化简后判断是否为无限不循环（如 ，仍为无理数）； 无理数运算：化简后合并同类二次根式（如 ），结果仍为无理数（特殊情况除外）。 3．易错点：误将分数形式的根式视为有理数（如 是无理数）；将无限循环小数视为无理数。 【典例6】（25-26八年级上·上海金山·期中）在实数、0.101001001、、0、、、、3.14、中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】本题考查无理数，判断每个数是否为无理数（无限不循环小数），仅需识别无限不循环小数或不能表示为分数的数． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数， ∴ 是分数，是有理数； 是有限小数，有理数； 是无理数； 是整数，是有理数； 是无理数； ，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； ∴ 无理数有和，共2个． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据无理数的定义（不能表示为两个整数之比的数），判断各选项：A、B、D均为有理数；C中是无理数，因此也是无理数，即可解答． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式．   选项A：，是有理数；   选项B：为分数，是有理数；   选项C：，∵是无理数，∴是无理数；   选项D：2，是有理数．   故选C． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C．0.23 D．0.1010010001 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、属于无理数，故符合题意； B、是分数，属于有理数，故不符合题意； C、0.23是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D、0.1010010001是有限小数，属于有理数，故不符合题意； 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（   ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算、无理数 【分析】本题考查完全平方公式和二次根式的化简，关键是将结果化为指定形式． 先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型． 【详解】解： ， 故为型无理数， 故选：B． 【变式4】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有 个． 【答案】3 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可． 【详解】解：是无理数；是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；是循环小数，是有理数；是无理数；是无限不循环小数，是无理数． 因此无理数有3个． 故答案为：3． 题型七 实数的大小比较（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心方法：估算无理数范围、平方法、作差法、数轴法。 2．关键步骤： 夹逼法估算：确定无理数的整数范围（如 ），再比较大小； 平方法：对两个正数，平方后比较大小（如比较 与 ，平方后 ，故 ）； 作差法：若 小 （如比较 与 1 ，作差得 ，故 ）； 数轴法：数轴上右边的点表示的数大于左边的点。 3．易错点：比较负数时，绝对值大的数反而小（如 ）；平方法仅适用于正数。 【典例7】（25-26八年级上·上海宝山·期中）比较大小（用、、、中的一个符号）： 2． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数大小的比较，解题的关键是掌握实数的大小的比较方法．通过比较平方数的大小关系推断平方根的大小． 【详解】解：因为，且， 所以，即 ； 故答案为． 【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）比较大小： ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查分数比大小，熟练掌握无理数的估算和分数比大小是解题的关键，同分母分数比大小，通过比较两个分数的分子大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可； （2）采取（1）中相同的方法解答即可． 【详解】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 题型八 科学记数法（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心形式：（ 为整数），绝对值大于 1 时 为正，绝对值小于 1 时 为负。 2．关键步骤： 确定 ：将原数化为 的数； 确定 ：绝对值大于 1 时， 等于原数整数位数减 1 ；绝对值小于 1 时， 等于原数左边第一个非零数字前 0的个数的相反数； 单位换算：结合单位转换（如 ），统一单位后表示； 还原与倍数：还原时， 为正向右移， 为负向左移；倍数计算时，系数相乘，指数相加。 3．易错点： 的取值范围错误（如 不是科学记数法）； 的正负混淆；单位换算遗漏导致错误。 【典例8】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理 个基本数据单元．（用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．根据芯片处理一个基本数据单元的时间，计算一秒内处理的数量，需用总时间除以每个单元的时间，并将结果用科学记数法表示，即可作答． 【详解】解：∵处理一个基本数据单元的时间为纳秒，已知一纳秒等于秒， 因此处理一个单元的时间为秒， 设一秒内处理的基本数据单元个数为n， 则． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个． 【答案】7 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个． 故答案为：7． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径 m 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的应用，将氧原子半径转换为米，利用单位换算关系，然后写成科学记数法形式即可． 【详解】解：氧原子的原子半径为，已知，因此，将写成科学记数法形式为， 所以 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数利用科学记数法表示一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5】（25-26八年级上·上海·期中）已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的 倍． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法；用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式6】（25-26八年级上·上海·月考）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】5 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 题型九 实数的混合运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，结合绝对值、零指数幂（ 。 2．关键步骤： 化简各部分：算术平方根、立方根化简，绝对值化简（根据字母正负或数值范围）； 无理数的整数与小数部分：先估算范围，分离整数部分（如 的整数部分为 2 ，小数部分为 ）； 公式应用：平方差、完全平方公式化简(如 ； 结果化简：合并同类二次根式，确保结果最简。 3．易错点：零指数幂的底数为 0 ；无理数的小数部分计算错误；绝对值化简忽略符号。 【典例9】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知的小数部分是，的小数部分是，且，则 ． 【答案】或 【知识点】实数的混合运算、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查的是无理数的估算及平方根的定义，关键是准确估值算出的值； 由估计的值确定，从而计算出的值，最后算出的值. 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴. 故答案为：或. 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算立方根和算术平方根以及化简绝对值，再进行加减计算； （2）先化简二次根式，再进行合并即可． 【详解】（1）解：      ． （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算．先计算完全平方式，化简二次根式，绝对值，零次幂，最后进行加减运算． 【详解】解： 【变式3】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型十 与算术平方根有关的规律探索题（难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心思路：观察被开方数与算术平方根的变化规律，归纳通用公式。 2．关键步骤： 小数点规律：被开方数的小数点左右移动 2 位，算术平方根的小数点同向移动 1 位（如 ， ）； 数字运算规律：观察等式特征（如 ），通过化简验证规律； 图形规律：结合数轴或拼接图形，归纳边长、距离的规律（如数轴上连续翻滚正方形，顶点表示的数规律）。 3．易错点：规律归纳不全面（未验证多组数据）；小数点移动位数错误（混淆 2 位与 1 位）。 【典例10】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，则（   ） A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系，先根据表格得到规律，再根据规律确定结果，根据表格得到规律，是解决本题的关键． 【详解】由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 ． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ； ， 以此类推可得，当为奇数时， 当为偶数时； ∴； 故答案为：． 【变式2】观察下列各式：，，，，； （1）已知n为正整数，＝ ； （2）的值为 ． 【答案】 n 46 【知识点】数字类规律探索、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】此题考查了平方根运算规律的归纳与运用能力，关键是能通过观察、猜想准确归纳出该类问题的运算规律． （1）利用以上所得规律可得； （2）将变形为然后根据解析（1）中得出的结论进行求解即可． 【详解】解：（1） ∵ n为正整数 ∴ 故答案为：； （2） 故答案为：46. 题型十一 无理数的估算（难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心方法：夹逼法、近似公式法。 2．关键步骤： 夹逼法：找到无理数前后的两个连续整数的平方（或立方），确定范围（如 ，因 ; 近似公式：利用已知近似公式（如 较小时）估算（如 ）； 整数与小数部分：分离后用于代数式求值（如 的整数部分， 为小数部分，求 ）。 3．易错点：估算范围过大，导致代数式求值错误；近似公式应用时忽略 的取值限制（ 需较小）。 【典例11】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）的整数部分为，小数部分为，则的值是（） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分与小数部分的确定以及平方差公式的应用，熟练掌握无理数的估算方法和平方差公式是解题的关键． 先估算的取值范围，确定其整数部分和小数部分，再将、代入式子，利用平方差公式计算． 【详解】解：∵，即 ∴ ∴，即 ∴整数部分 ∴小数部分 ∴ ， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·上海松江·期中）公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计： ． 【答案】5.1 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据刘徽的近似公式，将26表示为最大平方数25与1的和，即，，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意，取则， 代入公式，得． 故答案为：5.1． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知的小数部分为，的小数部分为． 先化简，再求值：． 【答案】， 【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，先根据题意求出的整数部分为，的整数部分为1，，，再利用二次根式的运算法则进行计算得到化简结果，再把，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，的整数部分为1， ∴的小数部分为，的小数部分为， ∴原式 题型十二 实数与数轴（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心性质：实数与数轴上的点—一对应，数轴上两点间距离为 。 2．关键步骤： 数轴表示无理数：利用几何图形（如正方形对角线）确定长度，再在数轴上截取（如表示 ，以 1 为边长作正方形，对角线长为 ）； 对称点计算：关于点 对称的两点 ，满足 （如点 关于 1 的对称点为 ）； 旋转／折叠问题：结合图形变换，计算点的新位置（如正方形翻滚后顶点在数轴上的表示）。 3．易错点：数轴上表示时方向错误（左负右正）；对称点计算时遗漏中点公式；旋转后长度计算错误。 【典例12】（25-26八年级上·上海金山·期中）数轴上到表示的点距离为的点所表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】二次根式的加减运算、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴、二次根式的加减，分在表示的点的左边与右边两种情况讨论，利用数轴上两点间距离公式建立方程求解． 【详解】解：设所求点表示的数为，则根据数轴上两点间距离公式，有，即． 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：或． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离．根据点是线段的中点得到，再由数轴上两点之间的距离公式求解． 【详解】解：点所对应的实数是， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是 ． 【答案】/ 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．设点C表示的数为x，根据两点间的距离公式可得到，求解即可得到答案． 【详解】解：设点C表示的数为x， 根据题意，得， 解得， ∴点C所对应的实数为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）见解析 【知识点】实数与数轴、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查勾股定理与全等三角形的应用，熟练掌握勾股定理与全等三角形是解题关键． （1）先由勾股定理得正方形边长，再结合点A表示的数，推出表示的数． （2）通过证明，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，推导得出结论． （3）利用勾股定理，结合面积为5、1的正方形，构造直角三角形得到斜边，再拼成正方形． 【详解】（1）解：由题可知， 点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合， 若在A的左侧，则表示的数为， 若在A的右侧，则表示的数为， 表示的数为或． 故答案为：或． （2）证明：在与中， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图所示，四边形即为所求， 将面积为1的正方形与面积为5的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 【变式4】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4) 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数； （3）设存在正整数n，则，由进行判断即可求解； （4）设点D与数x对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵点A表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 题型十三 新定义下的实数运算（重难点） 解｜题｜技｜巧 1.核心思路：解读新定义规则，转化为算术平方根、立方根、二次根式的常规运算。 2.关键步骤： 理解定义：明确新运算的符号、运算顺序、限制条件（如“行知区间”“漂移点”“数数组”）； 转化运算：将新定义转化为已知运算（如“数数组”中任意两数乘积的算术平方根为整数，即乘积为完全平方数）； 分类讨论：根据定义中的范围、条件分类求解（如含参数的新定义运算，分参数正负或范围）； 验证结果：结合定义条件检验解的合理性。 3. 易错点：误解新定义规则；未按定义的限制条件分类；运算过程中忽略算术平方根、立方根的基本性质。 【典例13】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义进行计算即可． 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，求一个数的平方根，根据新定义可得，再估算出的取值范围，从而确定a、b的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵a和b为两个连续正整数， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． (1)填空：________，________； (2)如果，求的值． (3)解方程． 【答案】(1), (2)或 (3)或 【知识点】实数的大小比较、因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了平均数的计算、数的大小比较、解一元二次方程，熟练掌握平均数公式、分情况讨论的方法是解题的关键． （1）第一空根据平均数公式计算三个数的平均数；第二空比较三个数的大小得出最小值． （2）先根据平均数公式表示出，再分情况讨论，结合等式求解 （3）先分析的取值情况，再分情况解方程． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， 故答案为：,； （2）解：， 分情况讨论： 当时，，则，解得，符合 当时，，则，解得，不符合，舍去． 当时，，则，解得，符合 综上，或； （3）解：∵， ∴为或， 分情况讨论： 当，即时，， ∴，即， ， 解得（舍去，因为）或 当，即时，， ∴， 解得或（舍去，因为）． 综上，或 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 【答案】(1) (2) 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为． 【变式4】（25-26八年级上·上海闵行·月考）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式） ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、分式化简求值 【分析】此题考查了新定义运算．分子分母同乘以后，把分母化为不含的数后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（上海市松江区2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题）的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】此题考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的平方根是， 故答案为： 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列实数中，无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数． 选项A、B、D均为有理数，C中是无理数． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是整数，属于有理数； 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【知识点】相反数的定义、立方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之，被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位． 利用算术平方根的概念进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、坐标与图形变化——轴对称、中点坐标 【分析】本题考查了数轴上对称点的性质及无理数的运算，解题的关键是利用“对称点到对称中心的距离相等”建立等式求解． 设点C表示的数为，根据点A是点B与点C的对称中心，可得A到B的距离等于A到C的距离，据此列方程求解． 【详解】解：设点C所表示的数为， ∵点B与点C关于点A对称， ∴点A是线段BC的中点． 由中点性质得， 两边同乘2得， 解得． 故选:B. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·上海嘉定·月考）观察下列各式：，，，，；已知为正整数， ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、数字类规律探索 【分析】此题考查了算术平方根，数字类规律的归纳与运用能力，关键是能通过观察、猜想准确归纳出该类问题的运算规律． 观察各式即可得出结论． 【详解】解：， ∵ n为正整数， ∴， 即． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海松江·月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，实数的运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，，从而得出，，，再计算算术平方根后合并同类项即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ； （2）解：当，时， 原式． 3．（25-26八年级上·上海松江·月考）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的混合运算．根据新定义运算得到、的结果，再相乘即可． 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 考点1 算术平方根 理解算术平方根的定义及双重非负性，能准确求一个数的算术平方根，掌握被开方数与算术平方根的小数点移动规律 基础必考点，常出小题；易混淆算术平方根与平方根，忽略被开方数的非负性，小数点移动位数对应错误 考点2 平方根 理解平方根的定义、表示方法及性质，能求一个非负数的平方根，明确平方与开平方的逆运算关系 基础考点，常考辨析题、计算题；易认为负数有平方根，遗漏负平方根，混淆与算术平方根的表示方法 考点3 立方根 理解立方根的定义、表示方法及性质，能求任意实数的立方根，掌握被开方数与立方根的小数点移动规律 基础考点，小题为主；易省略根指数3，认为负数没有立方根，混淆与平方根的性质，小数点移动方向或位数错误 考点4 无理数 理解无理数的定义及特征，能区分有理数与无理数，掌握无理数的常见形式 基础必考点，常出分类题；易误认为带根号的数都是无理数，混淆无限循环与无限不循环小数，忽略含π的式子的无理数属性 考点5 实数与数轴 理解实数与数轴上点的一一对应关系，会求数轴上实数对应的点，能计算两点距离、对称点 中档考点，小题为主；易误解“有理数与数轴上的点一一对应”，否认无理数在数轴上的对应点，计算对称点时遗漏中点公式 考点6 实数的运算 掌握实数混合运算顺序（先乘方开方，再乘除，最后加减），能运用运算律、平方差/完全平方公式化简计算 重点考点，小题/解答题均涉及；易出错运算顺序，同类二次根式合并时系数运算错误，取近似值前未化简式子 考点7 科学记数法 掌握科学记数法的形式（a×10ⁿ，1≤|a|<10），能将数表示为科学记数法，也能还原原数 基础考点，常出小题；易出错a的取值范围，多算/少算n的值，处理带单位的数时未先转化为原数 知识点01 算术平方根 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫作的算术平方根；规定0的算术平方根是0。 的算术平方根记为“”，读作“根号”，叫作被开方数（被开方数一定是非负数）。 注意： 1. 算术平方根是它本身的数有0和1； 2. 一个正数的算术平方根只有1个； 3. 具有双重非负性：①被开方数；②； 4. 省略了根指数2，也读作“二次根号”。 求的算术平方根。 解：因为，所以的算术平方根是，即。 1. 混淆算术平方根与平方根：误将正数的算术平方根写成两个（如把写成）； 2. 忽略被开方数的非负性：试图求负数的算术平方根（如认为有意义）； 3. 错误认为0的算术平方根是1：实际0的算术平方根是0。 知识点02 被开方数与其算术平方根的小数点移动规律 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的。即被开方数的小数点向右或向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或向左移动一位。 化简。 解：因为，被开方数0.0004是4缩小（即小数点左移4位），对应算术平方根小数点左移2位，所以。 1. 小数点移动位数对应错误：误将被开方数移动一位，算术平方根也移动一位（如认为）； 2. 方向混淆：被开方数小数点左移两位，算术平方根却右移一位（如把算成60）。 知识点03 平方根的概念及其性质 1. 平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根（也称为二次方根），叫作被开方数。 2. 表示方法：正数的两个平方根用“”表示，“”是正平方根（即算术平方根），“”是负平方根；0的平方根记为“”，。 3. 性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根。 4. 开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方（是非负数），平方与开平方互为逆运算。 求0.25的平方根。 解：因为，，所以0.25的平方根是，即。 1. 认为负数有平方根：如错误认为的平方根是； 2. 混淆平方根与算术平方根的表示：将正数的平方根写成单个正数（如把16的平方根写成4）； 3. 混淆开平方与平方的概念：误将开平方当成平方运算（如求时算成256）。 知识点04 立方根 1. 立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根（也称为三次方根），叫作被开方数（可以取任意数）。 2. 表示：一个数的立方根用符号“”表示（根指数3不能省略）。 3. 性质：①正数的立方根是正数；②0的立方根是0；③负数的立方根是负数；任何数都有且只有一个立方根，立方根的符号与这个数的符号相同。 4. 开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方与开立方互为逆运算。 求的立方根。 解：先将带分数化为假分数：，因为，所以的立方根是，即。 1. 省略立方根的根指数3：如把写成； 2. 认为负数没有立方根：如错误认为无意义； 3. 混淆立方根与平方根的性质：误将正数的立方根当成两个（如认为8的立方根是）。 知识点05 被开方数与立方根的小数点移动规律 将被开方数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍；将被开方数缩小为原来的，它的立方根就缩小为原来的。即被开方数的小数点向右或向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或向左移动一位。 化简。 解：因为，被开方数125000是125扩大1000倍，所以。 1. 小数点移动位数对应错误：误将被开方数移动一位，立方根也移动一位（如认为）； 2. 方向混淆：被开方数小数点左移三位，立方根却右移一位（如把算成30）。 知识点06 有理数的小数形式 1. 有理数的表示：任何有理数可写成有限小数或无限循环小数的形式；反之，有限小数或无限循环小数都是有理数。 2. 分数与小数的互化： （1）分数化小数：用分子除以分母，能除尽则化为有限小数；除不尽则化为无限循环小数。 （2）小数化分数： 有限小数：看小数位数，在1后添对应个数的0作分母，去掉小数点的数作分子，再约分。 无限循环小数： 纯循环小数：列方程消去循环部分（如，设，则，求解得）。 混循环小数：拆分有限部分+循环部分，再列方程转化（如）。 将混循环小数化成分数。 解：设，则，故，解得； 又； 因此。 1. 分数化小数时，误将无限循环小数判定为“无限不循环小数”； 2. 化无限循环小数为分数时，纯循环/混循环的方程列写错误（如混循环未拆分有限部分）； 3. 有限小数化分数时，分母0的个数与小数位数不匹配。 知识点07 无理数 1. 概念：无限不循环小数叫作无理数（如等）。 2. 特征：小数部分无限且不循环，不能表示成分数形式；无限循环小数是有理数（能化分数）。 3. 性质：若，则（被开方数越大，算术平方根越大）。 判断下列实数中的无理数：A. B. C. D. 解：（有理数），（有理数），（分数，有理数），是开方开不尽的数（无理数），故答案为C。 1. 误认为“带根号的数都是无理数”（需先化简再判断，如是有理数）； 2. 混淆“无限循环小数”与“无限不循环小数”，误将无限循环小数当作无理数； 3. 忽略含的式子的无理数属性。 知识点08 用计算器求一个正数的算术平方根或求一个数的立方根 1. 求正数的算术平方根步骤：按开机→依次输入。 2. 求一个数的立方根：有键的计算器，依次输入“”“数”“”。 3. 结果说明：计算结果可能是有理数/无理数，取近似值时用“四舍五入”法，按键顺序与计算器型号有关。 用计算器求的算术平方根（保留三位小数）。 解：开机后依次按键“”“2”“=”，显示1.414213562，保留三位小数得。 1. 求算术平方根/立方根时按键顺序错误； 2. 混淆算术平方根（仅非负）与立方根的按键； 3. 取近似值时未按精度要求处理，或提前截断导致误差。 知识点09 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数。 2. 分类： （1）按定义分：实数 （2）按正负分：实数 区分下列数中的有理数与无理数：（相邻“2”间增1个“7”）。 解：有理数：； 无理数：。 1. 0的分类错误（0既不是正实数也不是负实数）； 2. 未化简带根号的数就直接判断类型（如误将当作无理数）； 3. 混淆实数的分类标准，导致分类重叠/遗漏。 知识点10 实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点一一对应：任意一个实数在数轴上有唯一的对应点；数轴上的每个点都表示一个实数。 判断下列说法正确的有：①任何实数都可用数轴上的点表示；②数轴上不相等的实数对应点不同；③数轴上每个点表示有理数；④数轴上每个点表示实数且不同点对应不同实数；⑤有理数与数轴上的点一一对应；⑥每个有理数都可用数轴上的点表示。 解：③⑤错误（数轴对应实数而非仅有理数），①②④⑥正确，共4个。 1. 误认为“有理数与数轴上的点一一对应”，忽略无理数的对应点； 2. 否认无理数在数轴上有对应点，或认为一个实数对应多个数轴点。 知识点11 实数的绝对值和大小比较 1. 绝对值：实数在数轴上对应点到原点的距离，记为|a|，性质；实数的绝对值： 2. 相反数：绝对值相等、符号相反的实数，0的相反数是0；性质：若$a,b$互为相反数，则。 3. 大小比较： 数轴法：右边的数>左边的数； 法则：负数<0<正数；正数绝对值大的大；负数绝对值大的小。 4.数轴两点距离：点的距离。 求的相反数和绝对值。 解：的相反数是； 因为，所以，故。 1. 求负数实数的绝对值时，误写为其本身（如写成）； 2. 比较实数大小时，忽略负数“绝对值大的数更小”； 3. 计算数轴两点距离时，遗漏绝对值符号。 知识点12 实数的运算 1. 运算意义：与有理数运算意义相同，正数和0可开平方，任意实数可开立方。 2. 运算律：加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律（与有理数相同）。 3. 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 4. 结果要求：涉及无理数的运算，可化简为最简式；取近似值时先化简再用“四舍五入”法。 计算。 解：原式。 1. 合并同类二次根式时，系数运算错误（如误算为）； 2. 运算顺序错误（如先算加减再算乘方开方）； 3. 取近似值前未化简式子，导致计算复杂或误差增大。 知识点13 科学记数法 把一个数表示成的形式（，是整数/小数，是整数），叫作科学记数法。 注意： 1. 或时，“1”可省略（如）； 2. 的确定： 时，； 时，。 用科学记数法表示202500000。 解：（小数点左移8位，）。 1. 的范围错误（如写成，）； 2. 的计算错误：大数的多算/少算位数，小数的漏算小数点前的0； 3. 处理带单位的数（如36万）时，未先转化为原数再表示。 题型一 求一个数的算术平方根（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：算术平方根的定义为 ，结果是非负数（即 ），且 ，互为逆运算。 2．关键步骤： 先判断被开方数是否非负（负数没有算术平方根）； 整数的算术平方根直接利用平方数逆推（如 ，因 ）； 小数／分数的算术平方根，先化为分数或整数幂形式（如 ）； 近似计算：利用已知近似值推导（如已知 ，则 ）。 3．易错点：混淆算术平方根与平方根（算术平方根只有 1 个非负值，平方根有 2 个互为相反数）；忽略被开方数的非负性。 4．辅助工具：平方数表、数轴（直观表示算术平方根的范围）。 【典例1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．的立方根是 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·月考）已知，，那么 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 题型二 利用算术平方根的非负性解题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心性质：算术平方根具有非负性，即 ，常与平方数 、绝对值 结合，满足＂非负数和为 0 ，则每个非负数均为 0 ＂。 2．关键步骤： 整理等式：将所有非负形式移到等式左边，和为 0 ； 列方程：每个非负项分别等于 0 ，求解参数； 验证：结合实际场景（如三角形边长、未知数取值范围）检验解的合理性。 3．常见场景： 化简含字母的绝对值（结合数轴判断字母正负，再化简 ）； 求参数值（如 ，则 ）； 确定几何图形边长（如等腰三角形边长，需满足三边关系）。 4．易错点：遗漏被开方数的取值限制；化简 时未考虑 的正负（误写为 ，实际为|a|）。 【典例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ． 【变式2】若与互为相反数，则的值是 ． 【变式3】已知，为实数，且满足 ，则 ， ． 【变式4】（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为 ． 【变式5】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 题型三 算术平方根的实际应用（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心关联：算术平方根与几何图形的边长直接相关（正方形边长 ），与数轴上的距离、拼接图形的面积转化相关。 2．关键步骤： 几何图形：根据面积公式，用算术平方根表示边长（如面积为 3 的正方形，边长为 ）； 数轴应用：实数与数轴上的点一一对应，算术平方根可表示数轴上的距离（如点 A 表示 1 ，到 A 距离为 的点为 ）； 拼接图形：总面积等于各部分面积之和，再通过算术平方根求边长（如两个面积为 2 的正方形拼接为大正方形，面积为 4 ，边长为 2 ）。 3．易措点：混淆＂面积和＂与＂边长和＂；数轴上表示时忽略正负方向。 4．辅助工具：画图法（直观呈现图形拼接、数轴上的点位置）。 【典例3】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商 （填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【变式1】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海金山·期中）如图，将长方形分成四个区域，其中、两个正方形区域的面积分别为和，则图中剩余区域的面积是 ． 【变式5】（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 题型四 立方根（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：立方根的定义为 ，满足 ，正数、负数、 0 均有唯一立方根（负数的立方根为负）。 2．关键步骤： 互化运算：立方与立方根互化（如 ，因 ）； 倍数规律：被开方数扩大/缩小 倍，立方根扩大/缩小 倍（如 ，则 ）； 化简含字母的立方根： ，无需考虑字母正负； 与平方根区分：立方根无被开方数非负限制，一个数只有 1 个立方根。 3．易错点：混淆立方根与平方根的正负性（负数无平方根但有立方根）；错误应用倍数规律（误将被开方数的倍数等同于立方根的倍数）。 【典例4】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知，则 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）已知，化简： 【变式3】根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 题型五 求一个数的平方根（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心定义：若 ，则 ，即平方根有两个，互为相反数，其中非负根为算术平方根。 2．关键步骤： 先判断被开方数 （负数无平方根）； 化简根式：将被开方数化为最简形式（如 ）； 同类二次根式：若涉及同类二次根式，需满足被开方数相同（如 与 是同类二次根式，则 ， 求参数：结合平方根的性质（如两根之和、两根之积）或集合元素关系求解。 3．易错点：遗漏负根（如只写 ，忽略－2）；被开方数未化简导致同类二次根式判断错误。 【典例5】（25-26八年级上·上海金山·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和1 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．0.01的平方根是0.1 D．平方根是它本身的数只有0 【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期中）若x、y为实数，且，则的平方根是 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期中）的平方根是 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 题型六 无理数（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心定义：无理数是无限不循环小数，常见形式包括：开不尽方的根式（如 ）、特殊常数（如 ）、无限不循环小数（如 ）。 2．关键步骤： 识别方法：排除有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）； 化简判断：将根式化简后判断是否为无限不循环（如 ，仍为无理数）； 无理数运算：化简后合并同类二次根式（如 ），结果仍为无理数（特殊情况除外）。 3．易错点：误将分数形式的根式视为有理数（如 是无理数）；将无限循环小数视为无理数。 【典例6】（25-26八年级上·上海金山·期中）在实数、0.101001001、、0、、、、3.14、中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．2 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C．0.23 D．0.1010010001 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（   ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【变式4】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有 个． 题型七 实数的大小比较（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心方法：估算无理数范围、平方法、作差法、数轴法。 2．关键步骤： 夹逼法估算：确定无理数的整数范围（如 ），再比较大小； 平方法：对两个正数，平方后比较大小（如比较 与 ，平方后 ，故 ）； 作差法：若 小 （如比较 与 1 ，作差得 ，故 ）； 数轴法：数轴上右边的点表示的数大于左边的点。 3．易错点：比较负数时，绝对值大的数反而小（如 ）；平方法仅适用于正数。 【典例7】（25-26八年级上·上海宝山·期中）比较大小（用、、、中的一个符号）： 2． 【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）比较大小： ． 【变式3】数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 题型八 科学记数法（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心形式：（ 为整数），绝对值大于 1 时 为正，绝对值小于 1 时 为负。 2．关键步骤： 确定 ：将原数化为 的数； 确定 ：绝对值大于 1 时， 等于原数整数位数减 1 ；绝对值小于 1 时， 等于原数左边第一个非零数字前 0的个数的相反数； 单位换算：结合单位转换（如 ），统一单位后表示； 还原与倍数：还原时， 为正向右移， 为负向左移；倍数计算时，系数相乘，指数相加。 3．易错点： 的取值范围错误（如 不是科学记数法）； 的正负混淆；单位换算遗漏导致错误。 【典例8】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理 个基本数据单元．（用科学记数法表示） 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径 m 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 【变式5】（25-26八年级上·上海·期中）已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的 倍． 【变式6】（25-26八年级上·上海·月考）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 题型九 实数的混合运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，结合绝对值、零指数幂（ 。 2．关键步骤： 化简各部分：算术平方根、立方根化简，绝对值化简（根据字母正负或数值范围）； 无理数的整数与小数部分：先估算范围，分离整数部分（如 的整数部分为 2 ，小数部分为 ）； 公式应用：平方差、完全平方公式化简(如 ； 结果化简：合并同类二次根式，确保结果最简。 3．易错点：零指数幂的底数为 0 ；无理数的小数部分计算错误；绝对值化简忽略符号。 【典例9】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知的小数部分是，的小数部分是，且，则 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）计算：． 【变式3】（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 题型十 与算术平方根有关的规律探索题（难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心思路：观察被开方数与算术平方根的变化规律，归纳通用公式。 2．关键步骤： 小数点规律：被开方数的小数点左右移动 2 位，算术平方根的小数点同向移动 1 位（如 ， ）； 数字运算规律：观察等式特征（如 ），通过化简验证规律； 图形规律：结合数轴或拼接图形，归纳边长、距离的规律（如数轴上连续翻滚正方形，顶点表示的数规律）。 3．易错点：规律归纳不全面（未验证多组数据）；小数点移动位数错误（混淆 2 位与 1 位）。 【典例10】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，则（   ） A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 ． 【变式2】观察下列各式：，，，，； （1）已知n为正整数，＝ ； （2）的值为 ． 题型十一 无理数的估算（难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心方法：夹逼法、近似公式法。 2．关键步骤： 夹逼法：找到无理数前后的两个连续整数的平方（或立方），确定范围（如 ，因 ; 近似公式：利用已知近似公式（如 较小时）估算（如 ）； 整数与小数部分：分离后用于代数式求值（如 的整数部分， 为小数部分，求 ）。 3．易错点：估算范围过大，导致代数式求值错误；近似公式应用时忽略 的取值限制（ 需较小）。 【典例11】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）的整数部分为，小数部分为，则的值是（） A．6 B． C．12 D． 【变式1】（25-26八年级上·上海松江·期中）公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计： ． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知的小数部分为，的小数部分为． 先化简，再求值：． 题型十二 实数与数轴（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．核心性质：实数与数轴上的点—一对应，数轴上两点间距离为 。 2．关键步骤： 数轴表示无理数：利用几何图形（如正方形对角线）确定长度，再在数轴上截取（如表示 ，以 1 为边长作正方形，对角线长为 ）； 对称点计算：关于点 对称的两点 ，满足 （如点 关于 1 的对称点为 ）； 旋转／折叠问题：结合图形变换，计算点的新位置（如正方形翻滚后顶点在数轴上的表示）。 3．易错点：数轴上表示时方向错误（左负右正）；对称点计算时遗漏中点公式；旋转后长度计算错误。 【典例12】（25-26八年级上·上海金山·期中）数轴上到表示的点距离为的点所表示的数是 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 【变式4】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 题型十三 新定义下的实数运算（重难点） 解｜题｜技｜巧 1.核心思路：解读新定义规则，转化为算术平方根、立方根、二次根式的常规运算。 2.关键步骤： 理解定义：明确新运算的符号、运算顺序、限制条件（如“行知区间”“漂移点”“数数组”）； 转化运算：将新定义转化为已知运算（如“数数组”中任意两数乘积的算术平方根为整数，即乘积为完全平方数）； 分类讨论：根据定义中的范围、条件分类求解（如含参数的新定义运算，分参数正负或范围）； 验证结果：结合定义条件检验解的合理性。 3. 易错点：误解新定义规则；未按定义的限制条件分类；运算过程中忽略算术平方根、立方根的基本性质。 【典例13】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． (1)填空：________，________； (2)如果，求的值． (3)解方程． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 【变式4】（25-26八年级上·上海闵行·月考）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式） ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（上海市松江区2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题）的平方根是 ． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列实数中，无理数是（   ） A．0 B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 4．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则 ． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·上海嘉定·月考）观察下列各式：，，，，；已知为正整数， ． 2．（25-26八年级上·上海松江·月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 3．（25-26八年级上·上海松江·月考）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 4．（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $