第19章 实数——实数的运算 期末总复习讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学讲义通过表格系统梳理二次根式知识体系，将“二次根式及其性质”“二次根式的运算”两大知识点与相关题型对应，涵盖概念辨析、性质应用、运算技巧等要点，清晰呈现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与易错点突破，如“过关练习”夯实基础（如二次根式有意义的条件判断），“拓展练习”设置规律探究题（如复合二次根式化简），培养数学思维与创新意识。例题精选各地期中真题，附易错题标注与方法指导，助力学生自主复习，便于教师实施精准分层教学。

第3课 二次根式 期末总复习 【沪教版】 知识梳理 知识点 相关题型 二次根式及其性质 概念理解，二次根式的辨析 二次根式有意义时字母的取值范围 利用二次根式的双重非负性解题 最简二次根式的辨析 利用二次根式的性质化简二次根式 利用二次根式隐含条件化简二次根式 将根号外因子移至根号内 简单的复合二次根式的化简 二次根式的运算 同类二次根式的理解 找有理化因式，对分母进行有理化 二次根式的加减乘除运算 实数的混合运算 新定义题以及探寻规律题 知识点01 二次根式及其性质 1.概念 一般地，形如“”的式子叫做二次根式。 是由平方根号“”和实数“a”组成的式子，表示求a的算术平方根. 因为负数没有平方根，所以有意义的条件是a 改为指数幂的形式是 2.性质 性质1： 性质2： 性质3： (); 性质4： (a). 易错题：=（ ╳ ）因为表示一个数算术平方根，所以=. 3. 注意隐含条件 例如有意义则有一个隐含条件a ① =2x（ ╳ ）因为有意义则x<0,所以=|2x|=-2x. ②把代数式根号外的因式移入根号内，则原式等于（ ╳ ）因为有意义则a<0,所以原式等于； 4. 最简二次根式 ①不含分母；②不含可开方的因式（因数）. 4. 的非负性 若 5. 复合二次根式的化简如： 例题讲解 例1（25-26八年级上·上海·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 例2（25-26八年级上·上海·期中）使得等式成立的的取值范围是 例3（25-26八年级上·上海青浦·期中）若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例4（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 例4（25-26八年级上·上海·阶段练习）化各式为最简二次根式：① ；② ； 课后练习 过关练习 1．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D． 7．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 8．（25-26八年级上·上海金山·期中）当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 9．（25-26八年级上·上海青浦·期中）当 时，有意义． 10．（25-26八年级上·上海·期中）已知，为实数，，则的平方根是 ． 11．（25-26八年级上·上海·期中）若，则 ． 12．（25-26八年级上·上海·期中）已知，化简： ． 13．（25-26八年级上·上海·期中）计算： ． 14．（25-26八年级上·上海·阶段练习）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 16．（25-26八年级上·上海黄浦·月考）当时，化简： 17．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： 18．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． ． 拓展练习 19．（18-19八年级上·广东深圳·期中）下列运算中，计算错误的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（25-26八年级上·上海·期中）化简： ． 21．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，求代数式的值． 22．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，，求的值． 23.（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 24．（25-26八年级上·上海长宁·月考）小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算 ①；  ②；  ③；  ④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ， ， ， (1)观察上述解法，直接写出结果：________； (2)试用小明的方法求解出的结果； (3)根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 25．（25-26八年级上·上海·阶段练习）观察下列各式及验证过程： ① 验证： ② 验证： ③ 验证： (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式，并进行验证． 知识点02 二次根式的运算 1.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式.例如， 与是同类二次根式，而与不是同类二次根式. 注意点：辨别同类二次根式前要先化简成最简二次根式. 2.二次根式的运算 (1) 二次根式的加减法：合并同类二次根式 (2) 二次根式的乘法：① (a≥0， b≥0); (3) 二次根式的除法：① (a≥0， b>0). 易错题：①=1+a（ ╳ ） 才可以化简. 3.分母有理化 分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化． 互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．与互为有理化因式；互为有理化因式. 例题讲解 例1（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 例2（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)（其中）． 例3（25-26八年级上·上海松江·期中）已知求的值． 课后练习 过关练习 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 4．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简： 5．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期中）计算： 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 8．（24-25八年级上·上海·月考）计算： 9．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：已知，，求的值． 1．（25-26八年级上·上海长宁·月考）已知，求的值．拓展过关练习 2．（25-26八年级上·上海·期中）先化简再求值∶，其中， 3．（25-26八年级上·上海·期中）若、是实数，且，求的值． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知的小数部分为，的小数部分为． 先化简，再求值：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课 二次根式 期末总复习 【沪教版】 知识梳理 知识点 相关题型 二次根式及其性质 概念理解，二次根式的辨析 二次根式有意义时字母的取值范围 利用二次根式的双重非负性解题 最简二次根式的辨析 利用二次根式的性质化简二次根式 利用二次根式隐含条件化简二次根式 将根号外因子移至根号内 简单的复合二次根式的化简 二次根式的运算 同类二次根式的理解 找有理化因式，对分母进行有理化 二次根式的加减乘除运算 实数的混合运算 新定义题以及探寻规律题 知识点01 二次根式及其性质 1.概念 一般地，形如“”的式子叫做二次根式。 是由平方根号“”和实数“a”组成的式子，表示求a的算术平方根. 因为负数没有平方根，所以有意义的条件是a 改为指数幂的形式是 2.性质 性质1： 性质2： 性质3： (); 性质4： (a). 易错题：=（ ╳ ）因为表示一个数算术平方根，所以=. 3. 注意隐含条件 例如有意义则有一个隐含条件a 易错题举例： ① =2x（ ╳ ）因为有意义则x<0,所以=|2x|=-2x. ②把代数式根号外的因式移入根号内，则原式等于（ ╳ ）因为有意义则a<0,所以原式等于； 4. 最简二次根式 ①不含分母；②不含可开方的因式（因数）. 4. 的非负性 若 5. 复合二次根式的化简如： 例题讲解 例1（25-26八年级上·上海·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 【详解】解：由题意，二次根式在实数范围内有意义， 故， 解得； ∵分式有意义， 故， 解得； 因此，的取值范围为且． 故答案为：且． 例2（25-26八年级上·上海·期中）使得等式成立的的取值范围是 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， 解，得， 解，得， 综上可得． 故答案为：． 例3（25-26八年级上·上海青浦·期中）若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用二次根式的性质，将方程转化为绝对值方程，再根据绝对值的非负性确定范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：C． 例4（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【分析】根据二次根式的有意义的隐含条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 例4（25-26八年级上·上海·阶段练习）化各式为最简二次根式：① ；② ； 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 课后练习 过关练习 1．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质．选项A、B、C在满足条件时总是成立，而选项D中，即使左边有意义，右边也可能无意义（当且时），因此变形不一定正确． 【详解】解：∵平方根的被开方数必须非负， A、左边要求且，此时右边也有意义且等式成立，故变形正确； B、对任意实数a成立，故变形正确； C、当，成立，变形正确； D、左边要求，但当且时，左边有意义，右边无意义，等式不成立，故变形不一定正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 6．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键． 根据给定条件 ，可确定绝对值符号内的正负，从而化简表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ 原式， 故选：A． 7．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 8．（25-26八年级上·上海金山·期中）当时，化简（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式和绝对值的非负性，结合取值范围简化表达式．将根号内的表达式化为完全平方形式，再根据x的取值范围化简绝对值． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 故选：B． 9．（25-26八年级上·上海青浦·期中）当 时，有意义． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分母不能为零，被开方数是非负数，建立不等式解答即可． 【详解】解：根据题意，得代数式有意义的条件是且， 解得且， 故答案为：且． 10．（25-26八年级上·上海·期中）已知，为实数，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·上海·期中）若，则 ． 【答案】16 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定的取值范围，进而求出和 的值，最后计算． 本题考查了二次根式有意义的条件，已知字母的值求代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 由二次根式的定义，被开方数必须满足非负条件： 且， 即且， 故； 故， 则， 故答案为：16． 12．（25-26八年级上·上海·期中）已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一化简再运算即可． 【详解】因为，所以，，， 因此，原式． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质，，再比较和的大小，取绝对值． 【详解】解： 故答案为． 14．（25-26八年级上·上海·阶段练习）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 16．（25-26八年级上·上海黄浦·月考）当时，化简： 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 17．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解： ． 18．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 拓展练习 19．（18-19八年级上·广东深圳·期中）下列运算中，计算错误的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决此题的关键．逐一分析各运算的正确性即可． 【详解】①： 将带分数化为假分数：，故．原式结果为，错误； ②： 算术平方根的非负性：．原式结果为，错误； ③： 在实数范围内无意义，无法计算，故错误； ④： ，故错误； 综上，错误个数为4， 故选：D． 20．（25-26八年级上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和化简，先根据 的条件，确保根式有意义，得出，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：，且二次根式有意义，故 ， ∴ ，即 ， ∴， ∴， 故答案为 ． 21．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的变形以及二次根式的性质． 先将代数式变形为完全平方的形式，即，再求出的值，进而判断的正负，最后根据二次根式的性质化简求值． 【详解】， ， ． 22．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：，， ，， ∴ ． 23.（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 24．（25-26八年级上·上海长宁·月考）小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算 ①；  ②；  ③；  ④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ， ， ， (1)观察上述解法，直接写出结果：________； (2)试用小明的方法求解出的结果； (3)根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 【答案】(1)10000 (2)50 (3)757 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，灵活运用完全平方公式对被开方数变形是解题的关键． （1）根据题干提供的方法将变形为，根据完全平方公式得出，然后再进行求解即可； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据二次根式的性质求解； （3）根据图1和图2的面积相等可得，然后利用（1）中方法求出a即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：设大正方形的边长为a， 由图1和图2的面积相等可得：， 即， ∴， 即大正方形的边长为757． 25．（25-26八年级上·上海·阶段练习）观察下列各式及验证过程： ① 验证： ② 验证： ③ 验证： (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式，并进行验证． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1）解：， 验证： ； （2）解：, 验证： ． 知识点02 二次根式的运算 1.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式.例如， 与是同类二次根式，而与不是同类二次根式. 注意点：辨别同类二次根式前要先化简成最简二次根式. 2.二次根式的运算 (1) 二次根式的加减法：合并同类二次根式 (2) 二次根式的乘法：① (a≥0， b≥0); (3) 二次根式的除法：① (a≥0， b>0). 易错题：①=1+a（ ╳ ） 才可以化简. 3.分母有理化 分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化． 互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．与互为有理化因式；互为有理化因式. 例题讲解 例1（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可． 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A：与，被开方数分别为和7，不同，故不是同类二次根式； 选项B：与（其中），可化为，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 选项C：，，两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式； 选项D：，，其中，，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 故选：C． 例2（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)（其中）． 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算，掌握化简运算法则是解题的关键． （1）首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后计算加减即可； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 例3（25-26八年级上·上海松江·期中）已知求的值． 【分析】本题先利用因式分解对原式进行化简，再代入求值． 【详解】解： ， 当时， ． 课后练习 过关练习 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式．根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式后，被开方数为5，因此令的被开方数等于5，解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，，其被开方数为5， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用平方差公式和二次根式的除法法则进行计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 4．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，判断出字母的符号是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义判断出a和b的符号，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴a和b同号， ∴， ∵要使和有意义， ∴，， ∴，， ∴ ． 5．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，注意计算的准确性即可； 【详解】解：原式 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 8．（24-25八年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴ ． 9．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：已知，，求的值． 【答案】 ； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先运用分式的性质结合完全平方公式和平方差公式化简，再运用二次根式的混合运算法则求得，，然后将，整体代入计算即可． 【详解】解： ， ，， ∴原式． 1．（25-26八年级上·上海长宁·月考）已知，求的值．拓展过关练习 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据二次根式有意义的条件求出，从而得出，将所求式子进行化简，最后代入、的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 2．（25-26八年级上·上海·期中）先化简再求值∶，其中， 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质与分式的性质是解题的关键． 先化简得，则，再化简，然后把代入化简式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 3．（25-26八年级上·上海·期中）若、是实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上性质和运算法则． 根据二次根式有意义的条件求出的值，根据二次根式的运算法则化简代数式，然后代数求值即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得， ， ∴， ∴， ∴， 将，代入上式得， 原式． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知的小数部分为，的小数部分为． 先化简，再求值：． 【答案】， 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，先根据题意求出的整数部分为，的整数部分为1，，，再利用二次根式的运算法则进行计算得到化简结果，再把，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，的整数部分为1， ∴的小数部分为，的小数部分为， ∴原式 学科网（北京）股份有限公司 $