第9章 实数 期末总复习讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学讲义以表格形式系统梳理实数章节知识体系，涵盖实数与数轴、绝对值与大小比较、运算及科学计数法四大模块，通过知识点与相关题型的对应呈现，清晰展现实数分类、数轴表示、混合运算等重难点，构建起概念辨析到综合应用的内在逻辑脉络。 讲义亮点在于例题与练习设计注重数学思维与几何直观的培养，如通过正方形剪拼确定无理数在数轴上的位置，结合折叠问题强化数形结合能力，比较大小题采用比差法、比平方法提升运算能力。分层练习覆盖选择、填空及综合解答，助力不同层次学生巩固基础或拓展提升，为教师实施精准复习教学提供清晰路径。

第2课 实数（2） 期末总复习 【沪教版】 知识梳理 知识点 相关题型 实数与数轴 实数的概念，实数的分类，辨识一个数是不是实数 用数轴上的点表示一个无理数 实数的绝对值和大小比较 求一个实数的绝对值 求一个实数的相反数 用绝对值来表示数轴上两点之间的距离 比较两个实数的大小 实数的运算 实数的混合运算 运用运算律对实数进行简便计算 对无理数取近似值计算 科学计数法 用科学计数法表示绝对值较大的数 用科学计数法表示绝对值较小的数 知识点01 实数与数轴 1. 实数的概念 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数. 2. 实数的分类 按性质分 按符号分 实数 实数 易错点：①是无理数（），因为可以化成无限循环小数属于有理数. ②是分数（），因为只是拥有分数的形式，但因为是个无限不循环小数，它的还是无限不循环小数，所以它是个无理数. 3. 实数与数轴上的点一一对应 例题讲解 例1（25-26八年级上·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（   ） A．实数可分为有理数和无理数 B．的平方根是 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．无理数与无理数的和一定是无理数 例2（25-26八年级上·上海·期中）在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例3（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（    ） A．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B．1的平方根等于它的立方根 C．负数没有立方根 D．是13的一个平方根 例4（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，若点和点关于点对称，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 例5（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 课后练习 1．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 故选：A． 4.（25-26八年级上·上海·月考）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 5.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 知识点02 实数的绝对值与大小比较 1. 实数绝对值的代数意义 2. 实数绝对值的几何意义 |a|表示实数a在数轴上对应的点到原点的距离. |a-b|表示实数a，b在数轴上所对应的两点之间的距离. 3. 实数的相反数 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数.两个数互为相反数则和为0. 4. 实数的大小比较 ②比差法：若a-b>0，则a>b ③比平方：若，则a>b 例题讲解 例1（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ． 例2（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 例3（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 例4（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 课后练习 1.（24-25七年级下·全国·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 2．（25-26八年级上·上海普陀·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）比较大小： 3（填“”，“”或者“”）． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接： ． 5．（25-26八年级上·上海金山·期中）比较大小： ． 6.（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是 ． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ． 9．（25-26八年级上·上海·期中）点是数轴上的三个点，点所对应的数分别为、，点到点的距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是 ． 知识点03 实数的运算 1.实数的混合运算顺序 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 同级运算：先乘方、开方，再乘除，后加减；有括号的先算括号内的. 2.运算律——同有理数的运算律 3.有关无理数的运算 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简，其结果可能是一个化简了的含无理数的算式. 如：2+仍等于2+、2×=2. 例题讲解 例1（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 例2（20-21八年级上·辽宁沈阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 课后练习 1．（25-26八年级上·上海·月考）计算： 2．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）（1）计算：； （2）解方程：． 3．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）计算： 4．（24-25八年级上·全国·期末）（1）解方程：； （2）解方程：； （3）计算：． 5.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算：． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算：． ． 7.（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 知识点04 科学计数法 把一个数表示成a×1(1≤|a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法.当a=1或a=-1时，“1”常省略不写，如0.000000001=1,-1000000=-10⁶例题讲解 例1（25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理 个基本数据单元．（用科学记数法表示） 例2（25-26八年级上·上海宝山·期中）我国的嫦娥六号探测器成功执行了月球背面采样返回任务，这是人类首次从月球背面采集样品并带回地球．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 ． 例3（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示的数有 个整数位． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海浦东新·期中）用科学记数法表示数，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算，结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3.（19-20七年级上·四川乐山·期中）下列各式中，精确度相同的是（   ） A．300万与3百万 B．与万 C．与3450 D．与 4．（19-20七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数与2000的意义完全一样 C．精确到万分位 D．万与的精确度不同 5.（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个． 6．（24-25七年级上·湖北恩施·月考）近似数精确到 位． 7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 8.（25-26八年级上·上海·月考）近似数精确到 位． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课 实数（2） 期末总复习 【沪教版】 知识梳理 知识点 相关题型 实数与数轴 实数的概念，实数的分类，能辨识一个数是不是实数 能用数轴上的点表示一个无理数 实数的绝对值和大小比较 求一个实数的绝对值 求一个实数的相反数 用绝对值来表示数轴上两点之间的距离 比较两个实数的大小 实数的运算 实数的混合运算 运用运算律对实数进行简便计算 对无理数取近似值计算 科学计数法 用科学计数法表示绝对值较大的数 用科学计数法表示绝对值较小的数 知识点01 实数与数轴 1. 实数的概念 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数. 2. 实数的分类 按性质分 按符号分 实数 实数 易错点：①是无理数（），因为可以化成无限循环小数属于有理数. ②是分数（），因为只是拥有分数的形式，但因为是个无限不循环小数，它的还是无限不循环小数，所以它是个无理数. 3. 实数与数轴上的点一一对应 例题讲解 例1（25-26八年级上·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（   ） A．实数可分为有理数和无理数 B．的平方根是 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．无理数与无理数的和一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类、平方根、数轴表示以及无理数的性质，掌握基本概念是解题关键． 根据实数的分类、平方根的定义、数轴的性质以及无理数的性质进行判断． 【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，这是实数的标准分类，故A正确，符合题意； B、，2的平方根是，不是，故B错误，不符合题意； C、数轴上的点与实数一一对应，而不是仅与有理数对应，故C错误，不符合题意； D、无理数与无理数的和不一定是无理数，例如为有理数，故D错误，不符合题意． 故选：A． 例2（25-26八年级上·上海·期中）在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像（两个1之间依次多一个0）这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得出答案． 【详解】解：，， 则，，，是有理数， ，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，是无理数，共3个； 故选：D． 例3（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（    ） A．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B．1的平方根等于它的立方根 C．负数没有立方根 D．是13的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查数轴、平方根和立方根的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系、平方根和立方根的定义逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 数轴上的点与实数一一对应， ∴ 选项A错误； ∵ 1的平方根是，立方根是1，两者不相等， ∴ 选项B错误； ∵ 负数有立方根，且为负数， ∴ 选项C错误； ∵ 13的平方根是， ∴ 是13的一个平方根，选项D正确． 故选：D． 例4（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，若点和点关于点对称，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求数轴上两点之间的距离及实数在数轴上的表示，由题意可知A、B两点之间的距离是，点和点关于点对称，进而求出C的坐标，熟练掌握数轴上中点的意义是解题关键． 【详解】解：∵A，B两点表示的数为和， ∴A、B两点之间的距离是， ∴C点表示， 故选：C． 例5（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【答案】(1)2，3 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 课后练习 1．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 【答案】B 【分析】本题考查了实数的定义、算术平方根、立方根和数轴的性质． 根据实数的定义、算术平方根、立方根和数轴的性质逐个判断． 【详解】解：，9的算术平方根是3，不是9，A错误； 有理数和无理数统称为实数，B正确； 立方根等于本身的数有，0，1，C错误； 数轴上的点与实数一一对应，D错误； 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根和平方根，实数与数轴的关系，根据可判断①；根据0是有理数可判断②；根据0是实数可判断③；根据绝对值的非负性可判断④；根据平方根的定义可判断⑤；根据实数与数轴上的点一一对应可判断⑥． 【详解】解：①是有理数，原说法错误； ②无理数包括正无理数、负无理数，不包括零，原说法错误； ③实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误； ④绝对值最小的实数是0，原说法正确； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0，原说法错误； ⑥实数与数轴上的点一一对应，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选：A． 4.（25-26八年级上·上海·月考）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 【答案】(1) (2) (3)或1或 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）线段的长等于较大的数减去较小的数，计算即可． （2）点C向左平移4个单位长度后与点B重合，也就是点B向右平移4个单位长度得到点C解答即可． （3）分三种情况考虑，利用数轴上点的特征和对称性解答即可． 【详解】（1）解：、B分别表示数和， 故答案为：； （2）解：点C向左平移4个单位后与点B重合， 点C表示的数是 故答案为：； （3）解：设点D表示的数为， 点A、点B、点D为优美关系，且点A、B分别表示数和． 当点B和点D关于点A对称时，则， 即， 解得； 当点B和点A关于点D对称时，则， 即， 解得； 当点A和点D关于点B对称时，则， 即， 解得； 点D对应的实数为或1或 故答案为：或1或 5.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等面积法得大的正方形的面积，结合算术平方根的性质，得大的正方形的边长，然后运用无理数的估算，得出边长介于两个连续整数2和3之间； （2）由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，列式表达出点在数轴上表示的数为或； （3）先整理得点在数轴上表示的数为，根据数轴上的两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间； （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为． 知识点02 实数的绝对值与大小比较 1. 实数绝对值的代数意义 2. 实数绝对值的几何意义 |a|表示实数a在数轴上对应的点到原点的距离. |a-b|表示实数a，b在数轴上所对应的两点之间的距离. 3. 实数的相反数 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数.两个数互为相反数则和为0. 4. 实数的大小比较 ①正数>0>负数 ②比差法：若a-b>0，则a>b ③比平方：若，则a>b 例题讲解 例1（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键． 观察数轴得：，可得，从而原式变形为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 例2（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可判断． 【详解】解：，且， ． 故答案为：． 例3（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 例4（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，非负数的应用，算术平方根的性质，理解题意是解题的关键． （1）利用非负数的性质解答即可； （2）利用对称性求得折痕处对应的数为，则利用点A对应的数与点重合的点距离的长度相等解答即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为． 课后练习 1.（24-25七年级下·全国·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 2．（25-26八年级上·上海普陀·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法．通过将两个数转换为同分母形式，比较分子的大小即可． 【详解】解： ， ， 即 ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）比较大小： 3（填“”，“”或者“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较和的大小关系，根据立方根的定义进行判断即可． 【详解】∵ ，且 ， ∴ ，即， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 5．（25-26八年级上·上海金山·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查分数比大小，熟练掌握无理数的估算和分数比大小是解题的关键，同分母分数比大小，通过比较两个分数的分子大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 6.（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，以及对称性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据数轴上两点之间的距离和对称性质，得到，进而求出数轴上点A表示的数即可． 【详解】解：点B，C在数轴上表示的数分别是4，， ， 点C关于点B的对称点为A， ， 数轴上点A表示的数是； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，解题的关键是掌握实数与数轴的关系以及求解算术平方根． 先求出面积为3的正方形的边长，根据点表示的数以及点、点的位置，求解即可． 【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则， 由算术平方根的性质可得，， 由题意可得，， 由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边， 则点所表示的数为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 9．（25-26八年级上·上海·期中）点是数轴上的三个点，点所对应的数分别为、，点到点的距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查实数与数轴，一元一次方程，两点间的距离，分类讨论，根据点到点的距离是它到点距离的2倍，列出方程是解题关键． 分两种情况进行讨论，点C在点A，点B之间和点C在点B右侧时，分别根据点到点的距离是它到点距离的2倍，列出方程即可解答． 【详解】解：∵点C到点A的距离是它到点B距离的2倍， ∴点C不可能在点A左侧， 设C表示的数为a， 分两种情况：①当点C在点A和点B之间时， 则，， ∴， 解得：； ②当点C在点B右侧时， 则，， ∴， 解得： ． 综上，点C表示的数是或． 故答案为：或． 知识点03 实数的运算 1.实数的混合运算顺序 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 同级运算：先乘方、开方，再乘除，后加减；有括号的先算括号内的. 2.运算律——同有理数的运算律 3.有关无理数的运算 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简，其结果可能是一个化简了的含无理数的算式. 如：2+仍等于2+、2×=2. 例题讲解 例1（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键． （1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可； （2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 例2（20-21八年级上·辽宁沈阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键． 根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，3的平方根是，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：B． 课后练习 1．（25-26八年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，属于基础题，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方根解方程． （1）先计算绝对值，算术平方根，立方根，平方，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先移项，再开平方即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ，． 3．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、绝对值的运算以及有理数的加减运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义和绝对值的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再分别计算算术平方根、立方根以及绝对值，最后进行有理数的加减运算． 【详解】解：原式= ． 4．（24-25八年级上·全国·期末）（1）解方程：； （2）解方程：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）或；（3）0 【分析】此题考查了利用平方根解方程、实数的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）先变形为，再利用平方根解方程即可； （2）先变形为，再利用平方根解方程即可； （3）先利用算术平方根，乘方，绝对值化简，再进行加减即可． 【详解】解：（1）， 得， 开平方，得； （2）， 得， 得， 开平方，得， 则或； （3） ． 5.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． 先计算立方根和算术平方根，乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解原式 ． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根，实数的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，先利用乘方，算术平方根，立方根，实数的性质进行化简，再进行加减即可． 【详解】解： ． 7.（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图且运用分类讨论思想，进行分析，列式计算，求解即可． 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 知识点04 科学计数法 把一个数表示成a×1(1≤|a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法.当a=1或a=-1时，“1”常省略不写，如0.000000001=1,-1000000=-10⁶例题讲解 例1（25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理 个基本数据单元．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．根据芯片处理一个基本数据单元的时间，计算一秒内处理的数量，需用总时间除以每个单元的时间，并将结果用科学记数法表示，即可作答． 【详解】解：∵处理一个基本数据单元的时间为纳秒，已知一纳秒等于秒， 因此处理一个单元的时间为秒， 设一秒内处理的基本数据单元个数为n， 则． 故答案为：． 例2（25-26八年级上·上海宝山·期中）我国的嫦娥六号探测器成功执行了月球背面采样返回任务，这是人类首次从月球背面采集样品并带回地球．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值较大的数时，形式为，其中，为整数． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 例3（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示的数有 个整数位． 【答案】7 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法表示的数的整数位数比指数多1，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是位． 故答案为：7． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海浦东新·期中）用科学记数法表示数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键是确定的值以及的值． 根据科学记数法的表示方法，对于，将小数点左移位得到，，即可求解． 【详解】解：； 故选： A． 2．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算，结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，同底数幂乘法的逆用， 将两项统一为相同的指数形式后相减系数，再将结果转换为科学记数法即可． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 3.（19-20七年级上·四川乐山·期中）下列各式中，精确度相同的是（   ） A．300万与3百万 B．与万 C．与3450 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数的精确度概念，熟记概念是解题的关键．近似数的精确度由其最后一位有效数字所在的数位决定，有效数字就是从数的左边第一个不为零的数起，后面的所有数字都是这个数的有效数字． 【详解】解：A．300万精确到万位，3百万精确到百万位，300万与3百万精确度不同，故A不符合题意； B．精确到百位，万精确到百位，与万精确度相同，故B符合题意； C．精确到十位，3450精确到个位，与3450精确度不同，故C不符合题意； D．精确到千分位，精确到百分位，与精确度不同，故D不符合题意． 故选：B． 4．（19-20七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数与2000的意义完全一样 C．精确到万分位 D．万与的精确度不同 【答案】C 【分析】此题考查了近似数，解答此题应掌握数的精确度的知识，最后一位所在的位置就是精确度． 根据最后一位所在的位置就是精确度，即可得出答案． 【详解】解：A、精确到百分位，精确到十分位，精确度不一样，故本选项不符合题意； B、近似数精确到百位，2000精确到个位，意义不一样，故本选项不符合题意； C、精确到万分位，故本选项符合题意； D、万与的精确度相同，都是精确到百位，故本选项不符合题意； 故选：C． 5.（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个． 故答案为：7． 6．（24-25七年级上·湖北恩施·月考）近似数精确到 位． 【答案】百 【分析】本题主要考查了精确度和科学记数法，根据科学记数法的表示方法判断出中数字0所在的位即可得到答案． 【详解】解：由题意得，近似数精确到百位， 故答案为：百． 7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】5 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 8.（25-26八年级上·上海·月考）近似数精确到 位． 【答案】千 【分析】本题考查了科学记数法和有效数字，注意精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：近似数精确到千位． 故答案为：千． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $