专题03 幂、指数与对数全章复习（期末复习讲义）高一数学上学期沪教版必修第一册

该高中数学期末复习讲义通过思维导图系统构建幂、指数与对数的知识体系，用核心考点表格梳理指数幂运算、对数性质等五大模块，明确复习目标与考情规律，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，基础通关练与重难突破练结合，题型涵盖指数式对数式互化等四类重点，通过解题技巧培养数学思维与运算能力，典例变式满足不同学生需求，易错点提醒支持自主复习，助力教师精准教学。

专题03 幂、指数与对数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律（上海沪教版） 指数幂（含根式与分数指数幂互化） 1. 掌握指数幂的定义（正整数、整数、有理数指数幂），明确零指数幂（a⁰=1，a≠0）、负指数幂的限制条件； 2. 熟练进行根式与分数指数幂的互化，理解根指数与分数指数的对应关系； 3. 牢记有理数指数幂的核心运算性质，能准确进行指数幂的化简与求值 基础必考点，常出选择题/填空题前半部分，分值4分；易忽略零指数幂（a≠0）、负指数幂（a≠0）的限制条件，根式与分数指数幂互化时公式误用，负底数非整数指数幂无意义仍强行运算 幂的运算性质 1. 熟练掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方等核心运算性质； 2. 能逆用运算性质拆分或合并指数幂，简化复杂运算； 3. 明确运算性质的适用范围（底数正负、指数范围），避免跨范围应用 基础核心考点，选择题/填空题前半部分高频，分值4分；易混淆同底数幂乘除（指数加减误为乘除）、幂的乘方与积的乘方，不同底数幂盲目套用同底数运算规则，运算顺序颠倒（先加减后算幂） 对数的运算性质 1. 牢记对数的核心运算性质（积、商、幂的对数），明确性质的适用条件； 2. 能正用、逆用运算性质拆分或合并对数式，化简复杂对数表达式； 3. 掌握对数恒等式（a^(logₐN)=N）的应用场景 重点核心考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题后两题（18分）；易误用运算性质（logₐ(M±N)误拆为logₐM±logₐN），忽略性质适用的底数、真数范围，符号处理失误 对数的换底公式 1. 掌握对数换底公式及常用推论； 2. 能根据题意选择合适的底数（常用10或e），将不同底数对数转化为同底数对数计算； 3. 理解换底公式的本质（统一底数），避免公式结构颠倒或符号错误 中档考点，选择题/填空题后半部分（5分）；易忽略换底公式的前提条件（各对数有意义），分子分母对数颠倒，含负指数时漏变号，与对数运算性质混用 指数与对数的实际应用（模型问题） 1. 能识别指数型、对数型实际问题模型（如大气压强、地震震级、电池容量等）； 2. 从实际问题中提取已知条件，列出含指数或对数的方程； 3. 利用运算性质求解参数，结合实际情境验证结果合理性（如取值范围、精度要求） 重点考点，大题前三题（14分）或后两题（18分）；易忽略实际情境对变量的限制（如正数、整数），模型列方程错误，对数近似值计算失误，结果未按要求精度处理 知识点01 指数幂 1． 的 次幂 如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称 为的次幂. 正整数指数幂的运算性质： 对任意给定的实数, b及正整数s , t，有 （1） ； （2） ； （3） ． 2．整数指数幂 当 时，可以定义 这样,可以证明对任意给定的非零实数及整数，上述幂的运算性质(1)到(3)仍然成立 3.根式 （1）一般地，如果 为大于 1 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根．式子 叫做 的 次根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. 4.有理数指数幂 幂的概念 、 、 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 有理数指幂的运算性质 化简 . 【答案】 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】利用根式及分数指数幂进行运算即得. 【详解】. 故答案为： 1．零指数漏条件（ 需 ）； 2．负指数忘限制（ 需 ）； 3．分数指数误解（公式／非负条件错）； 4．符号混淆（（－a） 与 不分）； 5．运算性质错用（同底数幂乘除、幂的乘方混淆）； 6．负底数无意义（如（－2）＾（1／2）误用）。 知识点02 幂的运算性质 性质 对任意给定的正数及实数有 下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】由根式和指数幂的运算性质逐项判断. 【详解】对A：因为，故错误； 对B：因为无意义，故错误； 对C：因为，故错误； 对D：因为，故正确； 故选：D. 1．同底数幂运算：乘除误将指数乘除（应为加减）； 2．幂／积的乘方混淆： 误写 漏乘因式； 3．忽略零／负指数前提： 未满足 ； 4．符号判断错： 与 不分，负号乘方漏处理； 5．不同底数盲目运算：非同类幂强行套用同底数法则； 6．运算顺序颠倒：混合运算中先算加减再算幂。 知识点03 幂的基本不等式 定理 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过倒数 进行调整；无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过相反数 进行调整．将条件调整到底数大于 1 ，指数大于 0 ，进而应用幂的基本不等式． 1．忽略底数范围：未明确 或 （影响单调性）； 2．底数正负误判：负底数非整数指数无意义，仍套用不等式； 3．单调性反转错：指数为负时，未反转底数大小关系； 4．变量取值漏限：偶次幂／根忽略变量非负要求； 5．函数类型混淆：误将幂函数与指数函数单调性等价； 6．未统一底数／指数：盲目比较不同底数、指数的幂值。 知识点04 对数 1.对数的定义 在 ，且 的条件下，唯一满足 的数 ，称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数 ＂log＂的含义 对于初学对数的同学们来说， ＂log＂这个符号似乎很难理解，但是如果将＂log＂类比成＂＂或者＂＂的运算来看，其实就不难理解．对数运算不过是将运算的符号写在数字的前面，是已知一个底数和它的幂求指数的运算． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…) 为底的对数 3.对数与指数的关系 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ，如 不可转化为对数式． （2）两个式子是同一数量关系的两种不同表现形式，它们互为逆运算． 关于的方程的解集为 ． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 1．忽略定义域：真数 、底数 或底数 ； 2．运算性质误用： 误拆为 ； 3．与指数互化错： 误转 （底数／真数颠倒）； 4．特殊值记忆偏差： ； 5．换底公式错用：漏写分母对数或符号错误； 6．解方程未检验：解使真数／底数不合规未舍去。 知识点05 对数的运算性质 1．两个常用结论 （1）对数恒等式： 且 ． （2） 且 ． 2．对数的运算性质 性质1：当 时， ． 性质2：当 时， ． 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ． 知识点06 对数的换底 1.对数换底公式 当 时， ． （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算及证明. （3）换底公式在实际应用中应当根据已知的条件选择适当的“底”,一般换成以10或e为底的对数. 2.常用推论 推论 ，即 ． 推论 ． 相当于＂约分＂ 推论 3： 可看作运算性质 3 的推广 已知，用的代数式表示 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】由对数的运算性质和换底公式计算可得. 【详解】. 故答案为：. 1．忽略前提条件（ 且 且 ）； 2．公式结构颠倒（分子分母弄反，误写 ）； 3．符号处理失误（含负指数时漏变号）； 4．与对数运算性质混用错误； 5．常用／自然对数换底时公式记混； 6．未检验换底后定义域合规性。 题型一 指数式与对数式的互化（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：牢记互化公式 （前提： 且 ），双向互化是基础。 2．关键条件：互化前需验证底数、真数的取值范围，避免无意义（如真数不能为负，底数不能为 1 或负数）。3．逆用互化：已知对数式求指数式的值（如 ，则 ），或已知指数式求对数式（如 ，则 ）。 4．同构式应用：遇到结构相同的指数式与对数式（如同构式），结合函数单调性（如 与 的单调性），可快速求解参数或代数式值。 【典例1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】由对数式与指数式的互化可得出的值. 【详解】方程的解. 故答案为：. 【变式2】（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知，则 ．（用m，n表示） 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用指数式和对数式的互换得到，，然后利用对数运算公式计算即可. 【详解】由题意得，，所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海松江·期末）同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 【答案】3 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、指数式与对数式的互化 【分析】将化为，再利用同构式及函数单调性求得答案. 【详解】函数在R上单调递增，且， 由，得，则， 即，因此，则， 所以. 故答案为：3 题型二 指数幂的运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心公式： 同底数幂运算： ； 分数指数幂与根式互化： 。 2．化简步骤：先将根式化为分数指数幂，再统一底数，最后按运算法则计算。 3．逆用公式：遇到指数幂的和、积形式，逆用运算法则拆分（如 ），简化计算。 4．参数表示：已知某指数幂的值，用其表示其他指数幂时，需通过指数变形（如配凑指数）建立联系。 【典例2】（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】由分数指数幂的运算即可得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 【变式1】已知，用有理数指数幂的形式表示 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可. 【详解】. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】，结合指数幂运算法则进行求解. 【详解】，. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海宝山·期末）设，用有理数指数幂的形式表示 ． 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】利用分数指数幂的意义及运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 题型三 对数的运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心公式： 运算法则： ； 换底公式： （常用 或 ）。 2．化简原则：先统一底数（优先化为常用对数或自然对数），再利用运算法则拆分、合并，最后求值。 3．逆用法则：将对数的和、差、倍数转化为积、商、幂的对数（如 ），简化复杂表达式。 4．结合互化：遇到对数与指数混合运算，通过互化公式转化为同一种形式（如将指数式化为对数式代入计算）。 【典例3】（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设集合，若，则实数 ． 【答案】1 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、对数的运算 【分析】根据元素和集合的关系得到方程，求出 【详解】由题意得，解得. 故答案为：1. 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，，则 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，，则 【答案】1 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】指数式化为对数式，结合换底公式得到. 【详解】由，得，， 故，， 故. 故答案为：1 题型四 对数的运算性质的应用（重点） 解｜题｜技｜巧 1．实际问题建模： 针对震级、大气压强、电池容量等对数／指数模型，先根据题意列出含对数的方程； 利用对数运算性质求解参数（如底数、真数），再代入模型计算日标值。 2．代数式求值：已知对数的具体值，求复杂对数表达式的值时，通过配凑、换底等方式，将表达式转化为已知对数的组合形式。 3．存在性问题：结合函数连续性（如零点存在性定理），判断含对数的方程是否有解，需先化简方程，再分析端点函数值符号。 4．精度处理：实际问题中结果需精确到个位或指定精度时，可利用对数近似值（如 ， ）计算。 【典例4】（24-25高一上·上海长宁·期末）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数．已知海拔为、两地的大气压强分别为、，若测得某地的大气压强为，则该地海拔为（    ）． A．2415 B．2053 C．2871 D．3025 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据已知及函数关系式列方程得、，再将其代入求即可. 【详解】由题意可得，两式相除得，两边取对得， 所以，则，可得， 由，则，可得， 两边取对得， 则m. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数和对数的互化以及对数运算法则即可得出结果. 【详解】由，则，又， . 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式和对数运算性质即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设为地震时所散发出来的相对能量程度，里氏震级度量定义为，则7级地震和6级地震的相对能量比值是 .（结果精确到个位） 【答案】32 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设7级时能量为，6级时能量为，利用已知条件结合对数的运算性质求出即可． 【详解】设7级时能量为，6级时能量为， 则， 两式相减得， 所以，所以， 注意到， 所以. 故答案为：. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】化根式为分数指数幂即可列式计算得答案. 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则用表示为 ． 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】由换底公式和对数的计算公式即可得到结果. 【详解】. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海虹口·期末）计算： . 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算公式计算即可. 【详解】原式. 故答案为： 4．已知，则 （用表示）． 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题、指数幂的运算、对数的运算 【分析】由题意得到方程，得到. 【详解】由题意得，即， . 故选：B 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数是定义域为的连续函数，是非常值函数，下列两个命题： 命题（1）：若，则成立．() 命题（2）：若且且，则成立．() 则下列选项正确的是（    ）． A．命题（1），命题（2）都正确 B．命题（1），命题（2）都不正确 C．命题（1）正确，命题（2）不正确 D．命题（1）不正确，命题（2）正确 【答案】A 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、判断命题的真假 【分析】利用指数运算和对数运算法则判断（1），（2）正确. 【详解】命题（1）：，（1）正确； 命题（2）：， ，两者相等， 故成立，（2）正确. 故选：A 2．（24-25高一上·上海杨浦·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ） A．1.19 B．2.19 C．3.19 D．4.19 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得，即， 可得，所以. 故选：B. 3．记，那么 . 【答案】1. 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数运算法则，化简原式，求值. 【详解】 . 故答案为：1 【点睛】本题考查对数运算法则，意在考查基本公式，属于基础题型. 4．（24-25高一上·上海虹口·期末）对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. (1)判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由； (2)求证：函数在上存在“漂移点”； (3)若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围. 【答案】(1)没有飘移点，理由见解析； (2)证明见解析； (3) 【知识点】对数的运算、零点存在性定理的应用、函数与方程的综合应用、函数新定义 【分析】（1）按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断； （2）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号； （3）若函数在上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决． 【详解】（1）假设函数有“飘移点” ，则有解， 即，由于方程无实根，与题设矛盾，所以函数没有飘移点． （2）令 ， 所以， ．所以， 又在连续， 所以在至少有一个实根， 即函数在上存在漂移点； （3）若在上有飘移点， 所以成立，即，， 整理得， 由，，则． 则实数的取值集合是． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是函数的方程与函数间的关系，即利用函数思想解决方程根的问题，利用方程思想解决函数的零点问题. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $1.1幂 一、幂的概念与运算 1.2幂 2.1 二、根式与分数指数幂 2.2 2.3 幂、指数与对数 3.1 三、对数的概念与性质 3.2 3.3 4.1基 四、对数的运算性质 4.2换 5.1基 五、幂的基本不等式 5.2应 正整数指数幂：a”=Q·a…g(n为正整数) n个a 的定义 零指数幂：a°=1(a≠0) 负整数指数幂：a”=品(a≠0，n为正整数) 对于任意实数a,b及整数s,t: asat as+t 的运算性质 (a)!=ast (ab)t a'b" n次方根：若cn=a,则x叫做a的n次方根 根式的概念 根式的表示：a(n为根指数，a为被开方数) 当n为奇数且n>1时：x=a 根式的性质： 当n为偶数且n>1时：x=士a 正分数指数幂：a”=am(a>0,m,n为正整数，n>1) 分数指数幂 负分数指数幂：a-只==a(a>0,m,n为正整数，n>1) 0的指数幂：的正分数指数幂等于，的负分数指数幂无意义 对于a>0,b>0及有理数t,s: alas =at+s 有理数指数幂的运算性质 (as)t=ast (ab)t=atbi 对数定义：在a>0,a≠1，N>0的条件下，满足a=N的数x称为N以a为底的对数 对数的定义 记法：x=log。N(a为底数，N为真数) 指数与对数的关系：ar=N台x=log。N 常用对数：以10为底的对数，1og10N记为gN 特殊对数 自然对数：以无理数e(e≈2.71828..)为底的对数，1ogeN记为lnN aloga N=N(a>0,a≠1，N>0) 对数恒等式： -log。a5=b(a>0,a≠1) 对数的基本性质 loga 1=0 特殊值： 对于M>0,N>0,a>0,a≠1： 积的对数：loga(MN)=loga M+loga N 本运算性质 商的对数：loga(兴)=loga M-loga N 幂的对数：loga Me=cloga M(c为任意实数) 换底公式：1ogN=8(a>0,a≠1，b>0,b≠1，N>0) 底公式 1ogab·logi a=1 常用推论： logab·logc=loga c logam Nn=是logo N 当a>1,s>0时，a8>1 本不等式定理 当0<a<1,s>0时，a8<1 通过取倒数调整底数大小关系 用方法 通过取相反数调整指数正负关系 统一化为底数大于1，指数大于0的形式应用定理 专题03 幂、指数与对数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律（上海沪教版） 指数幂（含根式与分数指数幂互化） 1. 掌握指数幂的定义（正整数、整数、有理数指数幂），明确零指数幂（a⁰=1，a≠0）、负指数幂的限制条件； 2. 熟练进行根式与分数指数幂的互化，理解根指数与分数指数的对应关系； 3. 牢记有理数指数幂的核心运算性质，能准确进行指数幂的化简与求值 基础必考点，常出选择题/填空题前半部分，分值4分；易忽略零指数幂（a≠0）、负指数幂（a≠0）的限制条件，根式与分数指数幂互化时公式误用，负底数非整数指数幂无意义仍强行运算 幂的运算性质 1. 熟练掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方等核心运算性质； 2. 能逆用运算性质拆分或合并指数幂，简化复杂运算； 3. 明确运算性质的适用范围（底数正负、指数范围），避免跨范围应用 基础核心考点，选择题/填空题前半部分高频，分值4分；易混淆同底数幂乘除（指数加减误为乘除）、幂的乘方与积的乘方，不同底数幂盲目套用同底数运算规则，运算顺序颠倒（先加减后算幂） 对数的运算性质 1. 牢记对数的核心运算性质（积、商、幂的对数），明确性质的适用条件； 2. 能正用、逆用运算性质拆分或合并对数式，化简复杂对数表达式； 3. 掌握对数恒等式（a^(logₐN)=N）的应用场景 重点核心考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题后两题（18分）；易误用运算性质（logₐ(M±N)误拆为logₐM±logₐN），忽略性质适用的底数、真数范围，符号处理失误 对数的换底公式 1. 掌握对数换底公式及常用推论； 2. 能根据题意选择合适的底数（常用10或e），将不同底数对数转化为同底数对数计算； 3. 理解换底公式的本质（统一底数），避免公式结构颠倒或符号错误 中档考点，选择题/填空题后半部分（5分）；易忽略换底公式的前提条件（各对数有意义），分子分母对数颠倒，含负指数时漏变号，与对数运算性质混用 指数与对数的实际应用（模型问题） 1. 能识别指数型、对数型实际问题模型（如大气压强、地震震级、电池容量等）； 2. 从实际问题中提取已知条件，列出含指数或对数的方程； 3. 利用运算性质求解参数，结合实际情境验证结果合理性（如取值范围、精度要求） 重点考点，大题前三题（14分）或后两题（18分）；易忽略实际情境对变量的限制（如正数、整数），模型列方程错误，对数近似值计算失误，结果未按要求精度处理 知识点01 指数幂 1． 的 次幂 如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称 为的次幂. 正整数指数幂的运算性质： 对任意给定的实数, b及正整数s , t，有 （1） ； （2） ； （3） ． 2．整数指数幂 当 时，可以定义 这样,可以证明对任意给定的非零实数及整数，上述幂的运算性质(1)到(3)仍然成立 3.根式 （1）一般地，如果 为大于 1 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根．式子 叫做 的 次根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. 4.有理数指数幂 幂的概念 、 、 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 有理数指幂的运算性质 化简 . 【答案】 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】利用根式及分数指数幂进行运算即得. 【详解】. 故答案为： 1．零指数漏条件（ 需 ）； 2．负指数忘限制（ 需 ）； 3．分数指数误解（公式／非负条件错）； 4．符号混淆（（－a） 与 不分）； 5．运算性质错用（同底数幂乘除、幂的乘方混淆）； 6．负底数无意义（如（－2）＾（1／2）误用）。 知识点02 幂的运算性质 性质 对任意给定的正数及实数有 下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】由根式和指数幂的运算性质逐项判断. 【详解】对A：因为，故错误； 对B：因为无意义，故错误； 对C：因为，故错误； 对D：因为，故正确； 故选：D. 1．同底数幂运算：乘除误将指数乘除（应为加减）； 2．幂／积的乘方混淆： 误写 漏乘因式； 3．忽略零／负指数前提： 未满足 ； 4．符号判断错： 与 不分，负号乘方漏处理； 5．不同底数盲目运算：非同类幂强行套用同底数法则； 6．运算顺序颠倒：混合运算中先算加减再算幂。 知识点03 幂的基本不等式 定理 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过倒数 进行调整；无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过相反数 进行调整．将条件调整到底数大于 1 ，指数大于 0 ，进而应用幂的基本不等式． 1．忽略底数范围：未明确 或 （影响单调性）； 2．底数正负误判：负底数非整数指数无意义，仍套用不等式； 3．单调性反转错：指数为负时，未反转底数大小关系； 4．变量取值漏限：偶次幂／根忽略变量非负要求； 5．函数类型混淆：误将幂函数与指数函数单调性等价； 6．未统一底数／指数：盲目比较不同底数、指数的幂值。 知识点04 对数 1.对数的定义 在 ，且 的条件下，唯一满足 的数 ，称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数 ＂log＂的含义 对于初学对数的同学们来说， ＂log＂这个符号似乎很难理解，但是如果将＂log＂类比成＂＂或者＂＂的运算来看，其实就不难理解．对数运算不过是将运算的符号写在数字的前面，是已知一个底数和它的幂求指数的运算． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…) 为底的对数 3.对数与指数的关系 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ，如 不可转化为对数式． （2）两个式子是同一数量关系的两种不同表现形式，它们互为逆运算． 关于的方程的解集为 ． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 1．忽略定义域：真数 、底数 或底数 ； 2．运算性质误用： 误拆为 ； 3．与指数互化错： 误转 （底数／真数颠倒）； 4．特殊值记忆偏差： ； 5．换底公式错用：漏写分母对数或符号错误； 6．解方程未检验：解使真数／底数不合规未舍去。 知识点05 对数的运算性质 1．两个常用结论 （1）对数恒等式： 且 ． （2） 且 ． 2．对数的运算性质 性质1：当 时， ． 性质2：当 时， ． 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ． 知识点06 对数的换底 1.对数换底公式 当 时， ． （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算及证明. （3）换底公式在实际应用中应当根据已知的条件选择适当的“底”,一般换成以10或e为底的对数. 2.常用推论 推论 ，即 ． 推论 ． 相当于＂约分＂ 推论 3： 可看作运算性质 3 的推广 已知，用的代数式表示 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】由对数的运算性质和换底公式计算可得. 【详解】. 故答案为：. 1．忽略前提条件（ 且 且 ）； 2．公式结构颠倒（分子分母弄反，误写 ）； 3．符号处理失误（含负指数时漏变号）； 4．与对数运算性质混用错误； 5．常用／自然对数换底时公式记混； 6．未检验换底后定义域合规性。 题型一 指数式与对数式的互化（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：牢记互化公式 （前提： 且 ），双向互化是基础。 2．关键条件：互化前需验证底数、真数的取值范围，避免无意义（如真数不能为负，底数不能为 1 或负数）。3．逆用互化：已知对数式求指数式的值（如 ，则 ），或已知指数式求对数式（如 ，则 ）。 4．同构式应用：遇到结构相同的指数式与对数式（如同构式），结合函数单调性（如 与 的单调性），可快速求解参数或代数式值。 【典例1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 【变式2】（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知，则 ．（用m，n表示） 【变式3】（24-25高一上·上海松江·期末）同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 题型二 指数幂的运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心公式： 同底数幂运算： ； 分数指数幂与根式互化： 。 2．化简步骤：先将根式化为分数指数幂，再统一底数，最后按运算法则计算。 3．逆用公式：遇到指数幂的和、积形式，逆用运算法则拆分（如 ），简化计算。 4．参数表示：已知某指数幂的值，用其表示其他指数幂时，需通过指数变形（如配凑指数）建立联系。 【典例2】（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【变式1】已知，用有理数指数幂的形式表示 . 【变式2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 【变式3】（24-25高一上·上海宝山·期末）设，用有理数指数幂的形式表示 ． 题型三 对数的运算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心公式： 运算法则： ； 换底公式： （常用 或 ）。 2．化简原则：先统一底数（优先化为常用对数或自然对数），再利用运算法则拆分、合并，最后求值。 3．逆用法则：将对数的和、差、倍数转化为积、商、幂的对数（如 ），简化复杂表达式。 4．结合互化：遇到对数与指数混合运算，通过互化公式转化为同一种形式（如将指数式化为对数式代入计算）。 【典例3】（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设集合，若，则实数 ． 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，，则 【变式3】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，，则 题型四 对数的运算性质的应用（重点） 解｜题｜技｜巧 1．实际问题建模： 针对震级、大气压强、电池容量等对数／指数模型，先根据题意列出含对数的方程； 利用对数运算性质求解参数（如底数、真数），再代入模型计算日标值。 2．代数式求值：已知对数的具体值，求复杂对数表达式的值时，通过配凑、换底等方式，将表达式转化为已知对数的组合形式。 3．存在性问题：结合函数连续性（如零点存在性定理），判断含对数的方程是否有解，需先化简方程，再分析端点函数值符号。 4．精度处理：实际问题中结果需精确到个位或指定精度时，可利用对数近似值（如 ， ）计算。 【典例4】（24-25高一上·上海长宁·期末）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数．已知海拔为、两地的大气压强分别为、，若测得某地的大气压强为，则该地海拔为（    ）． A．2415 B．2053 C．2871 D．3025 【变式1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，，则（   ）. A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【变式3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设为地震时所散发出来的相对能量程度，里氏震级度量定义为，则7级地震和6级地震的相对能量比值是 .（结果精确到个位） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则用表示为 ． 3．（24-25高一上·上海虹口·期末）计算： . 4．已知，则 （用表示）． 5．（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（    ）． A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数是定义域为的连续函数，是非常值函数，下列两个命题： 命题（1）：若，则成立．() 命题（2）：若且且，则成立．() 则下列选项正确的是（    ）． A．命题（1），命题（2）都正确 B．命题（1），命题（2）都不正确 C．命题（1）正确，命题（2）不正确 D．命题（1）不正确，命题（2）正确 2．（24-25高一上·上海杨浦·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ） A．1.19 B．2.19 C．3.19 D．4.19 3．记，那么 . 4．（24-25高一上·上海虹口·期末）对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. (1)判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由； (2)求证：函数在上存在“漂移点”； (3)若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $