专题03 二次函数全章复习（期末复习讲义）九年级数学上学期沪教版五四制

该初中数学二次函数复习讲义通过思维导图系统构建知识框架，结合对比表格梳理二次函数的概念、图像性质及实际应用，清晰呈现从特殊形式（y=ax²等）到一般式（y=ax²+bx+c）的递进关系，突出顶点坐标、对称轴等核心考点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与解题技巧创新，如平移题型用“顶点追踪法”突破方向与单位判断难点，函数值比大小题型通过距离判定法培养推理意识，实际问题题型结合商品利润案例渗透模型意识。基础通关与重难突破练满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升学生数学思维与应用能力。

专题03 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的概念 1．准确理解二次函数的定义（形如 ， 的整式函数）； 2．能判断给定函数是否为二次函数，并确定参数 a , b , c的值； 3．会根据实际情境列出二次函数表达式 1. 基础必考点，以选择题、填空题为主；2. 分值 2-3 分，考查频率稳定；3. 易错点：忽略的限制条件、混淆函数类型（如与一次函数混淆） 特殊二次函数的图像 1．熟记 的图像形状、开口方向、顶点坐标； 2．能通过平移规律快速画出特殊二次函数的图像； 3．会根据图像特征分析函数的增减性、最值 1.高频考点，小题、解答题均有涉及；2. 分值 3-4 分，常结合图像平移规律考查； 3. 易错点：平移方向 / 单位判断错误、混淆不同形式函数的顶点坐标 二次函数 的图象和性质 1.能将一般式化为顶点式，确定图像的开口方向、顶点坐标、对称轴； 2.熟练分析函数的增减性、最值、与坐标轴的交点； 3. 会根据图像性质解决取值范围、比较函数值大小等问题 1. 重点核心考点，解答题核心模块；2. 分值 6-8 分，常与方程、几何图形综合考查； 3. 易错点：配方过程出错、对称轴公式记错、忽略定义域对函数值的限制 知识点01 二次函数的概念 二次函数 1.函数 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数. 2.二次函数的相关概念 一般地，形如的函数叫做二次函数.其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）为常数，且； (2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 3.二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都能化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般式. 温馨提示： 一个函数若是二次函数，则必须满足：①函数解析式是整式②化简整理后自变量的最高次数是2③二次项系数不等于0.三者缺一不可. 示例 下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 实际问题中二次函数的定义域以及列解析式的一般步骤 1.二次函数的定义域 二次函数的定义域为一切实数.但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义 2.一般步骤 (1) 审题:注意分辨自变量与因变量字母; (2) 找到自变量与因变量之间的关系; (3) 列式并化简:根据等量关系列出函数解析式,将式子展开为关于自变量的一般式,按降幂排列,并注意自变量的取值范围. 注意： 在具体问题中,有时只研究函数解析式.需要研究函数的定义域时,如果未加注意说明,那么函数的定义域由解析式确定;否则,必须指明函数的定义域. 示例 二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 知识点02 特殊二次函数的图像 二次函数y=ax²的图象和性质 1.二次函数的图象 二次函数的图象叫做抛物线. 抛物线是轴对称图形，对称轴是轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线的顶点是原点. 2.二次函数的图象的作法 （1）列表：在二次函数中，自变量可以取任意实数.列表表示几组对应值； （2）描点：根据表中的数值在坐标平面中描点. （3）连线：按照自变量由从小到大的顺序，再用平滑的曲线顺次连接各点，两端无限延伸. 3.二次函数的图象和性质 图象 开口方向与大小 开口向上 开口向下 越大，开口越小 对称性 关于轴对称，对称轴是直线＝0 顶点与最值 顶点坐标是原点(0，0) 当=0时，最小值＝0 当=0时，最大值＝0 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 示例 抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二次函数y=ax²+k的图象和性质 1.二次函数的图象和性质 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（或直线） 顶点坐标 最大（小）值 当=0时，最小值＝ 当=0时，最大值＝ 增减性 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小. 2.二次函数与的图象之间的关系 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 （） 示例 二次函数的顶点坐标是 ． 二次函数y=a（x-h）²的图象与性质 1.二次函数的图象和性质 图象 对称轴 直线（平行于轴或与轴重合） 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小. 最大（小）值 当时， 当时， 2.二次函与的图象之间的关系 向左平移个单位长度, 向右平移个单位长度, 示例 如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1 y2．（填“>”、“=”或“<”） 二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质 1.二次函的图象和性质 函数 图象（抛物线） 顶点坐标 对称轴 直线 顶点位置 当,时,顶点在第一象限;当,时,顶点在第二象限; 当,时,顶点在第三象限;当,时,顶点在第四象限 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小;在对称轴右侧，即当时，随的增大而增大 在对称轴左侧,即当时，随的增大而增大;在对称轴右侧,即当时，随的增大而减小 最值 当时， 当时， 2.二次函数与的图象间的关系 由的图象到的图象具体的平移操作如图所示: 示例 抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 知识点03 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1.用配方法化二次函数解析式为的形式 = = = = ∴抛物线的顶点坐标为，我们把它叫做顶点坐标公式. 2.二次函数图象的两种画法 （1）描点法 ①利用配方法把二次函数化成的形式 ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标 ③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图 (2) 平移法 ①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点 ②作出函数的图象 ③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点 3.二次函数的图象和性质 函数 （,,是常数，） 函数图象 （抛物线） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 如果，当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 如果，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 最值 抛物线有最低点,当时，有最小值, 抛物线有最高点,当时，有最大值, 4.二次函数的图象特征与 a,b,c 的符号之间的关系 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为轴 （,同号） 对称轴在轴左侧 （,异号） 对称轴在轴右侧 图象过原点 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 示例 若抛物线的对称轴是直线，则 ； 二次函数与一元二次函数的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程 的解. 2.二次函数的图象与轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 的取值 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 一元二次方程 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 求抛物线与x轴的交点坐标的方法 （1）已知抛物线的解析式时,转化为解一元二次方程的问题; （2）已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解. 图象法求解一元二次方程 1.方法一 通过求二次函数与轴的交点标从而求出一元二次方程的解. 具体步骤如下： (1)画:在平面直角坐标系中画出二次函数的图象; (2)看:观察图象确定抛物线与轴的交点坐标: (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 2.方法二 通过求抛物线与直线的交点坐标求得一元二次方程的解. 具体步骤如下: (1)画:在平面直角坐标系中画出函数与[或与或与]的图象; (2)看：观察图象，确定抛物线与直线的交点标； (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 提示： 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，由图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 示例 二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．， B． C． D．时，不等式一定成立 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等及之间的关系如下: 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 （或） 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 或 （或） 全体实数 示例 二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图象过点，且，以下结论： ①； ②； ③关于的不等式的解集：； ④若，且，则； 其中正确的结论是 ．    利用二次函数解实际问题的步骤 二次函数与一元二次方程的关系 （1）阅读并理解题意; （2）找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析; （3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式; （4）根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解; （5）检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍. 注意：在实际问题中，自变量的取值范围必须要结合实际意义和已知条件的限定。 示例 某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两间饲养室的宽度为，总占地面积为． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)求饲养室的宽度为多少时，饲养室最大面积多少？ (3)若要使两间饲养室合计占地总而积不低于，求饲养室的宽度的范围． 利用二次函数解实际问题的常见类型 （1）几何图形的最大面积 （2）商品利润最大问题 （3）抛物线形实物及运动轨迹问题 示例 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 题型一 二次函数图象的平移（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：牢记＂左加右减，上加下减＂，针对抛物线顶点式 ，左右平移改变 值（左加右减），上下平移改变 值（上加下减）；一般式需先化为顶点式再平移。 2．顶点追踪法：平移不改变抛物线形状与开口方向，仅顶点位置变化，可先确定原顶点坐标，按平移规则求出新顶点坐标，再写出新抛物线解析式。 3．逆向求解：已知平移后抛物线的对称轴、顶点或经过的点，反向推导原抛物线的相关参数，需注意平移方向的逆向转换（如向右平移 3 个单位的逆向是向左平移 3 个单位）。 【典例1】（2025·上海嘉定·一模）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【变式2】（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【变式3】（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 【变式4】（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 题型二 函数值比大小问题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．先定性质：将二次函数化为顶点式，确定对称轴 和开口方向（ 开口向上， 开口向下）。 2．距离判定法：开口向上时，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大；开口向下时，距离越远，函数值越小。 3．增减性应用：根据对称轴划分区间，判断两点所在单调区间，利用增减性直接比较（如对称轴右侧 随 增大而增大，则横坐标大的函数值大）。 4．对称转化：若两点横坐标关于对称轴对称，函数值相等；不对称时，可找其中一点的对称点，再比较对称点与另一点的函数值。 【典例2】（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数的图象上有两点、，如果，那么、的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】（2025·上海松江·一模）已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”） 题型三 二次函数图象与各项系数符号（重点） 解｜题｜技｜巧 1．系数判定口诀： 定开口： 开口向上， 开口向下； 看对称轴：对称轴 ，结合 的符号判断 （左同右异，即对称轴在 轴左侧， 与 同号；右侧异号）； 观交点：抛物线与 轴交点为 ，交正半轴 ，负半轴 ，过原点 。 2．特殊点代入：利用 时 时 ，结合图象中对应点的位置（在 轴上方或下方）判断式子符号。 3．判别式辅助：抛物线与 轴交点个数由 决定，有两个交点 ，一个交点 ，无交点 。 【典例3】（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式3】（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 题型四 二次函数的图像和性质（难点） 解｜题｜技｜巧 1．解析式互化：熟练将一般式 化为顶点式 ，方便求顶点坐标 和对称轴。 2．交点求解：与 轴交点令 ，解一元二次方程；与 轴交点令 ，直接得 。 3．平移与性质结合：平移后的抛物线性质与原抛物线一致（开口方向、形状），仅顶点和对称轴变化，可通过原性质推导新抛物线性质。 4．参数求解：已知图象上三点坐标，用待定系数法列方程组求 a , b , c ；已知顶点和一点，优先用顶点式求解。 【典例4】（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【变式1】（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 【变式2】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． (1)若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； (3)在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标． 题型五 实际问题与二次函数（难点） 解｜题｜技｜巧 1．建模步骤： 审题：明确自变量、因变量（如时间与距离、水平距离与高度）； 设解析式：根据实际场景选形式（顶点式适用于最值问题，如最高点、最低点；一般式适用于已知三点坐标）； 求参数：代入已知数据（如起点、终点、顶点坐标）求解解析式； 验结果：结合实际意义检验解的合理性（如长度、时间不能为负）。 2．常见模型： 增长率问题：（ 为初始量， 为增长率， 为次数）； 投球／抛物问题：顶点为最高点，落地点为 时的非零解； 图形问题：利用几何图形性质（如正方形边长相等、矩形周长与面积关系）建立函数关系。 【典例5】（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【变式1】（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【变式2】（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 【变式3】（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 题型六 二次函数的对称（重点） 解｜题｜技｜巧 1．对称轴求解： 已知两点 （函数值相等），对称轴为 ； 顶点式中对称轴为 ，一般式中为 。 2．对称点求法：点 关于对称轴 的对称点为 ；关于 轴对称的抛物线，将 换为 即可得解析式。 3．对称性质应用：利用对称性补全抛物线图象，或求对称点的函数值、坐标，简化计算（如求抛物线上某点关于对称轴的对称点是否在图象上）。 【典例6】（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为 ． 【变式1】（上海市嘉定区2024-2025学年九年级上学期期末（一模）数学试题）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【变式2】（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【变式3】（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 题型七 角度问题（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．辅助线构造：常用作垂线（如轴垂线、顶点垂线），将角度转化为直角三角形的内角，利用三角函数（正切、正弦、余弦）建立等量关系。 2．角度转化：通过平行线性质、全等三角形、相似三角形，将所求角度与已知角度关联（如等腰直角三角形的底角为 ，直角三角形两锐角互余）。 3．坐标与角度结合：利用点的坐标计算线段长度（水平距离、垂直距离），再通过三角函数值求角度，或由角度关系推导线段比例。 4．临界情况分析：当角度为特殊角（ ）时，对应线段存在特殊比例关系，可据此列方程求解参数 （如平移距离、点的坐标）。 【典例7】（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【变式1】（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【变式2】（上海市虹口区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一模））如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 【变式3】（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 题型八 面积问题（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．公式法：直接利用三角形（ 底 × 高）、平行四边形（ 底 × 高）等面积公式，结合抛物线与坐标轴交点、顶点坐标确定底和高。 2．割补法：将不规则图形（如抛物线与线段围成的图形）分割为规则图形（三角形、矩形），或补成规则图形求面积差。 3．坐标法：利用坐标公式（如两点间距离公式求底长，点到直线距离公式求高）；对于动点问题，设动点坐标，用含参数的代数式表示面积，再根据题意列方程。 4．平行转化：若四边形为平行四边形，利用对边平行且相等的性质，结合抛物线平移规律，推导参数关系（如顶点坐标变化与平移距离的关系）。 【典例8】（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 【变式1】（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点、、． (1)求该抛物线的表达式及其对称轴l； (2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 题型九 相似三角形问题（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．相似判定：优先找两角对应相等（AA），如直角三角形的一个锐角相等则相似；其次看两边对应成比例且夹角相等（SAS）。 2．坐标与比例结合：利用点的坐标计算线段长度，建立对应边的比例关系（如水平线段长度为横坐标差的绝对值，垂直线段为纵坐标差的绝对值）。 3．辅助线构造：通过作轴垂线、平行线，构造相似三角形的对应角或对应边，将抛物线中的线段比例转化为坐标比例。 4．分类讨论：当相似三角形对应顶点不确定时，需分情况讨论（如哪个角为对应角、哪条边为对应边），避免漏解。 5．结合抛物线性质：利用抛物线的对称性、顶点坐标、增减性，确定线段长度的表达式，为相似比例提供等量关系。 【典例9】（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 【变式2】（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 2．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（上海市虹口区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一模））已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海静安·一模）抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 5．（2025·上海杨浦·一模）已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么 ．（填“”、“”或“”） 6．（2025·上海崇明·一模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 7．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 8．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 9．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 2．（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 3．（2025·上海崇明·一模）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． (1)求该抛物线的表达式： (2)点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边的直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 4．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 5．（上海市黄浦区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（一模）数学试卷）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $（_b4ac- 2a'4a + 顶，点坐 函数 不 开口方向 向下 对称轴 点坐标 b 4ac-b 2a'4a 0,K0，K： 增减性 的增大而增大：当之一名时，y x的增大而增大. x的增大而减小。 最值 有金点2石叶.y跳物线有凝药点，当 有最大值，大 .4ac-b2 4a 4a b2-4ac的取值 b:-4ac>0 b2-4ac=0 62-4ac<0 a>0 二次函数y 有两个交点 ar2+hr+c(a≠0 (0,(,0) 有一个交点。】 无交点 的图象与x轴的交 a<0 A 有两个交点 (3,0,（x2,0） 有一个交点（品 无交点 一元二次方程 有两个不相等的 r2+br+c(a≠0)的实数 实数根 有两个相等的实数根 5=b生vB-4c 没有实数根 二次函数与 名=620 2a 一元二次函 的关系 b2-4ac>0b2-4ac=0 6-4ac<0 二次函数y= ☑ amr2+br+c的图 象与x轴的交点 有一个交点2。) 无交点 不等式 mtt6>0 x<或xx r≠（或x≠》 全体实数 不等式 2+bx+<0 X<x<X 无解 无解 的辉巢 二次函数y 的图 有两个交点 0 (0）,(x2,0 有一个交点〔 无交点 不等式 x<x<x 无解 无解 二次函数与 的图 x<或>x x≠x(或x≠2) 全体实数 一元二次不等 的关系 (1)几何图形的最大面积 (2)商品利润最大问题 (3)抛物线形实物及运动轨迹问题 标 图像和性质 y=ax2+bx 一般式 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 数 二 的 二次函数 的 式 常见类型 实际 问题 特殊二次函数 的 的图像 c(a,b,c是常数，a≠0) y=ax 4>0 a<0 图象 业 术 开口向上 开口向下 开口方向与大小 回越大，开口越小 对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点与最值 项点坐标是原点(0,0)】 当x0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 次函数y=ax2 增减性 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 图象和性质 >0 a<0 0 k<0 k>0 k<0 图 业华长术 开口方向 对称轴 y轴（或直线x=0) 顶点坐标 (0,k) 最大（小）值 当x0时，y最小值=大 当x0时，y最大值=k 当<0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大 次函数y=ax2+k 增减性 当x>0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小 图象和性质 y=a(x-hy a>0 a<0 图象 衣水 对称轴 直线x=h(平行于y箱与y轴重合) 顶点坐标 h.0 增减性 当x<h时，y随x的增大而减小：当x<h时，y随x的增大而增大： >h时。y随x的增大而增大， x>h时，y藏x的增大而减小. 次函数y=a(x-h) 2 最大（小）值 当x=h时，y=0 当x=h时，y大=0 图象与性质 函数 y=a(-2+k(a>0 y=a(x-2+k(a0) 图象（抛物 00 1>0,k>0 1<0,k<0 线) h<0.k>0 h>0,k<0 A<0.k>0 h>0.k<0 顶点坐柯 (伍，) 对称轴 直线x=h 当>0，k>0时，顶点在第一象限：当0，k>0时，顶点在第二象限： 项点位置 当<0，k<0时.顶点在第三象限：当h>0,k<0时，顶点在第四象限 开口方向 向上 向 在对称轴左侧，即当<h时，y随x在对称轴左侧，即当x<h时，y随x的 增减性 的增大而减小：在对称右侧，印当 增大而增大：在对称轴右侧，即当>h 次函数 x>h时，y随x的增大而增大 时，y随x的增大而减小 用性 最值 当x=h时，y强本t=人 当x=h时，y我大=水 专题03 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的概念 1．准确理解二次函数的定义（形如 ， 的整式函数）； 2．能判断给定函数是否为二次函数，并确定参数 a , b , c的值； 3．会根据实际情境列出二次函数表达式 1. 基础必考点，以选择题、填空题为主；2. 分值 2-3 分，考查频率稳定；3. 易错点：忽略的限制条件、混淆函数类型（如与一次函数混淆） 特殊二次函数的图像 1．熟记 的图像形状、开口方向、顶点坐标； 2．能通过平移规律快速画出特殊二次函数的图像； 3．会根据图像特征分析函数的增减性、最值 1.高频考点，小题、解答题均有涉及；2. 分值 3-4 分，常结合图像平移规律考查； 3. 易错点：平移方向 / 单位判断错误、混淆不同形式函数的顶点坐标 二次函数 的图象和性质 1.能将一般式化为顶点式，确定图像的开口方向、顶点坐标、对称轴； 2.熟练分析函数的增减性、最值、与坐标轴的交点； 3. 会根据图像性质解决取值范围、比较函数值大小等问题 1. 重点核心考点，解答题核心模块；2. 分值 6-8 分，常与方程、几何图形综合考查； 3. 易错点：配方过程出错、对称轴公式记错、忽略定义域对函数值的限制 知识点01 二次函数的概念 二次函数 1.函数 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数. 2.二次函数的相关概念 一般地，形如的函数叫做二次函数.其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）为常数，且； (2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 3.二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都能化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般式. 温馨提示： 一个函数若是二次函数，则必须满足：①函数解析式是整式②化简整理后自变量的最高次数是2③二次项系数不等于0.三者缺一不可. 示例 下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（为常数且）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是二次函数，故该选项不符合题意； B． ，不是二次函数，故该选项不符合题意； C． 是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； D． 是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 实际问题中二次函数的定义域以及列解析式的一般步骤 1.二次函数的定义域 二次函数的定义域为一切实数.但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义 2.一般步骤 (1) 审题:注意分辨自变量与因变量字母; (2) 找到自变量与因变量之间的关系; (3) 列式并化简:根据等量关系列出函数解析式,将式子展开为关于自变量的一般式,按降幂排列,并注意自变量的取值范围. 注意： 在具体问题中,有时只研究函数解析式.需要研究函数的定义域时,如果未加注意说明,那么函数的定义域由解析式确定;否则,必须指明函数的定义域. 示例 二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据题意形如的形式叫做y是x的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 知识点02 特殊二次函数的图像 二次函数y=ax²的图象和性质 1.二次函数的图象 二次函数的图象叫做抛物线. 抛物线是轴对称图形，对称轴是轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线的顶点是原点. 2.二次函数的图象的作法 （1）列表：在二次函数中，自变量可以取任意实数.列表表示几组对应值； （2）描点：根据表中的数值在坐标平面中描点. （3）连线：按照自变量由从小到大的顺序，再用平滑的曲线顺次连接各点，两端无限延伸. 3.二次函数的图象和性质 图象 开口方向与大小 开口向上 开口向下 越大，开口越小 对称性 关于轴对称，对称轴是直线＝0 顶点与最值 顶点坐标是原点(0，0) 当=0时，最小值＝0 当=0时，最大值＝0 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 示例 抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． 二次函数y=ax²+k的图象和性质 1.二次函数的图象和性质 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（或直线） 顶点坐标 最大（小）值 当=0时，最小值＝ 当=0时，最大值＝ 增减性 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小. 2.二次函数与的图象之间的关系 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 （） 示例 二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是．据此求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 二次函数y=a（x-h）²的图象与性质 1.二次函数的图象和性质 图象 对称轴 直线（平行于轴或与轴重合） 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小. 最大（小）值 当时， 当时， 2.二次函与的图象之间的关系 向左平移个单位长度, 向右平移个单位长度, 示例 如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1 y2．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小． 【详解】=2时： 时： ∴ 故答案为：< 【点睛】本题考查函数性质，掌握比较方法是关键． 二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质 1.二次函的图象和性质 函数 图象（抛物线） 顶点坐标 对称轴 直线 顶点位置 当,时,顶点在第一象限;当,时,顶点在第二象限; 当,时,顶点在第三象限;当,时,顶点在第四象限 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小;在对称轴右侧，即当时，随的增大而增大 在对称轴左侧,即当时，随的增大而增大;在对称轴右侧,即当时，随的增大而减小 最值 当时， 当时， 2.二次函数与的图象间的关系 由的图象到的图象具体的平移操作如图所示: 示例 抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式的性质是解题的关键． 根据抛物线的解析式，即可求得对称轴，的对称轴为直线，据此求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 知识点03 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1.用配方法化二次函数解析式为的形式 = = = = ∴抛物线的顶点坐标为，我们把它叫做顶点坐标公式. 2.二次函数图象的两种画法 （1）描点法 ①利用配方法把二次函数化成的形式 ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标 ③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图 (2) 平移法 ①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点 ②作出函数的图象 ③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点 3.二次函数的图象和性质 函数 （,,是常数，） 函数图象 （抛物线） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 如果，当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 如果，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 最值 抛物线有最低点,当时，有最小值, 抛物线有最高点,当时，有最大值, 4.二次函数的图象特征与 a,b,c 的符号之间的关系 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为轴 （,同号） 对称轴在轴左侧 （,异号） 对称轴在轴右侧 图象过原点 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 示例 若抛物线的对称轴是直线，则 ； 【答案】2 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】该题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】解：对于二次函数，其对称轴为直线 ， 本题中，函数为 ，因此 ，． 给定对称轴为，代入公式得：， 化简得：， 解得：． 故答案为：2． 二次函数与一元二次函数的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程 的解. 2.二次函数的图象与轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 的取值 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 一元二次方程 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 求抛物线与x轴的交点坐标的方法 （1）已知抛物线的解析式时,转化为解一元二次方程的问题; （2）已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解. 图象法求解一元二次方程 1.方法一 通过求二次函数与轴的交点标从而求出一元二次方程的解. 具体步骤如下： (1)画:在平面直角坐标系中画出二次函数的图象; (2)看:观察图象确定抛物线与轴的交点坐标: (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 2.方法二 通过求抛物线与直线的交点坐标求得一元二次方程的解. 具体步骤如下: (1)画:在平面直角坐标系中画出函数与[或与或与]的图象; (2)看：观察图象，确定抛物线与直线的交点标； (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 提示： 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，由图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 示例 二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．， B． C． D．时，不等式一定成立 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对B进行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与轴的交点的坐标对D进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ， ，所以不符合题意； 抛物线与轴有个交点， ，所以B不符合题意； 由图可知：抛物线的对称轴是直线， ， ，所以C不符合题意； 由对称可知：抛物线与轴的交点为：，，又由图象可知：当时，抛物线位于轴的上方， 当时，不等式一定成立，所以D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等及之间的关系如下: 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 （或） 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 或 （或） 全体实数 示例 二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图象过点，且，以下结论： ①； ②； ③关于的不等式的解集：； ④若，且，则； 其中正确的结论是 ．    【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据对称性可判断②；根据不等式和二次函数图象的交点可判断③；根据抛物线与轴的交点和一元二次方程根与系数的关系即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ， ， 交轴的正半轴， ， ， 故①正确； ，对称轴是直线， 抛物线与轴的交点为， 对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， ； 故②正确； ， ， ， 或； 故③错误； ， ， ， ； 故④正确； 综上，正确结论的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式等，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 利用二次函数解实际问题的步骤 二次函数与一元二次方程的关系 （1）阅读并理解题意; （2）找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析; （3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式; （4）根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解; （5）检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍. 注意：在实际问题中，自变量的取值范围必须要结合实际意义和已知条件的限定。 示例 某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两间饲养室的宽度为，总占地面积为． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)求饲养室的宽度为多少时，饲养室最大面积多少？ (3)若要使两间饲养室合计占地总而积不低于，求饲养室的宽度的范围． 【答案】(1) (2)当时，饲养室的宽度为时，饲养室最大面积 (3) 【分析】（1）设两间饲养室的宽度为，则长为，然后根据可得x的取值范围，最后根据矩形的面积公式即可解答； （2）先将配方，然后根据二次函数的性质和x的取值范围即可求出函数的最值； （3）令求得x的值，然后根据二次函数的性质即可解答 【详解】（1）解：设两间饲养室的宽度为，则长为 ∵ ∴ 由矩形的面积可得： ∴ （2）解：∵， ∴函数图像开口向下 ∴当时，饲养室的宽度为时，饲养室最大面积 （3）解：令可得：，解得：或 ∴要使两间饲养室合计占地总而积不低于，x的取值范围为 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、矩形的性质等知识点，理解题意、灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 利用二次函数解实际问题的常见类型 （1）几何图形的最大面积 （2）商品利润最大问题 （3）抛物线形实物及运动轨迹问题 示例 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 题型一 二次函数图象的平移（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心法则：牢记＂左加右减，上加下减＂，针对抛物线顶点式 ，左右平移改变 值（左加右减），上下平移改变 值（上加下减）；一般式需先化为顶点式再平移。 2．顶点追踪法：平移不改变抛物线形状与开口方向，仅顶点位置变化，可先确定原顶点坐标，按平移规则求出新顶点坐标，再写出新抛物线解析式。 3．逆向求解：已知平移后抛物线的对称轴、顶点或经过的点，反向推导原抛物线的相关参数，需注意平移方向的逆向转换（如向右平移 3 个单位的逆向是向左平移 3 个单位）。 【典例1】（2025·上海嘉定·一模）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位，得到：， ∴新抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【答案】2 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 【变式2】（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次函数图象的平移、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． （2）解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． 【变式3】（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 【答案】(1) (2)向左平移4个单位，再向上平移3个单位 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式； （2）先将原抛物线化为顶点式，求得顶点坐标，然后根据平移的特点，即可写出平移的方法． 【详解】（1）解：抛物线经过点、点、点． ， 解得， 即该抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 的顶点移动到点的位置， 抛物线应向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 故答案为：向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 【变式4】（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点坐标为 令，则， ； （2）解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 题型二 函数值比大小问题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．先定性质：将二次函数化为顶点式，确定对称轴 和开口方向（ 开口向上， 开口向下）。 2．距离判定法：开口向上时，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大；开口向下时，距离越远，函数值越小。 3．增减性应用：根据对称轴划分区间，判断两点所在单调区间，利用增减性直接比较（如对称轴右侧 随 增大而增大，则横坐标大的函数值大）。 4．对称转化：若两点横坐标关于对称轴对称，函数值相等；不对称时，可找其中一点的对称点，再比较对称点与另一点的函数值。 【典例2】（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数的图象上有两点、，如果，那么、的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、二次函数图象与各项系数符号、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将二次函数化成顶点式，得出其对称轴和函数图象开口方向，然后利用二次函数的增减性即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，且二次函数的图象开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·上海松江·一模）已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象的性质判定函数值的大小，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式确定图象开口向上，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越大，再确定两点与对称轴的距离，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴离对称轴直线越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C ． 【变式2】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 【变式3】（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 找出二次函数的开口方向和对称轴，即可根据位置信息求解． 【详解】解：∵ ∴开口向上，有最小值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越小， ∵ ∴ 故答案为：． 题型三 二次函数图象与各项系数符号（重点） 解｜题｜技｜巧 1．系数判定口诀： 定开口： 开口向上， 开口向下； 看对称轴：对称轴 ，结合 的符号判断 （左同右异，即对称轴在 轴左侧， 与 同号；右侧异号）； 观交点：抛物线与 轴交点为 ，交正半轴 ，负半轴 ，过原点 。 2．特殊点代入：利用 时 时 ，结合图象中对应点的位置（在 轴上方或下方）判断式子符号。 3．判别式辅助：抛物线与 轴交点个数由 决定，有两个交点 ，一个交点 ，无交点 。 【典例3】（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A. ∵抛物线开口向下， ∴， ∴A成立，不符合题意； B. ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C. ∵抛物线交y轴正半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D. ∵抛物线过， ∴， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 【变式2】（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 【变式3】（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由抛物线有最高点可知抛物线开口向下，于是可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线有最高点， 抛物线开口向下， ， 解得：， 即：的取值范围是， 故答案为：． 题型四 二次函数的图像和性质（难点） 解｜题｜技｜巧 1．解析式互化：熟练将一般式 化为顶点式 ，方便求顶点坐标 和对称轴。 2．交点求解：与 轴交点令 ，解一元二次方程；与 轴交点令 ，直接得 。 3．平移与性质结合：平移后的抛物线性质与原抛物线一致（开口方向、形状），仅顶点和对称轴变化，可通过原性质推导新抛物线性质。 4．参数求解：已知图象上三点坐标，用待定系数法列方程组求 a , b , c ；已知顶点和一点，优先用顶点式求解。 【典例4】（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【答案】(1)，直线 (2)1或3 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； （2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或1． 【变式1】（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴可得，由此即可得； ②根据二次函数的对称性求解即可得； （2）根据（1）可设二次函数的解析式为，将点代入求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得． 【详解】（1）解：①∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵二次函数的图像与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数的图像与轴的两个交点坐标是和， ∴可设二次函数的解析式为， ∵这个函数图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴它的顶点坐标为． 【变式2】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． (1)若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； (3)在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、已知正切值求边长 【分析】（1）把点代入解析式中即可解出b的值； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，开口向上，由原抛物线在直线的右侧呈上升趋势，得，解得：； （3）先求出，，，，则，，根据建立方程，解得，所以，设，当直线与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示，可证明，得，解得，，可求M点坐标． 【详解】（1）解：将抛物线向上平移2个单位， 新抛物线的表达式， 新抛物线经过点， ， ， 新抛物线的表达式； （2）解：抛物线， 对称轴为直线， 原抛物线在直线的右侧呈上升趋势， ， ， ， ； （3）解：由（1）得， 令，则；令，则，解得或， ，， ∴， 原抛物线与轴的两个交点为点、点， ，， ∴， 则，，且， 即， 解得或7（舍去）， ， 设， 当直线与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，即， ，， ，． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数的图象平移，二次函数的增减性性质，线线垂直问题，线段的倍分关系问题，掌握以上内空并能数形结合分析是解题的关键． 题型五 实际问题与二次函数（难点） 解｜题｜技｜巧 1．建模步骤： 审题：明确自变量、因变量（如时间与距离、水平距离与高度）； 设解析式：根据实际场景选形式（顶点式适用于最值问题，如最高点、最低点；一般式适用于已知三点坐标）； 求参数：代入已知数据（如起点、终点、顶点坐标）求解解析式； 验结果：结合实际意义检验解的合理性（如长度、时间不能为负）。 2．常见模型： 增长率问题：（ 为初始量， 为增长率， 为次数）； 投球／抛物问题：顶点为最高点，落地点为 时的非零解； 图形问题：利用几何图形性质（如正方形边长相等、矩形周长与面积关系）建立函数关系。 【典例5】（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数)、函数解析式 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式1】（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【答案】/ 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 【变式2】（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、根据正方形的性质证明 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点的坐标是，点、恰好在抛物线上，得到，解得，（不合题意，舍去），得到点的坐标是，得到正方形的边长为，即可求出正方形的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上， ∴， ∴可设点的坐标是， ∵点、恰好在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标是， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积是， 故答案为： 【变式3】（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 题型六 二次函数的对称（重点） 解｜题｜技｜巧 1．对称轴求解： 已知两点 （函数值相等），对称轴为 ； 顶点式中对称轴为 ，一般式中为 。 2．对称点求法：点 关于对称轴 的对称点为 ；关于 轴对称的抛物线，将 换为 即可得解析式。 3．对称性质应用：利用对称性补全抛物线图象，或求对称点的函数值、坐标，简化计算（如求抛物线上某点关于对称轴的对称点是否在图象上）。 【典例6】（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为 ． 【答案】/0.6 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】根据得抛物线的对称轴为直线，，抛物线变形为，把代入得；把代入，得到，解答即可． 本题考查了抛物线的对称轴的意义，图象于点的关系，对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是抛物线图象上的点， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴抛物线变形为， 把代入得； 把代入，得， ∴． 故答案为：． 【变式1】（上海市嘉定区2024-2025学年九年级上学期期末（一模）数学试题）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查根据抛物线的对称性求对称轴，找到表格中函数值相同的两个自变量的值，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：当和时，函数值相等， 即：点和关于对称轴对称， ∴对称轴为直线； 故答案为：． 【变式2】（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)证明见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、判断三边能否构成直角三角形、已知抛物线上对称的两点求对称轴、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查二次函数的性质、两点距离公式、勾股定理逆定理等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由表格找出值相等的两个点，再根据对称关系求出对称轴和顶点坐标，进而在观察开口方向； （2）利用两点距离公式求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为， 根据表格可知，顶点坐标为， ∵顶点纵坐标比两侧数值小， ∴开口向上， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）证明：∵抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即为直角三角形． 题型七 角度问题（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．辅助线构造：常用作垂线（如轴垂线、顶点垂线），将角度转化为直角三角形的内角，利用三角函数（正切、正弦、余弦）建立等量关系。 2．角度转化：通过平行线性质、全等三角形、相似三角形，将所求角度与已知角度关联（如等腰直角三角形的底角为 ，直角三角形两锐角互余）。 3．坐标与角度结合：利用点的坐标计算线段长度（水平距离、垂直距离），再通过三角函数值求角度，或由角度关系推导线段比例。 4．临界情况分析：当角度为特殊角（ ）时，对应线段存在特殊比例关系，可据此列方程求解参数 （如平移距离、点的坐标）。 【典例7】（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线的表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． （3）解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解； （3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴； （3）解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2】（上海市虹口区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一模））如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识． （1）点C的坐标为，得到在中，，得到，点A的坐标为，得到，解得； （2）①点B的坐标为，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点P关于x轴的对称点为，得到在直线上，得到，解方程即可得到答案；②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N，证明，求出直线的解析式为，得到，得到，证明，在中，,设，则则，得到，由得到，则，得到，则点H的坐标是，求出直线的解析式为，与抛物线解析式联立得到求出点M的横坐标，即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 在中，， ∴ ∴点A的坐标为， ∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴； （2）①当时，，解得或， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为 ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， 则点P关于x轴的对称点为， ∵在直线上， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴点P的坐标为； ②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N， ∵，， ∴ 设直线的解析式为， 则 解得，     ∴直线的解析式为， ∴， ∵，且点D在抛物线对称轴直线上， ∴， ∵ ∴， 在中，, 设，则则， ∴， ∵， ∴，则 ∴， 则点H的坐标是，即， 设直线的解析式为， 则     解得，     ∴直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得到 解得，（不合题意，舍去） 当时， ∴ 【变式3】（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先求出点，再将点代入，得，解得，可得答案； （2）①先求出新拋物线表达式为，过点作轴，垂足为，得出，可求得，，从而得出，再将点代入，即可求解； ②分两种情况：Ⅰ．当点在线段的延长线上时，Ⅱ．当点在射线上时，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过直线上的点 点在第四象限， 设点，由，得点， 将点代入，得，解得， 得该抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线， 新拋物线表达式为， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，， ， ， 点， 将点代入， 解得； ②设直线与新抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为， 点的坐标为 ， 直线平行于轴， ， ， ， ， 分两种情况： Ⅰ．当点在线段的延长线上时， ， ， ， ， 点的坐标为， Ⅱ．当点在射线上时， ， ， 点在的延长线上， 在直线上取点， 同理可得 ， ， ， ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角及相似三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型八 面积问题（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．公式法：直接利用三角形（ 底 × 高）、平行四边形（ 底 × 高）等面积公式，结合抛物线与坐标轴交点、顶点坐标确定底和高。 2．割补法：将不规则图形（如抛物线与线段围成的图形）分割为规则图形（三角形、矩形），或补成规则图形求面积差。 3．坐标法：利用坐标公式（如两点间距离公式求底长，点到直线距离公式求高）；对于动点问题，设动点坐标，用含参数的代数式表示面积，再根据题意列方程。 4．平行转化：若四边形为平行四边形，利用对边平行且相等的性质，结合抛物线平移规律，推导参数关系（如顶点坐标变化与平移距离的关系）。 【典例8】（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线过 ， 得 抛物线的表达式为：． （2）∵点， ， ， ∵，， ，，， ， ， ． 【变式1】（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点、、． (1)求该抛物线的表达式及其对称轴l； (2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 【答案】(1)，直线 (2)24 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与三角形面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式． （1）直接利用待定系数法求函数解析式，利用对称轴公式求对称轴即可； （2）过点B作，垂足为点H，先求出，继而求出，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、三点， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为． ∵ ∴抛物线的对称轴l为直线； （2）解：过点B作，垂足为点H． ∵点A与点D关于对称轴l对称，又点， ∴， ∴轴，． ∵， ∴． ∴． 题型九 相似三角形问题（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．相似判定：优先找两角对应相等（AA），如直角三角形的一个锐角相等则相似；其次看两边对应成比例且夹角相等（SAS）。 2．坐标与比例结合：利用点的坐标计算线段长度，建立对应边的比例关系（如水平线段长度为横坐标差的绝对值，垂直线段为纵坐标差的绝对值）。 3．辅助线构造：通过作轴垂线、平行线，构造相似三角形的对应角或对应边，将抛物线中的线段比例转化为坐标比例。 4．分类讨论：当相似三角形对应顶点不确定时，需分情况讨论（如哪个角为对应角、哪条边为对应边），避免漏解。 5．结合抛物线性质：利用抛物线的对称性、顶点坐标、增减性，确定线段长度的表达式，为相似比例提供等量关系。 【典例9】（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)点坐标为 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （3）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （3）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 【答案】(1)a (2)①；②或 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由，即可求解； （2）①证明，得到，，即可求解； ②证明为等腰直角三角形，且与相似，则为等腰直角三角形，进而求解． 【详解】（1）解：设点A、B的坐标分别为：，， 由抛物线的表达式知，点， 则； （2）解：①，且，则为等腰直角三角形，设点， 过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则，， 即且， 整理得：，则， 故抛物线的表达式为：； ②由点A、B的坐标得：， 解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 由得：，即点； ∵，且， 则为等腰直角三角形， ∵与相似，则为等腰直角三角形， 过点A作轴于点M，则点， 则， 故当点E和点M重合时，即点，符合题意； 如图，取，则为等腰直角三角形， 即点符合题意， 综上，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，解直角三角形，求抛物线解析式等知识点，数据处理是解题的关键． 【变式2】（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①  ② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键． （1）函数关系式化为，然后计算解题； （2）先求出点的横坐标为：，点的横坐标为：，①过点B作轴于点E，即可得到，然后代入计算即可； ②由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为，过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N，易证，得到，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 令，解得，， 当 时，，当时，， 即点、的坐标分别为； （2）解：由抛物线的表达式可得点的横坐标为：，点的横坐标为：， ①如果，如图，过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； ②当 时，如图， 由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为， 过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 化简得， 解得或， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：， ∴抛物线有最高点，最高点的坐标是； 故选：C． 2．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得 函数开口向下，则，故A错误； 顶点在y轴右侧，则，故B正确； 图象与y轴交点在y轴正半轴，则，故C错误； 当时，，则，故D错误； 故选：B． 3．（上海市虹口区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一模））已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为抛物线，则函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵、和都在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 4．（2025·上海静安·一模）抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴， 解得，， 故答案为： ． 5．（2025·上海杨浦·一模）已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象与性质可知抛物线对称轴为直线，结合二次函数的图象开口向上可知，当时随的增大而减小，然后由即可得出答案． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 二次函数的图像开口向上， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 6．（2025·上海崇明·一模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据抛物线的平移规律：“左加右减”的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 7．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象，根据题意，抛物线的开口向下，可得，求出，即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．根据抛物线在轴右侧的部分是下降的，确定其开口方向和对称轴所在位置，然后根据经过的点的坐标确定解析式即可． 【详解】解：抛物线在轴右侧的部分是下降的， 抛物线开口向下，且对称轴为轴或在轴的左侧， 设抛物线的解析式可以为， 抛物线经过， 抛物线的解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论． 本题考查了轴对称，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 【详解】解：设抛物线上一个点坐标为，其关于y轴的对称点为， 则，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先由对称轴求出的值，再把点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为，当的图象的对称轴右边图象过点时，有，解得：；当的图象的对称轴左边图象过点时，有，解得：，从而可知； ②如图1所示，作，设，新抛物线可设为，故，证明，再利用三线合一性质说明，当时，即时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据，解出的值即可得解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为． （2）解：抛物线表达式为， 故，． ①当点在轴上时，新抛物线的解析式可设为， 当的图象的对称轴右边图象过点时，有， 解得：，（舍去）； 当的图象的对称轴左边图象过点时，有， 解得：，（舍去）． 故的取值范围为； ②如图1所示，作， 设，且点为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线， 则新抛物线可设为，又点横坐标为2， 则，故， ， ， ，从而知为中垂线， ，由三线合一性质可得：， 当时，即时，满足题意． 故， ， 即，故， 故． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． 2．（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【答案】(1)0 (2)这个不动点是 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算、待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解 【分析】（1）令，得，得，进而得，代入解析式得得，从而得，再把代入解析式即可得解； （2）由得：，根据函数有唯一的不动点得或．把代入，得，求解即可； （3）分和利用解直角三角形，旋转的性质及二次函数的图像及性质即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ． 代入解析式得得 ∴ 当时 当时，． （2）解：由得： ∵有唯一的不动点 解得：（舍）或． 当时， ∴， 这个不动点是． （3）解：①当时，如图 由旋转可得，， ， ∴ ， ②当时，如图，过作于点， 由旋转得， ∴， ，， ∴ 解得， ． 故二次函数解析式为或， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形及性质，一元二次方程根的判别式，解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握二次函数的图形及性质是解题的关键． 3．（2025·上海崇明·一模）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． (1)求该抛物线的表达式： (2)点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边的直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由抛物线经过点，，，再建立方程组解题即可； （2）①作轴，垂足为．由题意可得，证明  ，再建立方程求解即可；②作轴于，轴于，证明，可得，设，再进一步解答即可. 【详解】（1）解： 抛物线经过点，，， ，解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ，   ， ，   ， ， 即， 解得，经检验符合题意； ②作轴于，轴于， ， ，   ， 又 ， ， ， 设， 由，   ， ， ， 整理得：， ， . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键. 4．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①连接，过点作直线，根据对称性结合直角三角形斜边上的中线推出为等边三角形，在中，求出的长，进而得到的长，即可得出点的横坐标； ②在中，利用锐角三角函数求出的值，进而求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得：， ∴； （2）①∵， ∴对称轴为直线， ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∵与抛物线的对称轴交于点， ∴为的中点， 连接，过点作直线， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵直线，且点到抛物线对称轴的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：； ②设点到抛物线对称轴的距离为，则点的横坐标为， ∴点的纵坐标为：， 由①可知：点的横坐标为：，则：点的纵坐标为：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：． 5．（上海市黄浦区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（一模）数学试卷）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2)①该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；②． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移 【分析】（1）化成顶点式，可求得顶点P的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （2）①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为，得到新抛物线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式，推出直线与直线重合，得到，由题意得到，利用勾股定理列式计算求得，据此即可求解； ②根据题意求得点的坐标为，根据被y轴平分，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点D的坐标为； （2）解：①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为， ∵， ∴新抛物线的解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵顶点落在线段的延长线上， ∴直线与直线重合， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ， ， 即， 解得， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位； ②当时，， 解得， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为， ∴点的坐标为， 又∵，且被y轴平分， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴原抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数平移后解析式的变化情况以及勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $