第二十六章 二次函数（知识清单）数学沪教版五四制九年级上册

第二十六章 二次函数 1.二次函数的概念： 一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.它的定义域为一切实数． 2.二次函数的图象与性质 ①函数y=ax2的图象与性质：抛物线y=ax2（其中a是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x=0；顶点是(0,0)．抛物线的开口方向由a的符号决定，当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，代表有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，代表有最大值．表格表示如下： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 向上 (0,0) y轴 x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0． a<0 向下 (0,0) y轴 x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0． ②y=ax2+c的性质： 抛物线y=ax2+c（其中a、c是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x=0；顶点坐标是（0，c）.抛物线的开口方向由所取之的符号决定，当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，即有最大值．表格表示如下： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 向上 (0,c) y轴 x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c． a<0 向下 (0,c) y轴 x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c． ③y=a(x-h)2的性质：抛物线y=a(x-h)2（其中a、h是常数，且a≠0）的对称轴是过点（h，0）且平行（或重合）于轴的直线，即直线x=h；顶点坐标是（h，0）．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，即有最大值．表格表示如下： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 向上 (h,0) x=h x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0． a<0 向下 (h,0) x=h x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0． ④y=a(x-h)2+k的性质：抛物线y=a(x-h)2+k（其中a、h、k是常数，且a≠0）的对称轴是过点（h，0）且平行（或重合）于轴的直线，即直线x=h；顶点坐标是（h，）．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，即有最大值．表格表示如下: a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 向上 (h,k) x=h x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k． a<0 向下 (h,k) x=h x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k． ⑤抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的对称轴是直线，顶点坐标是()，与轴交点为（0，）.当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点,即有最大值．表格表示如下: 函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0） 图象 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 () () 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 3.二次函数图象的平移 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2(a≠0)的图象平移而得.在平移时，图象的形状、大小由 a 决定，即a不变，抛物线的大小、形状皆不变，只有顶点坐标中的h或k发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿x轴平移，上、下沿y轴平移，即 y=ax2通过上（下）平移个单位得到y=ax2+k,再通过左（右）平移得到y=a(x-h)2+k. 所以，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要将抛物线的解析式为顶点式，得到顶点坐标，再根据上下、左右平移规律解决与平移有关的问题， 温馨提示：①a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.②理解并掌握平移的过程具体平移方法，可直观表示如下： 平移规律：“左加右减，上加下减”． 4.二次函数与一元二次方程 ①当△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实根，二次函数的图象与x轴有两个交点。 ②当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根,二次函数的图象与x轴有且只有一个交点。 ③当△=b2-4ac<0时，方程没有实根,二次函数的图象与x轴没有交点。 这对应着一元二次方程的根的三种情况:①没有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. 5.待定系数法求二次函数解析式 根据所给的条件灵活选择三种表达形式求抛物线的解析式: (1)已知三点坐标时，常设解析式为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)； (2)已知顶点(或最值)时，常设抛物线的解析式为顶点式y=a(x+h)2+k(a≠0); (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为(x1,0)(x2,0)时，常设抛物线的解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2). 6.二次函数解析式的几种形式 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 顶点在原点：y=ax2(a≠0) 过原点：y=ax2+bx(a≠0) 顶点在y轴：y=ax2+c(a≠0) 7. 求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方转化为成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：由顶点坐标（-），可得： 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=时，函数有最大值，且 8.二次函数的应用 1.审清题意，分析题中所涉及的量，已知量、变量有几个，搞清楚已知量与变量之间的关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位是否对应正确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，可利用利润、面积、周长等相关公式列出二次函数。 4.求结果，根据题目要求，结合二次函数的相关性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否正确：即是否是准确求值或是否符合实际生活。 6.作答结论。 1. 易错：对称轴与x=0的本质去分不清楚。 注意：抛物线是直线x=0. 2. 易错：误认为对称轴是直线x=c。 注意：对称轴依然是直线x=0，顶点坐标为（0，c）． 3. 易错：易将开口方向与a、h混淆。 注意：开口的方向与大小只与二次项系数a的值或绝对值有关. 4. 易错：认为对称轴是直线x=m，顶点坐标为（m，k）。 注意：对称轴是直线x=-m，顶点坐标为（-m，k）。 5. 易错：易根据一般式得到函数的对称轴为直线x=b或最值。 注意：需要进行配方转化为才可得到正确的结论。 6.二次函数图象的平移 易错：平移不改变抛物线的形状和大小，与a的值无关，记错平移规律。 注意：需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律“左加右减，上加下减”进行变化。 7. 二次函数与一元二次方程 易错：根的判别式可用来判断一元二次方程根的三种情况，方程没有根不能决定二次函数有没有最值。 注意：一元二次方程根的判别式小于0，二次函数依然存在最值。 8. 待定系数法求二次函数解析式 易错：几种解析式的设法易混淆，带来更多的计算量是，甚至求解不出正确的结论。 注意：根据所给信息设出正确的解析式。 9.二次函数的应用 易错：忽略自变量的实际取值范围，混淆函数的最值与实际值的区别。 注意：求解时结合实际意义进行判断. 题型一　二次函数的概念 1．下列函数中，二次函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、是一次函数，故不符合题意； B、是二次函数，故符合题意； C、不是二次函数，故不符合题意； D、是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 2．如果的图像是抛物线，那么 ． 【答案】 【解析】解：∵的图像是抛物线， ∴且， 解得：； 故答案为： 3．已知二次函数，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y= ． 【答案】8 【解析】解：当x=-1 ，y=2时，，，∴， 当x=2时，． 故答案是：8． 4．若是二次函数，则a的值为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意可得 ， 则， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 针对训练： 1．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A. 不符合二次函数的定义，不是二次函数； B. 是一次函数，不是二次函数； C. 不符合二次函数的定义，不是二次函数；     D. 符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 2．把变成一般式，它的常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【解析】解： ， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 3．二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 4．抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． 题型二　y=ax2图象图象与性质 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：C 2．抛物线的开口方向是 ． 【答案】向上 【解析】解：∵在中，， ∴抛物线的开口方向是向上． 故答案为：向上． 3．函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）解：把代入可得： 点的坐标为 把代入可得： ，； （2）解：由（1）可得， 抛物线开口向下，且对称轴为轴， 当时，随的增大而增大． 针对训练： 1．下列各点在抛物线上的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在抛物线上． B.4≠2×4，故（2，4）不在抛物线上． C.8=2×4，故（2，8）在抛物线上． D.16≠2×4，故（2，16）不在抛物线上． 故选：C． 2．函数与的图象关于 轴对称，也可以认为是函数的图象绕 旋转 得到的． 【答案】 原点 /180度 【分析】由函数与的图像开口方向相反，顶点坐标为原点即可求解． 【解析】如图所示，在平面直角坐标系中画出函数与的图像，    由函数与的图像开口方向，顶点坐标可得， 函数与的图像关于轴对称， 也可以确定函数的图像是由函数的图像绕原点旋转得到， 故答案为：，原点，． 3．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【答案】(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 【解析】（1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 题型三　y=ax2+k 1．二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：D． 2．二次函数与y轴交点的纵坐标为3，则k的值为（  ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【解析】解：∵与y轴交点的纵坐标为3， ∴在函数图象上，代入解析式的：， ∴； 故选D． 3．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【答案】D 【解析】解：根据二次函数的图象与性质可知： 抛物线的对称轴是直线，即轴， 故选：． 18．如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可得出的取值范围． 【解析】解：∵抛物线的顶点是它的最高点， ∴二次函数的图像开口向下，且函数值有最大值． ∴． 故答案为：． 针对训练： 1．抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是 ． 【答案】． 【解析】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反， ∴， ∵顶点坐标是， ∴， 故答案为：． 2．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：抛物线的顶点坐标是， 故选B． 4．如果点和点是抛物线上的两点，那么 ．（填“＞”、“＝”、“＜”）． 【答案】 【解析】解：， 抛物线的对称轴是直线，抛物线的开口向上，当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 5．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：或． （2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且， ∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴，解得 ∴． 题型四　y=a(x-h)2 1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 2．已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】解：将，代入， 得：，， ∴． 故选A． 3．如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵二次函数的开口方向向下， ∴， 故答案为：． 4．如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 针对训练： 1．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．开口向下 B．图像不经过第一象限 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 【答案】D 【解析】解：A、∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，即， ∵第一象限的横纵坐标都为正， ∴该抛物线不经过第一象限，故该选项正确，不符合题意； C、∵抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧的部分是下降的，故该选项正确，不符合题意； D、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，故该选项错误，符合题意， 故选D． 2．若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵二次函数y=a（x+1）2中a＞0， ∴开口向上，对称轴为x=-1， ∵-3＜-2＜-1， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 3．已知抛物线开口向上，对称轴是直线，抛物线上两点坐标为（2，），（4，），那么 ．（填“>”或“<”） 【答案】 【解析】解：抛物线开口向上，对称轴是直线， 时，随增大而减小， ． 故答案为：． 4．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 题型五　y=a(x-h)2+k 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【解析】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 2．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．在时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】解：A、，抛物线的开口向下，则该选项错误，故不符合题意； B、顶点坐标为，则该选项错误，故不符合题意； C、对称轴是直线，则该选项正确，故符合题意； D、当时，随的增大而减小，则该选项错误，不符合题意； 故选：C 3．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【解析】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 4．若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限． 【答案】三与四 【解析】解：二次函数不经过第三象限， 抛物线顶点坐标为，顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、四象限，开口向上， 平移后新抛物线的顶点坐标在轴上， 新抛物线不可能经过第三、四象限， 故答案为：三与四． 针对训练： 1．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 2．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 【答案】C 【解析】 ， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴时，随增大而减小，对称轴右侧的部分是下降的， 把代入得 ∴抛物线经过， 故选：C． 3．若、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是 用“”表示． 【答案】 【解析】解：由题意知，，，， ∴， 故答案为：． 4．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值为， ∴． 题型六　y=ax2+bx+c 1．关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．与轴交于正半轴 C．对称轴在轴左侧 D．不经过第一象限 【答案】B 【解析】解：∵，∴图象开口向下，故选项 A正确，不符合题意； 令，即，∴与轴的交点坐标为，即交于轴的 正半轴，故选项B正确，不符合题意； ，所以对称轴在y轴的左侧，故选项 C正确，不符合题意； 令时，，解得：，，故与轴的交点，，又知道与轴的交点坐标为，所以图象一定经过点第一象限，故选项D错误，符合题意； 故选：D 2．若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 3．如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 解得， 故答案为：． 4．如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是 ． 【答案】 【解析】解：根据抛物线的顶点坐标公式可得抛物线的顶点的 横坐标为， 纵坐标为， ∴， ∴抛物线的“顶线”是． 故答案为：． 针对训练： 1．已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（   ） A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线 C．该函数图像在轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的 【答案】C 【解析】解：二次函数，则顶点为， 该函数图象有最高点，故选项A错误， 该函数图像对称轴为直线，选项B错误； 该函数图象在轴下方，故选项C正确； 该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误； 故选：C． 2．已知函数，若函数在上的最大值是，则的值为 ． 【答案】或 【解析】解：对称轴为直线， ①时， ∵， ∴函数在上，随的增大而减小， ∴当时，， 解得：或（舍）； ②当时，则， 此时当时，函数有最大值，则， 解得：； 当时，即， ∵， ∴函数在上，随的增大而增大， ∴当时，， 解得：（舍）， 综上：的值为或， 故答案为：或． 3．已知：二次函数的图像经过原点，求m的值，并写出函数解析式． 【答案】函数解析式为 【解析】解：令x=0，y=0，得，，， ∵是二次函数，∴二次项系数不能为零，即，，∴， 将代入原函数，得， 综上：，函数解析式为． 题型七　二次函数图象与各项系数符号 1．如果抛物线经过第一、二、三象限，那么常数、的符号是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】解：由题意得，二次函数经过原点可知，， 如图所示，函数图象经过第一，二，三象限， ∴抛物线开口向上，故， ∴对称轴在轴的负半轴， ∴， ∴． 故选：A． 2．抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】解：由图像可知，，， ∵其顶点坐标为， ∴对称轴为，， ∴，则， ∴，故①正确； 由对称轴可知关于对称轴对称的点坐标为， 由图像可知，， ∴，故②错误； ∵，， ∴为任意实数时，，故③正确； ∵， ∴的解，即为交点的横坐标， 当时，， ∵，图像向右下方倾斜，如图， ∴，有两个不同的交点， 即有两个不相等的实数根，故④正确； 故正确的有①③④，共3个， 故选：C． 3．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 针对训练： 1．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：∵根据抛物线开口方向向上，对称轴为 ∴，，即，故①错误； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴，即，故②错误； 由函数图像可知：当时，函数值小于0，即，故③正确； 根据抛物线与x轴有两个交点，可知； 综上，正确的有③④；共2个． 故选B． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论： ①abc＞0； ②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3； ③2a+b＝0； ④4a2+2b+c＜0， 其中正确结论的序号为 ． 【答案】②③． 【解析】由图象可知，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，所以abc＜0，因此①是错误的； 当y＝0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c＝0的两根，由图象可得x1＝﹣1，x2＝3；因此②正确； 对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0；因此③正确， ∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0， ∴4a2+2b+c＞0，因此④是错误的， 故答案为：②③． 3．如果抛物线 y=（k+1）x2﹣2x+3 的开口向上，那么 k 的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：∵抛物线y=（k+1）x2-2x+3的开口向上， ∴k+1＞0， 解得k＞-1． 故答案为：k＞-1． 题型八　一次函数与二次函数综合 1．函数与在同一个平面直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：当时，，函数经过原点，故A不符合题意； B、对于，则，， 而对于的对称轴，开口向上，则，故B不符合题意； C、对于，则，， 而对于的对称轴，开口向下，则，故C符合题意； 同理，D不符合题意； 故选：C． 2．已知一次函数的图象如下，则函数的图象可能是（    ）    A．  B．  C．  D．   【答案】B 【解析】解：由一次函数的图象可得：， ∴函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴排除A、C选项； 函数的图象的对称轴， ∴函数的图象的对称轴与x轴的交点在x轴的负半轴， ∴只有B选项符合题意， 故选：B． 3．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】解：根据二次函数的图象可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 针对训练： 1．在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 2．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：对称轴为直线， 时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点，一次函数经过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点， 时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点，一次函数经过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点． 故选：D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过 象限． 【答案】第一 【解析】解：由抛物线开口向上可知 抛物线与轴交于正半轴， 抛物线的对称轴在轴右侧 ，得 则直线中，，它经过二、三、四象限，即不经过第一象限 故答案为：第一 4．直线与抛物线的交点坐标是 ， ． 【答案】 【解析】解：联立两函数的解析式有：，解方程组，得或； 则直线与抛物线的交点坐标是，． 故答案为：，． 题型九　反比例函数与二次函数 1．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣k图象的选项是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大， ∴k＜0， ∴二次函数y＝2kx2﹣x﹣k中，2k＜0，则图象开口向下， ﹣k＞0，则图象与y轴交在正半轴上， 又∵b＝﹣1＜0， ∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧， 符合题意的只有选项D． 故选：D． 2．同一坐标系中，反比例函数与二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、 三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在原点的下方，四个选项都不符合； 当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、 四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在原点的上方，只有D选项符合， 故选：D． 3．反比例函数与二次函数的图像的交点个数为 ． 【答案】3个 【分析】根据数形结合的思想进行判断即可； 【解析】，画出图像如图所示： 即可得到有三个交点． 故答案是3． 针对训练： 1．如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】B 【解析】解：观察函数图象，可知当时，或， 故选：B． 2． 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 【答案】或 【解析】解：不等式 可以转化为不等式， 根据函数图像可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 3．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【答案】(，0) 【解析】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求， ∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6）， ∴点B（3,3）， ∴ 解得， ∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2 ∴点A的坐标为（2,2）， ∴点A＇的坐标为（2，-2）， 设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n ∴ ∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12, 令y=0,则0=5x-12得x=, 故答案为（） 题型十　待定系数法求二次函数表达式 1．一抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ， 顶点为， 抛物线解析式为． 故选：C． 2．已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：当时，， ， 当时，， 即， 时，； 当时，，当时，， 即，， 解得：，， 对任意实数，恒有， 恒成立， 即， ， 即， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 故选：B． 3．已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【解析】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 针对训练： 1．已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设 把，，分别代入得 ， 解得， ∴该函数的解析式是：， 故选：A 2．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 【答案】C 【解析】解：∵点，在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线． 设抛物线的解析式为，将，分别代入， ， 可解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的． 将代入，得． 故选C． 3．已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】解析式为；开口向下；顶点为；对称轴为直线 【解析】解：∵二次函数的图像经过点、和， ∴ 解得： ∴该函数解析式为：， ∵， ∴图像开口向下； ∵， ∴顶点为，对称轴为直线． 题型十一　二次函数的平移 1．将抛物线沿x轴方向向右平移2个单位后得到的抛物线的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：将抛物线沿x轴方向向右平移2个单位，所得到的抛物线解析式为． 故选：D． 2．抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 3．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 4．函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为 ． 【答案】 【解析】解：当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵函数的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线， ∴，， ∴平移后抛物线的解析式为， 即． 故答案为：． 5．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【解析】解：∵原抛物线为，沿轴向右平移个单位长度， ∴根据“左加右减”原则，把变为， ∴得到新抛物线表达式为， 即． 故答案为：． 针对训练： 1．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线即的图象， 故选：C． 2．在同一坐标平面将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在同一坐标平面将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后， 得到新抛物线的解析式为． 故选：D． 2．将抛物线的图像向左平移2个单位后，发现新的抛物线的图像经过原点，则新抛物线的对称轴为直线 . 【答案】 【解析】解：抛物线的图像向左平移2个单位后的解析式为， ∵新的抛物线的图像经过原点， 令，解得或， ∴对称轴为直线， 故答案为：. 题型十二　二次函数与坐标轴的交点 1．抛物线与x轴的一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：抛物线与x轴相交，则， 解得：或， 抛物线与x轴的交点坐标有：，， 故选：B． 2．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 3．抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 针对训练： 1．抛物线与轴交点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：当时，， 即与y轴交点的纵坐标为， 故选：A． 2．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解： 的对称轴为， ，关于直线对称 ∴A点的坐标是， 线段的长度； 故选：D． 3．已知与x轴、y轴正半轴分别相交于A、B两点，若M是抛物线在第一象限内的动点，则的最大值为（   ） A． B．7 C．6 D． 【答案】D 【解析】当时，；令，则，解得：（舍去），， ∴与正坐标轴的交点分别为， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， 若使最大，M到直线的距离最大， ∴设经过点M且与直线平行的直线解析式为， 则对于方程，即有解， 有：， 解得，即时，最大， ∴； 故选：D． 题型十三　增长率问题 1．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：设两次的平均降价率为x，根据题意得， ， 故选：C． 2．由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得： y与x之间的函数关系为：． 故答案为． 3.某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】 【解析】解：根据题意得：． 故答案为：． 针对训练： 1．据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为， 2021年的蔬菜产量为， ∴， 故答案为： ． 2. 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 3．印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式 ． 【答案】 【解析】根据题意，得y关于x的函数解析式为：． 故答案为： 4．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解析式是 ． 【答案】或 【解析】解：设增长率为x，则 五月份的营业额为：， 六月份的营业额为：； 故答案为：或. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“”． 题型十四　营销问题 1．某超市销售某款商品每天的销售利润（元）与单价（元）之间的函数关系式为，则销售这款商品每天的最大利润为（    ） A．125元 B．150元 C．175元 D．200元 【答案】B 【解析】解：∵，且，开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值， ∴销售这款商品每天的最大利润为150元， 故选：B． 2．某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降 元． 【答案】5 【解析】解；设利润为W元，销售单价降价x元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大， ∴为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降5元， 故答案为：5． 3．某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：设一次函数的一般表达式，将，代入得： ， 解得：，， 故每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式为：． （2）解：每件商品的利润为：， 所以每天的利润为：， ∵， ∴在元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加． 针对训练： 1．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件， ∴， 故选D． 2．某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价 元时，可获得最大利润 【答案】 15 1250 【解析】解：设裙子降价x元，利润为w元，由题意得： ， ∴-2＜0，开口向下， ∴当时，w有最大值，最大值为1250， ∴当裙子降价15元，可获得最大利润为1250元； 故答案为15，1250． 3.暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【答案】(1)（，且是整数） (2) (3)电影票价要定在每张87元 【解析】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是（，且是整数） （2）解：由题意可得，， 即与之间的函数关系式是； （3）解：由（2）知：， 当时，则， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故电影票价要定在每张87元． 题型十五　二次函数与图形问题 1．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（    ） A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【解析】解：设苗圃的一边长为米，面积为， 根据题意得， ∵墙最大可用长度为米 ∴，即 当时，随的增大而减小， ∴当时，最大为平方米 故选：D． 2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 3．如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 【答案】 【解析】解：设的长度为，则， 由题意得，， 故答案为：． 针对训练： 1．将一张边长为的正方形纸片的四个角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当取下面哪个数值时，长方体的侧面积最大（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：依题意设侧面积为； ∴， ∵， ∴有最大值，当时，面积最大， 故选：B 2．如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）． 【答案】 【解析】解：∵剪去小正方形的边长为， ∴折叠成的盒子的底面长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 3．如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边的长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． (1)当米时， ___________米， ___________平方米； (2)求S与x之间的函数表达式； (3)围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)40，400； (2)； (3)围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15． 【解析】（1）解：当米时，米，， 平方米， 故答案为：40，400； （2）解：由题意得：， ，， ，， 解得：， S与x之间的函数表达式为； （3）解：， ， 当时，S取得最大值，最大值为450， 即围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15． 题型十六　与投球有关的应用 1．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ） A．1米 B．2米 C．4米 D．5米 【答案】C 【解析】试题分析：令y=3.05得：﹣（x﹣2.5）2+3.5=3.05，解得：x=4或x=1.5（舍去）． 所以运行的水平距离为4米．故选C． 考点：二次函数的应用． 2．体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【答案】 【解析】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 3．“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）． 【答案】小杰这次掷铅球的成绩为米 【解析】解：由题意得：， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令，得， 解得：或（舍去） ∴米， 答：小杰这次掷铅球的成绩为米． 针对训练： 1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ） A．1米 B．3米 C．5米 D．6米 【答案】D 【解析】解：因为， 所以小球到达最高点时距离地面的高度是6米， 故选D 2．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 【答案】4 【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 3．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小丁站在距篮圈中心水平距离处的点跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式； ③已知篮网长，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”“三不沾”） (2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m 【答案】(1)①见解析②3.6米；③擦网而过 (2)2.075 【解析】（1）解：①描点，连线，作出函数图象， ②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米， 由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴y与x满足的函数解析式为； ③当时，， 又 而， ∴小石第一次投篮练习擦网而过； 故答案为：擦网而过； （2）解：根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位， 则第二次篮球运行的抛物线解析式为， ∵第二次篮球运行的抛物线经过， ∴， 解得， ∴米， 答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高2.075米． 故答案为：2.075． 题型十七　喷水问题 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（    ） A．20米 B．18米 C．10米 D．8米 【答案】A 【解析】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为 令，解得（负值舍去） 即， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 2．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是，那么水珠达到的最大高度为 米． 【答案】6 【解析】解：∵ =， ∵ ∴抛物线开口向下，有最大值， 又 ∴时，y取最大值6， 即水珠的高度达到最大6米， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式． 3．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？ 【答案】2米；6米． 【解析】解：由题意得，， 又因为， 所以当时，， 答：当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米，最大高度是6米． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二次函数最值的方法． 针对训练： 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【答案】B 【解析】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，解得（负值舍去） 即， ． 故选：B． 2．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是 米． 【答案】 【解析】∵， ∴时，y取最大值， 即水珠的高度达到最大米时，水珠与喷头的水平距离是2米， 故答案为：． 3．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】(1) (2)2或6m 【解析】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， （2）由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 题型十八　拱桥问题 1．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 故选：D． 2．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 则水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． 3．如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽为12米，如图建立直角坐标系．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中） 【答案】(1)； (2)米 【解析】（1）由题意可知函数关于轴对称，为其顶点，， ∴函数过点， 设抛物线解析式为， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）水位上升米，即此时对应水面纵坐标为1，令，可得，，     则水面宽度为（米）． 针对训练： 1．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为． 故选：D． 2．有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 ． 【答案】/ 【解析】设抛物线解析式为， 由图象可知，点的坐标为， 代入解析式得， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 故答案为：． 3．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边、、组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C到的距离是，以所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离（单位：）随时间 （单位：）的变化满足函数关系且当水面到顶点C的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？    【答案】(1) (2)禁止船只通行时间为32小时． 【解析】（1）解：由题意知：，， ∴，，， 设抛物线解析式为， 则， 解得， ∴； （2）解：把代入，得， 解得，， ∴当时，禁止船只通行，禁止通行时间为， 即禁止船只通行时间为32小时. 【点睛】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系． 题型十九　与角度参与的应用 1．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 2．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3． 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点， ∴，， 又∵对称轴是直线， ∴，解得， ∴的表达式为； （2）解：∵抛物线的对称轴是直线， 当时，， ∴顶点的坐标是， 在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点， 在中，∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴的下方， ∴点在线段上， ∴， 过点作，垂足为点，则， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵，， ∴点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为， 将代入直线，得， 解得， ∴点的横坐标为， ∴点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， ∴点向左平移个单位，再向下平移得到点， ∴点的坐标， ∴平移后的抛物线解析式为． 针对训练： 1．如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：令，则 解得：， ∴， ∴，， 当时， ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，作点关于轴的对称点，连接； 则， ∴ ∴ ∴ 设直线的表达式为： 将代入得： ∴直线的表达式为： 解方程组得：或 ∵点在第三象限 ∴点的坐标为 故选：B． 2．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接．若，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，如图， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ，， ， ， 即， ． 故选：B． 3．已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与点重合），连接． ①求的面积的最大值； ②若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【解析】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴二次函数的表达式可写为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①设直线的表达式为， 把和代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 如图：过点P作轴于点R，交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴． ∴ ． ∵动点P在直线的上方（不与B，C重合）， ∴． ∴当时，面积取得最大值，最大值是； ②∵轴， ∴轴， ∴． ∴ ∵，， ∴在中， ， ∵， ∴， ∴． 题型二十　与相似三角形综合 1．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 抛物线，对称轴为直线 抛物线与轴的交点为和 ，OA=5 当y=0时，-5与2是方程的两个根 根据韦达定理可得：即 即 ， 解得 ． 故选C． 2．如图1，已知二次函数的图像与轴交于A、两点（点在点A的左侧），顶点为，点在此二次函数图像的对称轴直线上，过点作轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线点．    (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)当点的坐标为时，连接、．求证：平分； (3)点在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，求点的横坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为， (2)见解析 (3)E点的横坐标为或或或 【解析】（1）∵点在图象的对称轴上， ∴． ∴． ∴二次函数的解析式为． 当时，， ∴； （2）∵，且垂直于y轴， ∴点E的纵坐标为1，平行于x轴． ∴． 令，则， 解得． ∵点E位于对称轴右侧， ∴． ∴． 令，则， 解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴平分． （3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似， 且为直角三角形， ∴为直角三角形．   ∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限， ∴． ∵，， ∵， ∴， 则， ∴G点坐标为． ∴，． ∴， ∴或 ， 设， 当点D在点G的上方时，则， .； 如图，当 时，    则有， ， 解得， （负值舍去） 如图3当时，    则有，， 解得， （负值舍去） 当点D在点G的下方时，则， ， 如图，当时，    则有， 解得，（负值舍去） 如图，当时，    则有，， 解得，（负值舍去） 综上，E点的横坐标为或或或． 3．【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：； 【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． ①求点的坐标； ②求直线的解析式； 【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．          【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或 【解析】[建立模型]（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； [类比迁移]（2）如图所示，过点作轴于点，    ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点， 当时，，即， 当时，，即， ∴， ∴， ∴； ②∵，设直线的解析式为， 将代入得： 解得： ∴直线的解析式为， （3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧， 当时，， 解得：， ∴，； ①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：（舍去），； ②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，    同理可得， ∴ ， 设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， 综上所述，的横坐标为或． 针对训练： 1．在同一平面内，直线与抛物线 交于A、B两点，设 （1） ； （2）若点，且与不垂直，则k的取值范围是： ． 【答案】 【解析】解：（1）由题意，联列方程组， ∴， ∴， ， ∴满足方程；满足方程， 依据根与系数的关系得，，，，； （2）假设与垂直，连接，则，过点N作轴，作于点E，作于点F， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与不垂直， ∴． 故答案为：（1）；（2）． 2．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线（）与x轴交于点和，与y轴交于点．抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的表达式，并写出点的坐标； (2)将直线绕点顺时针旋转，交轴于点．此时旋转角等于． ①求点的坐标； ②二次函数的图象始终有一部分落在的内部，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【解析】（1）解：将点和，代入，得， ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， ∵ ， ∴； （2）把代入得 ∴, ∵， ∴，则， 如图所示，过点作于点，则，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵ ∴ 又， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵ ， 顶点坐标为 将代入 解得， 如图4-2所示，∵二次函数的图像始终有一部分落在的内部， ∴； 将点代入， ∴， 解得：或， 如图4-3所示，依题意，二次函数的图像始终有一部分落在的内部， ∴； 如图4-4所示，∵二次函数的图像始终有一部分落在的内部， ∴， 综上所述，当二次函数的图像始终有一部分落在的内部时，． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．    (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点G，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：设抛物线的解析式为． 将代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，即； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，    ， ， ． 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ． ， 整理得， 解得， ． 题型二十一　动态几何 1．如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【解析】解：由题意知，，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 2．如图，在中，，，点E是边上一动点，连接，过C作，截取，连接． (1)在点E运动过程中，不变的角为_______，度数为________； (2)①设，为S，求S关于x的函数解析式及其定义域，并求出S的最大值 ； ②求点D运动路径长 ； ③设点D到线段距离为y，求y关于x的函数解析式及其与x轴夹角的正切值． 【答案】(1)， (2)①，，S的最大值为8；②；③， 【解析】（1）解：由题意知，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即在点E运动过程中，不变， ∵，点E运动过程中，变化， ∴变化， ∴变化， 故答案为：，； （2）①解：∵，， ∴， 如图1，作于，            图1 ∴， 当时，， 由勾股定理得，， ∴，即； 当时，， 由勾股定理得，， 同理可得，， 综上所述，，， ∵， ∴当或时，取最大值为8； ②解：由（1）知，在点E运动过程中，不变为， ∴在过点且垂直于的直线上运动， ∵，点E运动路径长为， ∴点D运动路径长为； ③解：如图2，延长交于点，过作的延长线于，则，          图2 由①②可知，，， ∴， ∴，， ∴，即， 当时，， 当时，， ∴直线与轴的交点分别为、， ∴y关于x的函数解析式与x轴夹角的正切值为， ∴y关于x的函数解析式为，其与x轴夹角的正切值为． 3．如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q分别是从A，B同时出发，求经过几秒时，    (1)的面积等于8平方厘米？ (2)五边形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1)2秒或4秒； (2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是63平方厘米． 【解析】（1）解：设运动时间为t，则，， 则， 解得：或． 经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． （2）解： 由（1）可得：； 要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，最小值为． 针对训练： 1．如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设运动时间为，则，， 根据题意， ， ∵，， ∴当时，有最小值，最小值为， 故选：C． 2．如图，把一块等腰直角三角板．现将沿方向平移到的位置，若平移距离为x（），与的重叠部分的面积y，则 （用含x的代数式表示y）． 【答案】 【解析】解：如图，设交于点D，由题意可得：， ∵， ∴； 由平移性质知：， ∴， ∴， 故． 故答案为． 3．已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是 【解析】解：（1）将两点分别代入，得 解得． 所以抛物线的解析式是． （2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，， 作于H． ∵是等腰直角三角形， ∴和也是等腰直角三角形， ∴， ∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1． ②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， 所以． 所以． 将点代入， 得． 整理，得． 因式分解，得． 解得，或（与点P重合，舍去）． 当时，． 所以点C的坐标是． 题型二十二　与线段有关的应用 1．已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】解：过点Q作轴于点H，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为：， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．    (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【解析】（1）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵  ，   ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 针对训练： 1．如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【答案】 【解析】解：∵ ， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 2．如图，二次函数 经过点，，，为抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当最短时，的面积是 ． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵二次函数经过点，，， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标， ∵点在抛物线的对称轴上，点关于对称轴对称， ∴， ∴， 当点三点共线时，最短，最短值为的长， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 【答案】(1)； (2)P点坐标为； (3)①，②． 【解析】（1）解：在中，令，； 令，； ，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， ， ， ∵点P关于直线的对称点Q在y轴上， ， 轴， ∴P的纵坐标为， 由； 解得，(舍去)， ∴P点坐标为； （3）解：①设顶点为，平移后抛物线解析式为， 则， ， 设， 则， ∴ ， ∴的长度为定值； ②如图，作，并令，连接，， 由题知，，， 则只需求的最小值即可， ∵ 即求的最小值，即的长， ， ， 作于K， 则， ，， ∴， ， ， ， 的周长的最小值为． 4．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点M的坐标是 (2)①1；②存在，或 【解析】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴，                                         ∴， ∴顶点M的坐标是． （2）①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                         ∴．                             ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），    如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．             ∴或． 5．如图，已知抛物线和直线相交与点A，B．点P是抛物线上一点，且在直线的下方，连接，，当的面积最大时，则点P的坐标是 ． 【答案】 【解析】解：联立解析式：， ∴，即， 解得：，， ∴的横坐标为，， 如图，过作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 故答案为： 题型二十三　与面积有关的应用 1．在平面直角坐标系中，经过点的抛物线由抛物线平移后得到，抛物线的顶点为点，在轴上有一点，使得，则点的纵坐标为 ． 【答案】或 【解析】解：由题意设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴，即， ∴点． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴交点坐标为， 设过点平行于直线的直线方程为， 则，解得， 过点平行于直线的直线方程为，与轴交点坐标为， ∴的纵坐标为时能使得， 在直线上方满足条件的还有一点， 此时，解得， ∴． 故答案为：或． 2．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且的面积是6．抛物线上有一动点P（不与点C重合），当时，则点P的坐标是 【答案】或，或， 【解析】解：令，则， 解得：或， 二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧）， ，，． ，， ． 令，则， ， ． 的面积是6， ， ， 解得：或4， ， ． 抛物线的解析式为． ， ． 过点作轴于点，如图， 设， ， ， 两个三角形中边上的高相等，为3， ， 或， 解得：或或或． 时，与点重合， 点的坐标为或，或，． 故答案为：或，或，． 3．已知二次函数顶点坐标为，这条抛物线与轴的两个交点，设点在这条抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】或或或 【解析】解：∵二次函数顶点坐标为， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 设点坐标为， ∴， ∴， ∴或， 解得，，，， ∴点的坐标为或或或． 针对训练： 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为 ．    【答案】 【解析】解：二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点； ，，； 容易求出所在直线的解析式为； 设， ， ； ； ；，； ； 故答案为． 2．已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 【答案】(1) (2)3 【解析】（1）解：根据二次函数图象的对称性，设该二次函数的解析式为， ∵点是图象上一点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为，即； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，， ∴m的值为3； 根据二次函数图象的对称性及已知表格可得点B、A、C的坐标分别是、、， 过B作轴，过C作，垂足为D，过A作，垂足为E，如图所示． 则D、E的坐标分别为、． ∴． 题型二十四　与特殊四边形的应用 1.抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是数形结合和分类讨论．根据二次函数与x轴的负半轴交于点，与轴交于点.先求出，的坐标，再根据平行四边形的性质和平移分情况求出点E的坐标. 【解析】解：当时，解得， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点， 当时，， ∴抛物线与轴交于点， 由题意知当为平行四边形的边时，，且， ∴线段可由线段平移得到. ∵点在直线上， ①当点的对应点为时，如图，需先将向左平移2个单位长度， 此时点的对应点的横坐标为，将代入， 得， ∴.； ②当点的对应点为时，同理，先将向右平移1个单位长度，可得点的对应点的横坐标为1， 将代入得， ∴； ③当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为， ∵在直线上， ∴根据对称性可知的横坐标为，将代入 得， ∴ 综上所述，点的坐标为或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，点的坐标为或 【解析】（1）解：令，则， 解得，， ， 令，则， ． （2） ， ， 对称轴为． 当为边时，分两种情况： 当为对角线时，连接，过点作的垂线，交于点，交轴于点， ，， ， ， ． 设所在直线解析式为， 将，代入得，， 解得， 所在直线解析式为， 当时，． ． 当为边时，同理过点作的垂线，交于点，交轴于点， 易得所在直线解析式为，则与对称轴l的交点坐标为． 当为对角线时，也为对角线，易得，由图可知此时点不可能在上， 此种情况不存在． 综上，在新抛物线的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 58．如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，CD=2DE，点O、C、F在y轴上，点A在x轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线y=ax2+b经过M、B、E三点，则的值等于 ． 【答案】 【解析】设正方形OABC边长为m，则M(0,),B(m,m),联立M,B解得函数解析式为y=x2+,设CD=2n,则DE=n,所以E(2n,n+m)代入二次函数即m+n=(2n)2+，即 m2+2mn-4n2=0解得m=-n+n或m=-n-n（舍） 所以==． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用. 针对训练： 1．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大，最大值为 ． 【答案】 5 12.5 【解析】解：设，四边形ABCD面积为S，则， 则：， ∵， ∴S有最大值， 当时，四边形ABCD的面积最大， 即当时，四边形ABCD面积最大， ， 故答案为：5，12.5． 2．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于的中点时，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【解析】（1）解：将点，代入抛物线解析式可得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：点，点， 直线解析式为， 当时，， 点， 点位于的中点， 点， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 联立方程组可得：， 解得：或（舍去）， 点，； （3）解：若为边， 以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， 点与点重合， ，， ，， ， ； 若为对角线， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 设点，则点， ， ， ， （舍去），， ； 综上所述：或． 3．我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； (2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图像的对称轴； ②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2； (2)①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析； (3)能构成正方形，此时． 【解析】（1）解：由题意可知：， ∴． 答：k的值为，m的值为3，n的值为2． （2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴对称轴为． 答：函数的图像的对称轴为． ②，令，解得， ∴过定点，． 答：函数y2的图像过定点，． （3）解：由题意可知，， ∴， ∴， ， ∵且， ∴； ①若，则， 要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    ②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形， 综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 1.二次函数的概念： 一般地，如果 ，那么y叫做x的二次函数.它的定义域为 ． 2.二次函数的图象与性质 ①函数y=ax2的图象与性质：抛物线y=ax2（其中a是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x=0；顶点是(0,0)．抛物线的开口方向由a的符号决定，当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，代表有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，代表有最大值．表格表示如下： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 ． a<0 ②y=ax2+c的性质： 抛物线y=ax2+c（其中a、c是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x=0；顶点坐标是（0，c）.抛物线的开口方向由所取之的符号决定，当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，即有最大值．表格表示如下： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 a<0 ③y=a(x-h)2的性质：抛物线y=a(x-h)2（其中a、h是常数，且a≠0）的对称轴是过点（h，0）且平行（或重合）于轴的直线，即直线x=h；顶点坐标是（h，0）．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，即有最大值．表格表示如下： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 a<0 ④y=a(x-h)2+k的性质：抛物线y=a(x-h)2+k（其中a、h、k是常数，且a≠0）的对称轴是过点（h，0）且平行（或重合）于轴的直线，即直线x=h；顶点坐标是（h，）．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，即有最大值．表格表示如下: a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 a<0 ⑤抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的对称轴是直线，顶点坐标是()，与轴交点为（0，）.当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点,即有最大值．表格表示如下: 函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0） 图象 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记： 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记： 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 3.二次函数图象的平移 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2(a≠0)的图象平移而得.在平移时，图象的形状、大小由 决定，即a不变，抛物线的大小、形状皆不变，只有顶点坐标中的h或k发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是 ，左、右沿x轴平移，上、下沿y轴平移，即: y=ax2通过上（下）平移个单位得到y=ax2+k,再通过左（右）平移得到 . 所以，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要将抛物线的解析式为顶点式，得到顶点坐标，再根据 平移规律解决与平移有关的问题， 温馨提示：①a 的绝对值越大，抛物线的 .②理解并掌握平移的过程具体平移方法，可直观表示如下： 4.二次函数与一元二次方程 ①当△=b2-4ac>0时，方程有 ，二次函数的图象与x轴 。 ②当△=b2-4ac=0时，方程有 ,二次函数的图象与x轴 。 ③当 ，方程没有实根,二次函数的图象与x轴 。 这对应着一元二次方程的根的三种情况:①没有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. 5.待定系数法求二次函数解析式 根据所给的条件灵活选择三种表达形式求抛物线的解析式: (1)已知三点坐标时，常设解析式为 ； (2)已知顶点(或最值)时，常设抛物线的解析式为 ; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为(x1,0)(x2,0)时，常设抛物线的解析式为交点式 . 6.二次函数解析式的几种形式 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式： 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴：y=ax2+c(a≠0) 7. 求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方转化为成 的形式 若a＞0，当 时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：由顶点坐标（-），可得： 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=时，函数有最大值，且 8.二次函数的应用 1.审清题意，分析题中所涉及的量，已知量、变量有几个，搞清楚已知量与变量之间的关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设变量，注意分清 ，同时还要注意所设变量的单位是否对应正确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，可利用 等相关公式列出二次函数。 4.求结果，根据题目要求，结合二次函数的相关性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否正确：即是否是准确求值或是否符合实际生活。 6.作答结论。 1. 易错：对称轴与x=0的本质去分不清楚。 注意：抛物线是直线x=0. 2. 易错：误认为对称轴是直线x=c。 注意：对称轴依然是直线x=0，顶点坐标为（0，c）． 3. 易错：易将开口方向与a、h混淆。 注意：开口的方向与大小只与二次项系数a的值或绝对值有关. 4. 易错：认为对称轴是直线x=m，顶点坐标为（m，k）。 注意：对称轴是直线x=-m，顶点坐标为（-m，k）。 5. 易错：易根据一般式得到函数的对称轴为直线x=b或最值。 注意：需要进行配方转化为才可得到正确的结论。 6.二次函数图象的平移 易错：平移不改变抛物线的形状和大小，与a的值无关，记错平移规律。 注意：需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律“左加右减，上加下减”进行变化。 7. 二次函数与一元二次方程 易错：根的判别式可用来判断一元二次方程根的三种情况，方程没有根不能决定二次函数有没有最值。 注意：一元二次方程根的判别式小于0，二次函数依然存在最值。 8. 待定系数法求二次函数解析式 易错：几种解析式的设法易混淆，带来更多的计算量是，甚至求解不出正确的结论。 注意：根据所给信息设出正确的解析式。 9.二次函数的应用 易错：忽略自变量的实际取值范围，混淆函数的最值与实际值的区别。 注意：求解时结合实际意义进行判断. 题型一　二次函数的概念 1．下列函数中，二次函数是（    ） A． B． C． D． 2．如果的图像是抛物线，那么 ． 3．已知二次函数，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y= ． 4．若是二次函数，则a的值为 ． 针对训练： 1．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．把变成一般式，它的常数项为 ． 3．二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二　y=ax2图象图象与性质 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的开口方向是 ． 3．函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 针对训练： 1．下列各点在抛物线上的是（      ） A． B． C． D． 2．函数与的图象关于 轴对称，也可以认为是函数的图象绕 旋转 得到的． 3．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 题型三　y=ax2+k 1．二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数与y轴交点的纵坐标为3，则k的值为（  ） A．0 B．1 C． D．3 3．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 18．如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是 ． 针对训练： 1．抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是 ． 2．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如果点和点是抛物线上的两点，那么 ．（填“＞”、“＝”、“＜”）． 5．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 题型四　y=a(x-h)2 1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 2．已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 4．如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是 ． 针对训练： 1．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．开口向下 B．图像不经过第一象限 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 2．若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线开口向上，对称轴是直线，抛物线上两点坐标为（2，），（4，），那么 ．（填“>”或“<”） 4．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 题型五　y=a(x-h)2+k 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．在时，随的增大而增大 3．抛物线的顶点坐标是 ． 4．若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限． 针对训练： 1．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 2．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 3．若、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是 用“”表示． 4．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 题型六　y=ax2+bx+c 1．关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．与轴交于正半轴 C．对称轴在轴左侧 D．不经过第一象限 2．若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 4．如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是 ． 针对训练： 1．已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（   ） A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线 C．该函数图像在轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的 2．已知函数，若函数在上的最大值是，则的值为 ． 3．已知：二次函数的图像经过原点，求m的值，并写出函数解析式． 题型七　二次函数图象与各项系数符号 1．如果抛物线经过第一、二、三象限，那么常数、的符号是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 针对训练： 1．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论： ①abc＞0； ②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3； ③2a+b＝0； ④4a2+2b+c＜0， 其中正确结论的序号为 ． 3．如果抛物线 y=（k+1）x2﹣2x+3 的开口向上，那么 k 的取值范围为 ． 题型八　一次函数与二次函数综合 1．函数与在同一个平面直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象如下，则函数的图象可能是（    ）    A．  B．  C．  D．   3．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 针对训练： 1．在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过 象限． 4．直线与抛物线的交点坐标是 ， ． 题型九　反比例函数与二次函数 1．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣k图象的选项是（　　） A．   B．   C．   D．   2．同一坐标系中，反比例函数与二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数与二次函数的图像的交点个数为 ． 针对训练： 1．如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或或 D．或或 2． 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 3．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 题型十　待定系数法求二次函数表达式 1．一抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 针对训练： 1．已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 3．已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 题型十一　二次函数的平移 1．将抛物线沿x轴方向向右平移2个单位后得到的抛物线的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为 ． 5．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 针对训练： 1．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 2．在同一坐标平面将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线的图像向左平移2个单位后，发现新的抛物线的图像经过原点，则新抛物线的对称轴为直线 . 题型十二　二次函数与坐标轴的交点 1．抛物线与x轴的一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 针对训练： 1．抛物线与轴交点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知与x轴、y轴正半轴分别相交于A、B两点，若M是抛物线在第一象限内的动点，则的最大值为（   ） A． B．7 C．6 D． 题型十三　增长率问题 1．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 3.某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 针对训练： 1．据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为 ． 2. 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 3．印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式 ． 4．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解析式是 ． 题型十四　营销问题 1．某超市销售某款商品每天的销售利润（元）与单价（元）之间的函数关系式为，则销售这款商品每天的最大利润为（    ） A．125元 B．150元 C．175元 D．200元 2．某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降 元． 3．某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 针对训练： 1．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价 元时，可获得最大利润 3.暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 题型十五　二次函数与图形问题 1．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（    ） A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米 2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 针对训练： 1．将一张边长为的正方形纸片的四个角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当取下面哪个数值时，长方体的侧面积最大（  ） A． B． C． D． 2．如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）． 3．如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边的长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． (1)当米时， ___________米， ___________平方米； (2)求S与x之间的函数表达式； (3)围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 题型十六　与投球有关的应用 1．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ） A．1米 B．2米 C．4米 D．5米 2．体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 3．“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）． 针对训练： 1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ） A．1米 B．3米 C．5米 D．6米 2．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 3．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小丁站在距篮圈中心水平距离处的点跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式； ③已知篮网长，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”“三不沾”） (2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m 题型十七　喷水问题 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（    ） A．20米 B．18米 C．10米 D．8米 2．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是，那么水珠达到的最大高度为 米． 3．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？ 针对训练： 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 2．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是 米． 3．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 题型十八　拱桥问题 1．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 2．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 3．如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽为12米，如图建立直角坐标系．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中） 针对训练： 1．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 ． 3．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边、、组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C到的距离是，以所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离（单位：）随时间 （单位：）的变化满足函数关系且当水面到顶点C的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？    题型十九　与角度参与的应用 1．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 2．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 3． 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式． 针对训练： 1．如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接．若，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与点重合），连接． ①求的面积的最大值； ②若，求的取值范围． 题型二十　与相似三角形综合 1．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 2．如图1，已知二次函数的图像与轴交于A、两点（点在点A的左侧），顶点为，点在此二次函数图像的对称轴直线上，过点作轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线点．    (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)当点的坐标为时，连接、．求证：平分； (3)点在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，求点的横坐标． 3．【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：； 【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． ①求点的坐标； ②求直线的解析式； 【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．          针对训练： 1．在同一平面内，直线与抛物线 交于A、B两点，设 （1） ； （2）若点，且与不垂直，则k的取值范围是： ． 2．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线（）与x轴交于点和，与y轴交于点．抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的表达式，并写出点的坐标； (2)将直线绕点顺时针旋转，交轴于点．此时旋转角等于． ①求点的坐标； ②二次函数的图象始终有一部分落在的内部，求实数的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．    (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点G，如果，求点P的坐标． 题型二十一　动态几何 1．如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 2．如图，在中，，，点E是边上一动点，连接，过C作，截取，连接． (1)在点E运动过程中，不变的角为_______，度数为________； (2)①设，为S，求S关于x的函数解析式及其定义域，并求出S的最大值 ； ②求点D运动路径长 ； ③设点D到线段距离为y，求y关于x的函数解析式及其与x轴夹角的正切值． 3．如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q分别是从A，B同时出发，求经过几秒时，    (1)的面积等于8平方厘米？ (2)五边形的面积最小？最小值是多少？ 针对训练： 1．如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，把一块等腰直角三角板．现将沿方向平移到的位置，若平移距离为x（），与的重叠部分的面积y，则 （用含x的代数式表示y）． 3．已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 题型二十二　与线段有关的应用 1．已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．    (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 针对训练： 1．如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 2．如图，二次函数 经过点，，，为抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当最短时，的面积是 ． 3．已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 4．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线和直线相交与点A，B．点P是抛物线上一点，且在直线的下方，连接，，当的面积最大时，则点P的坐标是 ． 题型二十三　与面积有关的应用 1．在平面直角坐标系中，经过点的抛物线由抛物线平移后得到，抛物线的顶点为点，在轴上有一点，使得，则点的纵坐标为 ． 2．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且的面积是6．抛物线上有一动点P（不与点C重合），当时，则点P的坐标是 3．已知二次函数顶点坐标为，这条抛物线与轴的两个交点，设点在这条抛物线上，且，求点的坐标． 针对训练： 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为 ．    2．已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 题型二十四　与特殊四边形的应用 1.抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 58．如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，CD=2DE，点O、C、F在y轴上，点A在x轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线y=ax2+b经过M、B、E三点，则的值等于 ． 针对训练： 1．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大，最大值为 ． 2．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于的中点时，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 3．我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； (2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图像的对称轴； ②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $