第10章 考点练63 概率与统计-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练63 概率与统计 ICHU GONGGU LIAN 基础巩固练 ●答案：287页 1.(2024·新疆乌鲁木齐二模)某人工智能研究实验室开发出一款全 新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对 话.聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技 术，在测试它时，若输入的问题没有出现语法错误，则它的回答被采纳 的概率为90%，若出现语法错误，则它的回答被采纳的概率为50%. (1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被 采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采 纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p,若聊天机器人棋型的 回答被采纳的概率为80%，求p的值. 2.(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情 况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这 些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 0 4 保单份数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔 偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单 的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. (ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X); (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加 20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（「） 中E(X)估计值的大小.（结论不要求证明） 3.(2025·云南昆明三校联考)为了引导学生阅读世界经典文学名著， 某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”， 并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情 况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学 生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数 量，所得数据如下表： 项目 不少于5本 少于5本 合计 活动前 35 65 100 活动后 60 40 100 合计 95 105 200 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析举办该读书活动对 学生阅读文学名著是否有促进作用； (2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本 国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读 完，求上半年读完的国内名著本数X的分布列及数学期望， n(ad-bc)2 附：X=a+b)(c+d)(a+c)b+ ,其中n=a+b+c+d. 临界值表： Q 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第十章计数原理，概率随机变量及其分布135 4.某校为了检验学生上课的效果，在高三年级进行了一次模拟考试， 从中抽取了100名同学的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下 图所示)，其中数学成绩落在区间[110,120)，[120,130)，[130,140] 内的频率之比为4：2：1. ,频率 组距 0.030--- 0.019-------- 0.012 0.00 06V708090100110120130140数学成绩/分 (1)根据频率分布直方图求学生数学成绩落在区间[110,120)内的 频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数； (2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3人，记抽 取的3人数学成绩落在[100,130)内的学生人数为X,求X的分布列. 、1362对勾·高考一轮复习金卷数学 能力提升练 ●答案：287页 1.(2024·广西钦州期末)猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃 声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了A,B两组歌曲 的主旋律制成的铃声，随机从A,B两组歌曲中各播放两首歌曲的 主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌 名.已知该嘉宾猜对A组中每首歌曲的歌名的概率均是号，猜对B 组中每首歌曲的歌名的概率均是？，且猜对每首歌曲的歌名相互 独立. (1)求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率； (2)若嘉宾猜对一首A组歌曲的歌名得1分，猜对一首B组歌曲的 歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为X,求X的分布列 与期望. 2.(2025·河北唐山月考)某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织 该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得 分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等 奖，得分在[90,100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学 生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以 此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示. 频率 组距 0.034- 0.018 0.016 0)2--==-- 0008---- 0.006- o 030405060708090100成绩/分 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(4,o2),其中 。≈15,4为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下 问题： (1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩 超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (2)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学 生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变 量的分布列和期望. 附：若随机变量X服从正态分布N(以，o2),则P(4一。<X≤4十 o)≈0.6826，P(-2o<X≤h+2a)≈0.9544，P(H-3o< X≤+3o)≈0.9974. 3.经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温 度x:和产卵数y:(i=1,2,…,10)的10组观测数据作了初步处理， 得到如图所示的散点图及一些统计量表 350 300 250 200 150 100 50 0···· 202224262830323436x 2 360 54.5 1360 44 384 - 2, x,-7· (y:-y) (x；一之) (y:-y) 3 588 32 6430 表中t,=√，2=lny:,2 1 10名2. (1)根据散点图判断，y=a+bx,y=n+m√与y=c1e哪一个 适宜作为y与x之间的回归方程模型并求出y关于x的回归方程； (给出判断即可，不必说明理由) (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中 “死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机 挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数 的分布列及数学期望. 附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(um,vn),其回归直线元= a十Bu的斜率和截距的最小二乘估计分别为B= ∑(u,-n)(a,-) -,a=v-3Bu. ∑(u,-) i= 4.(2024·陕西榆林模拟)某AI兴趣小组研究一款生活废品处理机器 人，其工作程序依次分为三个步骤：分拣，归类，处理，每个步骤完成 后进入下一个步骤.若分拣步骤成功完成，则该步骤得分为20分， 否则得分为0分；若归类步骤成功完成，则该步骤得分为30分，否则 得分为0分；若处理步骤成功完成，则该步骤得分为50分，否则得分 为0分，在第三个步骤完成后，机器人停止工作.已知初始状态该款 机器人成功完成各步骤的概率均为分·经过一轮深度学习后该款机 人成功完成各步聚的概率依次为。，，，设该款机器人完成 个步骤后的总得分为X. (1)初始状态下，求随机变量X的数学期望； (2)经过一轮深度学习后，该款机器人是否达到合格水平（当数学期 望E(X)≥60时，达到合格水平)？考点练63 概率与统计 o于 基础巩固练 1.解：(1)由题可知的所有取值为2,3,4 且专服从超几何分布， P(ξ=2)= CC 10 C 35 7,P(= 3)=CC 20 4 C Γ35 7,P(=4)= CC =7 故专的分布列为 2 3 4 则E()=2X2 4 十3× 十4× 7 7 20 (2)记“输入的问题没有出现语法错误” 为事件A,“输入的问题出现语法错误” 为事件B,“回答被采纳”为事件C, 由已知得，P(C)=0.8,P(CA)= 0.9,P(CB)=0.5,P(B)=p, P(A)=1-D, 所以由全概率公式得P(C)=P(A)· P(CA)+P(B)·P(CB)= 0.9(1-p)+0.5p=0.9-0.4p=0.8, 解得p=0.25. 2.解：(1)设A为“随机抽取一单，索赔次数 不少于2”， 由题设中的统计数据可得P(A) 60+30+10 800+100+60+30+10=10 (2)(ⅰ)设为赔偿金额（单位：元），则 可取0,0.8,1.6,2.4,3， 由题设中的统计数据可得P(ξ=0)= 800 100 1000=5P(=0.8)=1000=10, 60 Pg=1.6)=100=0Pe=2.)= 30 3 101 1000=100P(g=3)=100=100' 故E()=0×5+0.8×0+1.6× +24品+8×品 0.278(万元) 故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元). (ⅱ)设调整保费后一份保单毛利润（单 位：万元)为Y, 由题设保费的变化为0.4×号×96%十 04×号×1.2=0.4032， 故E(Y)=0.122+0.4032-0.4= 0.1252(万元)， 从而E(X)<E(Y). 3.解：(1)零假设H。:举办该读书活动对学 生阅读文学名著没有促进作用， 由题表中数据可知，X 200×(35×40-65×60)2 5000 100×100×95×105 399 12.53>10.828, 故可推断H。不成立，即认为举办该读书 活动对学生阅读文学名著有促进作用， 该推断犯错误的概率不超过0.001. (2)由题意可知，X的可能取值为0， 1,2, C P(X=0)= ,P(X=1)= 5 CC =3 ,P(X=2)= C 5 C 5 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 所以X的数学期望为E(X)=0X 1x号+2×号=1 4.解：(1)由直方图可知，数学成绩落在区 间[70,110)内的频率为(0.004 0.012+0.019十0.030)×10=0.65， 所以数学成绩落在区间[110,140]内的 频率为1-0.65=0.35， 因为数学成绩落在区间[110,120)， [120,130),[130,140]内的频率之比为 4:2:1, 所以数学成绩落在区间[110,120)内的 4 频率为1+2十7×0.35=0.2， 数学成绩落在区间[70,100)内的频率为 (0.004+0.012+0.019)×10=0.35,所 以中位数落在区间[100,110)内， 设中位数为x分，则(x一100)× 0.030=0.5-0.35,解得x=105,所以 抽取的这100名同学数学成绩的中位数 为105分 (2)由(1)知，数学成绩落在区间[100， 130)内的频率为0.030×10+0.2+ 2 3 4+2+×0.35=0.6=号， 由题意可知，X~B(8,)X的所有 可能取值为0,1,2,3， P(X=0)= e×(）)°×(-)广- 8 P(X=1)= c××1-）- P(X=2)= cx()×-)=器 P(X=3)= c×()'x(-)=器， 27 所以X的分布列为 X 0 2 3 54 27 P 8 36 125 125 125 125 。能力提升练● 1.解：(1)该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜 对的概率P,= 1-)×1-)=高 该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率 p=心x0-号)x号×(-2)》+ (1-)'×心x日×-）=日 287 故该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概 率P=1-P1-P,=36 29 (2)由题意可得X的所有可能取值分别 是0,1,2,3,4,5,6 没有猜对A组中每首歌曲的歌名的概率 为1一 =了没有猫对B组中每首歌 黄的歌名的概率是1一弓=日 P(X=0)= P (X 2)= ()×()°+ (日)》'xx2x日=6 P(X=3)=Cx3×号xCg×2 1 2 P(X=4)= (3)×c× 1 P0x==Gx号×号x()=日 P(X=6)= ()×(号)=日 所以X的分布列为 0 345 6 11 1 369 499 故E(0X)=0×品1号+2× 3x号+4×+5×号+6x号-号 1 2.解：(1)由频率分布直方图知，各小矩形 面积从左到右依次为0.06,0.12,0.18， 0.34,0.16,0.08,0.06, 样本平均数的估计值：=0.06×35十 0.12×45+0.18×55+0.34×65+ 0.16×75+0.08×85+0.06×95=64, 则所有参赛学生的成绩X近似服从正态 分布N(64,152),而4十6=79， 因此P(X>79)=P(X>4+o)≈ 1-0.6826=0.1587, 所以参赛学生中成绩超过79分的学生 数约为0.1587×10000=1587. (2)由(1)知，=64，P(X>64)=2' 即从所有参赛学生中随机抽取1名学 生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率 为 因此随机变量专服从二项分布专~ B(3,2）,的可能值为0,1,2,3， 则P(=0)= c()”= P(ξ=1)= c() 3 P(=2)= P(=3)= c() 参考答案 所以随机变量：的分布列为 0 2 3 8 8 8+1X3 1 数学期望E()=0X +2X 3 3.解：(1)根据散点图判断，可看出样本点 分布在一条指数型曲线的周围，所以 y=c1e?适宜作为y与x之间的回归 方程模型 令x=lny,则之=c2x十lnc1,c2= (x,-)x-2 i=l 321 (x,-) =384=121 1 lnc1=x-c2x=1.4, 所以：=2x十1.4，所以y关于x的回 归方程为y=e=e立1. (2)由题意，设随机挑选一批，取出2个 鱼卵，其中“死卵”个数为，则专的取值 为0,1,2 设A,=“所取两个鱼卵来自第i批"”(i= 1,2),所以P(A1)=P(A)=2: 设B,=“所取两个鱼卵有i个死 卵”(i=0,1,2), 由全概率公式P(:=0)=P(B。A1)· PA)+P(B。A,)PA:=立XC 1、C 1C53 ×=0 ,P(传=1)=P(B11A) P(A1)+P(B,|A)PA)=2× +×器 840P(=2)= P(B2A1)P(A1)+P(B2|A2)· PA)=x× 73 +×C=8401 所以取出“死卵”个数专的分布列为 0 2 53 449 73 140 840840 所以E()=0X 53+1×840 449 140 +2× 品- 17 =24 所以取出“死卵°个数的数学期望为是 4.解：(1)易知X的所有可能取值为0,20， 30,50,70,80,100. .P(X=)= 8(g=0,20, 30.70,80,100),P(X=50)=2× (” 1 =4 .X的分布列为 X02030507080100 8 4 8 88 2对勾·高考一轮复习金卷数学 E(X)=0X日+20×日+30X 1 50×+70×+80×+10× 合=0=50 1 8 (2)经过一轮深度学习后，X的所有可能 取值为0,20,30,50,70,80,100. 1 1 P(X=0)= 4 3 一60 4 1 1 P(X=20)=5XX3 1 15 1 P(X=30)=6人4 1 2 7 4 .卫P（X=70)三5×4入3 = 1 2P(X=80)3 3 4 3 1 一10 2 51 X的分布列为 X02030507080100 1 1 2 1 P 2 6015 2030 1510 5 则E(X)=0×60+20×+30X20 50×+70× ,2士80×10千100× =43 5 6 :E(X)= 431≈71.8>60， 6 ·经过一轮深度学习后，该款机器人达 到合格水平， 阶段滚动卷六 1.B集合A=x∈Zx2-8x+15≤ 0}={x∈Z|(x-3)(x-5)≤0}=： 3,4,5.而B={xx<5},故A∩ B={3,4.故选B. 2.D令x=a+bi,且a>0,b∈R,则 (之+1)=(a-bi)(a+1十bi=a2+ a+b-bi因为20 20(3-i) 3中=3+i3-D 6一2，根据复数相等有公a十6=0， 解得6二2所以：=1十2故接D 3,C园为X~N,号)，所以n=0, 。=√层旅搭题毒释P(X≥)< 0.0027, 则P(x<)≥1 p(X≥）=0.973，即P( 1 X<号）≥0973，因为“=0，所以 P(-36≤X≤36)≈0.9973，所以 1 3≤2所以√ 层<解得n≥2 所以至少要测量的次数为72.故选C. 4.B f(x)=sin'ox-cos'wx+ 23sin wxcos wx=3sin 2wx-cos 2wx= 288 2sin(2wx-石）(w>0,所以当x∈ 0,]时，2ar-吾∈[看ax ()-1esin()- 因为方程f(x)=1有且只有两个不相 等的实数解，所以 @π石≥614 7 得1≤w<3,即w的取值范国是 5.B记甲挑战成功为事件A,乙挑战成功 为事件B,则P(A)=GP(B)=后， 4 2 7 3 PAUB)=1-0=0由概率加法 公式知P(AUB)=P(A)+P(B) P(AB),可得P(AB)=P(A)十 4 23 PB)-PAUB)=5+-0= 0,则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成 功的概率为P(B|A)= P(AB) P(A) 1 10 = 4 8·故选B, 15 6.D Ah(x)=2f(x)+g(x)=2In x- 2(a+1)x+ax2+a十2(x≥1)，则 2 h'(x)= x -2(a十1)+2ax= 2(x-1)ax-).若a≤0，则M'(x)≤0 x 在[1，十o∞)上恒成立，则h(x)在 [1,十∞)上单调递减，则h(x)≤ h(1)=0,不符合题意，若0<a<1,则 当z∈[1，）时，'(x)≤0，h(e)单 调递减，则h(x)≤h(1)=0,不符合题 意.若a≥1，则h'(x)≥0在[1，十∞) 上恒成立，则h(x)在[1，十o)上单调递 增，即h(x)≥h(1)=0,符合题意.故a 的取值范围为[1，十∞).故选D. C 因为X~B(9,号)，则P(X )=C(号)(3)广o<≤9且 6∈N),所以P(X=+1D P (X=k) c*()“() 9-k c()()1 Γ2k+2:当6≤ 2时，PX士>1，当k≥3时. P(X=k) P(X=k十1<1，所以当k=3时， P(X=k) P(X=)最大，所以k。=3,首先将3 排到中间7个位置中的一个位置，再从 4,5,6,7,8,9六个数字中选两个数字排 在3的左、右两侧，其余数字全排列即 可，所以符合条件的排列种数为 AAA=30A.故选C. 8.D设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2= a2+b,设△MF1F2与△NF1F,的内