第8章 考点练45 两条直线的位置关系-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练45 两条直线的位置关系 ICHU GONGGU LIA 基础巩固练 ●答案：243页 一、单项选择题 1.过点A(2,3)且垂直于直线2x+y一5=0的直线方程为() A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 2.已知直线l1:ax+2y+1=0,l2:(3-a)x-y+a=0,则“a=1”是 “l1⊥12”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.（教材改编)已知直线l过点(0,7)且与直线y=一4x十2平行，则直 线1的方程为 ) A.y=-4x-7 B.y=4x-7 C.y=4x+7 D.y=-4x+7 4.直线3.x一(k+2)y+k+5=0与直线x+(2k一3)y+2=0相 交，则实数及的取值范围为 () A.k≠1或k≠9 B.k≠1或k≠一9 C.k≠1且k≠9 D.k≠1且k≠一9 5.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a一2)x+3y+2a=0平行，则l1 与12间的距离为 () A.2 B82 C.5 3 D.8⑤ 3 6.过两条直线l1:x十2y一4=0，l2:2x一y一3=0的交点，且与直线 x+3y+1=0垂直的直线的方程为 ( A.3x-y-5=0 B.6x-2y-3=0 C.x-3y+3=0 D.3x+y-7=0 二、多项选择题 7.若直线l1:y=kx十3k一2与直线l2:x十y一3=0的交点在第四 象限，则实数的取值可以是 () A.0 B号 D.-1 2 8.(新定义问题)定义点P(xoyo)到直线l:ax+by+c=0(a2+b2≠ o)的有向距离为d=a6十+S.已知点P,P,到直线1的有向 √a2+b 距离分别是d,d2.以下命题不正确的是 A.若d1=d2=1,则直线PP2与直线l平行 B.若d1=1,d2=一1，则直线PP2与直线l垂直 C.若d1+d2=0,则直线PP2与直线l垂直 D.若d1·d2≤0，则直线P,P2与直线l相交 三、填空题 9.若直线2x一y一3=0与4x一2y+a=0之间的距离为√5，则a的 值为 10.(2024·河北保定七中月考)过点P(0,1)且和A(3,3),B(5,-1) 的距离相等的直线方程是 11.已知两直线a1x+b1y-1=0和a2x十b2y一1=0的交点为P(2, 3),则过Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)(a1≠a2)两点的直线方程为 12设光线：从点A(一4出发，登过x销反射后经过点B6,}· 则光线l与x轴的交点为 ;若该入射光线l经x轴发生折 射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为 四、解答题 13.已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线的方程 为2x一y一5=0，AC边上的高BH所在直线的方程为x一2y一 5=0,求直线BC的方程. 第八章平面解析几何097 14.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(一2，一1)， B(4,1),C(2,3). (1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标； (2)求平行四边形ABCD的面积； (3)在△ABC中，求外心M的坐标. 0982对勾·高考一轮复习金卷数学 NENGLI TISHENGUAN 能力提升练 答案：244页 一、单项选择题 1.已知直线3.x+2y一3=0和6.x+my+1=0互相平行，则它们之 间的距离是 A.4 B.213 C.53 D.713 13 26 26 2.(2024·河北张家口一中月考)若动点A(x1y1),B(x2y2)分别在 直线l1:x+y一7=0和l2:x十y-5=0上移动，则AB的中点M 到原点距离的最小值为 () A.3√2 B.2 C.√2 D.4 3.(2024·河南周口月考)已知两条直线11：（入十2）x十(1一入)y十 2λ-5=0，l2:(k+1)x+(1-2k)y+k-5=0,且11∥12，当两平 行线间的距离最大时，入十及= A.3 B.4 C.5 D.6 4.点P为两条直线2x一3y十1=0和x+y一2=0的交点，则点P 到直线l:kx一y十k十2=0的距离最大为 () A B.5 i D.5 5.已知A(一3,0)，B(0,3),从点P(-1,0)射出的光线经y轴反射到 直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为 () A.2√10 B.6 C.25 D.2√6 6.在平面直角坐标系xOy中，直线l1:kx一y+2=0与直线l2:x+ y一2=0相交于点P,则当实数k变化时，点P到直线x一y一4= 0的距离的最大值为 () a B号 C.3 D.32 二、多项选择题 7.已知两条直线l1,l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y一 11=0,则下列结论正确的是 () A.若l1∥12，则a=6 B.若l1∥1，则两条平行直线之间的距离为。 C.若11⊥l2,则a=-3 D.若a≠6，则直线l1与l2一定相交 8.(2024·云南昆明模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白 日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐藏着一个有趣的数学问 题一“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出 发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短？在平面直 角坐标系中有两条河流m,n,其方程分别为2x一y=0,y=0,将军 的出发点是点A(3,1),军营所在位置为B(6,3),则下列说法错误 的是 () A.若将军先去河流m饮马，再返回军营，则测将军在河边饮马的地点 的坐标为(1,2) B.将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是5 C.将军先去河流m饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路 程是√85 D.将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路 程是2√13 三、填空题 9.若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-8=0 之间的距离是2√5，则m一n= 10.在平面直角坐标系内，已知A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,一1)， 则平面内任意一点到点A与点C的距离之和的最小值为 ,平面内到A,B,C,D的距离之和最小的点的坐标 是 11.(数学文化)瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何 学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上， 后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(一4,0)，B(0, 4),其欧拉线方程为x一y+2=0,则顶点C的坐标是 12.已知直线l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+ 1)x一y+(m+1)=0,三条直线围成△ABC,则当△ABC面积最 大时，m的值为 四、解答题 13.已知0<k<4,直线11：kx-2y一2k十8=0和直线l2:2x+ky 4k2一4=0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最 小的k的值. 14.如图，相距14km的两个居民小区M和V位于河岸1（直线）的同 侧，M和N距离河岸分别为l0km和8km.现要在河的小区一侧选 一地点P,在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM, PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ,使小区污水经处理 后排人河道.设PQ段长为tkm(0<t<8). (1)求污水处理站P到两小区水管的总长的最小值（用t表示）； (2)请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并 求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度. 河4.C设直线(1-a)x十y十1=0的倾斜 角为α∈[0，π)，由题意可知，直线的斜 率k=a-1≥-1，即tana≥-1，且 a∈[0，x),所以。∈0,5)U [3r,π).故选C. 4 5.D由题意，得直线过点(0，一4)，则 -4(m2-9)+3m2=0,则m2=36,解 得m=士6.故选D. 6.C如图，直线l:y= k(x十1)一1经过定点 TA P(-1,-1),kA=2, B kPB=一2.又直线l:y= k(x十1)一1与线段AB /0 相交，所以k≥2或k -2.故选C. 7.C由题意可知，直线l的斜率存在，故 可设直线l的方程为y-2=k(x-1), k<0,令x=0,可得y=2-k,令y= 0,可得x=1一 1OA· 0B=x1-是)2-)= ×(2+4)= 4十4)≥2 4 4,当且仅当-友=一，即=一2时取 等号.故选C. 8.D因为直线ax十by=ab过，点(1,1)， 所以a十b=ab,又因为a>0,b>0,所 以+日=1，所以直线号名=1在 工x轴与y轴上的裁距之和为b十a=(b十 )(2+)=2+g+么≥2+ b a a .b=4,当且仅当a=b=2时 2b a 取等号，所以直线在x轴与y轴上的截日 距之和的最小值为4.故选D. 9.ABC对于A,设直线的倾斜角为 a(0°a<180),则由题意，得tana= 8,所以Q=30°，故A正确；对于B,因 为A(1,一3)，B(1,3),所以直线AB与 x轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜 角为90°，故B正确：对于C,因为直线过 点(1,2)，且斜率为tan45°=1，所以直 线的方程为y一2=x一1，即y=x十 1,易知4=3十1，故直线必过点(3,4)， 3 故C正确；对于D,不妨取y=4x,满 足直线的斜牵为县，但显然直线y x不过(1,1)与(5,4)两点，故D错 3 误.故选ABC. 10.AD对于A,直线的倾斜角为日，则 tan9=-sina∈[-1,1]，因为0≤： g<所以9∈，]U臣， 故A正确.对于B,当Q=一1时，直线 x一y十1=0与直线x十y-2=0的 1 斜率分别为1，一1，斜率之积为一1，故 两直线相互垂直，故充分性成立；若“直 线a2x-y十1=0与直线x-ay-2= 0互相垂直”，则a2十a=0,故a=0或 a=一1，所以得不到a=一1，故必要 性不成立，故B错误.对于C,当截距为 0时，设直线方程为y=kx,又直线过 点P(1,2),所以可得k=2,所以直线 方程为y=2x;当裁距不为0时，设直 线方程为二十义=1，又直线过点 a P(1,2),所以可得a=3,所以直线方 程为x十y一3=0，所以过点P(1,2) 且在x轴、y轴截距相等的直线方程为 x十y一3=0或y=2x,故C错误.对 于D,经过平面内任意相异两点(x1, y1),(x2y2)的直线，当斜率等于0时， y1=y2x1≠x2,方程为y=y1,能用 方程(x2-x1)(y-y1)=（y一 y1)(x一x1)表示；当斜率不存在时， y1≠V2x1=x2,方程为x=x1,能用 方程(x2-x1)(y-y1)=(y2 y1)(x一x1)表示；当斜率不为0且斜 率存在时，直线方程为)一义业 y2-y1 工二工1，也能用方程(x,-x1)(y x2-x1 y1)=（y2-y1)(x-x1)表示，故D正 确.故选AD. 1.ABC当直线经过原，点时，斜率为k= 1-0=2,所求的直线方程为y=2x, 2-0 即2x一y=0;当直线不过原点时，设 所求的直线方程为x士y=a,把点 A(1,2)的坐标代入，可得1-2=a或 1十2=a,求得a=-1或a=3,故所 求的直线方程为x一y十1=0或x十 y一3=0.综上可知，所求的直线方程 为2x-y=0或x-y+1=0或x十 y-3=0.故选ABC. 2.BC如图，由图知直线x一y=0与线 段AB无公共点，A错误；因为kAB= 4-2 -3-1 =一2>-1，所以直线AB的 倾斜角大于135°，B正确；因为kC= 3+2=一4，且边BC上的高所在直 4 线过，点A,所以△ABC的边BC上的高 所在直线的方程为y一2=子(x一D 即x一4y十7=0，C正确；因为线段BC 的中点为（号，2）且直线BC的斜率 为一4，所以边BC的中垂线的方程为 1/ 5 y-2=(+2),即2x-8y十 21=0,D错误.故选BC. 3 2>A x-=0 C -4-3-2-y012345x -2 .(子 3 解析：如图，直线l: a.x十y十3=0是过 点A(0,一3)的直 4 Q 线系，斜率为-Q,P2 易知PQ,QA,l的 斜率分别为kQ= -30F3 7 3=3 -3A 243 k,=一a.若l与PQ的延长线相交，由 图可知k阳<k,<k0,解得-3< a<-3 14.51 解析：因为直线！的斜率存在，所以直线 2 1的方程可化为y=一6二32十2，由题 2 意，得一k一3 =一1，解得k=5.直线 1的方程可化为二十兰=1，由题 意，得k一3十2=0，解得k=1. 15.3x-4y+11=0或3x+4y-29=0 3 解析：因为sina=行，所以cosa= ±1=sima=士5，所以直线1的 斜牵为k=1am0=士子.又因为直线1 经过，点P(3,5),所以直线l的方程为 3(x—3)或y—5=—。—(x— y-5=4 3),所以直线1的一般式方程为3x 4y十11=0或3x+4y-29=0. 16.(3十√3)x-2y-3-3=0 解析：由题意，可得koA=tan45°=1， kow=tan(180二30)三_3，所以直 √3 线loa:y=x,loB:y=- 3x.设 A(m,m),B(-√5n,n),m>0,n<0, 所以AB的中点C(m二3n,m十n) 2 2· 1 由点C在直线y=乞x上，且A,P,B 三点共线，得 m十n三1，m-5刀 2 2 2 (m-0)·(-√3n-1）=(n-0)·(m-1), 解得m=√3，所以A(5W5).又P(1,0). 所以kAB=kAP= √33十3 √5-1 2 所以la:y= 3十5(x-1D,即直线 2 AB的方程为(3十√3)x一2y-3 √3=0. 考点练45两条直线的 位置关系 。基础巩固练一 1.A由题意可设所求直线方程为x 2y十m=0,将A(2,3)代入上式，得2 2X3十m=0,即m=4,所以所求直线 方程为x-2y十4=0.故选A. 2.B若l1⊥l2,则(3-a)a-2×1=0, 解得a=1或a=2,所以“a=1”是 “l1⊥l2”的充分不必要条件.故选B. 3.D过点(0,7)且与直线y=-4x十2 平行的直线方程为y一7=一4x,即直线 l的方程为y=一4x十7.故选D. 4.D由直线3x-(k十2)y十k十5=0与 直线kx十(2k一3)y十2=0相交，得 3(2k-3)-k[-(k十2)]≠0，即(k 9)(k一1)≠0，解得k≠1且k≠-9，所 以实数k的取值范围为k≠1且k≠一9. 故选D. 参考答案 5.B因为a=0或a=2时，l1与l2均不 平行，所以a≠0且a≠2.因为l1∥l2 Q 。-2=3≠2 所 6,解得a=-1,所 以l1x-y十6=0l2x-y+3 =0,所 2 以l1与l,之间的距离d= 2 8√2 故选B 3 6.A由任+2y二4=0得红二2设 2x-y-3=0, ly=1. 与直线x十3y十1=0垂直的直线的方 程为3x-y十m=0,则3×2-1十m= 0,得m=一5，所以所求直线方程为 3x-y-5=0.故选A. 7.AC联立方程十)30。解得 y=kx十3k-2 5-3k 2 十工'因为两直线的交点在第四 6k-2 k+1 5-3k 象限，可得6十了 >0, 解得一1<k< 6k-2 k+1 <0, 合戴选A 8.BCD设P(x1y1),P2(x2y2).对于 A,若d1=d2=1,则ax1十by1十c= ax2十by2+c=√/a2+b2,直线P,P, 与直线l平行，故A正确：对于B,点P1, P2在直线L的两侧且到直线！的距离相 等，直线P,P2不一定与直线l垂直，故B 错误；对于C,若d1=d2=0,满足d1十 d,=0,即ax1十by1十c=ax2十by2十 c=0,则点P,P2都在直线l上，所以此 时直线PP,与直线l重合，故C错误； 对于D,若d1·d2≤0，即(ax1十by1十 c)(axg十by2十c)≤0，所以点P1,P2分 别位于直线！的两侧或在直线1上，所以 直线P,P,与直线l相交或重合，故D错 误.故选BCD. 9.4或一16 解析：将直线2x一y-3=0化为4x一 2y-6=0,则直线2x-y-3=0与直 线4x-2y十a=0之间的距离d= a-（一6)=a十6，根据题意，可 W16+4 2√5 得a+6 =√5，即a十6=10，解得 25 a=4或a=一16，所以a的值为4或 -16. 10.2x十y-1=0或y=1 解析：若斜率不存在，过点P(0,1)的直 线方程为x=0,此时不满足条件；若斜 率存在，设过点P(0,1)的直线方程为 y-1=kx,即kx一y十1=0.根据题 意，可得36-3+1 √k2+1 5k+1+1 -,解得k=一2或k=0. √+1 当k=一2时，直线方程为2x十y-1= 0;当k=0时，直线方程为y=1.综上， 可得直线方程为2x十y一1=0或y=1. 11.2x+3y-1=0 解析：P(2,3)在已知的两条直线 上， ,2a1+3b1=1点Q1(a1, 2a2+3b2=1, 以对闪·高考一轮复习金卷数学 b1),Q2(a2,b2)是直线2x十3y-1=0 上的两个点，故过Q1,Q2两点的直线方 程为2x十3y-1=0. 12.(-1,0)-√3 解析：点A(一4，√3)关于x轴的对称点 为A'(-4,-√)，则直线A'B:y= 、33与x轴交于点(-1,0)，所以 3 光线l与x轴的交点为（一1,0）.由入射 角是60°，得折射角是30°，且光线经过 点(-1,0)，得出折射光线所在直线方 程为y=一√3x一√3，所以纵截距为 -√3. 13.解：依题意知k4c=-2,A(5,1),所以 直线AC的方程为2x十y-11=0.联 立直线AC和直线CM的方程，得 2x十y-11=0,所以C(4,3).设 2x-y-5=0, B(xoo),AB的中点M为()， ）,代入2x-y-5=0,得2。 y。-1=0,所以2x。-1=0所 x。-2y0-5=0, 6 以B(-1,-3),所以kc=号，所以直 线BC的方程为y一3三气(x一4)，即 6x-5y-9=0. 14.解：(1)AC的中点为(0,1)，该点也为 BD的中点，设点D(a,b),根据中点坐 标公式得到“十4=0,6十1=1，解得 2 2 a=-4,b=1,所以D(-4,1). (2)B(4,1),C(2,3),故得BC的斜率为 3-1 k=2一4 =-1,代入点B(4,1)的坐 标可得到直线BC:x十y一5=0， 所以点A到直线BC的距离为 -2-1-5=42 √2 又根据两点间距离公式得到|BC= 2√2，所以平行四边形ABCD的面积为 4√2X22=16. (3)设点M(x,y),则|MA=|MB= |MC|,即(x+2)+(y十1)2=(x- 4)2+(y-1)=(x-2)+(y-3), 化两每”。将得仔 y=0, 所以外心M的坐标为(1,0). 一。能力提升练。 1.D因为直线3x十2y一3=0和6x十 my十1=0互相平行，所以3：2=6：m, 所以m=4.直线6.x十4y十1=0可以 转化为3x十2y十号=0，由两条平行直线 11 2 -(-3) 间的距离公式可得d= √3+2 2 2 7√3，故选D. √/13 26 2.A由题意知，点M在直线l1与l,之间 且与两直线距离相等的直线上，设该直 244 线方程为x十y十c=0,则c十7 c+5,即c=-6.点M在直线x十 √2 y一6=0上，.，点M到原，点的距离的最 小值就是原，点到直线x十y一6=0的距 离，即6=32，故选A. 3.Cl1:λ(x-y+2)+2x+y-5=0, 由622写-06都得6二8数4 y=3, 过定，点A(1,3).l2:k(x-2y十1)十x十 x-2y十1=0·解得 y-5=0,由z+y-5=0, 红=3故12过定点B(3,2),故1l y=2, 间距离的最大值为AB=√5.此时， 1-λ 1=2,则入=4， 二一R k+1 1-2k =2,解得k=1,故λ十k=5. 故选C. 4.B 由心+”200释 P(1,1),直线l:k(x+1)十2-y=0,所 以直线1过定点A(一1,2)，所以当直线 AP与直线L垂直时，点P到直线L的距 离最大，且最大值为|AP= √(1+1)+(1-2)7=5.故选B. 5.C直线AB的方程为x一y十3=0，如 图，P点关于y轴的对称，点为E(1,0),设 点E关于直线AB的对称点为F(x,y), y-0 则x1 =-1. x+1_y+0+3=0, 解得 2 2 r=一3·则F(-3,4).设点P(-1,0) y=4, 射出的光线交y轴于点C,交直线AB于 点D,则光线所经过的路程为|PC十 CD+DP=EC+CD+ DP=ED+DP=FP= √/(-3+1)2十(4-0)2=2W5. 故选C. 6.D当k=0时，l1:y=2,l2:x=2,所 以交点P(2,2),所以P到直线x一y 4=0的距离d=12-2-4=22: √② 当≠0时，由虹y十2=0解得 x十ky-2=0, 2-2k 1+2, y=2+2所以P(二E 1十2'1+： 所以P到直线x一y-4=0的距离d= 2-2k2+2k 1十k21十k2 4 √2 ,若k>0,则k十友 2x =2,当且仅当k=1时取等 1 号，若<0,则k十石=-[(-k)十 ]≤-2)x =-2,当且 仅当k=一1时取等号，所以 (k+)∈(-∞，-2]U[2,+∞)，所 以4 1 ∈[-2,0)U(0,2],所以 k十 4十1 ∈[2,4)U(4,6],所以 6 +k 4 4+ 1 6 d= 的最大值为 = √2 2 3√2.综上可知，点P到直线x一y一4= 0的距离的最大值为3√2.故选D. 7.ACD对于A,两条直线l1,l2的方程分 别为3x+4y+12=0与ax+8y-11= 0,若l1∥l2,则3X8一4a=0,解得a= 6,经检验，满足两直线平行，故A正确； 对于B,若l1∥l2,则a=6,所以两平行 11 线间的距离d 12十2 -2 ,故B √/32+42 错误；对于C,若l1⊥l2,则3a十32=0， 解得a= 32,故C正确；对于D,由选 3 项A,得若a≠6，则直线l1与l2一定相 交，故D正确.故选ACD. 8.ABD对于A,如图1所示，设点A(3,1) 关于直线2x-y=0的对称点为A(x1, 小，南1x2=1, y1-1 解得 3+x1_1十y1=0, 2×2 2 A1(一1,3)，所以将军在河边饮马的地点 的鱼标为C(侵，3），故A错误：对于B. 如图2所示，因为点A(3,1)关于直线 y=0的对称点为A2(3,一1)，将军先去 河流n饮马，再返回军营的最短路程是 BA2=/(6-3)2十(3十1)2=5， 故B错误；对于C,如图3所示，因为点 B(6,3)关于直线y=0的对称点为 B1(6,-3),点A(3,1)关于直线2x y=0的对称点为A1(一1,3)，所以将军 先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后 返回军营的最短路程|A1B1=√85， 故C正确：对于D,如图4所示，设点 B(6,3)关于直线2x 一y=0的对称，点 为B,(x2,y2),由 2×6+-3+y=0, 得（吕， 2 2 )点A(31)关于直线y=0的对称 点为A2(3,一1)，将军先去河流n饮马， 再去河流m饮马，最后返回军营的最短 路程是A2B2= √1885，故D错误。 5 故选ABD. m/ / B 图1 图2 y B B ----B n F O/A B 不HA, 图3 图4 9.10 解析：由题可得 2 2,解得=-4, 此时11的方程为x一2y十m=0;l2的 方程为x一2y-4=0,则2√5= m十4 ,即|m十4=10，解得m=6 √1+22 或m=-14,又m>0,所以m=6,故m- n=10. 10.2√5(2,4) 解析：设平面内任一点M,因为MA十 |MC≥|AC|=2√5，当且仅当A, M,C三点共线，且M在A,C之间（包 括A,C)时取等号.同理，MB十 MD≥|BD,当且仅当B,M,D三 点共线，且M在B,D之间（包括B,D) 时取等号，连接AC,BD交于一点 M(图略)，此时|MA十|MC十 MB十MD最小，则点M即为所 求点因为三9=2，所以直线 AC的方程为y-2=2(x-1),即2x一 5-(-1) y=0①.又因为kD= 以直线BD的方程为了。 1-7 -(x-1),即x十y-6=0② 装金D得化y””0. 解号三：背以M2, 11.(2,0)或(0，-2) 解析：设C(x,y),AB的垂直平分线的 方程为y=一x,△ABC的外心为欧拉 线方程x一y十2=0与直线y=一x 的交点M(-1,1),.MC|=MA= W10,.(x+1)2+(y-1)2=10①， 由A(-4,0),B(0,4),△ABC的重心 为（写，宁），代入欧拉线方程 3 x-y十2=0，得x-y-2=0②. y可得x=2,y=0成 y=-2.故顶点C的坐标是(2,0)或 (0,-2). 12.1 解析：直线l1:mx一y十m=0,即 m(x十1)-y=0,恒过定点(-1,0)， 直线l3:(m十1)x-y+(m+1)=0, 即(x十1)十x一y十1=0，也恒过定 点(-1,0)，所以直线1与l3相交于定 245 点A(-1,0). 由 x+my-m(+1)=0, 解 (m十1)x-y+(m十1)=0， 得 x=0, 可知直线l,与直线l3 y=m+1, 相交于，点B(0,m十1).又因为直线l1 与直线l2互相垂直，所以△ABC是C 为直角的直角三角形，因为，点A到(2： x+my一m(m十1)=0的距离 |AC|= -1-m(m十1) w/1+m m十m+1,点B到l1:mx一y十m= √1十m 0的距离BC= -m-1十m m+1 ，所以△ABC的面积S= m2+1 ACBC=×m+m 1 2 m2+1 (+）m≤0时，△ABC的 面积不可能取到最大值；>0时， n 1 m2+10 。,当且仅当m= 1 n 1时，等号成立.因此，当m=1时， △ABC的面积S有最大值子×(1中 )=是 3.解：由题意知直线l1,l2恒过定点P(2, 4),直线11的纵截距为4一k,直线l,的 横截距为2k2十2，如图，所以四边形的 面积S=号×262×4+4-6十4)× 2 2× 1 =4k2一k十8，故四边形面积最 小时，k= 1 8 P2,4) 4.解：(1)如图，以河岸1所在直线为x轴， 以过M且垂直于l的直线为y轴建立平 面直角坐标系，则可得点M(0,10), N(83,8). M N 171 N 设点P(s,t),过P作平行于x轴的直线 ,作N关于m的对称点V1,则 N1(83,2t-8), 所以PM+PN=PM+PN1≥MN1= W/(8√5-0)+(2t-8-10)2 = 2√/A2-18t+129(0<t<8). (2)设三段水管总长为Lkm,则由(1) 知L=PM+PN+PQ≥MN,+ PQ=t+2√t-18t+129(0<t<8), 所以(L-t)2=4(t2-18t十129)在 t∈(0,8)上有解，即方程3t2十(2L 参考答案 72)t+(516-L2)=0在t∈(0,8)上 有解，故△=(2L-72)2-12(516 L2)≥0，即L2-18L-63≥0，解得 L≥21或L≤-3， 所以L的最小值为21，此时对应的t= 5∈(0,8).故N1(8V5,2),MN1的方 程为y=10- 3x, 令y=5,得x=5W3,即P(5√3,5)，从而 PM=√(5V3)+(5-10)2=10(km), PN=W(53-8√3)+(5-8)2 6(km). 所以满足题意的P点距河岸5km,距 小区M到河岸的垂线5√3km,此时污 水处理站到小区M和V的水管长度分 别为10km和6km: 考点练46 圆的方程 。基础巩固练” 1.D由题意，得x2十y2-2x十6y=0. 即(x一1)2十(y十3)2=10，则其圆心坐 标为(1，一3)，则圆心到直线x一y十2= 0的距离为1-（-3)+2=32.故 √/12+(-1)2 选D. 2.C根据题意，若方程表示圆，则有 (2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解 得a<1.故选C. 3.A圆(x-1)+(y-1)2=2的圆心 C(1,1),半径r=√2，因为|PC= √/(a-1)2+(10-1)2= J(a-1)2+81>√2，所以点P(a,10) 在圆外.故选A 4.D设圆心坐标为C(2b十2，b),由圆过 A(0,4),B(4,6)两点，可得AC= |BC1,即[(2b+2)-0]+(b-4)2= [(2b+2)-4]2+(b一6)2，解得b=1, 可得圆心为(4,1)，半径为5，则所求圆的 方程为(x一4)2+(y-1)2=25.故 选D. 5.A分别令y=0和x=0,得 z2十Dx十F=0,由于圆与两个坐标 y2+Ey+F=0. 轴都相切，因此两个一元二次方程均有 两个相等的实根.分别令△=D 4F=0和△，=E2-4F=0,即可得到 D=E2=4F,A正确，B,C,D均错误， 故选A. 6.C设C(x,y),由题意知，AB= √(3-4)2+(5-2)=√10，因为 △ABC是以BC为底边的等腰三角形， 于是有|CA=AB=√10，即点C 的轨迹是以A为圆心，√I0为半径的 圆，又，点A,B,C构成三角形，即三点不 可共线，则轨迹中需去掉，点B(3,5)及，点 B关于点A对称的点(5，一1)，所以，点C 的轨迹方程为(x-4)”十(y-2)= 10(3x十y-14≠0).故选C. 7.AD令x=0,则y=4;令y=0,则 x=2.所以设直线2x十y一4=0与两 坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2, 0),AB=√2十4F=25,以A为 圆心，过点B的圆的方程为x2十(y 2对勾·高考一轮复习金卷数学 4)2=20.以B为圆心，过点A的圆的方 程为(x-2)2+y2=20.故选AD. 8.ABD圆心坐标为(k,k),在直线y=x 上，故A正确；令(3一k)十(0-k)2 4,化简得2k2-6k十5=0，△=36 40=-4<0,.2k2-6k十5=0无实 数根，故B正确；由(2-)2+(2-k)= 4,化简得k2一4k十2=0，△=16 8=8>0,有两个不相等的实数根，∴.经 过，点(2,2)的圆C有两个，故C错误：由 圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D正 确.故选ABD. 9.1 解析：圆C:(x一2)2+(y+m一4)2=1 表示圆心为C(2,一m十4)，半径r=1的 圆，则OC=√/22十(-m十4)2，所 以当m=4时，OC|的最小值为2，故 当m变化时，圆C上的点与原，点的最短 距离是OC-r=2-1=1. 10.(x-3)2+(y-2)2=4 解析：：圆(x十1)2+(y-2)=4的 圆心（一1,2）关于直线x=1对称的点 为(3,2)，.对称圆的圆心为(3,2)，半 径为2，故对称圆的方程为(x一3)十 (y-2)2=4 11.2 解析：：x2十y2-2(m-1)x十2(m 1)y十2m2-6m十4=0表示圆， .[-2(m-1)]2十[2(m-1)]2 4(2m2-6m+4)>0,.m>1.又圆C 过原点，.2m-6m十4=0，∴.m=2 或m=1(舍去)，.1=2. 2.x-2+(-)=盟 解析：由A(一2,1)，B(4,1),G(3,3), 可得AB中点为M(1,1),AG中点为 N(分2)，BG中点为P(经，2)设 △ABC的九点圆方程为x2十y十Dx Ey十F=0,代入M,N,P三，点坐标，可得 1+1十D+E十F=0, 4十4十7D+2E+F=0, 49 4 +4士2D+2E+F=0 D=-4, 解得E、1 '即x2十y2-4x F=25 4 17 4y士空三0，化简可得九点圆的标准 4 方程为x-2+(-智)=5 64 13.解：(1)设线段AP的中点为M(x,y). 由中点坐标公式可知，点P的坐标为 (2x-2,2y). :A(2,0)为圆0：x2十y2=r2上一 点，∴.圆O的方程为x2十y2=4.又点 P在圆0上，.(2x-2)2十(2y)2=4, 即(x-1)2+y2=1,故线段AP中点 的轨迹方程为(x一1)2十y2=1. (2)设线段PQ的中点为V(x,y). 在Rt△PBQ中，PN|=BN|,连接 ON(图略)，则ON⊥PQ, ..OP=ON+PN=ON+ |BN2, .x2十y2+(x-1)2+(y-1)2=4, 即x2+y2-x-y-1=0. ∴.线段PQ的中点N的轨迹方程为 x2十y x-y-1=0. 246 14.解：(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆 C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8. ·直线y=x与圆C相切于原点O, .点O在圆C上，且直线OC垂直于直 线y=x, a2+b2=8, 于是有b=一1， a 解得亿二2，或份二22 由于C(a,b)在第二象限，故a<0,b> 0,故8二22 .圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. (2)存在. 设存在符合条件的点Q(x,y),则 /(x+2)+(y-2)=8, (x-4)2+y2=(4-0)2+(0-0), 4 解得 12 y=5 y=0 :圆C上存在点Q(信，号)，使点Q到 点F(4,0)的距离等于线段OF的长， 一能力提升练 1.Cx2十y2十kx十2y十k=0化为标 12 准方程为(x+)+0y+1)=1 k,所以当k=0时圆的半径最大，面 积也最大，此时直线的斜率为一1，所以 倾斜角为3.故选C 2.C由圆C:(x-a)”+(y-b)2=1经 过点A(3,4),可得(3-a)2+(4-b)2= 1,即(a-3)2十(b-4)2=1,故圆心(a, b)的轨迹是以A(3,4)为圆心，1为半径 的圆，又|AO=√/3+4=5，所以圆 心到原，点的距离的最大值为5十1=6. 故选C. 3.B直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5 1=0,即(2x十3y-1)λ十(3.x-2y+ 0=0,由任+y二8每得 女=，1·即p(-1,1).圆C:(x y=1, 2)2+(y+3)=16的圆心C(2,-3), PC|=5,所以所求圆的标准方程为 (x-2)2十(y十3)2=25.故选B. 4.D点A(-1,-1),B(-2,0),C(6 -2),设P(a,b),则|PA2+PB2+ |PC12=(a+1)2+(b+1)2+(a+ 2)2+b+(a-6)2+(b+2)2=3a2+ 3b2-6a+6b+46=3[(a-1)2+(b+ 1)]十40，因为点P在圆E:x2十y2=1 上运动，所以(a一1)2十(b十1)2表示圆 E:x2+y2=1上的点到点D(1,一1)的 距离的平方，所以(a一1)2+(b十1)2的 最小值为(|OD一r)=(2-1)2= 3-2√2，即PA2+PB2+PC2 的最小值为3×(3一2√2)十40=49 6√2.故选D. 5.C由圆x2+y°+4x-12y+1=0知 其标准方程为(x十2)2十(y一6)2= 39,,圆x2+y2+4x-12y+1=0关 于直线ax-by十6=0(a>0,b>0)对 称，.该直线经过圆心（一2,6)，即 -2a-6b+6=0,,.a+3b=3(a>0,