拓展专题07 解析几何中的五大非常规问题：隐圆、阿氏圆、蒙日圆、阿基米德三角形、光学性质（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

拓展专题07 解析几何中的五大非常规问题： 隐圆、阿氏圆、蒙日圆、阿基米德三角形、光学性质 题型1 隐圆 （重点） 题型4 阿基米德三角形（重点） 题型2 阿氏圆 题型5 圆锥曲线的光学性质（常考） 题型3 蒙日圆（难点） 【重要方法与结论】 一、隐圆 1.“隐圆”的概念 在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”. 比如，当一些点满足到定点的距离等于定长、圆周角相关定理（如同弧所对圆周角相等）、四点共圆等条件时，就可能存在隐圆.通过发现这些隐藏的圆，就能利用圆的性质（如半径相等、圆心角与圆周角的关系等）来解决几何问题，简化思考过程. 2．四种常见“隐圆”： ⑴定义圆：即符合圆的定义，题干中给出条件：在平面内，某动点到定点的距离等于定长，则该动点的轨迹是圆. ⑵斜率圆：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合是圆（除去定点所在垂直于轴的直线与曲线的交点）. ⑶数量积圆：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的轨迹是圆.. ⑷平方圆：在平面内，到两定点距离的平方和为定值点的集合. 二、阿氏圆 1．阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明 【定理1】设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， （1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； （2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ 当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足，由阿氏圆定理，，则，∴① 同理，∴② 由①②消OA得：，即，即，由①②消R得：， 因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且或． 三、蒙日圆 1.蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 2.蒙日圆方程的证明 如图1，设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 证明：证法一（解析法+韦达定理）：①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）： ①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，设（且），切点，则切线． 在切线上，，由两点确定一条直线得直线的方程为． ， 即在圆的方程为，又在直线：上，，可得， ， 又， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 四、阿基米德三角形 1.阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2.过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. （5）的最小值为. 五、圆锥曲线的光学性质 1.椭圆的光学性质 如图所示,从椭圆的一个焦点发出的光线,被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图所示,椭圆在点P处的切线为l,直线交直线于点Q,则PQ平分由角平分线性质定理可得 2.双曲线的光学性质 如图所示,从双曲线一个焦点发出的光线,被双曲线反射后,反射光线的反向延长线交于另一个焦点,如图所示,双曲线在点处的切线l与直线相交于点Q,则PQ平分,由角平分线性质定理,可得 3.抛物线的光学性质 如图所示,从抛物线的焦点F发出的光线,被抛物线反射后,得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线;如图所示,设抛物线在P处的切线l交对称轴于点切线l交对称轴于点M,则焦点F是的中点. 题型一 隐圆的应用(共7小题) 1．（平方圆）（25-26江西抚州高三上·期中联考）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 2．（定义圆）（2026·全国·模拟）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线过定点，直线过定点，又直线， 因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径， 圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1， 则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点， 于是，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 3.（斜率圆）已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围， 又圆心到的距离，圆的半径为2， 所以的取值范围为，即. 4.（数量积圆）（2026·河南郑州·模拟）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，， 则，即， 化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 又，所以三点共线， 显然当直线与此圆相切时，的值最大. 又, 则, 则. 故选：C. 5．（斜率圆）（2026·浙江嘉兴·模拟）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆， 因，故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：. 故选：B. 6．(定义圆)（25-26高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设知，圆C的圆心坐标，半径为1， 因为，所以． 设P为MN的中点，所以． 所以点P的轨迹方程为． 其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 设点M，N，p到直线的距离分别为，d， 所以，，， 所以． 因为点C到直线的距离为， 所以，即， 所以．所以的取值范围为．    故选：A． 7.（数量积圆）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】 设，则，， 整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离， 又在圆上，故的最大值是.故选B. 题型二 阿氏圆(共7小题) 8．（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立两直线方程求出点的坐标，消去参数得到的轨迹圆；再构造点，把转化为，利用三角不等式求最小值． 【详解】设． 由，解得 于是 所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点． 由得 因此即． 于是 又，，故线段与圆有唯一交点． 该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得； 此时在线段上，等号成立． 所以的最小值为，A正确． 9．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】将圆用阿氏圆表示，得到，将问题转化为求最小值问题，利用二次函数求最值即可得到． 【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上， 将圆变形为： 即， ，当且仅当三点共线时取等号； 设，则，当且仅当时取等号； 所以，故 所以的最小值为， 故选：B． 10．（多选）（25-26高二上·湖北孝感·期中）平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”.已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是： B．点的轨迹关于直线对称的圆的方程为 C．已知点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则直线CD的方程为 D．已知点为坐标原点，若点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为E，F，则四边形OEMF面积的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可. 【详解】设，又，，所以， 所以，所以， 整理得，故选项A正确； 由，可得圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则：的中点为，所以 解得且， 因此，对称圆的圆心为，所以对称圆的方程为，故B错误； 因为，所以，点在圆外，可以作两条切线。 又， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 即，两圆方程相减得， 整理得，故选项C正确； 的方程为，圆心，半径. 因为， 又，所以， 的最小值是点到直线l的距离：， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 11．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是________. 【答案】 【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则、，设， ∵，∴， 两边平方并整理得：， 可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 要使的面积最大，只需点到（轴）的距离最大， 所以当点坐标为或时，面积的最大值是. 12．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． (1)过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)的最大值：，的最小值：. (3)当时，为定值，当时，为定值 【分析】（1）使用几何法求直线与圆弦长问题，计算直线的斜率求解； （2）通过圆的定义确定点的轨迹，得出点的轨迹方程，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题求解； （3）设，使用解析法计算定值求解. 【详解】（1）设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆， 当直线斜率不存在时，直线方程为：，直线被曲线所截得的线段长为，符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：， 圆心到直线的距离为：，则，解得，即，，此时直线方程为：，即， 所以直线的方程为：或. （2）设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， 的最大值：，的最小值：. （3）设，则，即， ， 设，， 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 题型三 蒙日圆（共5小题） 13．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆（）的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在x轴上，A、B是椭圆E上的任意两点，动点P在直线上.若存在为钝角.则椭圆E离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，直线与圆相交，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆的蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，存在满足为钝角， 即存在点在圆内， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相交， 所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：B. 14．（多选）（2026·湖南邵阳·三模）数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为50 C．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为 D．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据蒙日圆的定义，求得，得到椭圆的离心率，可判定A不正确；设矩形的边长分别为，结合基本不等式，求得，可判定B正确；根据直线与圆的位置关系，列出不等式，可判定C正确；根据直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧，结合临界状态，结合点到直线的距离公式，可判定D正确. 【详解】对于A，由题意知，正方形的对角线的长度等于蒙日圆的直径， 即，所以，所以椭圆的离心率，所以A不正确； 对于B，设矩形的边长分别为，则， 由不等式，所以，可得， 所以矩形的面积的最大值为50，所以B正确； 对于C，设直线的方程为，且蒙日圆方程为， 由，解得，所以C正确； 对于D，如果点到两条直线的距离之和与点的位置无关， 可得直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧， 临界状态就是与蒙日圆相切，且蒙日圆的方程为， 此时满足，且，解得， 所以的取值范围是，所以D正确． 15．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）18世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理；椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______ 【答案】 【分析】先根据题意求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系求出. 【详解】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为， 圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 因圆与圆有且仅有一个公共点， 则或， 即或（无解），得， 故的值为. 16．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆C的两个焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与C交于A，B两点（不是椭圆顶点），且，求面积的最小值； (3)过C的蒙日圆上一点M，作C的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3) 依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或， 则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 与椭圆相切，，即， 设，，， 由消去得：， ，，， 要保证直线，斜率存在，则，从而，； 则 ， 所以为定值． 【分析】（1）由焦点坐标及椭圆所过点计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线可解出，即可得，结合，同理可得，再利用三角形面积公式表示出面积后利用基本不等式计算即可得解； （3）由题意可得蒙日圆的方程为：，再分直线斜率存在于不存在进行讨论，当斜率不存在时，可直接计算出，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关一元二次方程，利用切线性质可得其，再联立直线的方程与蒙日圆的方程，可得与交点横坐标有关一元二次方程，则可得相应韦达定理，再借助韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）依题意，，解得，， 所以C的标准方程是； （2）因为A、B不是椭圆C的顶点时，由， 设直线方程为，，则直线方程为， 由可得， ，同理， ， 而，因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为； （3）略 17．（2025·四川凉山·一模）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过P作的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． （ⅰ）证明：直线AB过定点； （ⅱ）若直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）如图所示， 设，，，， 显然抛物线在点A处的切线斜率存在且不为0， 设点A处的切线方程为，则由， 得， 由 ，得，解得， 在点A处的切线方程为，即， 同理得点B处的切线方程为， 设，由题意得，即直线AB的方程为， 所以，直线AB过定点． （ⅱ）． 【分析】（1）根据椭圆的蒙日圆半径、离心率列等式求解a、b即可； （2）（ⅰ）设，，求出两条切线的直线方程，设，根据P点在两条切线上列出对应的等式，进一步比较等式的形式及结合A、B在直线AB上可得AB的方程，再据此求出直线AB所过的定点； （ⅱ）设直线AB的方程为，利用弦长公式求出、关于t的表达式，进一步得到关于t的表达式，最后结合对勾函数的图像性质即可证明． 【详解】（1）如图所示， 显然直线 ， 与相切，且相互垂直，则它们的交点在蒙日圆上， 则由题意得，解得，， ． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设直线AB的方程为，由得， ，， 从而， 又由得， ，， 从而， （当且仅当时，等号成立）， 令，则， 由对勾函数的图像性质可知在上单调递增， 所以，所以取值范围为． 题型四 阿基米德三角形（共5小题） 18．（2026·青海西宁·二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，设直线为，代入抛物线方程，由韦达定理得，设过的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线为，同理得过的切线斜率为，过点B的切线为，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值． 【详解】设且，直线，联立， 整理得，则． 设过点的切线方程为，联立， 整理得，由，可得， 则过A的切线为：，即，即，即， 同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：， 联立两切线，则， 所以两条切线的交点在准线上，则， 两式相减得， ，可得，， 又因为直线的斜率为，（也成立）， 如图，设准线与轴的交点为， 的面积， 当轴时，最短（最短为），也最短（最短为）， 此时的面积取最小值． 故选：B 【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式讨论最小值情况. 19．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 【答案】ABC 【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程为和，得到，进而可判定A正确；点在直线上，进而得到底边的直线方程，可判定B正确；设直线，联立方程组，根据，可判定C正确；取的中点，化简得到的面积为，可判定D不正确. 【详解】依题意设，，由方程，可得，则， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 可得A处的切线方程为：，即， 化简可得，所以直线的方程为， 同理可得：直线BM的方程为，所以， 则， 因为，解得，即，所以A正确； 因点在直线上， 可得，， 即在上，在上， 所以底边的直线方程为，所以B正确； 设直线，联立方程组，整理得， 则且，， 因为，所以， 所以是直角三角形，所以C正确； 取的中点，连接，根据抛物线的定义，可得平行轴， 所以 因为，，所以， ， 代入可得， 当时，，所以D不正确. 故选：ABC.   【点睛】 方法点拨：圆锥曲线中的最值问题的分类及求解策略： 20．（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）被誉为“数学之神”的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线：y＝8与抛物线C：交于A，B两点，则弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为_______． 【答案】/ 【分析】首先根据导数的几何意义求点处的切线方程，再根据阿基米德定理求面积. 【详解】首先得到弦的两个端点的坐标分别为，， ，，， 该两点处的抛物线的切线方程分别为，，联立两条切线求得交点坐标为， 从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为， 故弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为． 故答案为： 21．（2025·宁夏银川·三模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由条件求得，即可得到抛物线的方程，通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （2）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点. 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得，则， 所以的斜率为的斜率为1，则， 所以. （2）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点，， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上，所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上，所以， 即，所以， 所以， 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 22．（24-25高三下·青海海东·阶段检测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，（与不关于轴对称）是上两点，且三点共线，为阿基米德三角形，是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点. (1)证明：点在的准线上； (2)证明：； (3)已知为坐标原点，与弦交于点，求的最小值. （附：抛物线以点为切点的切线方程为） 【答案】(1) 设，，因为三点共线，所以AB的方程为. 联立得，所以. 以A为切点的切线方程为，以B为切点的切线方程为， 两切线方程联立可得， 所以交点在的准线上. (2) 将代入，可得. 因为，所以，则点P的坐标为. 焦点，则， 所以，故. (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可知，所以. 由于抛物线的对称性，可令， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 因为与互补，所以， 故的最小值为. 题型五 光学性质（共9小题） 23．（2026·重庆江津·三模）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且 则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用椭圆的定义得到线段之间的关系，再结合余弦定理建立关于的方程，进而求出离心率. 【详解】设，所以，故，，则 在中，， 即， 化简为，解得：， 在中，根据余弦定理，， 即，化简为 两边同时除以得：，则离心率.    24．（2026·河北邢台·三模）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上顶点为，为上一点，在点处的切线为，过点 且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，若的面积，到的距离之和为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，分别过作直线的垂线，再由到的距离之和为，求得，设，则，求得，得到，在中，利用余弦定理，化简求得，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为 ，可得， 如图所示，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， 又因为到的距离之和为，所以，则， 设，则， 所以， 则， 可得，所以，则， 由余弦定理得， 所以，即，可得， 所以椭圆的离心率为. 25．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，从点发出的光线经过图2中的点，反射后，分别经过点，，且，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题干中给的光学性质，可将图2中的反射光线反向延长，再根据双曲线的定义列出等式，在焦点三角形中构造关于a，c的齐次式，计算离心率． 【详解】 由题意可知，延长，则必过点，如图所示： 因为，设，则，， 由双曲线定义可得，， 由可得， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 化简可得， 即，因为，故； 在中，由余弦定理可得 ，即， 化简可得：， 即， 代入得：，化简可得， 故． 26．（2026·新疆·二模）圆锥曲线具有丰富的光学性质，如双曲线的一个光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可知，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，是双曲线C：的左、右焦点，过双曲线C右支上一点（）作直线l交x轴于点，过点作，垂足为H，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，并与双曲线方程联立可得直线与双曲线相切，再结合双曲线定义求解. 【详解】由双曲线C：，得， 延长交于点，依题意，，即， 直线的斜率，方程为， 由消去并整理得，则， 直线与双曲线相切，由双曲线的光学性质可知，平分，即， 所以. 27．（2026·青海西宁·二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过抛物线上另一点反射后射出，经过点，且轴，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先设出直线的方程及，根据题意可得到的坐标，联立抛物线方程后根据韦达定理得到的值，进而可得到的坐标，根据抛物线的定义可得结果. 【详解】由抛物线得其焦点为，如图： 设直线的方程为， 由题意知轴，，所以点的纵坐标为， 代入抛物线方程，可得，所以的坐标为. 由消去，得，所以， 所以， 由抛物线的定义知， 所以． 28．(多选)（25-26高二上·山西太原·期末）双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则的面积为 【答案】BCD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误； 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以，B正确； 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确； 对于D，因为，， 由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 29．（25-26高三上·河北衡水·期末）椭圆､双曲线､抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点其实就是光线的聚焦点，这说明圆锥曲线具有丰富的光学性质.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图，在椭圆内存在一个圆形的光线吸收区，光线进入后将无法继续射出（光线与圆相切时，不会被吸收），椭圆的左､右两个焦点坐标分别为，圆的方程为：，现从发出一条光线，当入射光线的倾斜角为时，在点处始终能够接收到光线，则该椭圆离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设，利用，求出用a表示的点P的坐标，再将其代入圆心到直线距离中化简得到a的取值范围即可求解. 【详解】由题可得，， 设，则，即， 联立整理得，即， 解得（舍去），或， 当时，，符合， 由题意可得圆的圆心到直线距离， 到直线距离， 所以，即， 所以， 因为，所以恒成立，则， 所以该椭圆离心率满足 所以该椭圆离心率的取值范围为. 故答案为： 30．（24-25高一上·江苏无锡·期末）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 ，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为6，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 31．（2026·重庆江北·模拟预测）抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过准线方程得到抛物线方程中参数的值从而得到抛物线的标准方程； （2）设出切线方程，通过切线与抛物线方程的联立求出切点，从而得到法线方程，结合题目中的反射原理，通过向量的数量积得到夹角相等从而得证； （3）根据第2小问得到切线方程，联立得到任意点的坐标，结合向量的数量积来证明两个角的余弦值相等，从而证得两个角相等. 【详解】（1）抛物线的准线为， 则，解得， 因此抛物线的标准方程为. （2）抛物线的焦点坐标为，对称轴为y轴， 设为抛物线上一点（非顶点），如下图所示，    抛物线方程，求导可得， 所以点处切线的斜率为， 则切线方程为，即， 因为点处法线与切线垂直，所以法线的斜率为， 则法线方程为，即， 根据题目可知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角， 入射光线为，斜率为， 设反射光线的方向向量为，入射光线的方向向量为， 法线的方向向量为， 因为入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，即它们与法线的夹角的余弦值相等， 所以， 假设反射光线平行于y轴，即方向向量， 代入可得， ， 因为，，所以，满足光的反射原理，假设成立， 因此从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于顶点）， 反射后平行于抛物线的对称轴. （3）设切点，，，如下图所示，    由（2）可知，抛物线在处的切线方程分别为 ，， 联立可得，解得，代入可得， 即，焦点， 所以，，， 则， 同理， 因此， 因为， 所以. 2 / 24网（北京）股份有限公司zxxk.com zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题07 解析几何中的五大非常规问题： 隐圆、阿氏圆、蒙日圆、阿基米德三角形、光学性质 题型1 隐圆 （重点） 题型4 阿基米德三角形（重点） 题型2 阿氏圆 题型5 圆锥曲线的光学性质（常考） 题型3 蒙日圆（难点） 【重要方法与结论】 一、隐圆 1.“隐圆”的概念 在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”. 比如，当一些点满足到定点的距离等于定长、圆周角相关定理（如同弧所对圆周角相等）、四点共圆等条件时，就可能存在隐圆.通过发现这些隐藏的圆，就能利用圆的性质（如半径相等、圆心角与圆周角的关系等）来解决几何问题，简化思考过程. 2．四种常见“隐圆”： ⑴定义圆：即符合圆的定义，题干中给出条件：在平面内，某动点到定点的距离等于定长，则该动点的轨迹是圆. ⑵斜率圆：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合是圆（除去定点所在垂直于轴的直线与曲线的交点）. ⑶数量积圆：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的轨迹是圆.. ⑷平方圆：在平面内，到两定点距离的平方和为定值点的集合. 二、阿氏圆 1．阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明 【定理1】设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， （1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； （2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ 当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足，由阿氏圆定理，，则，∴① 同理，∴② 由①②消OA得：，即，即，由①②消R得：， 因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且或． 三、蒙日圆 1.蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 2.蒙日圆方程的证明 如图1，设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 证明：证法一（解析法+韦达定理）：①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）： ①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，设（且），切点，则切线． 在切线上，，由两点确定一条直线得直线的方程为． ， 即在圆的方程为，又在直线：上，，可得， ， 又， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 四、阿基米德三角形 1.阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2.过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. （5）的最小值为. 五、圆锥曲线的光学性质 1.椭圆的光学性质 如图所示,从椭圆的一个焦点发出的光线,被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图所示,椭圆在点P处的切线为l,直线交直线于点Q,则PQ平分由角平分线性质定理可得 2.双曲线的光学性质 如图所示,从双曲线一个焦点发出的光线,被双曲线反射后,反射光线的反向延长线交于另一个焦点,如图所示,双曲线在点处的切线l与直线相交于点Q,则PQ平分,由角平分线性质定理,可得 3.抛物线的光学性质 如图所示,从抛物线的焦点F发出的光线,被抛物线反射后,得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线;如图所示,设抛物线在P处的切线l交对称轴于点切线l交对称轴于点M,则焦点F是的中点. 题型一 隐圆的应用(共7小题) 1．（平方圆）（25-26江西抚州高三上·期中联考）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（定义圆）（2026·全国·模拟）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（斜率圆）已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 4.（数量积圆）（2026·河南郑州·模拟）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（斜率圆）（2026·浙江嘉兴·模拟）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．(定义圆)（25-26高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.（数量积圆）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（   ） A．1 B． C． D．2 题型二 阿氏圆(共7小题) 8．（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 10．（多选）（25-26高二上·湖北孝感·期中）平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”.已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是： B．点的轨迹关于直线对称的圆的方程为 C．已知点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则直线CD的方程为 D．已知点为坐标原点，若点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为E，F，则四边形OEMF面积的最小值是 11．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是________. 12．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． (1)过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 题型三 蒙日圆（共5小题） 13．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆（）的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在x轴上，A、B是椭圆E上的任意两点，动点P在直线上.若存在为钝角.则椭圆E离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）（2026·湖南邵阳·三模）数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为50 C．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为 D．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是 15．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）18世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理；椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______ 16．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆C的两个焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与C交于A，B两点（不是椭圆顶点），且，求面积的最小值； (3)过C的蒙日圆上一点M，作C的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，，证明：为定值． 17．（2025·四川凉山·一模）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过P作的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． （ⅰ）证明：直线AB过定点； （ⅱ）若直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围． 题型四 阿基米德三角形（共5小题） 18．（2026·青海西宁·二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 20．（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）被誉为“数学之神”的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线：y＝8与抛物线C：交于A，B两点，则弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为_______． 21．（2025·宁夏银川·三模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 22．（24-25高三下·青海海东·阶段检测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，（与不关于轴对称）是上两点，且三点共线，为阿基米德三角形，是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点. (1)证明：点在的准线上； (2)证明：； (3)已知为坐标原点，与弦交于点，求的最小值. （附：抛物线以点为切点的切线方程为） 题型五 光学性质（共9小题） 23．（2026·重庆江津·三模）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且 则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．（2026·河北邢台·三模）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上顶点为，为上一点，在点处的切线为，过点 且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，若的面积，到的距离之和为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，从点发出的光线经过图2中的点，反射后，分别经过点，，且，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 26．（2026·新疆·二模）圆锥曲线具有丰富的光学性质，如双曲线的一个光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可知，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，是双曲线C：的左、右焦点，过双曲线C右支上一点（）作直线l交x轴于点，过点作，垂足为H，则（    ） A．1 B． C． D．2 27．（2026·青海西宁·二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过抛物线上另一点反射后射出，经过点，且轴，则（   ） A． B． C．4 D． 28．(多选)（25-26高二上·山西太原·期末）双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则的面积为 29．（25-26高三上·河北衡水·期末）椭圆､双曲线､抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点其实就是光线的聚焦点，这说明圆锥曲线具有丰富的光学性质.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图，在椭圆内存在一个圆形的光线吸收区，光线进入后将无法继续射出（光线与圆相切时，不会被吸收），椭圆的左､右两个焦点坐标分别为，圆的方程为：，现从发出一条光线，当入射光线的倾斜角为时，在点处始终能够接收到光线，则该椭圆离心率的取值范围为__________. 30．（24-25高一上·江苏无锡·期末）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 ，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 31．（2026·重庆江北·模拟预测）抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 2 / 24网（北京）股份有限公司zxxk.com zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $