第4章 考点练27 三角函数、解三角形专训-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练27 三角函数、解三角形专训 CHU GONGGU LIAN 基础巩固练 ●答案：195页 1.(2024·江西鹰潭期末)设a为常数，函数y=f(x)=asin2x十 2cos2x(x∈R). (1)若a=√3，求函数y=f(x)的单调区间及周期T; (2)若函数y=f(x)为偶函数，令g(x)=2f(x)+1,求函数g(x) 的值域. 2.已知函数fx)=sime+}-cos(+)+sin(受+x): (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的2（纵坐标 不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若 ga)=-号，且e∈人，》求cos2a的值 3.(2024·天津卷)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已 9 知cosB6h=5,4=3 (1)求a的值； (2)求sinA的值； (3)求cos(B-2A)的值. 4.(2024·湖南长沙三模)在△ABC中，∠BAC,∠ABC,∠ACB的对 边分别为a,b,c,已知a=2,b=4. (1)若cos∠ABC+2cos∠BAC=ccos∠ACB,求∠ACB的值； 2)若D是边AB上的-点，且CD平分∠ACB,Os∠ACB=一号 求CD的长. 第四章三角函数、解三角形055 5.已知函数fx)=2simx+cos(2x-)-1. 1)求f()的值： (2)若x∈0，引求fx)的最大值和最小值： (3)若x∈[0，π]，t∈（一∞，0），讨论4f(x)一tf(x)+1=0根的 情况. 6.(2024·湖南衡阳模拟)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知向量m,n满足m=(2a,一√6)，n=(2sinB,b),且 m⊥n. (1)求角A; (2)若△ABC是锐角三角形，且a=3,求△ABC周长的取值范围. >0562对闪·高考一轮复习金卷数学 NENGLI TISHENGLIAN 能力提升练 ●答案：196页 1.已知函数f(x)=sin(π-wx)cos wx十cos'wx(w>0),y=f(x) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为平 (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐 标不变，再向右平移无个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，求 8 函数y=g(x)在区间0,4 上的值域. 2.如图，在平面内，四边形ABCD满足B,D点在AC 的两侧，AB=1,BC=2,△ACD为正三角形， 设∠ABC=a. 1)当a-号时，求AC: (2)当&变化时，求四边形ABCD面积的最大值， 3.(2024·北京卷)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, A为饨角，a-7,sin2B=5b 7bcos B. (1)求A; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知， 使得△ABC存在，求△ABC的面积. 条件0：6=7条件@：osB=号条件③cinA-5 2 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知S为△ABC的 面积，且45S+3(b2-a2)=3c2. (1)若b=2,求△ABC外接圆的半径R; (②》若△ABC为锐角三角形，求“十么的取值范同 5.(探究性问题)(2024·福建厦门外国语学校期末)在Rt△ABC 中，∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,C,已知os∠BAC a coS∠ABC+cos∠ACB b+c (1)求∠BAC; (2)已知c≠2b,a=2√3，点P,Q是边AC上的两个动点(P,Q不 重合)，记∠PBQ=0. ①当0=时，设△PBQ的面积为S,求S的最小值； 6 ②记∠BPQ=a,∠BQP=3.问：是否存在实常数0和k,对于所有 满足题意的a,B,都有sin2a+sin23+k=4 ksin a sin B成立？若 存在，求出0和k的值；若不存在，说明理由.号×AD×6×sin30,解得AD= 5b251+52=2 1十2 3+√3 方法二由余孩定理可得，22十b2一2X 2Xb×c0s60°=6，因为b>0,解得b= 1十5，由正孩定理可得，n60 √6 b sinC,解得sinB=6+2 2 sin B= 4 sin 乞，因为1十5>后>2，所以 C=45°，B=180°-60°-45°=75°， 又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°，即 AD=AB =2. 10.3 解析：由sin(∠BAC一π)= Esm(乏-∠BAC)可得-m∠BAC- V3cos∠BAC,若cos∠BAC=0,则 sin∠BAC=0,与sin∠BAC+ cos∠BAC=1矛盾，所以 cos∠BAC≠0，则tan∠BAC=-√3，： 又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC= 号，由Sa=子sin∠BAC 2c= 7 可得a=√7c,又 cos∠BAC=6+c2-a2 1 2bc 2,代 入a=√7c,b=6,可得 36+c2-7c2 12c =一2，化简可得36 6c2十6c=0,即(c十2)(c-3)=0,解 得c=3或c=-2(舍). 11.②③ 解析：对于①，由正弦定理可得AC sin B= sinA,则sinB=ACsinA BC BC 若AC>BC且∠A为锐角，则sinB= ACsin A>sin A,此时∠B有两解， BC 则∠C也有两解，此时AB也有两解； 对于②，若已知∠A,∠B,则∠C确 定由足孩文双品品了为A出 唯一确定；对于③，若已知∠C,AC, BC,由余弦定理可得AB= √AC+BC2-2AC·BCcos C,则AB 唯一确定；对于④，若已知∠A,∠C, ∠B,则AB不确定. 12e 4 解析：因为√2(a2十b-c2)=absin C, 所以由余弦定理2 abcos C=a2十b2 c2,得2√2 abcos C=absin C,所以 sin C=2v2 cos C,sin'C+cosC= 1,C∈(0，π)，则sinC=22, 3,cos C= 了，所以由余弦定理以及基本不等式得 1 =a2+b2-2abcos C=a2+b2- 之b之五2台=2、P红b三·当 3 3 且枚当Q=6=时等号成主，所 以SAAc= 2 absin C= 4 即△ABC面积的最大值为2 3.解：(1)在△ABC中，S= 2 ac sin∠ABC=2(a十c2 b)sin∠ABC,而0<∠ABC<π， 即sin∠ABC>0,a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得cos∠ABC= a2十c2-b2 2ac =合所以∠ABC=号 (2)在△ABC中，由等面积法得 S△A=S△BAD十S△KD, 即。BC·BA·sin∠ABC= BD·sin∠ABC 2 +BC·BD· sin≤ABC 2 即2×8X4X5=2X4XBDX 2=2 1 1 所以BD=12V5 7 4.解：(1)由余弦定理得a2十b2-c2= 2 abcos C,又因为a2+b2-c2=√2ab, 所以osC=驰-号，因为CE0, 2ab π)，所以sinC>0, 从而sinC=√1-cos'C= √-) 2 又因为sinC=√2cosB, 所以cosB=2' 1 因为B∈(0，π)，所以B= 3 (2)由(1)可得B= 3cos C= 2 2’ C∈(0，π)，从而C= 4,A=π-3 5π √6+√2 4 由正弦定理得 b 5π sin 12 s血 c,则a= 6十 4 L.2c= 5+1cb=5 2 2 c= 2c, 由三角形面积公式可知，△ABC的面 13+1 积s=absin C=· 2c· 号-+ 2c·2 因为△ABC的面积为3十√3，所以 3十5c=3十5，所以c=2E. 8 195 考点练27三角函数、解三 角形专训 一。基础巩固练一 1.解：(1)因为a=√5， 所以f(x)=√3sin2x+cos2x+1= 2m(2+)+1 <2红+≤2kx+k 令2k元一21 乙解得x-吾<x<kx十若k∈乙 即函数y=f(x)的单调递增区间为 [x-子+]∈z Z解得k红十行≤x≤x十k∈五 即函数y=∫(x)的单调递减区间为 +2如]，k∈7 k元十石kx士3 函数的周期为T=经=元 (2)f(x)=asin 2x+2cos'x asin 2x+ cos2x十1，函数y=f(x)为偶函数， 则f(-x)=f(x),即-asin2x十 cos 2x +1 asin 2x+cos 2x+1, 即asin2x=0, 由于x∈R,则a=0,故f(x)=cos2x十 1,则g(x）=2f(x)十1=2cos2x十3， 由于cos2.x∈[-1,1]，故g(x)∈ 1,5. .解：1)fx)=sim(z十F）-cos(x十 5）+sim(受+x）-sin zeos cos x sin-（cos xcos-sinx· 6 sin）+cosx=5si 1 2 sin x+2cos x √3 2cosx+sinx+cosx=5sinx十 osx=2sin(+） 由受+2≤x+≤警+2,6 乙，解得 3 十2kπ≤x≤ 4r十2k元， k∈Z, 即函数f(x)的单调递减区间为 [2x+号，2x+月k∈7 (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐 标缩短为原来的号（纵坐标不变）， 则得到函数f2x)=2sin(2x+石）的 图象，再向右平移工个单位长度，得到 6 函数g(x)的图象， 所以ga)=2sin[2(-若）+]- 2sin(2x-8). 若g(a)= 5则g(a)=2sin2a 君)=-号sin(2a-晋）=-子 参考答案 由a∈（，)，得2a-∈ （,）又sim(2a-g）<o, 所以2。-∈（0)则 os(a-)=√-()=青 故os2a=o(2a-音+) cos(2a-吾）os君-sm(2a-若）小 4W5+3 101 3.解：(1)设a=2t,c=3t,t>0,则根据 余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B, 即25=4f+91-2×2u×3t×16,解 9 得t=2(负舍)，则a=4,c=6. (2)因为B为三角形内角，©osB=6, 9 所以sinB=√1-cosB= √-() 161 再根据正弦定理得口。 b sinA=simB,即 4 ,解得nA= snA=5 4 16 (3)因为a<b,则A<B,所以cosA --÷ 则sin2A=2 sin Acos A=2X》 4 8 -,c0s2A=2c0s2A-1=2X 2 1 (）-1=8 cos(B-2A)=cos Bcos 2A+sin B. 2=品××-品 4.解：(1)由题意得2cos∠ABC+ 4cos∠BAC=2ccos∠ACB,所以 acos∠ABC+bcos∠BAC=2ccos∠ACB. 由正弦定理，得sin∠BACcos∠ABC十 sin∠ABC cos∠BAC=2sin∠ACB· cos∠ACB,即sin(∠BAC+∠ABC) 2sin∠ACBcos.∠ACB. 又sin(∠BAC+∠ABC)=sin∠ACB, 所以sin∠ACB=2sin∠ACBcos.∠ACB, 又sin∠ACB≠0，所以cos∠ACB=2 因为∠ACB∈(0，π)， 所以∠ACB=子 (2)由os∠ACB=一专得 2c0s2∠ACB 2 1=一，解得 1 c0s∠ACB 2 31 由S△Ac=S△AC+S△BDe, 得absin.∠ACB=合b·CD· 以励闪·高考一轮复习金卷数学 sin∠ACB+1。 2 a·CD·sin∠ACB 2 即2 ab cos∠ACB 2 =(a+b)CD, 2 abcos∠ACB 2 所以CD a+b 2X2X4X号 16 2+4 9 5.解：(1)依题意，f(x)=2sim'x十cos2x ）-1 所以f(后）=2sm若+cos(2×若 )-1=2×+1-1=2 (2)fx)=2sim'x十cos(2x-F） 1=1-0s2x+2os2z+5in2z 1 2 1= n2z-ms2z 2 sin(2x-） 由于0≤x≤受，所以-吾≤2x < 6 当2x-6 =一6x=0时，f(x)取得 最小值为 当2x-名- 6 2x= 音时，：)取得 最大值为1. (3)由上述分析可知f(x)= sim(2z-君） 由于0≤x≤，所以-行<2红-后 6 华，所以f)=2:-） [-1,1]. 由4f(x)-tf(x)十1=0得(4- t)f(x)十1=0， -1 则f(x)=4-2= 1 t-4 依题意t<0,所以4-t>4,t-4< -4→- << 1 画出f(x)=sin(2x-F）在区间[o, π]上的图象如图所示， 1 由于f(0)=f()=一2， 4 1 t-4<0, 结合图象可知方程4∫(x)一tf(x)十 1=0有2个根. 196 6.解：(1)，m⊥n, ∴，2a·√2sinB-√6b=0,即2a·√2· sinB=√6b. 由正弦定理得2 sin Asin B=√3sinB. simB≠0，sinA2 :A∈0x)A=号或A= (2).a=3,且三角形ABC为锐角三 角形， A=吾 b ·由正弦定理得nA=snB= 3 sin C =2√3 2 ..b=23sin B,c=23 sin C. ..b+c=23(sin B+sin C)= sin B+sin( inco 2cos B= 1 2 sin B+2 cos B) 6sn(B+君）， :△ABC为锐角三角形，·0<B<2, 又0<2 3 -B<<B< <B+若<号 2π 9<m(B-)<, 35<6n(B+晋)≤6 .33<b十c≤6，又a=3, 3+35<a十b十c≤9. ∴.△ABC的周长的取值范围为(3+ 33,9]. 一。能力提升练。— 1.解：(1)因为f(x)=sin(π一wx)COS wI十 cos wx sin ox cos wx +cos'wx 1 2sin2wx+(1士c0s2wx= 2W2 1 2sn2wx七经cos2wz+≥= 又由题可知=于所以子× 所以fx)=号n(2x十）+合， 令2kπ- 西≤x≤kx十8k∈五. Z,则kπ-8 所以函数(x)的单调递增区间为 (2)由(1)知f(x)= 号放由题意可得g红)=怎in(红 1 2 )+ 因为x∈0] 所以-∈[子] 元3π 故m)e[g 所以竖n()+∈[ 即e月 2 2.解：1)因为AB=1,BC=2,B=号 由余弦定理可得AC= √AB+BC2-2AB·BCcos B= .1 √1+4-2×1×2×2=5. (2)由余弦定理可得AC2=AB BC2-2AB·BCcos a=1十4-2X1X 2cos a =5-4cos a, 因为△ACD为正三角形，所以S△ACD= FAC 4 S△ABC= 之AB·BCsin a三2 ×1× 2sin a sin a, 所以S四边形ABD=S△AB十S△ACD sin a3cos a+ y5=2sin(a-子） 4 55 4 因为a∈(0，π)，所以a- ),所以sm(e-）e(] 所以S四边形ABCD 92+ 故当a=5严时，四边形ABCD面积的最 6 大值为2+5 4 3.解：1)由题意得2 sin Bcos B=号bcos B. 因为A为钝角， 所以cosB≠0，则2sinB=2b,则 b 2 a 7 =A=A解得 7 sin A=3 因为A为钝角，则A=2π 3 (②)选择①6=7，则mB= 得×7-号因为A-号所以B为经 3 角，则B=三 此时A十B=π，不合题意，舍弃. 选择②cosB= 14因为B为三角形内 13 角所以B(= 14 则代人2sinB=停6得2×35-. 14 解得b=3, smC=snA+B)=sin(爱+B） (←)×语- 1 SAAu =2absin Cx3x 55-155 14 4 选择③csin A= 9,则有×9 55,解得c=5, 2 则由正弦定理得AC吼 sinC,解得sinC 5 55 14 因为C为三角形内角，所以cosC= 则nB=sinA-c)=sn(经+C) 2π (←)×源- 14 则Sa度=合si=专X7X5X 35-15v5 14 41 解：(1)，S为△ABC的面积，且4w3S+ 3(b2-a2)=3c2, acsin B -3ea) 3X2 accos B,即tanB=√3,0<B< ，B=3 b .2R= 、2 sin B 解得R= sin3 3· (2)由0)可知，B=子 :。2+b_inA十sim2B sin2C sic+)+是 sin'C in o c) 、2 4sin'C 4sin'C+23sin C.cos C+6cos'C 4sin'C 197 1+5.1+3 ,、1 2'anC十2'an'c :△ABC为锐角三角形，B=子， ·音<C<号amC>g0< 3 1 tan C, √3 设无，则2一三之2大3 c2 2 1- 0<4<后时，左e,n 5.解：(1)因为os∠BAC a cOs∠ABC+cos∠ACB ,所以由正弦定 b+c 理可得cOs∠BAC sin∠BAC = coS∠ABC+cOs∠ACB sin∠ABC+sin∠ACB' 所以sin∠BACcos∠ABC+sin∠BAC· cos∠ACB=cos∠BACsin∠ABC+ cos∠BACsin.∠ACB, 所以sin∠BACcos.∠ABC-cos∠BAC· sin∠ABC=cos∠BACsin∠ACB- sin∠BAC cos.∠ACB,所以sin(∠BAC ∠ABC)=sin(∠ACB-∠BAC), 因为∠BAC-∠ABC∈(-元， π)，∠ACB-∠BAC∈(-π，π)，所 以∠BAC-∠ABC=∠ACB-∠BAC 或（∠BAC-∠ABC)+(∠ACB ∠BAC)=2X?或（∠BAC ∠ABC)+(∠ACB-∠BAC)=2X (),即2∠BAC=∠ABC十 ∠ACB或∠ACB=∠ABC+π（舍去） 或∠ABC=∠ACB十π（舍去）， 又∠BAC+∠ABC+∠ACB=π，所 以∠BAC= 3 (2)0因为c≠26，所以∠ABC=受 又∠BAC= 3a=25,所以c=2, b=4. 如图，设∠QBc=∈[b,] C 则在△QBC中，由正弦定理，得 BQ BC sin∠ACB=sin(∠ACB+r 3 所以BQ= sin(+) 在△ABP中，由正弦定理，得。BP sin∠BAC BA sim(女+】 参考答案 √3 所以BP= sin(e+子） S=合Bp.Qn若 3 4sim(e+君）sim(e+子) 3 -2[os(2x十2)-os(8）月】 3 √3+2sin2x 因为x∈[】所以2x∈b, 放当2z=受即x=子时，S= 3 5+2 =3(2-V5). ②假设存在实常数日，k,对于所有满足 题意的a,3,都有sin2a+sin23+k= 4 k sin asin B成立， 则存在实常数日，k,对于所有满足题意 的a,B,都有2sin(a十B)cos(a-B)+ k=2k[cos(a-B)-cos(a+B)], 由题意，Q十B=π一9是定值，所以 sin(a十B),cos(a十B)是定值， 2[sin(a+B)-k ]cos(a-B)+k[1+ 2cos(a十3)]=0对于所有满足题意的 a,B成立， 故有-0 因为k=sin(a+3)≠0，从而1十 2cos(a十B)=0,即cos(a+B)=-2 因为a,B为△BPQ的内角，所以a十 日=经从而0=x-爱=吾6= 3 2 综上，存在满足题意的0，且9=音 6-受 第五章 平面向量、复数 考点练28平面向量的 概念及线性运算 。基础巩固练。 1.B对于A,根据图形，可得向量BO O心，OA不是相同起点的向量，故A错 误；对于B,因为O是圆心，那么向量 BO,O心，OA的模是相等的，故B正确； 对于C,共线向量是方向相同或者相反 的向量，故C错误；对于D,相等的向量 指的是大小相等，方向相同的向量，故D 错误，故选B. 2.A在四边形ABCD中，若AB=2DC, 则AB∥DC,且AB=2DC,即四边形 ABCD为梯形，充分性成立；当AD,BC 为上底和下底时，满足四边形ABCD为 梯形，但AB=2DC不成立，即必要性不 成立.故p是9的充分不必要条件.故 选A. 以励闪·高考一轮复习金卷数学 3.A如图所示，延 长BO交AC于点 E,因为O为等边 三角形ABC的垂 0 心，所以E为AC 的中点，所以 B D AD=AC+CD= A衣+ -花+ 成成。 AC+- （成-）=亦+ A元.故选A 3 4.D因为A言=P店-PA,所以PA+ 2PB+3PC 2PB -2PA,3PA+ 3PC=0,即A户=PC,所以P是AC边 的中点.故选D. 5.C对于A,因为AB=e1十2e2,BC= 一3e1十2e2,不存在实数入使得A官= ABC,故A,B,C三点不共线，故A错误； 对于B,因为AB=e1十2e2,DA=3e1 6e2,不存在实数入使得AB=ADA,故 A,B,D三点不共线，故B错误；对于C, 因为AC=Ai+BC=-2e1十4e2, Di=3c-6e,则A花=-子Di,故 A,C,D三点共线，故C正确；对于D,因 为BC=-3e1十2e2,BD=-DA AB=-3e1+6e2-e1-2e2=-4e1十 4e2,不存在实数入使得BC=ABD,故B, C,D三点不共线，故D错误.故选C 6.A由4OA+2OB+3OC=0,可得 0花=-号(40i+20i),由Bò 成，可得市-成=专成 号成-0i,.所以0=号0+ 号成=-}4a+2成)+号成 合成-=又因为市 2,所以可=号市=号故选A 7.BC对于A,两个向量的长度相等，不 能推出两个向量的方向的关系，故A错 误；对于B,因为A,B,C,D是不共线的 四点，且AB=DC等价于AB∥DC且 AB=DC,即等价于四边形ABCD为平 行四边形，故B正确；对于C,若a=b, b=c,则a=c,显然正确，故C正确；对 于D,由a=b可以推出a=「b|且 a∥b,但是由a=b且a∥b可能 推出a=一b,故“a=b且a∥b” 是“a=b”的必要不充分条件，故D错 误.故选BC. 8.ACOp-OA+O+O元=O元+GA+ OG+GB+OG+G元=3O店+GA+ GB十GC,因为，点G为△ABC的重心，所 以GA+G第+G元=0，所以OP=3OG, 所以O,P,G三点共线，故A正确，B错 误：A户+BP+CP=AO+OP+Bò+ OP+Cδ+OP=(A0+B0+Cδ)+ 3O币，因为O市=OA+Oi+O元，所以 (AO+BO+CO)+3OP =-OP+ 3OP=2OP,即2OP=AP+B驴+CP, 198 故C正确：因为O币=3O元，所以点P的 位置随着点O位置的变化而变化，故点 P不一定在△ABC的内部，故D错误. 故选AC. 9. 解析：由A市=P方可知，点P是线段 2 AB上靠近点A的三等分点，则A方= 一成，所以入中1=名解得1 5 1 10. 解析：：D是AC的中点，MA+ 花=2M市.又：M+子+ 2流=0.m=-2(M+ 心)=名×流.中诚=减， 成1 BM 3 1.o,2》） 解析：由题意可求得AD=1,CD= V5,所以AB=2DC.因为点E在线段 CD上（点E不与点C,D重合），所以 DE=λDC(0<λ<1).因为AE= A方+D克，且AE=AD+AB=AD+ 2D元=A市+华D元，所以华=1，即 4=会因为0<A<1所以0< μ<2 12. 解析：依题意，B它=4BD,即A它 A方=4(A市-A),则A市=三A十 A花，同理A应=A心+A市，因光 市=是破+证=子丽十 (保花+)=诚++ 6×,中=+花， 64 基理得市=+引花，6市 λA言十uAC,且A方，AC不共线，于是 1=品司所以4+0-”2X 4 13.解：(1)因为点A是线段BC的中点，点 D是线段OB上一个靠近点B的三等分 点，所以AC=-AB,C第=2AB, 励=}Bd.因为A市=a,Ad=b,所 以0元=OA+AC=-AO-AB= -b-a,CD=C第+Bi=2AB+ 号耐+ò)=号+号d=