第3章 考点练20 导数与恒成立、有解问题-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练20 导数与恒成立、有解问题 CHU GONGGU LIAN 基础巩固练 ●答案：176页 1.(2024·全国甲卷文)已知函数f(x)=a(x一1)一lnx+1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a≤2，求证：当x>1时，f(x)<e-1. 2.(2024·北京通州区期中)已知函数f(x)=e2x一2x. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求f(x)的极值； (3)若对于任意x∈R,不等式f(x)>2(e一1)x+m恒成立，求 实数m的取值范围. 3.设函数f(x)=a十lnx(a为常数). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，求实数a的取值范围. 4.(2024·陕西渭南二摸)已知函数f(x)=xlnc,g(x)=2f(x)- x+工 (1)求函数g(x)的单调区间； (2)若当x>0时，mx2一e≤mf(x)恒成立，求实数m的取值 范围. 第三章一元函数的导数及其应用039 5.已知函数f(x)=ax-e(a∈R),g(x)=nx (1)求函数f(x)的单调区间； (2)3x∈(0，十o∞)，使不等式f(x)-g(x)+e≤0成立，求a的 取值范围. >0402对勾·高考一轮复习金卷数学 能力提升练 ●答案：177页 1.已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R),若a<0,且对任意x1, x,∈0山，都有1f,-fx,<4-求实数a的取 值范围. 2.已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设a<-1,如果对任意x1x2∈(0，十∞)，|f(x1)一 f(x2)|≥4|x1一x2|,求a的取值范围. 3.已知函数f(x)=e+ax2一x. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (2②)当x≥0时f)≥2+1，求a的取值范周. 4.(2024·北京西城区三模)已知f(x)=(2x一1)ex一x的图象在x= 0处的切线方程为x十y十b=0. (1)求实数a,b的值； (2②)求证：1)仅有-个极值点…且了，)<- (3)若g(x)=(kx-1)e"-x,是否存在k使得g(x)≥-1恒成 立？存在请求出k的取值范围，不存在请说明理由. 5.f(x)=4txIn z,g(x)-zi-z2-3. (1)如果存在x1,x2∈[0,2]，使得g(x1)-g(x2)≥M成立，求满 足上述条件的最大整数M: (2)如果对于任意的s,t∈ 2,2,都有f()≥g()成立，求实数 「1 a的取值范围.只有两个不相等的实数根， 即ln(x+2) x+2 =a有且只有两个不相等 的实数根， 令m(x)= ln(x十2) x+2,x>-2,则 m'(x)= 1-ln(x+2) (x十2)2 当-2<x<e-2时，m'(x)>0,m(x) 在（一2，e一2）上单调递增； 当x>e-2时，m'(x)<0,m(x)在 (e一2，+∞)上单调递减. 当x趋近于一2时，m(x)趋近于一oo, 当x趋近于十∞时，m(x)趋近于0， 又m(e一2)=工，所以可得m(x)的图 象如图： e y=a y=mc) 1oe-2 由图可知，当0<a<。时，函数m) 的图象与直线y=a有两个交点， 所以a的取值范围为(o,) 5.解：(1)当a=0时，f(x)= 1nx(x>0),所以f'(x)= 1-x x2. 若x∈(0,1)，f'(x)>0,f(x)单调递增 若x∈(1，十∞)，f'(x)<0,f(x)单 调递减， 所以f(x)在(0，十∞)上取得极大值， 也是最大值，最大值f(x) f(1)=-1. .1 (2)由f(x)=ax一 -(a+1)· 1 lnx(x>0),得f'(x)=a十 x a+1=ax-1Dx-D(x>0). 当a=0时，由(1)可知，f(x)不存 在零点， a(e-）x-n 当a<0时，f'(x)= 若x∈(0,1)，'(x)>0,f(x)单调 递增； 若x∈(1，十∞)，f'(x)<0,f(x)单 调递减， 所以f(x)mx=f(1)=a-1<0,所以 f(x)不存在零点， a(z-I)(-D 当a>0时，f'(x)= 若a=1,f'(x)≥0， f(x)在(0，十∞)上单调递增，因为 f(1)=a-1=0,所以函数f(x)恰有 一个零点，所以a=1满足条件： 若a>1,f(x)在(0，a】 1 ,(1,+∞)上 单调递增，在（分，）上单调递减，因为 2对勾·高考一轮复习金卷数学 f1)=a-1>0,所以f(日）> f(1)>0,当x→0+时，f(x)→-o∞，由 函数零点存在定理可知)在(Q,日） 上必有一个零点，所以a>1满足条件： 若0<a<1f)在o.(日+） 上单调递增，在(，）上单润通减，因 为f)=a-1<0,所以f(日）< f(1)<0,当x→+∞时，f(x)→十∞，： 由函数零点存在定理可知f(x)在 (日，十∞）上必有一个零点，所以0< a<1满足条件. 综上，若f(x)恰有一个零点，则a的取 值范围为(0，十∞) 考点练20导数与恒成立、 有解问题 一。基础巩固练鲁 1.解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞)， f'(x)=a- 1=ax-1 x 当a≤0时，f'x)=ax-1<0,故 f(x)在(0，十∞)上单调递减； 当a>0时x∈（日+）时， '(x)>0,f(x)单调递增， x∈(0，）时，f'(x)<0,fx)单调 递减. 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，十o∞) 上单调递减； 当a>0时，f(x)在（日，+∞）上单调 递增，在(0，工）上单调递减。 (2)证明：当a≤2，且x>1时，e1 f(x)=e-a(z-1)+In z-1 e-1-2x+1+lnx, 令g(x)=e-1-2x+1+lnx(x>1), g'(x)=e1-2十 1,再令h(x)= g'(x),则h'(x)=e1- 显然h'(x)在(1，十∞)上单调递增，则 h'(x)>h'(1)=e°-1=0， 即g'(x)=h(x)在(1，十o∞)上单调递 增， 故g'(x)>g'(1)=e°-2+1=0，即 g(x)在(1，十∞)上单调递增， 故g(x)>g(1)=e°-2+1十ln1=0. 即当x>1时，f(x)<e 2.解：(1)由f(x)=er-2x得f'(x)= 2e-2,又f'(0)=0,f(0)=1, 所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线 方程为y=1. (2)令f'(x)=2e2x-2>0,则x>0, 故f(x)在(0，+∞)上单调递增， 令f'(x)=2e2x-2<0,则x<0,故 f(x)在（一∞，0）上单调递减， 所以当x=0时，f(x)取极小值f(0)= 1,无极大值. 176 (3)由f(x)>2(e-1)x+m得e2m 2x>2(e-1)x+m, 故e2x-2ex>m, 构造函数g(x)=e2r-2ex,则g'(x)= 2e2r-2e,令g'(x)=2e2r-2e>0,则 x>2 故当x>令时，g'(x)>0,g(x)单调 递增，当x<2时，g'(x)<0,g(x)单 调递减， 故当x三2时，g(x)取极小值也是最 小值，g（2】 =e-e=0, 所以m<g(x)mim,即m<0. 故实数m的取值范围为（一o,0). 3.解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞). +1=xa f(x)=一+ 2 当a≤0时，又x>0,.x-a≥ 0,f'(x)>0,f(x)在定义域 (0,十∞)上单调递增； 当a>0时，若x>a,则f'(x)> 0,.f(x)单调递增； 若0<x<a,则f'(x)<0,.f(x)单 调递减. 综上可知，当a0时，f(x)在 (0,十∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减， 在(a,十∞)上单调递增. (2)f(x)≥1台4+1nx≥1台a≥ -lnx十1台a≥-xlnx十x对任意 x∈(0,1]恒成立. 令g(x)=-xlnx十x,x∈(0,1]，则 g(x)--Inz-x.1+1=-nz2 0,x∈(0,1]，g(x)在(0,1]上单调 递增，.g(x)mx=g(1)=1,.a≥1， 故实数a的取值范围为[1，十∞). 4.解：(1)依题意，函数g(x)=2lnx一 工十二的定义域为(0，十∞)， 求得)-兰-1之=（ 1)≤0，当且仅当x=1时取等号， 即g(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以函数g(x)的单调递减区间为 (0,十∞)，无单调递增区间. (2)当x>0时，x2 一e mf(x)台m,x2-e≤m.xlnx台m(x 四x)≤=e恒成立y 令h(x)=x-lnx,x>0,求导得 h'(x)=1五 当0<x<1时，h'(x)<0,当x>1时， h'(x)>0, 即函数h(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增，则当x>0时， h(x)≥h(1)=1, 令t=x-lnx,依题意，t∈ [1,十o,mt≤e兮m≤￡恒成立， t 令g)=号1≥1，求导得g) (t-D≥0，则函数g(t)在[1，+o∞) 上单调递增， 当t=1时，g(t)nm=g(1)=e,因此 m e, 所以实数m的取值范围为（一∞，e]. 5.解：(1)因为f'(x)=a-e,x∈R. 当a≤0时，f'(x)<0,f(x)在R上单 调递减.当a>0时，令f'(x)=0,得 x In a. 由f'(x)>0,得f(x)在(-o∞，lna)上 单调递增；由f'(x)<0,得f(x)在 (lna,十o∞)上单调递减. 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减 区间为（一∞，十∞），无单调递增区间； 当a>0时，f(x)的单调递增区间为 (-∞，lna),单调递减区间为(lna,十∞). (2)因为3x∈(0，十∞)， 使不等式f(x)-g(x)十e≤0成立， 所以ax≤n工，即a≤ In x x 则问题转化为a≤() (In .设h(x) 上，则x)= x2 1-2nx,令h'(x)= 0,得x=√ 当x在区间(0，十∞)内变化时，h'(x), h(x)的变化情况如下表： (0,We) (√，十∞) h'(x) 0 1 h(x)单调递增 单调递减 2e 由上表可知，当x=√e时，函数h(x)有 极大值，即最大值，为2 所以a≤2e 故a的取值范围是（∞， 17 。能力提升练。 1.解：f'(x)=1- 名，当a<0时，函数 f(x)在(0,1]上是增函数.又函数y= 1在(0,1门上是减函数，不妨设0< x1<x2≤1，则|f(x1)-f(x2)= 1 fx)-fx-正= 1,所以1fx)-f,)1≤41 ⊥等价于fx)-f)≤五 4-4 4 ≤fx)十设 h(x)=f(x)+4 =x-1-alnx十 兰则)<到片 等价于函数h(x)在区间(0,1]上是减函 数.因为h'(x)=1-a一4 2-ax-4,所以x2-ax-4≤0在 x x∈(0,1]上恒成立，即a≥x一 2 在 x∈(0,1门上恒成立.因为y=x一4在 区间(0,1]上是增函数，所以y=x一 4 的最大值为一3，所以a≥-3，又a<0, 所以一3≤a<0,故实数a的取值范围 为[-3,0). 2.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2a.x2+a+1 ①当a≥0时，f'(x)>0,f(x)在 (0,十∞)上单调递增； ②当a-1时，f'(x)<0,f(x)在 (0,十∞)上单调递减； ③当一1<a<0时，由f'(x)=0得 xN a+ 2a 所以f八)在(0，√夏)上单调选 2a 在（ ,十∞上单调递减。 (2)不妨设x1≥x2,而当a<-1时， 由(1)可知f(x)在(0，十∞)上单调 递减， 从而Hx1,x2∈(0，十o∞)，f(x1) f(x2)≥4x1-x2等价于Hx1, x2∈(0，十∞)，f(x2)十4x2≥ f(x1)十4x1. 构造函数g(x)=f(x)十4红，得g(x) 在(0，十∞)上单调递减， 即g'(x)=a十1+2ax十4≤0在x∈ (0,十∞)上恒成立， 4x-1=（2x-1)2 从而a≤2x2十1， 一2在 2x2+1 x∈(0，十∞)上恒成立，得a≤ [Y- =-2. min 故a的取值范围为(-∞，一2]. 解：方法一(1)当a=1时，f(x)= e十x2-x,f'(x)=e十2x-1. 故当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0;当 x∈(0，+oo)时，f'(x)>0.所以f(x) 在（一∞，0）上单调递减，在(0，+∞)上 单调递增 (2fx)≥2x+1等价于( a.x2+x+1)e≤1. 设函数g(x)= 1 (2z -ax+x 1)e(x≥0)， 则g'(x)=-（ x3-a.x2+x十1 1)e=- (2a+3)x+4a+2]e=-2x(x 2a-1)(x-2)e. ①若2a十1≤0，即a≤-21 则当x∈(0,2)时，g'(x)>0.所以 g(x)在(0,2)上单调递增，而g(0)=1, 故当x∈(0,2)时，g（x)>1,不符合 题意. 177 ②若0<2a+1<2,即-2<a<2, 则当x∈(0,2a+1)U(2,十∞)时 g(x)<0; 当x∈(2a+1,2)时，g'(x)>0.所以 g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)上单调递 减，在(2a+1,2)上单调递增.由于 g(0)=1,所以要使g(x)≤1成立，当 且仅当g(2)=(7-4a)e2≤1， 即a≥7所以当，<a<日 时，g(x)≤1. ③若2a+1≥2，即a≥2，则g(x)≤ (2x+x+1e. 由于0∈ 手》：故曲②可符 1 (2x+x+)e≤1.故当a≥ 时，g(x)≤1. 综上a的取值范围是？一c, 4，+∞). 方法二(1)当a=1时，f(x)=e十 x2-x,f'(x)=e+2x-1, 令p(x)=e十2x-1, 由于9'(x)=e+2>0,故f'(x)单调 递增，注意到f'(0)=0,故当x∈（一∞， 0)时，f'(x)<0, 当x∈(0，+o∞)时，f'(x)>0. 所以(x)在（一∞，0）上单调递减，在 (0,十∞)上单调递增. (2)由fx)≥2+1得。+ax2 x≥2x+1,其中x≥0， ①当x=0时，不等式为1≥1，显然成 立，符合题意； ②当x>0时，分离参数a得，a≥ e-2x-x-1 记g(x)= ，则 x2 g'(x)= -2e-32-- 令hx)=e--t-1>0, 则h'(x)=e-x一1， 令t(x)=h'(x),x>0,则t'(x)= e一1>0，故h'(x)单调递增， h'(x)>h'(0)=0,故函数h(x)单调递 增，h(x)>h(0)=0, 由h(x)>0可得e-2x2-x-1> 0恒成立，故当x∈(0,2)时，g(x)> 0,g(x)单调递增， 当x∈(2，十∞)时，g'(x)<0,g(x)单 调递减， 因此，g(x)x=g(2)=7一C,综上可 4 得的取值范国是[，，十一） 4.解：(1)由题意，f'(x)=(2ax+2 a)e-1,则f'(0)=1-a=-1, 解得a=2,又f(0)=一1，可得切点为 参考答案 (0,-1),代入x十y十b=0,解得b= 所以实数a=2,b=1. (2)证明：由(1)得f(x)=(2x 1)e2x-x,则f'(x)=4xe2x-1, 令h(x)=f'(x), 所以h'(x)=4e2(1+2x), 令h'(x)>0,得x>-2,令h'(x)< 0,得x<-2 所以Ax)在(0，-）上单调递 减，在（子十）上单调递增， 所以h(x)nin= A() :-2e1 1<0 且当x<0时，h(x)<0,h(0)=-1< 0.h(）=-1>0 所以h()在(o,）上存在唯一零点 xo,使得h(xo)=0,即4z。·e“。=1, 当x∈(-o∞，x。)时，h(x)<0,即 f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(xo,十o∞)时，h(x)>0,即 f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)仅存在一个极值点x。,x。∈ (0,4) f(x6)=(2x。-1De。-x。=(2x。 1)X1 4x0 又函数y=+x∈(，)面 1 y'=4红2-1 <0, 4x2 所以y=x十 在x∈(o,)上单 1 5 递减，则y=工十元> 5 所以/x,)<专-号=- 3 (3)若存在k,使得g(x)≥-1恒成立， 即(kx-1)er≥x-1,对x∈R恒 成立， 当k≤0时，当x>1时，则(kx 1)e<0,显然上式不成立： 当k>0时，令g(x)=(kx-1)er x十1,9(0)=0， 则p'(x)=kxer-1, 令G(x)='(x),则G(x)=k2(1十 kx)ex>0在[0，十oo)上恒成立， 所以G(x)即g'(x)在[0，十∞)上单调 递增又90=-1,9(）=e2 1>0, 所以存在x:∈(0)，使得g红)=0， 所以当x∈(0，x1)时，9'(x)<0,即 (x)单调递减，此时(x)< 9(0)=0, 所以P(x)≥0不恒成立， 故当k>0时，不存在k满足条件. 综上，不存在k,使得g(x)≥一1恒 成立 以对闪·高考一轮复习金卷数学 5.解：(1)存在x1x2∈[0,2]，使得 g(x1)-g(x,)≥M成立，等价于 [g(x1)一g(x2)]ms≥M成立. g'(x)=3x2-2x=x(3x-2), 令g'(x)=0,得x=0或x= （）=器· 2 85 又g(0)=-3,g(2)=1,∴当x∈[0， 2]时，g(x)mx=g(2)=1, g(x）an= )= 7M≤1 8 (）-号：满足条件的量大整数 M为4. (2)对任意的s,t∈ 22都有f)≥ g(t),则f(x）i≥g(x)mx· 1 由(1)知当x∈ ,2时g(x) g(2)=1,. 当x∈ f(x)= a十xlnx≥1恒成立， 即a≥x-x2lnx恒成立.令h(x)= 厂1 z-'nE22 ∴.h'(x)=1-2xlnx-x, 令g(x)=1-2xlnx-x, .g'(x)=-3-2lnx<0, h'(x) [宁习上单调道诚， 又'》=0当x∈[2]时， 厂1 h'(x)≥0，当x∈[1,2]时，h'(x)≤ 0,∴.h(x)在 [2小]上单调递增，在 [1,2]上单调递减， .h(x)mx=h(1)=1,故a≥1. ∴.实数a的取值范围是[1，十o). 阶段滚动卷一 1.B由题得B={x|x≥2或x≤-1}， 所以RB={x-1<x<2},所以A∩ (CRB)={0,1.故选B. 2.A由x2+x-2>0,即(x-1)(x+ 2)>0,解得x>1或x<-2,∴.条件 p:x2十x-2>0,即x<-2或x>1, 又条件q:x>a,q是p的充分不必要条 件，.a≥1.故选A. 3.D对于A,若a>b,c<d,则-c> -d,则a-c>b-d,故A错误；对于B, 若a>b,c>d,例如a=1,b=0,c= 0,d=-1,则ac=bd=0,故B错误：对 于C.若c-ad>0,后 一b = bc-ad>0,则ab>0,无法得出b<0, ab 故C错误；对于D,若a>b>0,c>d> 1 0,可得> >0则>名>0所 a c 4.Dx≥0，都有f(x十2)=-f(x), f(x十4)=-f(x十2)=f(x),即当 x≥0时，函数∫(x)具有周期性，且周期 为4，又f(x)是偶函数，∴.f(-2025)= f(2025)=f(2024+1)=f(1)= log2(1十1)=1.故选D. 178 .D根据题意，函数f(x)=3x十2cosx, 其导函数f'(x)=3一2sinx,则有 f'(x)=3-2sinx>0在R上恒成立 则f(x)在R上为增函数.又由2 log:4<log27<3<3,<c<a. 故选D. ,C由函数f(x十1)的图象关于点 (一1,0)对称，得f(x)的图象关于点 (0,0)对称，又函数y=f(x)的定义域 为R，,所以函数f(x)是奇函数，由 f(1十x)=f(1一x),得f(x)的图象 关于直线x=1对称，∫(x十4)= f[(x+3)十1]=f[1-(x+3)]= f(-x-2)=-f(x+2)=-f[(x十 1)+1]=-f[1-(x+1)]= 一f(一x)=f(x),因此f(x)是以4 为周期的周期函数，①正确；对任意的 x1x2∈[0,1]x1≠x2,均有 x1f(x1)+x2f(x2)>xIf(x2)+ x:f(x1),不妨设x1>x2,则(x1 x2)f(x1)>(x1-x2)f(x2),即 f(x1)>f(x2),因此f(x)在[0,1]上 单弱递增()=f(受+8) ()=()() f(),②正确；由画教fx)是R上 的奇函数，在[0,1]上单调递增，得函数 f(x)在[一1,1]上单调递增，在[1,3] 上单调递减，在[3,5]上单调递增，③错 误；由f(2)=f(0)=0,(x)在[-1， 1门上单调递增，在[1,3]上单调递减，得 当x∈[-1,3]时，f(x)≥0，则有x∈ [0,2],又函数f(x)是以4为周期的周 期函数，因此不等式f(x)≥0的解集为 [4k,4k十2](k∈Z),④正确.故选C. D设x1>xVx1z:∈（分2 x1≠x2 f(z)-fx<x1十x,等 x1-x2 价于f(x1)-f(x2)<xi-x,即 f(x)-xi<f(x2)-xi,48(x)= f(x)-z2=e"-az'-z',g()< x,).所以画数Rx)在（合2）上单 调递减，则不等式g'(x)=e一2(a十 1)z≤0在(3,2)上恒成立，即不等式 兰≤2a+1)在（合2）上饭成2，令 h(x)= x∈（2），则) gx-D,令h'(x)<0→2<xr<1, x 令h'(x)>0→1<x<2,所以函数 a(x)在（分，1）上单调递减，在(1,2)上 且2√e< 所以号≤2a十1.解得 e a≥4 一1，即实数a的取值范围为 [层-1十)故选D