第2章 考点练14 函数模型及其应用-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练14 函数模型及其应用 基础巩固练 答案：163页 一、单项选择题 1.(2024·广西南宁月考)有一组实验数据如下表，则体现这组数据的 最佳函数模型是 ( ) x 2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A.y=x+ 1 B.y=log2x C.y=32 D.y=1 2.我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数 据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率∫（单位时间内心跳的次 数)与其自身体重w满足∫= 一(k≠0)的函数模型.已知一只恒 温动物兔子的体重为2kg,脉搏率为205次·min1,若经测量一匹 马的脉搏率为41次·min1,则这匹马的体重为 () A.350 kg B.450 kg C.500 kg D.250 kg 3.(2024·江苏扬州模拟)某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大 量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种 群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏 生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该 外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要（参考数据： lg2≈0.301) () A.40年 B.30年 C.20年 D.10年 4.某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药 剂，加入该药剂后，药剂的浓度C(单位：mg/m3)随时间t(单位：h) 的变化关系可近似地用函数C()=1001+1D（4>0)刻画.由此 t2+4t+19 可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过 () A.3h B.4h C.5h D.6 h 二、多项选择题 5.(2025·浙江杭州月考)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起 步里程为3km(不超过3km按起步价收费)；超过3km但不超过 8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按 每千米2.85元收费，下列结论正确的是 ( A.出租车行驶2km,乘客需付费8元 B.出租车行驶4km,乘客需付费9.6元 C.出租车行驶10km,乘客需付费24.45元 D.某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和超过他乘出租车行驶 10km一次的费用 6.(2024·重庆二模)英国经济学家凯恩斯(1883一1946)研究了国民 收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干 预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.凯 恩斯抽象出三个核心要素：国民收入Y,国民消费C和国民投资I, 假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有 Y=C+I,其 C=a。+aY. 中常数a。表示房租、水电等固定消费，a(a≤1)为国民“边际消费 倾向”.则 ( A.若固定1且I≥0，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大 B.若固定Y且Y≥0，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高 C.若a=号，则收人增长量是投资增长量的5倍 D.若a=一号，则收入增长量是投资增长量的 三、填空题 7.劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服 务社会、回报社会的一种良好形式.某大学生去一服装厂参加劳动 实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元 件，且满足s=820一2x,每天的成本合计为(600+20x)元，请你帮 他计算日产量为 件时，获得的日利润最大，最大利润为 万元. 8.(2024·浙江金华期末)某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用 电量为akW·h,本年度计划将电价下降到0.55~0.75元/(kW·h)之 间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算下调电价后的新增 用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为以）. 该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h).已知=0.2a,为保证电 力部门的收益比上年至少增长20%，则最低的电价可定为 元/(kW·h). 9.(2024·广东广州模拟)“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒” 等于1018秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示. 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一 尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能 使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据： 光速为3×108米/秒，lg2≈0.3,1g3≈0.48) 第二章函数027 四、解答题 10.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量 达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库 内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为 32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气 时间：（单位：分钟）之间存在函数关系y-(日》“(c,m为常数). (1)求c,m的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多 少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 0282团闪·高考一轮复习金卷数学 NENGLI TISHENGUAN 能力提升练 ●答案：164页 一、单项选择题 1.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(单位：件)与售价P(单 位：元/件)之间的关系为P=150一2x,日销售量x与成本C(单 位：元)之间的关系为C=50+30x,要使日利润不少于1300元，则 x满足 () A.15≤x≤45 B.10≤x≤45 C.15≤x≤40 D.10≤x≤40 2.异速生长规律描述生物的体重与其他生理属性之间的非线性数量 关系，通常以幂函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其 体重x满足y=x“,其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生 长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅 提高到初始状态的8倍，则α为 ( ) 1 A.4 1 B.2 3.青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测 量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的 数据L和小数记录法的数据V满足关系式：L=5+lgV,已知小明 和小李视力的五分记录法的数据分别为4.3和a,记小明和小李视 力的小数记录法的数据分别为V1,V2,且 ∈(2,3)，则a的值可以 是（参考数据：1g2≈0.301，lg3≈0.477） ( A.4.7 B.4.5 C.4.8 D.5.0 4.(2024·重庆模拟)大多数居民在住宅区都会注意噪声问题.记p为 实际声压，通常我们用声压级L()(单位：分贝)来定义声音的强 弱，声压级L(p)与声压p存在近似函数关系：L(p)=alg卫，其中 a为常数，且常数p(p。>O)为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内， 测得甲穿硬底鞋走路声压p1为穿软底鞋走路声压p2的100倍，且 穿硬底鞋走路的声压级为L(p,)=60分贝，恰为穿软底鞋走路的声 压级L（p2)的3倍.若住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住 宅区夜间不扰民情况下的声压为'，则 ( ) A.a=20,p'≤10W10p2 B.a=20,p'≤101 1 C.a=10,p'≤10√10p2 D.a=10,p'≤101 1 二、多项选择题 5.小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线.为了解自己记忆一 组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制如图所示的 图象，拟合了记忆保持量y与时间x(单位：天)之间的函数关系y= 7 x十1,0<x1, 20 f(x)= 则下列说法中正确的是 1 9 5 )z,1<x≤30. A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持 量降低 0.8 0.6 B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多8 0.4 C.9天后，小菲的单词记忆保持量不低0246802元 于40% D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 6.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的 路程f:(x)(i=1,2,3,4,其中1,2,3,4分别表示甲、乙、丙、丁)关于 时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2一1，f2(x)=x2, f3(x)=x,f4(x)=log2(x十1)，则下列结论正确的是() A.当x>1时，甲走在最前面 B.当x>1时，乙走在最前面 C.当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 三、填空题 7.河南省2025年高考将实行“3+1+2”模式，其中的“2”为选考科目， 分数将实行赋分制，等级划分、人数比例、赋分区域对应关系如表所 示，各单科一样.根据规则，各考生的单科分数位次赋分前后不发生 改变，一个等级内的原始分数x、赋分后的分数y构成的点(x,y) 都在一条直线上.某次模拟考试中，小张的化学成绩为63分在B 级，且这次考试B级的上、下限原始分分别为69分、51分(51分赋分 后为71分，69分赋分后为85分)，那么小张的赋分成绩为 分.（赋分计算时四舍五入为整数） 等级 A B C 0 E 比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区域 [86,100] [71,85] [56,70] [41,55] [30,40] 8.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的 初始温度为0，℃，空气温度为0。℃，则t分钟后物体的温度0（单位： ℃)满足0=0。十(01一0。)e“.若常数k=0.05,空气温度为30℃， 某物体的温度从90℃下降到50℃，大约需要的时间为 分钟.（参考数据：ln3≈1.1) 9.（数学文化)砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统 砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视 为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分.已 知扇环周长=300cm,大扇形半径OD= 100cm,设小扇形半径OA=xcm,∠AOB=0 弧度，则 (1)0关于x的函数关系式为0= (2)若雕刻费用关于x的解析式为(x)=10x十1700，则砖雕面积 与雕刻费用比值的最大值为 四、解答题 10.(2025·福建福州月考)某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于 环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中 释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化 的关系如下，当0≤4≤4时y=816一-1：当1<x≤10时y 5一号.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放 的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒 剂的浓度不低于4毫克/立方米时，才能起到杀灭空气中的病毒 的作用， (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效消毒时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤ 4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试 求a的最小值.（精确到0.1，参考数据：√2≈1.4）y=f(x)与y=a的图象有且仅有1个 交点.若关于x的方程f(x)=a有两 解，即y=f(x)与y=a的图象有且仅 有2个交点，所以实数a的取值范围为 2+1 。2k∈N,因为1∈（g 3∈(]6e不在相关区同内， 所以A,C错误，B,D正确.故选BD. x=13=2 x=3 /小x) 2-- 0 9.名（答案不唯一） 解析：令f(x)=0,当x≥0时，由 √x=0得x=0,即x=0为函数∫(x): 的一个零，点，故当x<0时，2一b=0有 一解，得b∈(0,1). 10.2 解析：因为y=3在(0，十∞)上单调 递增，y= 60在(0，十60)上单调递 增，所以f(x)=3-60在(0，+0) 上单调递增，因为f(1)=3一60<0， f(2)=9-300,f(3)=27-20> 0,所以f(x)的零点在区间(2,3)内， 故n=2. 11.4 解析：函数∫(x)是偶函数，说明函数 f(x)的图象关于y轴对称，f(x)= f(x十2)说明f(x)的周期是2，在同 一平面直角坐标系中画出函数y= f(.x)的图象与y=log:(x十1)的图 象，如图所示： -fw=logx+1 个 -3-2-101234567x 由图可知共有4个不同的交点，即 g(x)=f(x)-log(x十1)有4个 零点。 解析：当x≤0时，f(x)=xe,则 f'(x)=(x十1)e,令f'(x)< 0→x<-1,令f'(x)>0→-1<x≤} 0,所以f(x)在（一∞，一1）上单调递 减，在（一1,0]上单调递增，且f(一1）= 1 f0)=0,当x→-∞时，f(x)→ 0,所以-是≤x)≤0z<0).通 出函数f(x)的大致图象，如图所示： y=lg x -1 y=xe y=a 由[f(x)]2-(a-1)f(x)-a= [f(x)十1]·[f(x)-a]=0,解得 f(x)=-1或f(x)=a.因为直线 y=f(x)=一1与图象有一个交点， 即方程有一个根，所以直线y= f(x)=a与图象应有三个交，点，即方 程有三个极，所以a∈（日） 3.解：由题意知，当x<0时， f)=-1+2,x∈（←1,0. {2 x+3-1,x∈(-o∞，-1]， 作出函数f(x)的图象如图所示，设函 数y=f(x)的图象与直线y=1交 点的横坐标从左到右依次为x1,x2, x3,x1,x5,由图象的对称性可知， x1十x2=-6,x1十x5=6,故x1十 x2十x1十x5=0, 3 2 -432-10外123本5 令2+2=上，解得x3=1一2元1 π 所以函数F(x)=f:)-是的所有装 点之和为1一2示 4.解：(1)由f(x)是偶函数，则对于 Hx∈R,都有f(x)=f(-x), 即log(9+1)十kx=log(9元十1) kx, 9+1 即1ogg*十1 =-2kx, 即10g9=-2kx,即x=一2kx, 所以一2k=1,解得k=一之 (2)结合(1)知f(x)=1og(9十1)一 22, 所以g(x)=f(x)-2x一a= log(9十1)-x-a,即g(x)= g(1+）-a 又g>0,则1g(1+号）>0： 令xc)=0,即l1og(1+g）=a… 因为g(x)无零点，即关于x的方程 og.（1+g）=a无解. 即y=bg,(1+)与y=a的图象 无交点，所以a≤0， 即当a≤0时，g(x)无零点，故满足条 件的a的取值范围是(-∞，0]. (3)函数h(x)=f(x)一t(x)的零点 即方程f(x)一t(x)=0的根， 而f(x)-t(x)=0台logB(9十1)一 4 2x-1og(m·3-3m） 09l0g(32x十1)=log（m·32x 163 3m·3）9(m-1)·3 4 4 3m· 3-1=0, 设1=子1>0，则(m-1D02-÷mt 1=0(￥)， 4. 令g)=(m-1Dt-3mt-1,t>0, 又m·3- 4 3m≥0，则m(3* 专)=m-号)>0， ①当m<0时，则0<1<青，所以间 题等价于关于t的(*)方程在0<t< 专有唯一实根， 又因为（传）=一号<0 g(0)=-1<0, 则由二次函数图象可知只需0< 3m 2-D<÷且a=(-音m)}'+ 4(m-1)=0,得m=-3; ®当m=1时，则-子-1=0，得 1=-子<0，不合题意： @当0<m<1时，则1>合，所以同 题等价于关于t的(*)方程在1>了 4 时有唯一实根， 又因为)=<0 9 4 3m 则由二次函数图象可知只需2(-D> 号且a=(-专m)‘+4m-)=0 无解. 综上，m=一3. 考点练14函数模型及其应用 一。基础巩固练一 1.C通过所给数据可知，y随x的增大而 增大，且增长的速度越来越快，A,B选项 中的函数增长速度越来越慢，不正确；C 选项中，当x=6时，y≈21.33，D选项 中，当x=6时，y=18,误差偏大，故C 选项正确.故选C. 2.D根据题意f=(≠0)，当W w 2时，f=205,则k=205X23,当f= 41时，则w3=205X2 -=5X23,故 41 W=250.故选D. 3.C设大约需要x年，由题意知，1× 2=1000000,即2=10°，两边同时 取对教，得xg2=6,解得工=g2≈ 6 0.307≈20.即由1株支成100万株大约 6 需要20年.故选C. 4.A依题意，t>0,所以t十1>1，所以 100(t+1) C(t)=2+4t十19 参考答案 100(t+1) (t+1)+2(t+1)+16 100 (t+1)+- 16 +1+2 100 =100=10,当 2/:+1).16 10 +1+2 16 且仅当t十1=，中即6=3时等号成 立，故由此可判断，若使被处理的污水中 该药剂的浓度达到最大值，需经过3h, 故选A. 5.ACD对于A,出租车行驶2km,乘客 需付起步价8元，故A正确：对于B,出租 车行驶4km,乘客需付费8+2.15= 10.15(元)，故B错误：对于C,出租车行 驶10km,乘客需付费8十2.15×5+ 2.85×2=24.45(元)，故C正确：对于 D,某人两次乘出租车均行驶5km的费 用之和为2×(8+2.15×2)= 24.6(元)，一次行驶10km的费用为 24.45元，24.6>24.45，故D正确.故选 ACD. 6.AC由题意可得固定I且I≥0，又 C=a,+aY,所以Y=a十aY+1,所 Y=C+I, 以a=1-a。十 Y ，由于a0,I为定值，所 以可得Y增大时（国民收入越高），a增大 (“边际消费倾向”越大)，故A正确；由上 可得I=Y-Y·a-ao,ao,Y为定值，所 以α增大(“边际消费倾向”越大)，I减小 4 (投资越小)，故B错误：若口=行，由 Y=a0十aY+I,可得Y=5ao十5I,由 子数的定义可得 =5,所以可得收入 增长量是投资增长量的5倍，故C正确； 4 同C项讨论可得若a=一5，可得9Y 5a。十5I,因此收入增长量是投资增长量 的号倍，故D错灵，数选AC 7.2007.94 解析：由题意易得日利润y=sx (600+20x)=x(820-2x)-(600+ 20x)=-2(x-200)2+79400,故当日 产量为200件时，获得的日利润最大，最 大利润为7.94万元. 8.0.6 解析：设电价定为x元/(kW·h),x∈ [0.55,0.75],则由题意可得(0.8 o.3a×1.2≤(a+e0）a 0.3),整理可得(x一0.5)(x一0.6)≥0， 又x∈[0.55,0.75]，故x≥0.6，即x∈ [0.6,0.75],故最低的电价可定为 0.6元/(kW·h). 9.31 解析：依题意，光在2“阿托秒”内走的距 离为2×1018×3X108=6×101°（米）， 设经过n天后，剩下“棰”的长度f(n)= (号)广，由fm)<6×10,得 (2) <6X101°，两边同时取对数，得 n>log1(6X1010)=lg(6×100) 1g2 以励闪·高考一轮复习金卷数学 10-1g6_10-(1g2+lg32≈ Ig 2 1g2 10-0.78 0.3 ≈30.73，而n∈N”,则n=} 31,所以至少需要经过31天才能使其长 度小于光在2“阿托秒”内走过的距离. 10.解：(1)由题意可列方程组 64=(2) 2(份》广，两式相隆， 1c=128, 解得 m 1 41 2②)由题意可列不等式128（仔） 0.5所以()产 （分），即子≥ 8,解得t≥32. 故至少排气32分钟，这个地下车库中 的一氧化碳含量才能达到正常状态. 一能力提升练。 1.A 由题意得(150一2x)x一(50+ 30x)≥1300，化简得x2-60.x十675≤ 0,解得15≤x45.故选A. 2.D设初始状态为(x1y1),则x2= 16x1,y2=8y,y1=kxi,y2= kx8,即8y1=k(16x1)°=k·16xi, 84=616x,16=8,2如=2， kx号 4a=3,a= 故选D 3.A 5十1gV=43则gV, 依题意，5十lgV,=a, V2 1gV1=a-4.3,即1g =a-4.3,由 2∠V g<1g3,因此 <3,得g2<1g 0.301<a-4.3<0.477,解得4.601 a<4.777,所以a的值可以是4.7.故选A 4.A由题意L(p1)-L(p)=alg2 alg100=2a=60-20=40,得a=20,: 则L(p)=20lg之，因此L(p')=20· 1g2≤50，则L(b')-L(p,)= Po 201g2≤50-20=30，则力/≤ p, 1010p2L(p1)二L(p')=201g三 60-50=10,则p'≤ 10D1.故选A 5.AB由函数解析式和图象可知f(x)随： 着x的增加而减少，故A正确；由图象的 减少快慢可知，第一天小菲的单词记忆 保持量下降最多，故B正确；当1<x≤ 30时，f(x)= f9)=+（品）×9=35，即9天 后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故 C错误；f(26)= 日+（品）×26> ，故D错误.故选AB 1 6.CD甲、乙、丙、丁的路程f,(x)(i=1, 2,3,4,其中1,2,3,4分别表示甲、乙、 164 丙、丁)关于时间x(x≥0)的函数关系 式分别为f1(x)=2-1,f,(x)=x, f3(x)=x,f,(x)=1og2(x+1),它们 对应的函数模型分别为指数型函数模 型、二次函数模型、一次函数模型、对数 型函数模型.当x=2时，f1(2)=3, f2(2)=4,所以A错误；当x=5时， f1(5)=31,f2(5)=25,所以B错误；根 据四种函数的变化特，点，对数型函，数的 增长速度是先快后慢，又当x=1时， 甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等， 从而可知，当0<x<1时，丁走在最前 面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正 确：指数型函数的增长速度是先慢后快， 当运动的时间足够长时，最前面的物体 一定是按照指数型函数模型运动的物 体，即一定是甲，所以D正确.故选CD. 780 解析：设小张的赋分分数为，由 69-63_85-m得m= 63-51=m-71 241≈80，所 3 以小张的赋分成绩为80分， 8.22 解析：由题知8。=30,81=90,8= 50.50=30十(90-30)e.5 'e-0.05 3.-0.05t=lhn3 .0.05t=ln3,.t= ln3=20X1n3≈ 0.05 22 8.uw0+ ,x∈(0,100)(2)3 解析：(1)由题意可知，∠AOB=8 OA=x,OD=100,所以1=9·x, AD=BC=100-x,lR=1009,扇环 周长lG十AD十BC十lR=9·x+ 200-2x十1008=300，解得0= 100+2x ,x∈(0,100). 100+x (2)砖雕面积即为图中扇环面积，记为S, 则S=S角wDc-S角形A03=2·OD·l众 1 1 ·0A,la=2×10×109- 2·x 8x=50008- 4=(60-）· 100十2工，设砖雕面积与雕刻费用的比 100+x 值为m,则m= w(x) (10000-x2)(100+2.x) 2(100+x)(10x+1700) (100-x)(50十x）,令t=x十170，则 10(x+170) x=t-170,所以m= (270-t)(t-120) 10t -t2+390t-120×270 t 10t =一 10 12×270 +39≤-2√101 t12×270 39=-36+39=3,当且仅当t= 180(即x=10)时取等号，所以砖雕面积 与雕刻费用比值的最大值为3. 10.解：(1)因为一次喷洒4个单位的消毒 剂，所以其浓度为f(x)=4y= 64 8-x -4,0x4, 20-2x,4<x≤10， 64 当0≤x≤4时，8-x 一4≥4，解得 x≥0，此时0x≤4， 当4<x10时，20一2x≥4，解得 x8,此时4<x≤8， 所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则 有效消毒时间可达8小时. (2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤ 10)小时后， 其浓度gu)=26-) 16 a8--6)-1=10- 16a 16a 14-x -a=14-x+14-x -a-4 因为14-x∈[4,8]，a∈[1,4]，所以 16a. 14-x十14- -a-4≥ 16a 2/14-x)·14=z -a-4= 8Va-a-4, 当且仅当14-x=6即x=4 4√a∈[6,10]时，等号成立， 所以其最小值为8Wa一a-4,由8√a a-4≥4，解得24-16V2≤a4,所 以a的最小值为24-16√2≈1.6. 第三章 一元函数的导 数及其应用 考点练15导数的概念 及其意义、导数的运算 基础巩固练 1.Bs′=5t+2t一4，当t=1时，s'=3,故 当t=1时，该质点的瞬时速度为3米/秒. 故选B. 2.B由题意知，f(x)=2x-,则 f)=1,所以im1+A)-f 2△x f(1+△x)-f(1)1 f(1)= 1 故选B. 3.C如图所示，根据导数的几何意义，可 得'(2)表示切线l1斜率k1·f(3)表示 切线(3斜率k:,又由平均变化率的定 义，可得f(3）-②=f3)-f(2. 3-2 表示割线L,的斜率k,,结合图象，可得 0<k:<k2<k1,即0<f(3) f(3)-f(2)<f(2).故选C. y y=f(r) B 023x 4.Cf(x)=x2+3xf'(2)+lnx,f'(x) 2x+3f'(2)+是，所以f(2)=2×2+ 3f2)+令，解得f(2)=-9 1 .故 选C 5.Af'(x)= (e*+2cos x)(1+x2)-(e"+2sin x).2x (1+x2)2 则f(0)= (e°+2cos0)X(1+0)-(e°+2sin0)X0 (1+0)2 3,即该切线方程为y一1=3x,即y= 3x十1，令x=0,则y=1,令y=0,则 x=- 3，故该切线与两坐标轴所图成 的三角形面积S= 31 日故选A 6.D因为函数f(x)=xe,所以f(x)= (x十1)e,设切点为(Iozoe0),则切 线方程为y-xe0=(x。十1)e0(x x),将点（分0）代入得-xe0 xo+1)e(1 （2-x0,即-x。=(x。+ D(号-z)解得。=一子或。 1,所以切点横坐标之和为一2 十1= 合截选D 7.ACDf(x)=lnx十x2,x>0,则 f'(x)= 1+2x≥22，当且仅当 上=2即2-受时，等号成立根播 导数的几何意义知，切线的斜率k≥2√2， 因为切线与直线！平行，所以！的斜率 k,≥2√2，对于A,直线的斜率为3> 2√2，符合题意；对于B,直线的斜率为 2<2√2，不符合题意：对于C,直线的斜 率为4>2W2,符合题意；对于D,直线的 斜率为5>2√2，符合题意.故选ACD. 8.AC因为函数f(x)=e,所以∫'(x)= e”,对于A,令f'(x)=e=1,得x= 0,所以曲线y=f(x)的切线斜率可以 是1，故A正确；对于B,令f'(x)= e 一1，无解，所以曲线y=f(x)的 切线斜率不可以是一1，故B错误：对于 C,因为，点(0,1)在曲线y=f(x)上，所 以当点(0,1)不是切点时，切线不存在， 当，点(0,1)是切点时，f'(0)=1,所以切 线方程为y-1=x,即y=x十1，所以 过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直 线有且只有1条，故C正确：对于D,设切 点为(xo,e0),则切线方程为y一e0= e0(x一xo),因为点(0,0)在切线上，所 以e=xoe0,解得x0=1,所以过点 (0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有 且只有1条，故D错误.故选AC. 9.2 解析：因为(x)= (az ax2-1 2ax 2a a台所以f')=。气=4， 1)′ 所以a=2. 10. 16 9 解析：由题意知f(x)=2f'(3) x+f(3)=2r'3) 4 →f'(3)=1.∴fx)=2x 3 2x2+nxf1)=2-2=16 9 9 11.3 解析：由题意知，（一1）=一1 (-1)=0,f'(x)=3x2-1,f'(-1)= 165 3-1=2,则曲线y=f(x)在点(-1， 0)处的切线方程为y=2(x十1)，即 y=2x十2，设该切线与曲线y=g(x) 相切于点(x0,g(x0),其中g'(x)= 2x,则g'(x。)=2x。=2,解得x。=1, 将x。=1代入切线方程，得y=2X1十 2=4,则g(1)=1十a=4,解得a=3. 12.(-o∞，2√2] 解析：因为y=lnx十x2+(-a)x, 所以y= 1十2x十5-a,因为曲线 在P点处的切战的领针角0∈[三， 受)，所以y≥m号=5时于任喜 的x>0恒成立，即士+2x+√5-a≥ √3对任意的x>0恒成立，即a≤2x十 1,又2z+1≥2W2,当且仅当2z= 即-号时，等子成主，故a《2, 所以实数a的取值范围是（一∞，22]. 13.解：Dfx)=2ax+子则了2)= 4a十2=2，解得a=0. (2)由(1)知f(x)=lnx+2,f'(x)= 是故f)=2f0D=1. 所以f(x)=Inx十2在x=1处的切 线方程为y-2=x-1, 即xy十1=0. 14.解：f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+ 2). (1)由题意得 f(0)=b=0, lf'(0)=-a(a十2)=-3， 解得b=0,a=-3或a=1. (2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直 于y轴的切线， 所以关于x的方程f'(x)=3x2十 2(1一a)x-a(a十2)=0有两个不相 等的实数根，所以△=4(1一a)2十 12a(a+2)>0, 即4a2十4a十1>0，解得a≠-2 所以a的取值范围为 (,-2)u(+)小 1 一。能力提升练 1.C由y'=3x2一1，得当x=0时， y'=一1，即直线l的斜率为一1，根据倾 斜角与斜率关系及其范围知！的倾斜角 为故选C -3 2.B 由题意可得y=红一2)，所以由 线在，点(1，一2)处的切线的斜率为一3. 因为切线与直线ax十by十c=0垂直， 所以-3·（号）=-1，解得号 3故选B. 3.A由曲线y=e十a,得y=e,在 x=0处的切线斜率为1，当x=0时， y=1十a,曲线y=e十a在x=0处 的切线方程为y一(1十a)=1×(x 0),即y=x十1十a,由曲线y=lnx, 参考答案