第2章 考点练13 函数与方程-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练13 函数与方程 ICHU GONGGU LIA 基础巩固练 ●答案：161页 一、单项选择题 1.(2024·山东青岛二模)函数f(x)=a2一a(a>0,且a≠1)的零 点为 () A.0 B.1 C.(1,0) D.a 2.(教材改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且 有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 y 136.13615.552 3.92 10.88 52.488 -232.064 则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 ( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.若x0是方程2=12一3x的解，则x。∈ ( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 4.函数f(x)=2-2-a的一个零点在区间(1,2)上，则实数a的取 值范围是 A.0<a<3B.1<a<3C.1<a<2 D.a≥2 5.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x十2)=f(x),且当x∈[0， 1]时，f(x)=x,则函数y=f(x)一log3|x|的零点有() A.多于4个B.4个 C.3个 D.2个 6.(2025·浙江绍兴期末)已知命题p:函数f(x)=2x3+x一a在(1， 2]内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是() A.3≤a<18B.3<a<18C.a<18 D.a≥3 二、多项选择题 7.若函数f(x)=2e的图象与函数g(x)=1十5的图象交点的横坐 标所在的区间为(k,k十1)，则整数k可能为 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 |-x2-2x,x≤0， 8.已知函数f(x)= 若x1<x2<x3<x4,且 log2x,>0, f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=k,则下列结论正确的是() A.x1十x2=一1 B.x3x4=1 C.1<x4<2 D.0<k<1 三、填空题 9.函数f(x)=√36一x·cosx的零点个数为 10.已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=2十x一5，用二分法计算 此函数在区间[1,2]上零点的近似值，第一次计算f(1),f(2)的 值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2= 11.(2024·山西阳泉三模)函数f(x)=1og2x十x2+m在区间(1,2) 内存在零点，则实数m的取值范围是 2x+4,x≤0， 12.已知函数f(x)= 若函数y=f(f(x)十m)有4个 2-2,x>0, 零点，则实数m的取值范围是 四、解答题 13.函数f(x)=x2+bx+c的两个零点为2,3. (1)求b,c的值； (2)若函数g(x)=f(x)十mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2， 4)内，求实数m的取值范围. 第二章函数025 14.已知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x. (1)求f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若方程f(x)=m有三个不同的实根，求实数m的取值范围. 0262团闪·高考一轮复习金卷数学 NENGUI TISHENGUIAN 能力提升练 ●答案：162页 一、单项选择题 1.函数f(x)=10g(x十1)-2的零点所在的一个区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2.(2024·四川绵阳期末)若函数f(x)=x十1一a,则“4≥2”是“函 数f(x)存在零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)=2+x-4,g(x)=e+x-4,h(x)=lnx+x- 4的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小顺序是 ) A.a <b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 2x+3,x≤0， 4.已知函数f(x)= (x-2)2,x>0, 则函数g(x)=[f(x)] f(f(x))的所有零点之和为 () A.2 B.3 C.0 D.1 2,x≤0， 5.已知函数f(x)= 1 -()=f(x)-z-a.g(x) 有2个零点，则实数a的取值范围是 A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+o∞) D.1,+∞) 6.(新定义问题)(2024·浙江温州模拟)定义在R上且图象连续不断 的函数p(x),若存在常数m(m∈R)使得mo(x)十p(x+m)=0 对任意实数x都成立，我们称p(x)是R上的“m相伴函数”.下列关 于“m相伴函数”的描述正确的是 ) A.存在唯一的常数函数是“m相伴函数” B.p(x)=x2是“m相伴函数” C.“2024相伴函数”至少有一个零点 D.“一2024相伴函数”至少有一个零点 二、多项选择题 7.已知函数f(x)= 3 -log2x,0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)< 0,实数d是函数f(x)的一个零点.给出下列四个判断，其中可能成 立的是 ( ) A.d<a B.db C.dc D.d<c e,x≤0， 8.已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=a有 2f(x-1),x>0, 两解，则实数a的值可能为 () A.a=I B.a=1 C.a=e D.a=3 e 三、填空题 2-b,x<0, 9.(开放性问题)若函数f(x)= 有且仅有两个零点， x,x≥0 则实数b的一个取值为 10.已知函数f(x)-3-60的零点在区间(”十1D(m∈N)内，则 n= 11.(2024·河南郑州二模)已知函数f(x)是偶函数，对任意x∈R, 均有f(x)=f(x+2),当x∈[0,1]时，f(x)=1一x,则函数 g(x)=f(x)一log(x+1)的零点有 个 {xe,x≤0， 12.(2024·河北衡水模拟)已知函数f(x)= 若关于x lg x,x >0, 的方程[f(x)]一(a一1)f(x)一a=0有四个不同的实数根，则实 数a的取值范围是 四、解答题 13.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时，f(x)= +1-2x∈[0,1)， 2 求函数Fx)=f)-的所有 1-|x-31,x∈[1，+∞) 零点之和. 14.已知函数f(x)=log(9x+1)+kx是偶函数. (1)求k的值； (2)若函数g(x)=∫(x)-2x-a无零点，求a的取值范围； 1 3)设4)=16g,m·3r-号m)(其中实数m<1且m≠0)，若 函数h(x)=f(x)一t(x)有且只有一个零点，求m的值.由f(x)在[0,2]上单调递减，结合上 述分析知，f(x)在[2,6]上单调递增， 在[6,10]上单调递减，在[10,12]上单 调递增，所以f(x)在[0,12]的大致图 象如图所示.要使f(x)=m在[0,12] 上恰好有4个不同的实数根，即∫(x) 的图象与直线y=m有4个交点，所以 必有两对交点分别关于直线x=2和 直线x=10对称，如图，所以x1十 x2=4,x3十x1=20,则x1十x2十 x3十x1=24. 12.(0,)U2,+∞) 解析：f(x)=|x2十x= /x2十x(x-1或x≥0)， -x2-x(-1<x<0), g(x)= 工十丁，在同一直角坐标系下作出函数 y=f(x)与y=g(x)的图象，如图， =gx) '=fx) -1o 因为M(x)=maxf(x),g(x), 所以函数y=M(x)的图象如图， /=Mx) -10 其中(|x2十x)max= 41≤x≤ 1 0,当且仅当x=一2时取最大值： 设两函数图象在第一象限的交点为 P(xy),可得十x=x千，解 得x=1,故P(1,2), 由题意直线y=a与函数y=M(x)的 图象有3个不同的交点， 由数形结合易知0<a< 1或a>2, 故a的取位花周为(0，)U2, +0). 13.解：(1)简图如图所示： 5引 4 3 4-3-2-101434 -2 -3 由图可得该函数的单调递减区间为 (-,0)和(1，十∞). 2)①当x<0时，（分） -1≤1得 2≤2，所以-1≤x≤0： ②当x>0时，-x2十2x十1≤1，解 得x≥2. 综上，不等式f(x)≤1的解集为[一1，： 可知y=f(x)与y=log:|x|的图象 0]U[2,+∞). 有4个交，点，故函数y=f(x)-log:x 14.解：(1)因为函数f(x)=1og(x十 有4个零点.故选B. a)(a>0),且点M(任，之)在函数 6.D函数f(x)=2x3+x一a在R上单 调递增，由函数f(x)=2x十x一a在 y=fx)的图象上运动，所以兰 (1,2]内有零点，得 1og(货+a）,即y=2log(年+a小 f1)=3-a<0,解得3<a≤18， f(2)=18-a≥0， 即命题p成立的充要条件是3<a≤18， 所以函数y=g(x)的解析式为 显然3<a≤18成立，不等式3≤a< g(x)=2log:(年+a 18,3<a<18,a<18都不一定成立，而 3a≤18成立，不等式a≥3恒成立， (2)因为对任意的x∈[0,1]，f(x)的 反之，当a≥3时，3<a≤18不一定成 图象总在其相关函数图象的上方， 立，所以命题p成立的一个必要不充分 所以当x∈[0,1]时，f(x)-g(x)= 条件是a≥3.故选D. 1og(x十a)-21og(年十a）>0恒成7，AC作图易知函数fx)=2e的图象 立，即1og,x十a)>log(任十a）恒 与函教g(x)=正十5的图象在y轴两 成立. 侧各有一个交点，如图所示，设h(x)= 又y=logx为增函数， f(x)-g(x)=2e-1-5,则 所以当x∈[0,1]时，x十a> x (行+a）恒成立， 2 h(-1)= -4<0a() 变形可得2+（号-1）红十a2- 2e+5>0,h(1)=2e-6<0,h(2)= a<0恒成立， 2e-号>0，a(-1a()<0, a2-a<0, h(1)h(2)0,所以函数h(x)的零，点所 所以3十g二1十a2二a<0,解9 在区网是(1-局).1,2.故女 10<a<1, -1或k=1.故选AC <a< 故实数a的取值范围为(0,1). 考点练13 函数与方程 y=是+5 。基础巩固练 /y=fx) 1.B令f(x)=a-a=0,解得x=1, 0 即函数的零点为1.故选B. :8.BCD由函数f(x)= 2.B依题意，f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0, f(5)0,根据零点存在定理可知， 一x2-2x,x≤0，作出其函数图象如 1og2x,x>0, f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均 图所示： 至少含有一个零，点，故函数y=f(x)在 区间[1,6]上的零点至少有3个，故选B 3.C设函数f(x)=2十3x-12,因为 函数f(x)=2+3x一12在定义域上单 调递增，又f(2)=2+6-12=-2 0,f(3)=23+9-12=5>0,所以函数 -271-120x142末 ∫(x)的零，点所在区间是(2,3)，即方程 由图可知，x1十x2=一2，-2<x1< 的解x。∈(2,3).故选C -1,当f(x)=1时，由log2x=1,得 4.A因为函数y=2y=一2 在 1 x=2或x=2,所以2<x:<1< (0,十∞)上都单调递增，所以函数 x1<2.由f(x3)=f(x1),得 f(x)=2- -a在(0，十∞)上单调 x log:z3=loga1,p log2z3+ l0g2x1=0,所以x4x1=1,由图可知 -a的一 递增，由函数∫(x)=2一 0k<1.故选BCD. 个零点在区间(1,2)上得f(1)=一a< 9.6 0,f(2)=3-a>0,解得0<a<3.故 解析：令36一x2≥0，解得一6x 选A. 6,f(x)的定义域为[-6,6].令 5.B分别作出y=f(x)与y=log:x f(x)=0得36-x2=0或cosx=0, 的图象如图所示， 由36-x2=0得x=士6，由c0sx=0 ↑y y=log 得x=2十kπ，k∈Z,又x∈[-6， Xy=fx) 共有6个零，点 161 参考答案 7 10.4 解析：因为f(1)=一2<0，f(2) 22十2一5=1>0，取[1,2]的中点 1=则f(）=2+2 -5= 49 <0,所以函数 )的零点在区（，2）内， 为区同[受，习的中点值，月光x: 7 2 Γ4 11.(-5,-1) 解析：由y1=log2x在(0，十o∞)上单调 递增，y2=x2十m在(0，十∞)上单调 递增，得函数f(x)=log2x十x2十m 在区间(0，十○)上单调递增，因为函数 f(x)=log2x+x十m在区间(1,2) 内存在案点，所以0)≤0：即 f(2)>0, log,1+1上十m<0·解得一5< 10g22+22+m>0, m<一1，所以实数m的取值范围是 (-5,-1). 12.[-3,-1) 解析：令f(x)= 0→x=-2或x= 1.令f(f(x)+m)= 0得f(x)十m=-2 或f(x)十m= -2071 1,.f(x)=-2 m或f(x)=1-m. 作出y=f(x)的图象，如图所示.y= f(f(x)十m)有4个零点， f(x)=-2-m,f(x)=1-m各有 两个02m0 得-3≤m<-1.所以实数m的取值范 围是[-3，-1). 13.解：(1)由题意得2,3为方程x2+bx+ c=0的两根， 23 b=-5, c=6. (2)由(1)知f(x)=x2-5.x十6， g(x)=x2+(m-5)x+6, g(1)>0, 依题意8(2)<0解得-号<m< g(4)>0, 0,故m的取值范围是(0）。 14.解：(1)设x<0,则-x>0,因为x≥ 0时，f(x)=x2-2x, 可得f(-x)=(-x)2-2(-x)= x2+2x, 又因为函数y=∫(x)是奇函数，所以 f(-x)=-f(x)=x2十2x,即 f(x)=-x2-2x, 所以函数f(x)的解析式为 )-2200 (2)作出函数f(x)的图象，如图所示 可得f(x)的单调递减区间是[-1,1] 单调递增区间是(-∞，一1)，(1， 十∞). 以对闪·高考一轮复习金卷数学 (3)要使得方程f(x)=m有三个不同 的实根， 即函数y=f(x)的图象与直线y=m 有三个不同的交点， 如图所示，可得一1<m<1,即m的取 值范围是(-1,1). y =x)/ Ly=m 10 -1 ● 能力提升练。 1.B因为f1)=1bg:2-2 =-10, f2)=1og3-号>0，且易得f)在 (0,十∞)上单调递增，所以f(x)在 (0,十∞)上有唯一的零，点，且零，点在区 间(1,2)内.故选B. 2.A函数f(x)存在零点，等价于方程 x+ 1一a=0有实数根，等价于x ax十1=0有非零实数根，等价于a2 4≥0，等价于a≥2或a≤-2，所以 “a≥2”是“函数∫(z)存在零点”的充 分不必要条件，故选A. 3.C由已知条件得(x)的零点可以看 成y=2与y=4一x图象的交，点的横 坐标，g(x)的零点可以看成y=e与 y=4一x图象的交点的横坐标，h(x)的 零点可以看成y=lnx与y=4-x图 象的交点的横坐标，在同一坐标系中分 别画出y=2,y=e,y=lnxy = 4一x的函数图象，如图所示，可知c a>b.故选C y 2 y=Inx O/ba c =4-x 4.D由函数g(x)=[f(x)]2-f(f(x), 令t=f(x),则g(t)=t2一f(t),令 g(t)=0,可得t2=f(t),当t>0时，由 t2=f(t),可得t2=(t-2)2,即-4t十 4=0,解得t=1;当t≤0时，由t2= f(t),可得t2=2t十3，即t一2t-3= 0,解得t=一1或t=3(舍去)，所以 t=士1，即f(x)=士1，当x>0时，令 (x-2)2=1或(x-2)2=-1(含去)， 解得x=1或x=3;当x≤0时，令 2x十3=士1，解得x=一1或x=一2， 所以函数g(x)=[f(x)]一f(f(x): 的零点之和为1十3-1-2=1.故选D. 5.Dx>0时，f(x)=元 1 一x,函数在 (0,+∞)上单调递减，f(1)=0,令 g(x)=0可得f(x)=x十a,作出函数 y=f(x)与函数y=x十a的图象如图 所示： 162 y=x+a y=f(x) 1 由图可知，当a≥1时，函数y=f(x)与 函数y=x十a的图象有2个交，点，此时， 函数y=g(x)有2个零点，因此，实数a 的取值范围是[1，十∞).故选D. 6.C对于A,令9(x)=a,x∈R,则 p(x十m)=a,所以ma十a=0,解得 m=一1，a∈R,函数o(x)有无数个， 故A错误；对于B,.x2+(x十m)2=0 对日x∈R恒成立，化简得(m十1)x2+ 2mx十m2=0对廿x∈R恒成立，则 m+1=0, 2m=0,无解，则9(x)=x2不是 m2=0, “m相伴函数”，故B错误；对于C, 20249(x)十9(x+2024)=0,令x= 0,p(2024)=-20249(0),当9(0)=0 时，9(x)=0有实根0，当9(0)≠0时， p(0)·p(2024)=-20249(0)<0,因 为函数p(x)在R上的图象连续不断，则 函数9(x)在(0,2024)上必有实根，所 以“2024相伴函数”至少有一个零，点，故 C正确；对于D,一20240(x) 9(-2024+x)=0,当x=b∈R, P(b-2024)=2024p(b),若9(b)≠0， (b)·9(b-2024)=2024p°(b)>0,不 能判定此区间[b一2024，b)内是否有 根，由于b的任意性，则不能确定(x) 在R上有无零，点，故D错误.故选C. 7.ABD 由y=(号)广在0，+0)上￥ 调递减，y=logx在(0，十∞)上单调递 培，可得f)=(日) 一log2x在定义 域(0，十∞)上是减函数，当0<a<b c时，f(a)>f(b)>f(c),又因为 f(a)f(b)f(c)<0,f(d)=0,所以 ①f(a),f(b),f(c)都为负值，则a,b,c 都大于d;②f(a)>0,f(b)>0, f(c)<0,则a,b都小于d,c大于d.综 合①②可得d>c不可能成立.故 选ABD. 8.BD如图，①当x≤0时，f(x)=e在 (一∞，0]上单调递增，且f(0)=1,所以 f(x)∈(0,1]：②当x>0时，则 f(x)=2e-,x∈(k-1,k],k∈N*, 可知f(x)在(k一1，k],k∈N“上单调 递增，且fk-1)=公，f(k)=2,所 e 以f(x)∈（ 2*<2 e ,k∈N.方程f(x)=a的根的 个数可以转化为y=f(x)与y=a图 象的交点个数，可得当a≤0时，y f(x)与y=a的图象没有交点：当0< 时，y=f(x)与y=a的图象有 ae 且仅有1个交点：当 e <a2,k∈N 时，y=f(x)与y=a的图象有且仅有 2个交点；当2<a≤2 -,k∈N时， y=f(x)与y=a的图象有且仅有1个 交点.若关于x的方程f(x)=a有两 解，即y=f(x)与y=a的图象有且仅 有2个交点，所以实数a的取值范围为 2+1 。2k∈N,因为1∈（g 3∈(]6e不在相关区同内， 所以A,C错误，B,D正确.故选BD. x=13=2 x=3 /小x) 2-- 0 9.名（答案不唯一） 解析：令f(x)=0,当x≥0时，由 √x=0得x=0,即x=0为函数∫(x): 的一个零，点，故当x<0时，2一b=0有 一解，得b∈(0,1). 10.2 解析：因为y=3在(0，十∞)上单调 递增，y= 60在(0，十60)上单调递 增，所以f(x)=3-60在(0，+0) 上单调递增，因为f(1)=3一60<0， f(2)=9-300,f(3)=27-20> 0,所以f(x)的零点在区间(2,3)内， 故n=2. 11.4 解析：函数∫(x)是偶函数，说明函数 f(x)的图象关于y轴对称，f(x)= f(x十2)说明f(x)的周期是2，在同 一平面直角坐标系中画出函数y= f(.x)的图象与y=log:(x十1)的图 象，如图所示： -fw=logx+1 个 -3-2-101234567x 由图可知共有4个不同的交点，即 g(x)=f(x)-log(x十1)有4个 零点。 解析：当x≤0时，f(x)=xe,则 f'(x)=(x十1)e,令f'(x)< 0→x<-1,令f'(x)>0→-1<x≤} 0,所以f(x)在（一∞，一1）上单调递 减，在（一1,0]上单调递增，且f(一1）= 1 f0)=0,当x→-∞时，f(x)→ 0,所以-是≤x)≤0z<0).通 出函数f(x)的大致图象，如图所示： y=lg x -1 y=xe y=a 由[f(x)]2-(a-1)f(x)-a= [f(x)十1]·[f(x)-a]=0,解得 f(x)=-1或f(x)=a.因为直线 y=f(x)=一1与图象有一个交点， 即方程有一个根，所以直线y= f(x)=a与图象应有三个交，点，即方 程有三个极，所以a∈（日） 3.解：由题意知，当x<0时， f)=-1+2,x∈（←1,0. {2 x+3-1,x∈(-o∞，-1]， 作出函数f(x)的图象如图所示，设函 数y=f(x)的图象与直线y=1交 点的横坐标从左到右依次为x1,x2, x3,x1,x5,由图象的对称性可知， x1十x2=-6,x1十x5=6,故x1十 x2十x1十x5=0, 3 2 -432-10外123本5 令2+2=上，解得x3=1一2元1 π 所以函数F(x)=f:)-是的所有装 点之和为1一2示 4.解：(1)由f(x)是偶函数，则对于 Hx∈R,都有f(x)=f(-x), 即log(9+1)十kx=log(9元十1) kx, 9+1 即1ogg*十1 =-2kx, 即10g9=-2kx,即x=一2kx, 所以一2k=1,解得k=一之 (2)结合(1)知f(x)=1og(9十1)一 22, 所以g(x)=f(x)-2x一a= log(9十1)-x-a,即g(x)= g(1+）-a 又g>0,则1g(1+号）>0： 令xc)=0,即l1og(1+g）=a… 因为g(x)无零点，即关于x的方程 og.（1+g）=a无解. 即y=bg,(1+)与y=a的图象 无交点，所以a≤0， 即当a≤0时，g(x)无零点，故满足条 件的a的取值范围是(-∞，0]. (3)函数h(x)=f(x)一t(x)的零点 即方程f(x)一t(x)=0的根， 而f(x)-t(x)=0台logB(9十1)一 4 2x-1og(m·3-3m） 09l0g(32x十1)=log（m·32x 163 3m·3）9(m-1)·3 4 4 3m· 3-1=0, 设1=子1>0，则(m-1D02-÷mt 1=0(￥)， 4. 令g)=(m-1Dt-3mt-1,t>0, 又m·3- 4 3m≥0，则m(3* 专)=m-号)>0， ①当m<0时，则0<1<青，所以间 题等价于关于t的(*)方程在0<t< 专有唯一实根， 又因为（传）=一号<0 g(0)=-1<0, 则由二次函数图象可知只需0< 3m 2-D<÷且a=(-音m)}'+ 4(m-1)=0,得m=-3; ®当m=1时，则-子-1=0，得 1=-子<0，不合题意： @当0<m<1时，则1>合，所以同 题等价于关于t的(*)方程在1>了 4 时有唯一实根， 又因为)=<0 9 4 3m 则由二次函数图象可知只需2(-D> 号且a=(-专m)‘+4m-)=0 无解. 综上，m=一3. 考点练14函数模型及其应用 一。基础巩固练一 1.C通过所给数据可知，y随x的增大而 增大，且增长的速度越来越快，A,B选项 中的函数增长速度越来越慢，不正确；C 选项中，当x=6时，y≈21.33，D选项 中，当x=6时，y=18,误差偏大，故C 选项正确.故选C. 2.D根据题意f=(≠0)，当W w 2时，f=205,则k=205X23,当f= 41时，则w3=205X2 -=5X23,故 41 W=250.故选D. 3.C设大约需要x年，由题意知，1× 2=1000000,即2=10°，两边同时 取对教，得xg2=6,解得工=g2≈ 6 0.307≈20.即由1株支成100万株大约 6 需要20年.故选C. 4.A依题意，t>0,所以t十1>1，所以 100(t+1) C(t)=2+4t十19 参考答案