第2章 考点练11 对数与对数函数-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练11对数与对数函数 基础巩固练 答案：157页 一、单项选择题 1.（教材改编)计算：21g√5-lg4立= ( A.10 B.1 C.2 D.Ig 5 2.若lnx=6,lny=3,则之= ( y A时 C.e2 D.e 3.函数f(x)=√1gx+lg(5一3x)的定义域是 ( A0》 D.13 4.分贝(dB)、奈培(Np)均可用来量化声音的响度，其定义式分别为 1dB=10g名1Np=h会其中A为待测值，A,为基准值，如 果1dB=tNp(t∈R),那么t≈ ) (参考数据：lge≈0.4343) A.8.686 B.4.343 C.0.8686 D.0.115 1 .3 -4x≤， 5.(2024·陕西安康模拟)已知函数f(x) 是 loga (4x)-1, 3 4 R上的单调函数，则实数a的取值范围是 () A.(0,1) B.(1,√3] C.(1,3) D.(1,3) 6.若函数f)=1og.(x2+多x小a>0,且a≠1D在区间 (兮十内恒有f(x)>0,则f()的单调递增区间为（) A.(0,+∞) B.(2,十∞)C.(1,十∞) D.(2+） 二、多项选择题 7.已知函数f(x)=log2(1一|x),则关于函数f(x)有下列说法，其 中正确的说法为 A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的最大值为0 D.f(x)在区间（一1,1）上单调递增 8.(2024·河北邯郸模拟)已知函数f(x)=1og2(x+6)十log2(4一x), 则 () A.f(x)的定义域为（一6,4） B.f(x)有最大值 C.不等式f(x)<4的解集为(-∞，-4)U(2,十∞) D.f(x)在[0,4幻上单调递增 三、填空题 1+log2(2-x),x<1, 9.已知函数f(x)= 则f(f(一2))= 21,x≥1， 10.已知1og。2 <loga2(a>0,且a≠1)，则实数a的取值范围 为 11.(开放性问题)若函数f(x)满足：(1)Hx1,x2∈(0，+∞)且 ,,都有u〉》<：@f》f,)- x2-x1 则f(x)= .(写出满足这些条件的一个函数即可) 12.(2024·上海黄浦区模拟)已知正实数a,b满足1og.6+10ga=2, a=b,则a十b= 四、解答题 13.已知函数f(x)=(ogx-3)·log(4x).当x∈ [16时，求该 函数的值域 第二章函数021 14.已知函数f(x)=1og(ax2十2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值. 0222团闪·高考一轮复习金卷数学 NENGUI TISHENGUIAN 能力提升练 0答案：157页 一、单项选择题 1.(2024·天津滨海新区三模)已知a=20.4,b=log0.42,c= 1 10ga0.4则 () A.a>b>c B.b>a>c C.c>a >b D.a>c>b 2.(数学文化)中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传 输速率，最大数据传输速率C取决于通道带宽W,经科学研究表明： C与w满足C=W1og(1+),其中S是通道内信号的平均功率， N是通道内部的高斯噪声功率，。为信噪比。当信噪比比较大时。 上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽w,面将信躁比 从1000提升至4000，则C大约增加了（附：1g2≈0.3010） A.10% B.20% C.30% D.40% 10g2x,x>0, 3.已知函数f(x)= 且关于x的方程f(x)一a=0有 2,x≤0， 两个实根，则实数a的取值范围为 ( A.(0,1] B.(0,1) C.[0,1] D.(0,+∞) 4.(教材改编)已知函数f(x)=log.(x一b)(a> y↑ 0,且a≠1)的大致图象如图所示，则以下说法 fx)=log (x-b) 正确的是 ) A.a+b< B.ab<-1 C.0<ab<1 D.log。|b1>0 5.已知实数a,b∈(1，+o∞)，且log3a+log3=logb+log4,则 ( A.√a<b<a B.b<√a<a C.√a<a<b D.a<b<√a 6.已知函数fx)=log:(3+3)-2x,若f(a-1)≥f(2a+1)成 立，则实数a的取值范围为 ( A.(-∞，-2] B.(-∞，-2]U[0,+∞) 4 C.-23 D.(-,-2]U+ 二、多项选择题 7.若4“=3=24，则 () A.2<a<2 B.2<b<3 c品+1+分< 8.当0<x≤豆时，4≤logx恒成立，则a的值可以为 号 2 C D.√2 三、填空题 9.(2024·吉林长春模拟)若函数f(x)=ln(a.x+1)在(1,2)上单调 递减，则实数a的取值范围为 10.已知函数f(x)=log(2x-a)在区间2·3 「12 上恒有f(x)>0, 则实数a的取值范围是 11.已知log4(x十4y)=1+log2√xy,则x+2y的最小值为 12.已知函数y=f(x)为R上的奇函数，且对定义域内的任意x都有 f(1+x)=-f(1-x).当x∈(1,2)时，f(x)=1-l1og2x.给出 以下4个结论： ①函数y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称； ②函数y=f(x)|是以2为周期的周期函数； ③当x∈(0,1)时，f(x)=log2(2-x)-1; ④函数y=f(x)在区间(k,+1)(k∈Z)上单调递减. 其中所有正确结论的序号为 四、解答题 13.已知函数f(x)=log(x+1)-log。(1-x),a>0且a≠1. (1)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (2)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围. 14.已知函数fz)=log(侵+a小： (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； (2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于 2,求实数a的取值范围.14.解：(1)由题意，设f(x)=a(a>0, 且a≠1)， :x)的图象过点（号） 2 故函数fx)的解析式为/x)=(分）广. (2)g(x)=f(2x)-mf(x-1)十1， gx=()”-2m(） +1, 令-()， x∈(-1，十∞)，t∈(0,2)， ∴.y=t2-2mt十1，t∈(0,2)， 函数gx)=(位)-2m(份)+1 在(-1，十∞)上有两个零点，等价于 y=t-2mmt十1在t∈(0,2)上有两个 零点， f02-2m×0+1>0, 22-2m×2+1>0, 则3△=(-2m)2一4×1×1>0，即 0<2m<2. 2 1>0, <，解得1<m<子 m2>1, 0<m<2, 故实数m的取值范围为1，)。 考点练11 对数与对数函数 。基础巩固练。 1.B原式=lg(W5)2十lg√A=lg5+ lg2=lg10=1.故选B. 2.D因为lnx=6,lny=3,所以x= cy=e,所以= =e.故选D. y x>0, 3.C由题设，得1gx≥0，解得1≤ 5-3x>0, x<号所以画数的定义域为，号） 故选C 1dB=tNp(t∈R),所以10lgA =tX 1 2nx,所以t=20:n,=20lgx lne=2olg In x .lge=20×lge≈20× lg x 0.4343=8.686.故选A. 5.B根据题意，当x≤时(x) 1 1 4 4x-4= x-1 可得f(x)在 (∞，上单调递增，要使得函数 37 1 3 4红-4x≤4 f(x)= 3是R上 log.(4x)-1,x> 的单调函数，则满足a>1,且 be.(4×子)-1≥ 一，解得 一4 4×4 1<a≤√3，所以实数a的取值范围为 (1,w3].故选B. 6.A令M=x+含x,当x∈（分+） 3 时，M∈(1，十∞)，恒有f(x)>0,所以 a>1,所以函数y=logM为增函数，又 M=(c+)厂-品所以M的单粥递 增区同为（子+如小又+子：> 3 0,所以x>0或x<2,所以画数 f(x)的单调递增区间为(0，十∞).故选A 7.BCf(x)=log(1-x)为偶函数， 不是奇函数，·A错误，B正确；根据 f(x)的图象（图略）可知D错误；，1 x≤1，∴.f(x)≤log21=0,故C正 确.故选BC. 8AB由题老可得督>8解释-6< x<4,即f(x)的定义域为(-6,4)，故 A正确；f(x)=l0g(-x2-2x十24)， 因为y=-x2-2x十24在(-6，-1)上 单调递增，在（一1,4）上单调递减，y= 1ogx在(0，十∞)上单调递增，所以 f(x)在(-6，-1)上单调递增，在(-1， 4)上单调递减，所以f(x)ma f(-1)=21og25,故B正确，D错误；因为 f(x)在(-6，一1)上单调递增，在(-1， 4)上单调递减，且f(-4)=∫(2)=4， 所以不等式f(x)<4的解集为（一6， 一4)U(2,4),故C错误.故选AB. 9.4 解析：因为f(x)= /1+log2(2-x),x<1, {2-1,x≥1， 所以f(-2)=1+l0g24=3, f(f(-2)=f(3)=2-1=4. 10.(b,9)Ua,+∞) 解析：①当0<a<1时。<子得 0<a< ，g当u>1时，a之2： 2 得a>1.综上所述，实数a的取值范围 为（号）U.+) 11.log1x(答案不唯一) 解析：对于条件(1)，不妨设x1<x2,则 x:-x1>0,fx)-f( 0.f(x2)-f(x1)0,.f(x1)> f(x2),.f(x)在(0，十∞)上单调递 减，对于条件(2)，刚好符合对数的运算 性质，故这样的函数可以是一个单调递 减的对数函数 12.4 解析：令t=logb,则loga= 5 以2r2-5t十2=0，解得t=2或t= 2,所以1ogb=2或1og.b=2,所以 157 a立=b或a2=b.当a=b时，则a= b2,由a“=b,得(b2)”=b2a=b5,所 以2a=b,由2a=0又a>0,解得 la=b2, 1 a=4’ 3 所以a十b= 4；当a2=b b=2 时，由a”=b,得a”=(a2)=a%,所 以a=26,由{0二2h又a>0,解得 a2=b, 1 a2 3 b= 所以a十b=子综上所迷， 4 3 a十b= 4 13.解：f(x)=(log1x-3)·1og1(4x)= (l0g1x-3)·(1og1x十1)=(10g1x)2 2l0g1x-3, 令t=logx,曲x∈[日，l则：e [-1,2],所以有y=t2-2t-3=(t 1)2-4,t∈[-1,2]， 所以当t=1时ym=-4,当t=一1 时，ymx=0.所以函数f(x)的值域为 [-4,0]. 14.解：(1)因为f(1)=1,所以log1(a十 5)=1,因此a十5=4，即a=-1, 所以f(x)=1og1(-x2十2x十3)， 由-x2+2x十3>0得-1<x<3, 即函数f(x)的定义域为（一1,3）. 令g(x)=-x2十2x十3(-1<x< 3),则g(x)在(-1,1]上单调递增，在 [1,3)上单调递减. 又y=log1x在(0，十∞)上为增函数， 所以f(x)的单调递增区间是（一1,1]， 单调递减区间是[1,3) (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)= ax2十2x十3应有最小值1， (a>0, 因此应有3a-1=1,解得a=2 一能力提升练。 1.Ca=2%01=0.4,b=1og12< log.41=0,0=log.31<1og0.30.4< l0g.30.3=1,则c>1,故c>a>b.故 选C. 2.B当S=1000时，C1=WI0g1001≈ W1b6g:10:当3 =4000时，C2= W10g24001≈W1og4000,所以增加的 百分比为二。 C2-1≈ 一C W1og24000 W10g2100 -1=g4000-1= 1g1000 1g4+g100-1= 1g4 2g2≈ lg1000 1g1000 3 2×0.3010 ≈0.2=20%.故选B. 3 3.A作出函数y= f(x)的图象（如 图)，欲使y=f(x) 的图象和直线y= 10 a有两个交点，则 0<a1.故选A. 4.C由图象可知f(x)在定义域内单调 递增，所以a>1,令f(x）=log.（x一 参考答案 b)=0,即x=b十1，所以函数f(x)的 零点为b十1，结合函数图象可知0<b十 1<1,所以一1b<0,因此a+b>0, 所以A错误：一aab<0,又因为a> 1,所以一a<-1,因此ab-1不一定 成立，所以B错误；因为a<a<a°， 即1<a<1,且0<1<1，所以0< a a<1,所以C正确：因为0<b<1, 所以log。b<log.1,即log。b<0, 所以D错误故选C, 5.A由log3a-1og。4=log3b-1og63可 log,6-log,b=log,a log a ga6a,因为y=x-在(-o 0),(0,十∞)上单调递增，且loga, logb∈(0，十o∞)，所以logb<log3a, 即6<a.又1bgb-1ogb>1oga 1oga所以1bgb>1loga,又因为1bg1a= log:a>log√a且y=logx单调递 增，所以由logb>log√a可知b>√a, 综上，√a<b<a.故选A. 6.C令g(x)=1og(3”十1)-2x= 10g(3+3),则g(x)为偶函数，由 定义法得g(x)在[0，十∞)上单调递 增，所以f(x)=log(3-1十3) 2x=1+1og,(33+1)-2x= 1og,(3+1)-2(x-2)=gx-2), 所以f(x)的图象关于直线x=2对称， 且在[2，+o∞)上单调递增，所以f(a 1)≥f(2a+1)台a-1-2≥2a+ 1一2，两边平方并化简得(a十2)(3a )<0,解得-2≤a≤台故选C 7.ABC因为4“=3=24，所以a= log124∈(log,4,log142),b=log:24∈ 5 (og3,log3,所以2<a<之2< 6<3,A,B均正确，1 1 =1og214,b 3 ,1 g32a+方 1二)l0g214+10g213一 l10g2124=1, 111 。+方 =1og2112,因为 1 12≥242，所以。十b =1og2112> 1og21247= 2 3 ,C正确，D错误.故 选ABC. 8.ABC分别记函数f(x)=4,g(x)= logx,由图1知，当a>1时，不满足题意； fx) 24 /g(x) -2-10 1234末 -2 -3别 图1 以对闪·高考一轮复习金卷数学 4 f(x) 以 2- -1o 1234x -1F g(x) -2 -3 图2 当0<a<1时如图2.使0<< 时，不等式≤1gz恒成立，只需满足 f(侣）≤（合），中产≤1名中 21o，解 2 ≤a<1.故选ABC. 解析：根据题意，设t=ax十1，则y= lnt,若函数f(x)=ln(ax+1)在(1,2) 上单调递减，利用复合函数的单调性，可 ; 得a1在1,2上为减画教且> 0恒成立，即{0<0， 1 2a+1≥0.解得-2 ≤ a<0,即a的取值范国为[合o）: o.(仔) 解析：当0<a<1时，函数f(x)在区 网[日]上是成西成，所以 4 解得<a<号故号<a<1: 4 当a>1时，函数f(x)在区间 「1,2]上是增西数，所以10g.1- L23」 a)>0,即1-a>1,解得a<0,此时 无解.综上可知，实数a的取值范围 是（合） 解析：因为1og1(x十4y)=1十log√y, 所以log1(x十4y)=1十log1(xy) log1(4xy),所以x十4y=4xy,故 1 1 4y =1,且x>0,y>0,所以x十2y= 3 2y= 反十1时， 4 取等号，所以工中2y的最小值为号一巨 12.①②③ 解析：由题知y=f(x)为R上的奇函 数，其图象关于原点中心对称，且f(0)= 0,又对定义域内的任意x都有f(1+ x)=一f(1一x),所以其图象还关于点 (1,0)对称，f(1)=0,据此可判断函数 y=f(x)为周期函数，2是函数y= 158 f(x)的周期，f(x)=f(x十2)，又 当x∈(1,2)时，f(x)=1一logx,画出函 数图象（如图1，图2），可知①②正确： 又y=f(x)= f(x)x≥0.。画 f(-x),x<0, 出函数图象（如图3），可知④错误； 、fx) 图1 f(x) 6-2-10 23 -2 图2 8f) 图3 当x∈(0,1)时，2一x∈(1,2)，所以 f(2-x)=1-Iog2(2-x),又因为函 数y=f(x)是以2为周期的奇函数， 所以f(2-x)=f(-x)=-f(x),所 以f(x)=-f(2-x)=log2(2-x)- 1,可知③正确. 3.解：(1)f(x)是奇函数，证明如下： 因为f(x)=log(x十1)-log(1-x), 所以 x+1>0, 1-x>0, 解得一1x<1,即f(x)的定义域为 (-1,1). f(-x）=log.(-x十1)-log.(1十 x)=-[log(1十x）-log.（-x十 1)]=-f(x), 故f(x)是奇函数. (2)因为当a>1时，y=l1og(x+1)是 增函数，y=log。(1-x)是减函数， 所以当a>1时，f(x)在定义域（一1， 1)内是增函数， f(x)>0即log.(x十1)-log。(1- x)>0, 1oga1一x 2x(1-x)>0,解得0<x<1, 故使f(x)>0的x的取值范围为 (0,1). 4.解：(1)若函数f(x)是R上的奇函数， 则f(0)=0,所以log2(1十a)=0,a= 0.经检验，当a=0时，f(x)=一x是 R上的奇函数.所以a=0. (2)由已知得函数f(x)是减函数，故 f(x)在区间[0,1]上的最大值是 f(0)=log2(1十a),最小值是f(1)= log(2+a). 由题意得1log1+a)-log(分十a）≥ 2,则1og(1十a)≥log(4a十2)，所以 1+a≥4a+2, 4a+2>0, 1+a>0, 解得 1 2<a≤-3： 故安数：的取值范围是（一名、]， 考点练12 函数的图象 。基础巩固练。 1.C因为题图2中的图象是在题图1的 基础上，去掉函数y=f(x)的图象在 y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象 翻折到y轴右侧得到的，所以题图2中的 图象对应的函数可能是y=f(一x). 故选C 2.D由函数fx)=ln工，可知其定 e十e 义域为（一∞，0）U(0,十∞)，关于原点 对称，又f(-x)=一xln一x et十e zIn x =一f(x),所以∫(x)为奇 e +e 函数，所以函数f(x)的图象关于原点对 称，可排除A,B选项.当x∈(0,1)时， f(x)<0;当x=1时，f(x)=0;当 x∈(1，十∞)时，f(x)>0.根据指数 函数与对数函数的增长趋势，可得 x→十o时，f(x)→0，可排除C选项. 故选D. 3.D由题图知，小李从点A到点B的过 程中，y的值先增后减，从点B到点C的 过程中，y的值先减后增，从，点C到点D 的过程中，y的值先增后减，从，点D到，点 A的过程中，y的值先减后增，所以在整 个运动过程中，小李和小陈之间的距离 (即y的值)的增减性为：增、减、增、减、 增，D选项符合题意.故选D. 4.C画出y=max{2,2x-3,6-x}的 示意图，如图所示，由图可知，当6一x= 2,即x=2时，y的最小值为2”=6 2=4.故选C ↑y =6-x7 /=2 6外 y=2x-3 5 4 VA(2,4) 3 2 -3-2-1012345678910元 -2 5.D因为f(x)为奇函 y 数，所以不等式 f(x)-f-x）<0可 -1/ 化为《2)<0，即 xf(x)<0,f(x)的大致图象如图所 示，所以原不等式的解集为（一1,0）U (0,1).故选D. 6.A由图象知，方程ax2十bx十c=0的 两根分别为2,4，且点(3,1)在f(x)的 2 9a十3b+c =1, 图象上，所以2X4= 解得 a 2+4=-6 a=-2, (b=12,所以f(x)= c=-16, 2 1 -2x2+12x-16=-x+6x-8所 1 以f(5)=-25+30-8 故 选A. 7.ABD由题意可知，函数f(x)的定义 域为(-∞，0)U(0,十∞)，且 f(一x)=一f(x),则f(x)为奇函数. m 当m>0时f'(x)=3x+>0,函 数f(x)在(-∞，0)，(0，十o∞)上单调递 增，故B正确；当m=0时，f(x)=x, f'(x)=3x2>0,函数f(x)在(-o∞， 0),(0,十∞)上单调递增，故D正确；当 m<0时，当x>0时，f(x）=x >0：当x<0时，f(x)=x3-m< x x 0,f'(x)=3x2+m, 当x>0时，令 f'x)>0,得x>（),则fx) 在(（罗），+∞）上单调递增，令 (x)<0,得0<x<(（),则 f(x)在(0，（受）T）上单调递减，故 A正确；C错误，故选ABD. 8.ABD函数f(x)=In2一x|的图 象如图所示， 3 2 -3-2-101234567x -1 由图可得函数f(x)在区间(1,2)上单 调递增，A正确：函数y=f(x)的图象 关于直线x=2对称，B正确；若x1≠ x2,但f(x1)=f(x2),则x1十x2的值 不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅 有两个零点，D正确.故选ABD. 二 解析：已知a>1, b<一1，则指数函 数y=ar单调递 增，图象过定点(0， y=. 1),且b>1,所 以函数y=a十b y=a+b 的图象是由函数 y=a的图象向下平移|b|个单位长度 得到的，作出函数y=a十b的图象，如 图，可知图象必定不经过第二象限 159 10.(-2,0)U(2,5) 解析：因为函数∫(x)是奇函数，所以利 用函数f(x)的图象关于原点对称，可 得f(x)<0的解集为(-2,0)U (2,5). 11.(-o∞，0)U(e,+o∞) 解析：如图所示， y=1-x2 y=Inx -y=1 -19 123456x 可得f(x)= nx,x≥1，的图象与 11-x,x<1 直线y=1的交点分别为(0,1)，(e,1) 若f(m)>1,则实数m的取值范围是 (-oo,0)U(e,+oo). 12.(0,1) 解析：根据题意g(x)=f(x)一a=0, 即f(x)=a,已知f(x)= 川31-1，x≤0，画出其图象如图， In x,>0, y 2 1 -10 根据图象易知当0<a<1时，函数 y=f(x)与直线y=a存在3个交点 即g(x)=0有3个零，点.因此得Q的取 值范围是(0,1). 13.解：(1)梯形OABC的面积为 (2+4)×300 =900,它表示该高速列 2 车在这4h内行驶的路程为900km 1 (2)当0<a<1时g(a)=2·a: 300a=150a; 当1≤a<3时，g(a)=150+300(a 1)=300a-150: 当3≤a≤4时，ga)=②+4)×300 2 2,(4-a)·300(4-a)=-150a2+ 1200a-1500. 综上所述，y=g(a)= /150a2,0<a<1, 300a-150,1≤a<3, -150a2+1200a-1500,3≤a≤4. 图象如图所示 900 750 600 450 300-- 150-- 01234a 14.解：(1)因为x≥0时，f(x)=x2 2x,设x<0,则一x>0, .f(-x)=x2十2x, 又函数f(x)为偶函数 .f(x)=f(-x)=x2十2x, 故函数的解析式为 参考答案