第2章 考点练10 指数与指数函数-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

所以f(x)为偶函数； 当a≠0时，f(-x)=(-x)2-2a· (-x)十5=x2十2ax+5,由于 f(-x)≠f(x)且f(一x)≠-f(x), 所以f(x)为非奇非偶函数. (2)f(x)=x2-2ax十5，抛物线开口 向上，对称轴是直线x=a>1, 所以f(x)在[1，a]递减， 所以f(x)mmx=f(1)=6-2a=a, f(x)min =f(a)=5-a2=1, 故a=2. (3)函数f(x)=x2一2ax+5图象的 对称轴是直线x=a,则其单调递减区 间为(-∞，a], 因为f(x)在区间（一∞，2]上单调递减 所以2≤a,即a≥2. 则|a-1≥(a+1)-a=1, 因此任意的x1,x2∈[1，a十1]，总有 f(x1)-f(x2)3,只需f(a) f(1)≤3即可， 即|(a2-2a2+5)-(1-2a+5)|= |a2-2a+1=(a-1)2≤3，即 -5≤a-1≤5， 解得1-√3≤a≤1十√3，又a≥2， 所以a∈[2,1十5]. 考点练10 指数与指数函数 一。基础巩固练 a 1.B a.a a,故选B 2.D由题中f(x)=a6的图象可得函 数f(x)=a6在定义域上单调递减，所 以0<a<1,函数f(x)=ab的图象 是将f(x)=a的图象向左平移得到 的，所以b0.故选D. 3.De十π≥eb十π"，∴.e-π“≥ eb-πb①，令f(x)=e-π，则f(x) 是R上的增函数，①式即为f(a)≥ f(-b),∴.a≥-b,即a十b≥0.故选D. 4.D原不等式支形为m-m<(分) 因为画教y=()广在(-，-1]上 单拥递减，所以（）广≥（） =2 当x∈(-0，-1]时，m-m<(分） 恒成立等价于m2-m<2,解得-1< m<2.故选D. 5.A因为函数f(x)是定义在R上的奇 函数，且当x≥0时，f(x)=4一3X 2十2a,则f(0)=4°-3×2°十2a= 2a-2=0,解得a=1,即当x≥0时， f(x)=4一3×2十2.当x<0时， 一x>0,则f(x)=一f(一x) -(4一3X2十2)，而当x≥0时， f)=(-)-是≥当 f(x)≤-6时， /x<0, -(4-3×2+十2)≤-6， 即/<0， (2-4)(2+1)≥0， 即)≥4，解得x≤-2，所以不等式 f(x)≤一6的解集为（一∞，一2].故 选A. 2 6.Cf(x)=21+1 2+2-2 2x-1+1 227画数y=2- 2 t 21十1，则t>1,又内层函数t=2-1十 1在R上单调递增，外层函数y=2- 2 在(1，十©∞)上单调递增，所以根据复合 函数单调性的法则可知，函数∫(x)单 调递增，故A正确；因为21十1>1，所 以0< 2+1<2,则0<2 2 2十<2，所以画载f(x)的值战为 2 (0,2),故B正确；f(2一x) 22x 4 2 2+=2+2=21/2 x)十f(x)=2,所以函数f(x)的图象 关于点(1,1)对称，故C错误，D正确.故 选C. 7.ABD如图，观察易知，a<b0或0< b<a或a=b=0.故选ABD. 1=2025 y↑ /J=2024 ab ba &.AC函数f)=a(号) 十b的图象 这原点，则a(日）)广中6=0中a中b 0,函数的图象无限接近直线y=1但又 不与该直线相交，故y=1是图象的一条 渐近线，则b=1,a=一1，f(x)= -(3) 十1，A选项正确，B选项错 误画整x)=一（仔）+1的定义 域为R,f(-x)=一 十1= -(后) 十1=f(x),故f(x)是偶函 数，C选项正确；x∈(-∞，0]时， fx)=-(号）”+1=-3+1，所以 ∫(x)在(-∞，0]上单调递减，D选项错 误.故选AC 3 9.4 解析：a=√aa=√ a)-a,故k= 10.a6 解析：，0<b<a<1,.y=a与 y=b均为减函数，a>a“,ba< b.又y=x在(0，十∞)上单调递 增，a6>b.综上，a最大. .[)(0 解析：当x>0时，f(x)=一京十2十 1=-()+2+1,◆2=0< 1 155 t<1),所以g(t)=-t2+t+1(0< <1),所以g)E1,由于画裁 f(x)是定义在R上的奇函数，所以当 <0时)e[-小：当 x=0时，f(0)=0.综上所述，此函数的 5 值域为 号-u(,]uo. 12.(0,2) 解析：在同一平面直角坐标系中画出 y=2一2与y=b的图象，如 图所示 =2-21 2 J=2 y=b 01 -1 -2 =-2 .当0<b<2时，两函数图象有两个 交，点，从而函数f(x)=2一2一b有 两个零点，实数b的取值范围是 (0,2). 13.解：(1)f(x)为奇函数，f(0)=0, 得m=一1，经检验当m=-1时， f(x)为奇函数，.m=一1. (2)令451=2H-a,令t= 2 2,t>0,1=24-a,即a= t t十，“方程a=t十上有正实数根， t 又t十 }≥2，当且仅当t=1时取等 号，∴a≥2，即实数a的取值范围是 [2,十∞). 14.解：(1)由题图可知，当0≤t≤1时， y=2000t 当>1时y=×(停)广， 因为图象经过点(1,2000)，所以k× 5 =2000,得k=5000,所以y= /2000t,0t≤1， 5o0x(倍)>1. 2)令500×（号） ≤2560×0.05， ()'≤品=品=（得）'海 得t≥4， 因为消防部门从t=1时开始排水，故 至少需要经过3h以后，小区居民才能 进入地下车库， 。能力提升练 1.D由短如6=0-c=(付)》 32,又f(x)=3在R上单调递增，所以 f()>f()>f(3),即c>6> a,故选D. 2.A因为函数y=x“-1在(0，十∞)上单 调递减，所以a-1<0,即a<1,因为 a>0,且a≠1，所以0<a<1,所以 y=a是减函数，又a1>a2,所以 参考答案 3x十1<-2x,所以x<-5,即x的取 值范国为（©，-日）.故选A 3.B将方程a-1=2a(a>0,且a≠ 1)有两个不相等的实根转化为函数y a一1与y=2a的图象有两个交 点.当0<a<1时，如图1，所以0< 2a<1,即0<a<2当a>1时，如图 2,而y=2a>1,不符合要求. -J=2a y=2a 图1 图2 所以0<a<z,故选B. 4,B因为函教f()=二L是奇函教， er十a 所以f-x)=e=a=1-ae e +a 1+ae" = -K()---a-a-e e"+a a=±1，又fx)=g-a= e十a ex十a-2a 2a =1 ,所以当a>0 e"+a e十a 时，函数为增函数，当Q<0时，函数为减 函数，因为f(2024)>f(2025),所以 a<0,故a=-1.故选B. 5.C因为f(x)=a为增函数，所以a> 1,又a兰=m,a=m-1,则m>1, a0=(a),所以b= 6-1),即 b=1十 =2∈(-∞，-1)U 2 2b 1,+oo),所以a=)白，则2+4 4六+40=4(4六+41)，当b<0时， b<-1,b-1<-2,由于y=41单调 递增，y=4六单调递减，且0<401< 品安<户<1则4×(0+号) 2<2+40=4(4六+401)<4× (+)=BD错误.当b>0时， b>1,b-1>0,故2+4= 4(47+401)≥8×276-1≥8×22 32,当且仅当b=2时等号成立，A错误， C正确.故选C. 6.D'f(x)=a(a>0,且a≠1)与 g(x)=2x一2有且仅有两个不同的“复 合稳定点”，a-2 =2a"-2,即 (a)2-2a2a+2a2=0有两个不同实 根，令t=a,则t2-2a't十2a2=0在 (0,十∞)上有两个不同实根， ÷0（2a)y-8a2>03a'>2 2a2>0 a>√2，则a的取值范围为（√2，十∞）. 故选D. 7.ABD令u=x2+4x+3=(x十2)2 1,则u∈[-1，十∞).对于A,f(x)的 定义域为R,故A正确；对于B,因为y= 以对闪·高考一轮复习金卷数学 (分)”u∈[-1，+∞)的值城为0. 2],所以函数f(x)的值域为(0,2]，故B 正确；对于C,因为u=x2十4x十3= (x十2)2一1在[-2，十∞)上单调递增， 且y=(分）广”在u∈[-1，十∞)上单 调递减，所以根据复合函数单调性法则，： 得函数f(x)在[一2，十∞)上单调递减， 故C不正确；对于D,由于函数f(x)在： [-2,十∞)上单调递减，则f(W2)> f(4),故D正确.故选ABD. 8.AC依题意，当函数f(x)是奇函数时， 因为f(x)=x(2025十a·2025)的 定义域为R,故有f(一x)十f(x)= -x(2025十a·2025)+x(2025十 a·2025x)=x(1-a)(2025 2025)=0,因为x(2025-2025x): 不恒为0，故有a=1,此时f(x)= x(2025十2025)，记t=2025,则 ()=t士子，当x>0时t>1 g)=i十在1.十∞)上单调递增， 故f(x)=x(2025+2025)在 (0,十∞)上单调递增，又f(x)是奇函 数，所以函数f(x)在R上为增函数，故 A正确，B错误；当函数f(x)是偶函数： 时，f(-x)-f(x)=-x(2025+a· 2025)-x(2025十a·2025)= -x(1十a)(2025+2025)=0,因 为-一x(2025十2025)不恒为0，故有 a=-1,此时f(x)=x(2025 2025),记t=2025,则h(t)=t一 、-1=()“【<0<x系 (1,十∞)上单调递增，故f(x)= x(2025-2025x)在(0，十∞)上单调 递增，又f(x)是偶函，数，所以函数f(x) 在（一∞，0）上单调递减，故C正确，D错 误.故选AC. 9.(0,1] 解析：当x0时，3x≥3"，当x>0 时，3<3，所以f(x)=3⑧3= 3x≤0，当工≤0时，0<3≤1，当 3x,x>0. x>0时，0<3<1，所以函数f(x) 的值域是(0,1]. 10.三 解析：令x一2=0，得x=2,y=2,所： 以f(x)的图象恒过定点(2,2)，所以 m=n=2,则g(x)=2一2，为减函 数，且其图象过，点(0,1)，(1,0)，所以 g(x)的图象不经过第三象限. 11.8 解析：函数定义城为R,且f一 -8+ 1-3 一f(x),所以f(x)为奇函数.又函数： y=3为R上的增函数，且f(x)=: 1-3 2-(1十3) 2 1+3x 1+3x =1+3-1, 根据复合函数的单调性可知f(x)为R: 上的减函数，所以f(2m)十f(n一1)= f(0)=0,即f(2m)=-f(n-1)= f(1-n),即2m=1-n,所以2m十 n=1,则上+2=(+二)2m+ 7 m n 156 4m+4≥2 次)=2十4” 47 十4= n Am 8,当且仅当 72 n 即 2m+n=1, n- 2 时等号成立所以】十兰的最小值为8， 72 2.①③ 解析：函数f(x)= 的定义域 2-2 为(-∞，0)U(0,十0∞). 对于①，因为f(一x)= -T3 2x-2 =f(x),所以f(x)是偶函 2x-2 数，故①正确；对于②，取特殊值：由 f(2)= 8 >2,f10)= 32 4- = 4 1000 <1,得到f(2)>f(10),不 1024一 1024 符合增函数定义，故②错误；对于③， 当t>0时，点(t,f(t))与原点连线的 斜率为()-0 t-0 2-27,因为t> 0,所以2>1，所以2一2>0，所以 f(t)-0t2 t-0 22>0,故③正确，所 以正确结论的序号为①③. 3.解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函 数，所以f(0)=0, 所以1十（一1）=0，所以m=0,经检 验，当m=0时，f(x)为R上的奇 函数. 2)因为fD=受，所以a日=子， 解得a=2或a=一子（合去），所以 x)=2+2-2(2-） (2-是）-2(e-）+2. 令u=fx)=2-2,则g)- u2-2tu+2, 因为f(x)=2一是在R上为增函数， 且x≥1，所以u≥f)=含 因为h)=2必十是 2tf(x)在 x∈[1，+∞)上的最小值为一2，所以 gm)=r-2u+2在[号，十∞）上 的最小值为一2， 因为g(u)=u2-2tu+2=(u-t)2+ 2一t图象的对称轴为直线u=t, 所以当t≥三时，g(u)n=ge) 2-t2=-2,解得t=2或t=-2(舍去)； 当<号时gw)m=g(侵）=呈 3=-2,解得1=得>放应合去： 综上可知，t=2. 14.解：(1)由题意，设f(x)=a(a>0, 且a≠1)， :x)的图象过点（号） 2 故函数fx)的解析式为/x)=(分）广. (2)g(x)=f(2x)-mf(x-1)十1， gx=()”-2m(） +1, 令-()， x∈(-1，十∞)，t∈(0,2)， ∴.y=t2-2mt十1，t∈(0,2)， 函数gx)=(位)-2m(份)+1 在(-1，十∞)上有两个零点，等价于 y=t-2mmt十1在t∈(0,2)上有两个 零点， f02-2m×0+1>0, 22-2m×2+1>0, 则3△=(-2m)2一4×1×1>0，即 0<2m<2. 2 1>0, <，解得1<m<子 m2>1, 0<m<2, 故实数m的取值范围为1，)。 考点练11 对数与对数函数 。基础巩固练。 1.B原式=lg(W5)2十lg√A=lg5+ lg2=lg10=1.故选B. 2.D因为lnx=6,lny=3,所以x= cy=e,所以= =e.故选D. y x>0, 3.C由题设，得1gx≥0，解得1≤ 5-3x>0, x<号所以画数的定义域为，号） 故选C 1dB=tNp(t∈R),所以10lgA =tX 1 2nx,所以t=20:n,=20lgx lne=2olg In x .lge=20×lge≈20× lg x 0.4343=8.686.故选A. 5.B根据题意，当x≤时(x) 1 1 4 4x-4= x-1 可得f(x)在 (∞，上单调递增，要使得函数 37 1 3 4红-4x≤4 f(x)= 3是R上 log.(4x)-1,x> 的单调函数，则满足a>1,且 be.(4×子)-1≥ 一，解得 一4 4×4 1<a≤√3，所以实数a的取值范围为 (1,w3].故选B. 6.A令M=x+含x,当x∈（分+） 3 时，M∈(1，十∞)，恒有f(x)>0,所以 a>1,所以函数y=logM为增函数，又 M=(c+)厂-品所以M的单粥递 增区同为（子+如小又+子：> 3 0,所以x>0或x<2,所以画数 f(x)的单调递增区间为(0，十∞).故选A 7.BCf(x)=log(1-x)为偶函数， 不是奇函数，·A错误，B正确；根据 f(x)的图象（图略）可知D错误；，1 x≤1，∴.f(x)≤log21=0,故C正 确.故选BC. 8AB由题老可得督>8解释-6< x<4,即f(x)的定义域为(-6,4)，故 A正确；f(x)=l0g(-x2-2x十24)， 因为y=-x2-2x十24在(-6，-1)上 单调递增，在（一1,4）上单调递减，y= 1ogx在(0，十∞)上单调递增，所以 f(x)在(-6，-1)上单调递增，在(-1， 4)上单调递减，所以f(x)ma f(-1)=21og25,故B正确，D错误；因为 f(x)在(-6，一1)上单调递增，在(-1， 4)上单调递减，且f(-4)=∫(2)=4， 所以不等式f(x)<4的解集为（一6， 一4)U(2,4),故C错误.故选AB. 9.4 解析：因为f(x)= /1+log2(2-x),x<1, {2-1,x≥1， 所以f(-2)=1+l0g24=3, f(f(-2)=f(3)=2-1=4. 10.(b,9)Ua,+∞) 解析：①当0<a<1时。<子得 0<a< ，g当u>1时，a之2： 2 得a>1.综上所述，实数a的取值范围 为（号）U.+) 11.log1x(答案不唯一) 解析：对于条件(1)，不妨设x1<x2,则 x:-x1>0,fx)-f( 0.f(x2)-f(x1)0,.f(x1)> f(x2),.f(x)在(0，十∞)上单调递 减，对于条件(2)，刚好符合对数的运算 性质，故这样的函数可以是一个单调递 减的对数函数 12.4 解析：令t=logb,则loga= 5 以2r2-5t十2=0，解得t=2或t= 2,所以1ogb=2或1og.b=2,所以 157 a立=b或a2=b.当a=b时，则a= b2,由a“=b,得(b2)”=b2a=b5,所 以2a=b,由2a=0又a>0,解得 la=b2, 1 a=4’ 3 所以a十b= 4；当a2=b b=2 时，由a”=b,得a”=(a2)=a%,所 以a=26,由{0二2h又a>0,解得 a2=b, 1 a2 3 b= 所以a十b=子综上所迷， 4 3 a十b= 4 13.解：f(x)=(log1x-3)·1og1(4x)= (l0g1x-3)·(1og1x十1)=(10g1x)2 2l0g1x-3, 令t=logx,曲x∈[日，l则：e [-1,2],所以有y=t2-2t-3=(t 1)2-4,t∈[-1,2]， 所以当t=1时ym=-4,当t=一1 时，ymx=0.所以函数f(x)的值域为 [-4,0]. 14.解：(1)因为f(1)=1,所以log1(a十 5)=1,因此a十5=4，即a=-1, 所以f(x)=1og1(-x2十2x十3)， 由-x2+2x十3>0得-1<x<3, 即函数f(x)的定义域为（一1,3）. 令g(x)=-x2十2x十3(-1<x< 3),则g(x)在(-1,1]上单调递增，在 [1,3)上单调递减. 又y=log1x在(0，十∞)上为增函数， 所以f(x)的单调递增区间是（一1,1]， 单调递减区间是[1,3) (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)= ax2十2x十3应有最小值1， (a>0, 因此应有3a-1=1,解得a=2 一能力提升练。 1.Ca=2%01=0.4,b=1og12< log.41=0,0=log.31<1og0.30.4< l0g.30.3=1,则c>1,故c>a>b.故 选C. 2.B当S=1000时，C1=WI0g1001≈ W1b6g:10:当3 =4000时，C2= W10g24001≈W1og4000,所以增加的 百分比为二。 C2-1≈ 一C W1og24000 W10g2100 -1=g4000-1= 1g1000 1g4+g100-1= 1g4 2g2≈ lg1000 1g1000 3 2×0.3010 ≈0.2=20%.故选B. 3 3.A作出函数y= f(x)的图象（如 图)，欲使y=f(x) 的图象和直线y= 10 a有两个交点，则 0<a1.故选A. 4.C由图象可知f(x)在定义域内单调 递增，所以a>1,令f(x）=log.（x一 参考答案考点练10指数与指数函数 基础巩固练 答案：155页 一、单项选择题 1.已知a>0,则a A.a B.a C.ai D.a 2.函数f(x)=ab的图象如图所示，其中a,b为常 数，则下列结论正确的是 () A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 -101 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 3.若e“十π≥e十π“，则下列结论一定成立的是 A.a+b≤0B.a-b≥0C.a-b≤0D.a+b≥0 4.当x∈(-∞，一1]时，不等式(m2一m)·4一2<0恒成立，则 实数m的取值范围是 () A.(-2,1) B.(-4,3) C.(-3,4) D.(-1,2) 5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=4” 3×2+2a,则关于x的不等式f(x)≤-6的解集为() A.(-c∞，-2] B.(-o∞，-1] C.[-2,0)U(0,2) D.[-2,0)U(2,+c∞) 2 6.(2024·宁夏银川三模)已知函数f(x)=2十1，则下列说法不正 确的是 A.函数f(x)单调递增 B.函数f(x)的值域为(0,2) C.函数f(x)的图象关于点(0,1)对称 D.函数f(x)的图象关于点(1,1)对称 二、多项选择题 7.已知实数a,b满足等式2024“=2025，下列等式可以成立的是 ( A.a=b=0 B.a<b<0( C.0a<b D.0<b<a 8.已知函数fa)=a(传) 十b的图象过原点，且无限接近直线y=1 但又不与该直线相交，则 A.a+6=0 -1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)在（一∞，0]上单调递增 三、填空题 9.已知a>0,将√a√a化为分数指数幂a的形式，则k= 10.已知0<b<a<1,则a,b“,a“,b中最大的是 11.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)= 是十+1，则该函数的值域为 12.若函数f(x)=2”一2|一b有两个零点，则实数b的取值范围 是 四、解答题 3.已知函数f(x)=2是奇函数. (1)求实数m的值； (2)设g(x)=2r+1-a,若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求 实数a的取值范围. 第二章函数019 14.由于突发短时强降雨，某小区地下车库流 ↑ylm 入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时2000 进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库 积水量y(单位：m3)与时间t(单位：h)成 正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进 行排水，此时y与t的函数关系式为y=k× ()'(为常数)，如图所示. (1)求y关于t的函数关系式； (2)已知该地下车库的面积为2560m2,当积水深度小于或等于 0.05m时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起， 至少需要经过几小时以后，小区居民才能进入地下车库？ 0202团闪·高考一轮复习金卷数学 NENGLI TISHENGUA 能力提升练 0答案：155页 一、单项选择题 1.已知a-3,b-gc-(得） ,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.ca>b C.b>a>c D.c>b>a 2.已知a>0,且a≠1，若函数y=xa-1在(0，十∞)上单调递减，则 在不等式axH>ax中，x的取值范围是 () A(0,-) B3+∞) c(∞，-)u(3+∞) D.R 3.若关于x的方程|a一1=2a(a>0,且a≠1)有两个不相等的 实根，则a的取值范围是 ( A.o,2U1,+0) o,》 c分 D.(1,+∞) 4.(2024·贵州毕节三模)已知函数f(x)= e一a是奇函数，若 e*ta f(2024)>f(2025),则实数a的值为 ( ) A.1 B.-1 C.±1 D.0 5.已知指数函数fx)=a为增函数，且图象过点(20，m (b,m1),则2十4满足 () A.当b>0时，有最大值25√2B.当b<0时，有最大值5 C.当b>0时，有最小值32D.当b<0时，有最小值2 6.(2024·广东广州二模)若x。是方程f(g(x)=g(f(x))的实数 解，则称x。是函数y=f(x)与y=g(x)的“复合稳定点”.若函数 f(x)=a”(a>0,且a≠1)与g(x)=2x一2有且仅有两个不同 的“复合稳定点”，则a的取值范围为 () A C.(1,2) D.（W2,+o∞) 二、多项选择题 7.已知函数fx)=(兮》 2+4x+3 ,则 A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0,2] C.函数f(x)在[一2，+∞)上单调递增 D.f(√2)>f(4) 8.已知函数f(x)=x(2025+a·2025)是奇函数或偶函数，则y= f(x)的图象可能是 () A 三、填空题 9.定义运算：a☒b= b,a≥b'则函数f(x)-3⑧3的值域 la,a<b, 为 10.已知函数f(x)=a2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m, n),则函数g(x)=n一m的图象不经过第 象限， 1.已知函数f(x)=1-3,若m>0,n>0,且f(2m)+f0m-1) 1+30 f0),则上+二的最小值为 已知函数f(x)三2：2，给出下列结论：①fx)是偶函多 ②f(x)在(0，+∞)上是增函数；③若t>0,则点(t,f(t))与原 点连线的斜率恒为正.其中正确结论的序号为 四、解答题 13.(2025·福建三明第二中学月考)已知函数f(x)=a+ a（a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数 m-1 (1)求实数m的值； (2)若f0上号，且函数hx)=Q十之2fx)在r白 [1,+∞)上的最小值为一2，求实数t的值. 14.已知指数函数f(x)的图象过点仁，②】 22 (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)=f(2x)一mf(x一1)+1，且在区间(-1，十∞) 上有两个零点，求m的取值范围.