第2章 考点练8 函数的奇偶性、对称性与周期性-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练8函数的奇偶性、对称性与周期性 JICHU GONGGU LIA 基础巩固练 0答案：151页 一、单项选择题 1.下列函数中图象关于y轴对称，且在区间（一∞，0）上是增函数的是 ( A.y=x2 B.y=x C.y=2x D.y=x3 2.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 A.f(r)=e-r2 x2+1 B.f (x)=cos x+x2 x2+1 C.f(r)-e-z sin x+4x x+1 D.f(x)= 3.(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R,若对Hx∈ R都有f(3十x)=f(1一x),且f(x)在[2，+∞)上单调递减，则 f(1),f(2)与f(4)的大小关系是 () A.f(4)<f(1)<f(2) B.f(2)<f(1)<f(4) C.f(1)<f(2)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1) 4.已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),当x∈(0， x)时，fx)=2sn2,则r(9） () A号 R号 C.1 D.√3 5.已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)一g(x)=e”,则 f(1) () 8(1) A.e+1 B.e-1 C.I-e 1+e2 1+e D. e 2e -e 6.(2024·贵州六盘水三模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x十 3)=f(1-x),x∈[0,2]时，f(x)=me-1,则f(31)= ( A.e+1 B.e-1 C.1-e D.-e 二、多项选择题 7.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的 是 () A.y=f(|x|) B.y=f(-x) C.y=xf(x) D.y=f(x)+x 8.已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x一1)的图象关于直线x=1 对称，且对任意的x∈R都有f(一x)十f(x+2)=2,f(0)=一1， 则下列结论正确的是 () A.f(x)为偶函数 B.f(-1)=-1 C.2是f(x)的一个周期 D.宽f)=2025 三、填空题 9.(2024·上海卷)已知f(x)=x3+a,且f(x)是奇函数，则 a= 10.(开放性问题)若函数f(x)的图象关于y轴对称，且在(0,3)上单 调递减，在(3，+∞)上单调递增，则此函数可以是 (写出一个满足条件的函数解析式即可) 11.已知f(x)是定义域为R的函数，f(x一1)的图象关于点(1,0)对 称，且f(x一1)=f(x+3),当x∈(-2,0)时，f(x)=2x2,则 f(2025)= 12.已知定义在R上的偶函数满足f(x)=x2+2x(x≥0)，若f(3一 a)>f(2a),则实数a的取值范围是， 四、解答题 13.已知函数y=f(x)在定义域[一1,1]上既是奇函数又是减函数. (1)求证：对任意x1,x2∈[-1,1]，有[f(x1)+f(x2)]·（x1+ x2)≤0； (2)若f(1一a)+f(1一a2)<0,求实数a的取值范围. 第二章函数015 14.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x+ 2)=-f(x),当x∈[0,2]时f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式： (3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)的值. 0162团闪·高考一轮复习金卷数学 NENGUI TISHENGUAN 能力提升练 0答案：152页 一、单项选择题 1,设函数f(卫)三则下列函数中为奇函数的是 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 2.（数学文化)中国传统文化中很多内容体现了数学的 “对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组 成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形 式美、和谐美.给出定义：能够将以坐标原点O为圆心 的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列 函数中一定是“优美函数”的为 ( A.y=x2-2x B.y =cos x 1 C.y=sin x D.y=x- 3.已知函数f(x一1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点 (1,0)对称，当x∈[-1,1]时，f(x)=ax一1，则f(2024)= ( A.-1 B.-2 C.0 D.2 4.函数f(x)=x, 十十乙士2十十的图象的对称中心为（凸 A.(-4,6) B.(-2,3) C.(-4,3) D.(-2,6) 5.(2025·河南洛阳期中)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)是偶 函数，若函数y=|x2-4x一5|与函数y=f(x)图象的交点为(x1, y1),(x2,y2),…,(xnyw),则各交点横坐标之和x1十x2十…十xw= () A.4n B.2n C.n D.2 6.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)一3为奇函数，f(x+2)为偶 函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(-1)十f(0)=1,则 2到 37 A.一12 6 11 c 2 D. 3 二、多项选择题 7.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，g(x)=f(x十1)为偶函 数，下列说法正确的有 () A.f(x)的图象关于直线x=一1对称 B.g(2027)=1 C.g(x)的周期为4 D.对任意x∈R,都有f(2一x)=f(x) 8.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3a.x2+1,则() A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1，f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 三、填空题 9.(2024·山东临沂二模)已知函数f(x)=x+mx er-1 是偶函数，则 m- 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=一f(x),f(3-x)= f(x),则f(2025)= 11.已知函数f(x)对任意实数x满足f(-x)+f(x)=2,若函数y= f(x)的图象与直线y=x十1有三个交点(x1,y1),(x2y2),(x3, y3),则y1十y2+y3= 12.(新定义问题)(2024·云南昆明二模)定义“函数y=f(x)是D上 的a级类周期函数”如下：函数y=f(x),x∈D,对于给定的非零 常数a,总存在非零常数T,使得定义域D内的任意实数x都有 af(x)=f(x+T)恒成立，此时T为f(x)的周期.若y=f(x) 是[1，+c∞)上的a级类周期函数，且T=1,当x∈[1,2)时， f(x)=2x十1，且y=f(x)是[1，+o∞)上的单调递增函数，则实 数a的取值范围为一： 四、解答题 13.已知指数函数g(x)=a'(a>0且a≠1)的图象过点(2,9)， f()三3)十m是定义域为R的奇函数. (1)求实数m,n的值； (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2一2t)+f(t2一k)<0恒成立， 求实数k的取值范围. 14.(新定义问题)(2025·湖北恩施期末)我们知道，函数y=f(x)的 图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y一f(x)为奇 函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点 P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)一b为奇 函数. (1)已知f(x)=x3-3x2. ①求此函数图象的对称中心； ②求f(-2022)+f(-2023)+f(2024)+f(2025)的值； (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴 对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.14.解：方法一（定义法）x)=兰 -+）小 x-1 x1z2∈(-1,1)，且x1<x2,有 )-)=1+) a(x2一x1） La1十-1)(x,· 由于-1<x1<x:<1,所以x2 x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数f(x)在区间 (-1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)一f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),函数f(x)在区间 (一1,1)上单调递增. 方法二（导数法）f'(x)= (ax)'(x-1)-ax(x-1)' (x-1)9 a(x-1)-a.x (x-1)2 =一 (x-1)21 当a>0时，f'(x)<0,函数f(x)在 区间(-1,1)上单调递减； 当a<0时，f'(x)>0,函数f(x)在 区间（一1,1）上单调递增. 考点练8函数的奇偶性、 对称性与周期性 。基础巩固练。 1.A对于A,根据幂函数的图象和性质， 知y=x2是偶函数，图象关于y轴对 称，且在区间（一∞，0）上是增函数，故A 正确；对于B,y=x|是偶函数，图象关 于y轴对称，当x∈(-∞，0)时，y= 一x,所以在区间（一∞，0）上是减函数， 故B错误；对于C,y=2是偶函数，当 x∈(-∞，0)时，y=2,所以在区间 (一∞，0)上是减函数，故C错误；对于D, y=x3是奇函数，图象关于原点对称，故 D错误.故选A. 2.B对于A,函数的定义域为R, f-1)=e1-1 2)=，则 f(一1)≠f(1),f(x)不是偶函数，故 A错误；对于B,函数的定义域为R,且 f(-x)=cos-x)+(-x)2 (-x)+1 c0sx十x2 =f(x),则f(x)是偶函 x2+1 数，故B正确；对于C,函数的定义域为 {xx≠一1}，不关于原点对称，则 f(x)不是偶函数，故C错误；对于D,函 数的定义域为R,f(1)=sin1十4」 f(-1D=二sn1-4,则f0)≠ f(一1)，f(x)不是偶函数，故D错误. 故选B. 3.A因为对Hx∈R都有f(3十x)= f(1-x),所以f(1)=f(3-2)= f(1一(-2))=f(3).又因为f(x)在 [2,十∞)上单调递减，且2<3<4，所 以f(4)<f(3)<f(2),即f(4) f(1)<f(2).故选A 4.C因为f(x十2π)=f(x),所以f(x) 的网期为2，所以f(g）=f(6饭中 ）=f(2m×3+号)=f(g),又因 为当x∈(0，x)时，f(x)=2sin号，所 以f(3）-2sim-1.故选C 5.C因为函数f(x)为奇函数，g(x)为偶 函数，且f(x)-g(x)=e,所以f(-1)- g(-1)=三，即-f(1)-g(1)=1①， 而f(1)一g(1)=e②，联立①②解得 f(1)= (e-)=1 2(e- e/ 2e8(1) (*)= 10 e e2+1,所以 2e f(1)1-e2 ①i+。e.故选C 6.C因为定义在R上的奇函数f(x)满 足f(x十3)=f(1一x),所以f(x+ 3)=f(1-x)=-f(x-1)= -f(x-4十3)=-f(1-(x 4)=-f(5-x)=f(x-5),故f(x) 的周期为8，当x∈[0,2]时，f(x)= me-1,则f(0)=m-1=0,所以= 1,所以f(31)=f(-1)=-f(1)=1 e.故选C. 7.BD由奇函数的定义f(一x)=一f(x): 验证，对于A,f(-x)=f(x),y= f(x)为偶函数：对于B,f(-(-x)= f(x)=一f(一x),y=f(一x)为奇函 数；对于C,一xf(-x)= [-f(x)门=xf(x),y=xf(x)为偶函 数；对于D,f(一x)十（一x)= -[f(x)十x],y=f(x)十x为奇函 数.故选BD. 8.AD因为函数f(x)的定义域为R, y=f(x一1)的图象关于直线x=1对 称，所以f(x)的图象关于y轴对称，即 f(一x)=f(x),所以f(x)为偶函数， 故A正确；由f(-x)十f(x十2)=2， f(0)=-1,令x=-1,可得f(1)+ : f(1)=2,则f(1)=1,因为f(x)为偶 : 函数，所以f(一1)=f(1)=1,故B错： 误；由f(-x)十f(x十2)=2， f(0)=-1,令x=0,可得f(2)=3, f(0)≠f(2),则2不是f(x)的一个周： 期，C错误；因为f(一x)=f(x), f(-x)+f(x+2)=2,所以f(x)+ f(x十2)=2，所以f(x十2)十f(x十 4)=2,则f(x)=f(x十4)，即f(x)是 以4为周期的周期函数，所以： 202 ∑f(k)=506[f(-1)+f(0)+ f(1)+f(2)]十f(1)=506×4+1=: 2025,故D正确.故选AD. 9.0 解析：因为f(x)是奇函数，所以 f(-x)十f(x)=0,即(-x)3+a十 x十a=0,故a=0. 10.y=x2-9(答案不唯一) 解析：由函数f(x)的图象关于y轴对 称，得函数是偶函数，又f(x)在(0,3) 上单调递减，在(3，十∞)上单调递增，： 则此函数可以是y=x一9. 11.-2 解析：因为f(x一1)的图象关于点(1， 0)对称，所以f(x)的图象关于点(0，： 151 0)对称，即函数f(x)为奇函数，又 f((x十1)-1)=f((x+1)+3),即 f(x)=f(x十4)，所以函数f(x)的周 期为4，f(2025)=f(506×4+1)= f(1)=-f(-1)=-2. 2.(-3,1) 解析：因为抛物线y=x2十2x的对称 轴为直线x=一1，且开口向上，所以 y=x2十2x在[0，十o∞)上单调递增， 且y=f(x)在R上是偶函数，所以 f(3-a)>f(2a)台|3-a>|2al, 两边平方得a2十2a一3<0，所以-3< a<1. 3.解：(1)证明：若x1十x2=0,显然不等 式成立 若x1十x2<0,则一1≤x1<-x? 1,因为f(x)在[-1,1]上是减函数且 为奇函数，所以f(x1)>f(一x2）= -f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0, 所以[f(x1)十f(x2)](x1十x2)<0 成立. 若x1十x2>0,则1≥x1>-x2≥-1， 同理可证f(x1)十f(x2)<0,所以 [f(x1)十f(x2)](x1十x2)<0成立. 综上所述，对任意x1x2∈[-1,1]，有 [f(x1)十f(x2]·(x1十x2)≤0恒 成立 (2)因为f(1-a)十f(1-a2)< 0台f(1-a2)<-f(1-a)=f(a 1),所以由f(x)在定义域[一1,1]上是 1-1≤1-a2≤1， 减函数，得-1≤a一1≤1，即 1-a2>a-1, 0≤a2≤2， 0≤a≤2， 解得0≤a<1.故实 a2+a-2<0, 数a的取值范围是[0,1) 4.解：(1)证明：f(x十2)=-f(x), .f(x十4)=-f(x+2) -[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是周期函数，且4是其一个 周期. (2)令x∈[-2,0]，则-x∈[0， 2],.f(-x)=-2x-(-x)2= -2x-x2, 又f(x)是定义在R上的奇函数，即 f(-x) -f(x), .当x∈[-2,0]时，f(x)=2x十x2 当x∈[2,4]时，x-4∈[-2,0]， .f(x-4)=2(x-4)十(x-4)2= x2-6x+8, 由于f(x)的周期是4，f(x)= f(x-4)=x2-6x十8， .当x∈[2,4]时，f(x)=x2-6x十8. (3):当x∈[0,2]时，f(x)=2x-x2, .f(0)=2×0-0=0,f(1)=2× 1-12=1. 当x∈ [2,4]时，f(x)=x2-6x+ 8,. =22-6×2+8=0,f(3)= 32-6×3+8=-1, ∴.f(0)+f(1)+f(2)十f(3)=0. f(x)是周期函数，且4是其一个周 期，2026=4×506+2， .f(0)+f(1)十f(2)十…十 f(2025)=506×0+f(0)+f(1)=1. 参考答案 。能力提升练 1.A因为f(x)= x =之+1-1 x+1 x十1 x+,所以f(x)+f(-2-x) 1 1 1 x中+1-一2-x十=2，所以函 1- 数f(x)图象的对称中心为（一1,1），将 函数f(x)的图象向右平移1个单位长 度，再将所得图象向下平移1个单位长 度，可得到奇函数的图象，即函数f(x 1)一1为奇函数，故选A, 2.C根据“优美函数”的定义可知，“优美 函数”的图象过坐标原点，图象关于坐标 原点对称，是奇函数，对于A,y=x2 2x不是奇函数，A错误；对于By=cOsx: 不是奇函，数，B错误；对于C,y=sin x的： 定义域为R,且是奇函数，C正确；对于 D,y=x- 工的定义域为{xx卡0， 所以图象不经过坐标原点，D错误.故 选C. 3.A根据题意，函数f(x一1)(x∈R)是 偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为直 线x=一1，则有f(x)=f(-2-x),又 由函数f(x)的图象关于点(1,0)对称， 则f(x)=一f(2一x),则有f(-2一x)= 一f(2一x),则f(x十4)=一f(x),则 有f(x十8)=一f(x+4)=f(x),则 函数f(x)是周期为8的周期函数，则 f(2024)=f(0+253×8)=f(0)= 一1.故选A. 4.B设g(x)= 111 x-1xx+1' 则g(-x）=一 1 -x-1 -x 1 1 1 一g(x)故g(x)为奇函数，易知f(x)= 1 3-（一1十+2十x+3=g(x+ 2)十3，所以函数f(x)的图象的对称中 心为(-2,3).故选B. 5.B由f(x+2)是偶函数，知函数f(x) 的图象关于直线x=2对称，函数y= x-4x-5=(x-2)2-9|,其图 象也关于直线x=2对称，所以函数 y=x2-4x-5与函数y=f(x)图 象的交，点关于直线x=2对称分布，当n 为偶数时，各交点横坐标之和为4X =2n:当n为奇数时，各交，点横坐标 2 之和为4X”1+2=2m.故选B. 2 6.B由f(x十1)-3为奇函数，得 f(-x十1)+f(x十1)=6，所以f(x): 的图象关于点(1,3)对称，所以f(x)= 6-f(2-x)①，且f(1)=3,又由： f(x十2)为偶函数，得f(一x十2)= f(x十2)，则f(x)的图象关于直线 x=2对称，所以f(x)=f(4一x)②， 由①②可得f(4-x)=6-f(2-x), 即f(x)=6一f(x十2)，所以f(x十 2)=6-f(x十4)，于是可得f(x)= f(x十4)，所以f(x)的周期T=4,则 f(x)=6-f(2-x)=6-f(2+x)= f(一x),所以f(x)为偶函数，则 f(-1)+f(0)=f(1)+f(0)=1,所 以f(0)=-2,所以f(2)=6-f(0)= 2对勾·高考一轮复习金卷数学 8,所以 f(1)=a+6=3,解得 f(2)=4a+b=8, 5 a= 3 所以当x∈[1,2]时， b= 4 3 f)=号+青所以f(2） f(1o2+2)=f(2)=6-f() 7 ,ACD由题意得∫(x)图象的对称中心 为，点(0,0)，对称轴为直线x=1,得 f(x)的图象也关于直线x=一1对称， 且f(x)=f(2一x),A,D正确；由A分 析知，f(x)=f(2一x)=一f(一x),故 f(2+x)=一f(x),所以f(4十x)= 一f(2十x)=f(x),所以f(x)的周期 为4，则g(x)的周期为4，g(2027)= f(2028)=f(0)=0,B不正确，C正确 故选ACD. 3.AD对于A,f'(x)=6x2-6ax= 6x(x-a),由于a>1,故x∈(-o∞， 0)U(a,+∞)时f'(x)>0,故f(x) 在（一∞，0），(a,十∞)上单调递增，x∈ (0,a)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 则f(x)在x=0处取到极大值，在x= a处取到极小值，由f(0)=1>0, f(a)=1-a<0,则f(0)f(a)<0, 根据函数零点存在定理可得f(x)在 (0,a)上有一个零，点，又f(-1)=-1一 3a<0,f(2a)=4a3十1>0，则 f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0,则 f(x)在(-1,0)，(a,2a)上各有一个零 点，于是当a>1时，f(x)有三个零点， A正确；对于B,f'(x)=6x(x一a), a<0,故x∈(a,0)时，f'(x)<0, f(x）单调递减，x∈(0，十o∞)时， f'(x)>0,f(x)单调递增，此时f(x) 在x=0处取到极小值，B错误；对于C, 假设存在这样的a,b,使得直线x=b为 曲线y=f(x)的对称轴，即存在这样的 a,b使得f(x)=f(2b一x),即2x 3a.x2十1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2 1,根据二项式定理，等式右边2(2b一 x)展开式含有x1的项为2C(2b)°· (一x)=一2x3,于是等式左、右两边 x3的系数不相等，原等式不可能恒成 立，于是不存在这样的a,b,使得直线 x=b为曲线y=f(x)的对称轴，C错 误；对于D, 方法一（利用对称中心的表达式化简） f(1)=3-3a,若存在这样的a,使得，点 (1,3-3a)为曲线y=f(x）的对称中 心，则f(x)十f(2-x)=6-6a,因为 f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2十1+ 2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12 6a)x2十(12a-24)x十18-12a,所以 6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+ 112-6a=0, 18-12a,即12a-24=0, 解得 18-12a=6-6a, a=2,即存在a=2,使得点(1，f(1)为 曲线y=f(x)的对称中心，D正确. 方法二（直接利用拐，点结论） 任何三次函数的图象都有对称中心，对 称中心的横坐标是二阶导数的零点 f(x)=2x3-3a.x2十1，f'(x)=6x2 152 6ax,f"(x)=12x-6a,由"(x)= 0白江=名，于是该三次函教图象的对 称中心为点（经f(2)由题意点 1)电是对称中心，故号 1a=2,即存在a=2使得点(1，f(1)) 为曲线y=f(x)的对称中心，D正确. 故选AD. 9.2 解析：由e一1≠0得f(x)=x十 mx的定义域为{x|x≠0，则由 e"-] 是偶函数，得f(-1)= fx)=x十8-1 f0中-1十。=1+。解得 m=2.此时f(x)=x+2x e-1 x(e+1) -x(e+1) ,而f(-x)= e-1 e-1 f(x),符合f(x)是偶函数，故m=2. 10.0 解析：用一x替代x,得到f(x十3)= f(-x）=一f(x),所以T=6,所以 f(2025)=f(337×6十3)=f(3).因 为f(3一x)=f(x),所以f(3)= f(0)=0,所以f(2025)=0. 11.3 解析：由f(-x)十f(x)=2,得f(x) 的图象关于点(0,1)对称，又直线y= x十1也关于点(0,1)对称，且y= f(x)与y=x十1有三个交点，所以 (0,1)是一个交点，另两个交点关于(0， 1)对称，则y1十y:十y%=2十1=3. 解析：：x∈[1,2)时，f(x)=2x+ 1,∴.当x∈[2,3)时，f(x)=af(x- 1)=a(2x-1);当x∈[n,n十1)时， f(x)=af(x -1)a'f(x- 2)=…=a"1f(x-n+1)=a"-1. (2x-2n十3)，即x∈[n,n+1)时， f(x)=a"-1·(2x-2m十3)，n∈ N",.f(x)在[1，十∞)上单调递 增，.a>0且a"-1·(2n-2n十3)≥ a2·(2n-2m+5),解得a≥3：第 数a的取值范周是「三， 3,+∞）. 13.解：(1)因为g(x)=a(a>0且a≠ 1)的图象过点(2,9)， 所以a=9,所以a=3, 所以g(x)=3,f(x）=3X3+m -3十n 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所 一1十n=0,解得n=1, 以f(0)=3+m 再由f(一1)=一f(1)可得 = 1十m -3十1，解得m=3, 9+m 当m=3,n=1时， -3十1 f(x)=3×3+3 -3+1-1+3 且f-x）=3×3+3-3+3可 一f(x),满足f(x)是奇函数， 所以m=3,n=1. -3十1 1 (2)因为f(x)= 3×3+3 3 33+且y=3”是增函数，所以 2 f(x)是减函数， 因为f(x)是奇函数，且f(t一2t)十 f(t2-k)<0, 所以f(t2-2t)<-f(t-k)=f(k- t2), 所以t2一2t>k一t2恒成立，即k< (2t-2t)min 当且仅当t=2时，等号成立， 所以长<一子 14.解：(1)①设函数f(x)=x3一3x2图 象的对称中心为P(a,b),g(x) f(x十a)-b, 则g(x)为奇函数，故g(一x)= -g(x),故f(-x十a)-b=-f(x十 a)+b, 即f(-x十a)十f(x十a)=2b,即 [(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+ a)3-3(x十a)2]=2b, 整理得(3a-3)x2十a3-3a2-b=0, 放-。-0解得份二12. 所以函数∫(x)=x3-3x2图象的对称 中心为(1，一2). ②因为函数f(x)=x一3x2图象的 对称中心为(1，一2)，所以f(一x+ 1)+f(x+1)=-4, 故f(-2022)+f(-2023)+f(2024)+ f(2025)=[f(-2022)+f(2024)] [f(-2023)+f(2025)]=[f(-2023+ 1)+f(2023+1)]+[f(-2024+1)+ f(2024+1)]=-4×2=-8. (2)推论：函数y=f(x)的图象关于直 线x=a成轴对称的充要条件是函数 y=f(x十a)为偶函数. 考点练9二次函数与幂 函数 一基础巩固练 1.C设f(x)=z,则华 =20=3 (合)=（合）”=子故选C 2.Cy=-x2+2x=-(x-1)2+1,最 大值是1，故A正确；对称轴是直线x= 1,故B正确：单调递减区间是[1，十∞)， 故C错误；令x=2得y=一2十2×2 0,故(2,0)在函数图象上，故D正确.故 选C. 3.A因为函数f(x)=(m2一2m 2)x2-m+1为幂函数，且在区间 (0,十)上单调递增，所以m2一2m一 2=1且m2-4+1>0,由m2-2m 3=0,得m=-1或m=3.当m=-1 时，m2-4m十1>0，满足题意；当m 3时，m2-4m十1<0，不符合题意.综 上，m=一1.故选A. 4.B如图，由a>0可 ↑y 知抛物线开口向上，又 f(0)=c0,f(1)= a十b十c=0,即1是方 程ax2十bx十c=0的 一个根，所以廿xE (0,1),都有f(x) 0,B正确，A,C,D错 误.故选B. 5.A因为函数f(x)=2x2-mx+1图 象的对称轴是直线x= 4,且函数在区 间[-1，十o∞)上单调递增，所以≤-1， 4 解得m≤-4，又因为f(1)=3一m,所 以3一≥7，所以f(1)的取值范围是 [7,十∞).故选A. 6.B由m2-m-1=1得m=2或 m= -1,当m=2时，f(x)=x3在R 上是增函数，不合题意，当m=一1时， f(x)=x,在(0，十∞)上是减函数， 满足题意，所以f(x)=x-3.由a<0< b,a<b,得b>-a>0,则 f(-a)>f(b),又f(x)=x8是奇画 数，所以f(-a)=-f(a),所以 -f(a)>f(b),即f(a)+f(b)<0.故 选B. 7.BC函数y=x2-4x 4的图象如图所示，因为 y=fx) 函数在[0，a)上的值域为 [一8，一4幻，结合图象可得 2a4 2a4,又a是正整 数，所以B,C正确.故 -41 选BC. -8 8.BC因为f(x)是幂函 数，可设f(x)=x“,因为幂函，数f(x) 的图意能进点（后），所以 4 (日)”，即2=2解得a=2,所 以f(x)=√x,定义域为[0，十∞).设 g(x)=xf()=E=x,因为 >0，所以g(x)在(0，十∞)上单调 2 递增，若0<x1<x2,则有g(x1)< g(x2),即x1f(x1)<x2f(x2),故A 不正确；设h(x)=x)=E 二=x言，定义城为(0，十0)，因为 √ 2<0,所以h(x)在(0，+∞)上单调 递减，若0<x1<x2,则有h(x1)> h(x2), 即f(x1) f(x2） 即 C 2 x1f(x2)<x2f(x1),故B,C正确，D不 正确.故选BC, 9.-1 解析：由y=x“为奇函数，知a取一1,1， 3.又y=x“在(0，十∞)上单调递减， 所以《<0，所以a=一1. 10.(-1,+∞) 解析：因为不等式x2一2x一m<0在 x∈[22]上有解，片以不学式m> 「1 r-2x在x∈22上有解，令1= x2-2x=(x-1)2-1,则tmim=-1, 所以m>一1，所以实数m的取值范围 是(-1，十∞). 153 11.f(x)=x2-4x+3 解析：f(2十x)=f(2一x)对任意 x∈R恒成立，，f(x)图象的对称轴 为直线x=2.又f(x)的图象截x轴所 得的线段长为2，.f(x)=0的两根为 1和3.设f(x)的解析式为f(x) a(x-1)(x-3)(a≠0)，f(x)的图象 过点(4,3)，.3a=3,.a=1,.所求 函数的解析式为f(x)=(x一1)(x 3),即f(x)=x2-4x+3. 12.(0,1)U(9,+o∞) 解析：方法一在同一坐标系中画 f(x)=x2+3xg(x)=alx- 1|的图象（如图1），问题转化为f(x) 与g(x)的图象恰有4个交点.当y= a(x-1)与y=x2十3x(或y= 一a(x-1)与y=一x2-3x)相切 时，f(x)与g(x)的图象恰有3个交 点.把y=a(x-1)代入y=x2十3.x, 得x2十3x=a(x-1),即x2十(3 a)x十a=0,由△=0，得(3-a) 4a=0,解得a=1或a=9.又当a= 0时，f(x)与g(x)的图象仅有2个交 点，.0<a<1或a>9. 4 →1 0 图1 图2 方法二 显然x≠1，a x2+3x x-1 令t=x一1，则a= +++ t 4 。∈(-∞， -4]U[4,+o)t+4+5∈ (一∞，1]U[9,+∞).结合图象（如图 2)可得0<a<1或a>9. 13.解：(1)由题可知，m2十4m一4=1，解 得m=1或m=-5. 若m=1,则f(x)=x2在区间 (0,十∞)上单调递增，符合条件： 若m=-5,则f(x)=x1在区间 (0,十∞)上单调递减，不符合条件. 故f(x)=x2. (2)证明：由(1)可知，g(x）=x2+15 任取x1x2∈(0,2)，且x1<x2, 则gx1)-gx)=x+16-x- xI 5-(x1-xg)「(x1+x)-16] 元0 x1x2」 因为0<x1<x2<2,所以x1一x2< 0,x1+x2<4, 16>4,所以(x1 x2)(x1十x2)- 167 >0, x1x2」 即g(x1)>g(x2),故g(x)在区间(0， 2)上单调递减。 14.解：(1)若yAyB分别表示用A,B方法 冶炼的费用，xA,xB分别表示用A,B 方法冶炼矿物质的质量， 所以可设yA=k1x员yB=k2江B, 由随透为化→肉二 参考答案