第2章 考点练7 函数的单调性与最值-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练7函数的单调性与最值 JICHU GONGGU LIA 基础巩固练 。答案：149页 一、单项选择题 1.(2024·北京东城区二模)下列函数中，在区间(1，十∞)上单调递减 的是 () A.f(x)=√元 B.f(x)=e C.f(x)=x+ 1 D.f(x)=In x 2.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数，那么对于任意的x1,x2∈[a, b](x1≠x2),下列结论中不正确的是 () A.f(D-f(x:) >0 x1一x2 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.若x1<x2,则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) x1-x2 D.f(i)-f()0 3.（教材改编)已知函数f(x)=x2一kx一8在[1,4幻上单调，则实数 k的取值范围为 A.[2,8] B.[-8,-2] C.(-∞，-8]U[-2,+∞)D.(-c∞，2]U[8,+∞) 4.已知函数了(x)=-x-2x+3在区间a,2]上的最大值为5，则 a的值为 () A号 R号 C.-1 2 D或- 5.(2023·新课标I卷)设函数f(x)=2x)在区间(0,1)上单调递 减，则a的取值范围是 () A.(-∞，-2]B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 6.已知定义在[一1,3]上的函数f(x)满足对于任意的x1,x2∈ [-1,3],且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1一x2)<0,则不等 式f(1一2x)≥f(x+1)的解集为 () A.(-∞，0] B.[0,1] C.[-1,0] D.[0,+∞) 二、多项选择题 7.下列命题是真命题的有 ( A.函数f(x)=一2x一3在[1,3]上是减函数，最小值为一9 B.函数f(x)=-2在[1,2]上是增函数，最大值为-1 C.函数f(x)=x2一2x在[0,2]上先增后减，最小值为0 D.函数f(x)= xx>0, 的定义域是R,值域是[0，十∞) x2,x≤0 (a-1),x>1, 8.已知函数f(x)= (a>1且a≠2)在R上 -(x-a+2)2,x≤1 单调递增，则实数a的可能取值为 () A.2 B.3 C.5 D.11 三、填空题 9.函数f(x)=√x(1一2x)的最大值为 10.已知函数f(x)是定义在（一∞，0）上的减函数，则不等式f(x2一 3x一4)<f(一6)的解集是 11,设函数f(x)22在区间3,4上的最大值和最小值分别为 Mm,则名 12.已知f(x)=log.(3一ax)在[0,2]上是减函数，则实数a的取值范 围是 四、解答题 13.已知函数f(x)=2x-1 x+1 (1)试判断函数f(x)在区间（一1，+∞）上的单调性，并证明； (2)求函数f(x)在区间[0，+∞)上的值域. 第二章函数013 14.已知函数f(x)=x+是定义在(-2,2)上的函数，f(-x)= x2十4 -)氧成立：月了)-号 (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义法证明f(x)在（一2,2）上是增函数； (3)解不等式f(x-x2)十f(x)<0. 0142对闪·高考一轮复习金卷数学 NENGLI TISHENGUAN 能力提升练 0答案：150页 一、单项选择题 1.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有 f(x1)-f(x2) >一1，则下列说法正确的是 1一x2 A.y=f(x)十x是增函数 B.y=f(x)十x是减函数 C.y=f(x)是增函数 D.y=f(x)是减函数 2.函数f(x)=lg(x2一2x一8)的单调递增区间是 A.(-∞，-2)B.(-∞，1) C.（1,+∞)D.(4,+∞) 3.函数y=f(x)是实数集上的增函数，且a+b>0,则 () A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b) 4.(2025·广东梅州月考)定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上 单调递减，且f(2)=0,则满足(x一1)f(x)>0的x的取值范围是 () A.(-∞，-2)U(1,+c∞) B.(-2,-1)U(2,+∞) C.(-∞，-2)U(1,2) D.(-2,-1)U(1,2) 5.(2025·山西大同期末)已知实数a>0,且满足不等式1og3(3a+ 2)>log3(4a十1)，若a一a'<x一y,则下列关系式一定成立的 是 () A.x+y>0 B.+y>1 C.x-y>0 D.x-y>1 6.(2024·云南昆明模拟)对于定义域为D的函数y=f(x),若存在区 间[a,b]二D,使得f(x)同时满足：①f(x)在区间[a,b]上是单 调函数；②当f(x)的定义域为[a,b]时，f(x)的值域也为[a,b], 则称区间[a,b]为该函数的一个“和谐区间”.已知定义在(1，k)上 的函数∫(x)=?-二有“和谐区间”，则正整数取最小值时，实数 2 x m的取值范围是 () A.(4,42) B.(4√2,6) C.(4,6) D.(6,8) 二、多项选择题 7.(新定义问题)如果函数y=f(x)在区间I上是减函数，且函数y= fx)在区间1上是增函数，那么称函数y=f(x)是区间I上的“可 变函数”，区间I叫做“可变区间”.函数f(x)=x2一4x十2在下列 区间上是“可变函数”的是 A.(-∞，-√2] B.[√2,2] C.(0,√2] D.[1,W3] 可知函数1)十2红R),则下列说法正确的是（ A.f(x)的定义域为(-∞，-2)U(-2,+∞) B.f(x)在[-1,0]上的值域为[2-a,1] C.若f(x)在（一∞，一2）上单调递减，则a<1 D.若a>1,则f(x)在定义域上单调递增 三、填空题 flogax,x >1, 9.(2024·青海西宁模拟)已知函数f(x)= ax-2,x≤1， 若对任意 c1,且x1≠xe,都有）二f》>0,则实数a的取值范围 x1-x2 是 10.若)2千则两数了)在[0.门上的值蚊是 11.若函数f(x)=x2一3mx+18(m∈R)在(0,3)上不单调，则实数 m的取值范围为 12.(前定义问题)对于任意实数a,b,定义mina,b}=亿，a≤，设 b;a>b. 函数f(x)=一x十3，g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x), g(x)}的最大值是 四、解答题 3.已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x+y)=f(x)+f(y)+ 1;②当x>0时，f(x)>-1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数； (2)若f(1)=1,解不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. 14.讨论函数f(x)-a≠0)在区间(-1,1)上的单调性.1≠0恒成立，当a=0时，1≠0恒成 立；当a≠0时，△=4a2-4a<0,得 0<a<1.综上，实数a的取值范围是 0≤a<1. 11.{-2,-3 解析：因为y=1-2=3-2x+1D x+1 x十1 2+3 +当x∈（-∞，-4)时，函 1-2x 数y=x十1 为减函数，所以y∈ (一3，-2.所以f)= 「1-2x7 Lx+1」 -3;当x∈(2，十o∞)时，函数y 1-2二为减函教，所以y∈（-2，-1)， x+1 所以f(x)= [1一2x=-2.综上所 x+1 述，函数f(x)的值域为{-2，-3}. 12.(,) 解析：作出函数f(x)的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)在R上单调递增， 0 12 /小=x) -3 因为f(4)=log24=2,所以f(2x 、 1)<2等价于f(2x-1)<f(4),即 2江-1<4，解得x<号，所以不等式 。5 f(2x-1)<2的解集是（∞，2 13.解：(1)由f(x)= -x2十2x,0x2, {x2+2x,-2≤x<0 得()-(-)‘+2x() g)=()+2x-是 (2)简图如图所示. 2 1 -2-10 12x (3)由简图可知函数的值域为[-1,1]. 14.解：(1)由题意，得y=0.3x十0.5(3500 x)=-0.2x+1750(x∈N"且0 x≤3500). (2)若电动车的辆次数不小于25%，但 不大于40%， 则3500×(1-40%)≤x≤3500× (1-25%),即2100≤x≤2625且 x∈N", .y=-0.2x十1750(2100x≤ 2625且x∈N“). -0.2<0,y=-0.2x十1750在 [2100,2625]上单调递减， 当x=2100时，函数取得最大值，为 1330,当x=2625时，函数取得最小 值，为1225， 总的保管费收入在1225元至1330元 之间. 考点练7函数的单调性 与最值 。基础巩固练。 1.B对于A,f(x)=√x在定义域 [0,十∞)上单调递增，故A错误；对于 Bf)=e=(日)广在定义战R上 单调递减，故B正确；对于C,f(x)= z+ ,则f(x)=1- x x (x+1)(x-1,当x∈(1，十∞)时 22 在 f'(x)>0,所以f(x)=x十元 (1,十∞)上单调递增，故C错误；对于 D,f(x)=lnx在定义域(0，十o∞)上单 调递增，故D错误.故选B. 2.C因为f(x)在[a,b]上是增函数，所 以对于任意的x1,x?∈[a,b](x1≠ x2),x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号 相同，故A,B,D都正确，而C中应为若 x<x2,f(a)f(x1)<f(x2) f(b).故不正确的是C.故选C. 3.Df(x)=x2一kx一8图象的对称轴 为直线x=之，若f(x）=x-kx-8 在[1，上单调递增，则合<1，解得 k2,若f(x)=x一kx一8在[1,4]上 单调递减，则兰≥4，解得≥8，所以实 数k的取值范围为（一∞，2]U [8,十∞).故选D. 4.C由函数f(x)=-x2一2x十3= 一(x十1)2十4，其图象的对称轴为直线 x=一1，当a一1时，函数f(x)在 x=一1处取得最大值4，不满足题意； 当一1<a<2时，可得函数f(x)在区 间[a,2]上单调递减，所以当x=a时， 函数f(x)取得最大值，最大值为 f(a)=-a2-2a+3= 15,解得a= 或a=一2（去，选C 2 5.D设t=x(x-a)=x2-ax,其图象 的对称轴为直线工=之，且开口向 上，，y=2是关于t的增函数，.要使 f(x)在区间(0,1)上单调递减，则t= x一ax在区间(0,1)上单调递减，即 号≥1a≥2故a的取位范用是 [2,十o∞).故选D. 6.B对于任意的x1,x2∈[-1,3]，且 x1卡x2,都有[f(x1)一f(x2)](x1 x2)<0,·x1<xg时，f(x1)> (x2),∴.f(x)在[-1,3]上单调递 减，.由f(1-2x)≥f(x十1)，得 -1≤1-2x≤3， 一1≤x十1≤3，解得0≤x≤1， 1-2xx+1, ∴.不等式f(1-2x)≥f(x十1)的解集 为[0,1].故选B. 7.ABD对于A,函数f(x)=一2x一3在 [1,3]上是减函数，最小值为f(3)= -9,正确：对于B,函数（红）=-2在 -149 [1,2]上是增函数，最大值为f(2)= 一1，正确；对于C,函数f(x)=x一2x 在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递 增，最小值为f(1)=一1，错误；对于D, 函数)=仁：06的定又说是R 当x>0时，f(x)>0,当x≤0时， f(x)≥0，即值域是[0，十∞)，正确.故 选ABD. 8.BCD二次函数y=-(x-a+2)2图 象的对称轴为直线x=a一2，因为函数 (a-1),x>1, fx)=仁(a-a+2),z≤1在R上 单调递增，所以有 a-1>1, a-2≥1， 解得a≥ (a-1)1≥-(1-a+2)2, 3,即实数a的取值范围是[3，十∞).故 选BCD. ② 9.4 解析：由x(1-2x)≥0，得0≤x≤2 而y=x1-2)=-2(e-)'十 名所以当=子时3一日即画数 4 f)的菜大位为架 10.(-1,1)U(2,4) 折题老释后-。 得-1<x<1或2<x<4. . 解析：f(x)=2x=2x-4十4 -x-2 x-2 4 2十一2在[3,4]上单调递减， .f()min f(4)=4,f(x)mx= f(3)=6,M=6,m=4. M 12.(,2)） 解析：已知f(x)=log(3一ax)在[0， 2]上是减函数，由a>0,知函数t= 3-ax在[0,2]上是减函数，所以函数 y=logt在定义域内是增函数，则有 a>1,又函数t=3-ax在[0,2]上的 最小值3-2a>0,解得a<号，所以实 教a的取值范周是(1，受)： 13.解：(1)函数f(x)在区间(-1，十∞) 上单调递增，证明如下：f(x)= 12十7x刀， x+1 Vx1,x2∈(-1，十o∞)，且x1<x2, 3 有f(x1)-fx,)=+ 3 3(x1-x2） x1+1=(x1+1)(x2+1D' 由-1<x1<x2,得x1-x2<0,x1十 1>0,x2+1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在区 间（一1，十∞）上单调递增. 参考答案 (2)由上可知函数f(x)在区间： [0,十∞)上单调递增，则f(x)≥ f(0)=-1, 又f(x)=2x-1 3 x+1 =2-<2， 故f(x)的值域为[-1,2). 14.解：(1)由x∈(-2,2)，f(-x)= 一f(x)恒成立，得函数f(x)是定义 在(-2,2)上的奇函数， b 则f(0)=4 =0,解得b=0,由 f)=，得号-，解得a=2.即 2 2 5 2x f(x)= Γx2+4 此时f(一x)= 2(-x） (-x)2+4 2x x2+4 =-f(x),即函数f(x)是 奇函数，满足题意， 所以f(x)= 22+4x∈(-2,2). 2x (2)证明：由()知fx）=于4 2x x∈(-2,2)，Hx1,x2∈（-2,2)，且 x1x2, 2x1 有f(x1)-f(x2)= xi+4 2=2xg-x1)1x- x号十4 (x+4)(x:+4) 由-2<x1<x2<2,得x2-x1> 0,x1x2-4<0,则f(x1)-f(x2)< 0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在（一2,2）上是增 函数. (3)由(1)(2)知，函数f(x)在(-2,2) 上是增函数，且是奇函数， 不等式f(x一x)十f(x)< 0台f(x)<-f(x-x2)台f(x)< f(x-x), 因此一2<x<x2一x<2,解一2< x<x2-x,得-2<x<0或x>2, 解x2-x<2,得一1<x<2,从而 -1<x<0, 所以原不等式的解集为（一1,0）. —。能力提升练。 1.A不妨令x1<x2,则x1一x2<0,由 f(x1)-f(x2) >1台f(x1)-f(x2)< x1-x2 -(x1-x2)台f(x1)十x1<f(x2)十 x2,令g(x)=f(x)十x,则g(x1)< g(z:),<z2,.g(z)=f(z)+ x是增函数.故选A. 2.D由x2-2x-8>0,解得x<-2或 x>4,则f(x)=lg(x2-2x-8)的定 义域为（一∞，一2）U(4,十∞).内层函 数u=x2-2x-8在区间(-o∞，-2)上 单调递减，在区间(4，十∞)上单调递增， 外层函数y=1g为增函数，因此，函数 f(x)=1g(x2一2x一8)的单调递增区 间为(4，十o).故选D. 3.A因为a十b>0,所以a>-b,b> 一a,又因为y=f(x)在R上单调递增 所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a), 所以f(a)十f(b)>f(-b)十f(-a). 故选A 4.C因为f(x)在[0，十∞)上单调递减， 且f(2)=0,所以当0≤x<2时，： 2对勾·高考一轮复习金卷数学 f(x)>0,当x>2时，f(x)<0.因为 f(x)为定义在R上的偶函数，所以 f(x)在（一∞，0]上单调递增，且f(一2）= 0,所以当一2<x≤0时，f(x)>0,当 x<-2时，f(x)<0.综上所述，当 -2<x<2时，f(x)>0;当x<-2或 x>2时，f(x)<0.由(x-1)f(x)> .可得行>88由 If(x)>0 x一1之0，可得仁2<x<2.解得 f(x)>0 1<<2:曲)0可# <-2或x>2,解得x<-2.所以 /x1, 满足(x一1)f(x)>0的x的取值范围 是(-∞，一2)U（1,2).故选C. 5.C因为函数y=logx单调递增， log3(3a+2)>log(4a十1)，所以3a十 2>4a十1，又a>0,所以0<a<1.对 于不等式a一a'<x一y,移项整理得 a一x<a’一y,构造函数h(x)=a一 x,由于h(x)单调递减，所以x>y,即 x-y>0.故选C. 5.B若函数f(x)有“和谐区间”，则 f(x)在区间(1，k)上单调递增，且 )=受-是=上在定义城内有两 个不等的实数根，易知f(x)单调递增， 由”、2 =工得”= 2 十x,设 x gx)=2十x,则g(x)=2十x的图 x 象与直线y=仍在区间1，k)上有两 2 个不同的交点，又g(x)=2十工在区 间(1，√2)上单调递减，在区间 (√2，十∞)上单调递增，且k∈N”,所 以k≥2，所以正整数k的最小值为2.又 g(1)=3,g(W2)=2W2,g(2)=3,所 以2W反<2 <3,解得4W2<m<6,所 以实数m的取值范围是(4√2,6).故 选B. 7.AB因为f(x)=x2一4x+2的单调 递减区间为（一0,2]y=f=r十 x 2-4在区间[反，十∞)和（一0，-2] 上为增函数，所以f(x)=x2一4x十2 的“可变区间”为[√2,2]和(-o, -√2].故选AB. 8.AC对于A,由x十2≠0得x≠-2， 则f(x)的定义域为（一∞，一2）U (一2，十∞)，A正确.对于B,f(x)= ax+2 2-2a x+2=a+x+2,由x∈[-1,0]， 可得x十+2∈[12]，则+2∈ 21,当a=1时f(x)=1,即 厂17 f(x)在[-1,0]上的值域为{1}；当a< 1时，2二2g∈1-a2-2a]a+ x十2 2-2g∈1,2-a],即f(x)在[-1,0] x+2 上的值域为[1,2-a]；当a>1时， 150 2=2ge[2-2a,1-a]a+ 2-2a x+2 +2∈ [2-a,1],即f(x)在[-1,0]上的值域 为[2-Q,1].综上，当a=1时，f(x)在 [一1,0]上的值域为{1}；当a<1时， f(x)在[-1,0]上的值域为[1,2-a]; 当a>1时，f(x)在[-1,0]上的值域为 [2-a,l].B错误.对于C,f(x)= ax +2 x+2 =a+2-2a x+2，若f(x)在 (-∞，-2)上单调递减，则2-2a>0, 解得a<1,C正确.对于D,f(x)= ax十2 x2=a+2二2a,则a>1时·f（x) x+2 在（一∞，-2）和(-2，十o∞)上单调递 增，D错误，故选AC. 9.(1,2] 解析：因为对任意x1,x2且x1≠x2,都 有x)-f>0,所以画教fx) x1一x2 在定义域上单调递增，因为∫(x)= flog.>1；所以a>0, a>1, ax-2,x1, log1≥a-2, 解得1<a2 10.[0,1] 解析：任取x1,x2∈[0,1]，且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= 2x12x x1+1x2+1= 2(x1-x2)(x1x2十x1十x）<0,所 (x1+1)(x2+1) 以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在 [0,1]上单调递增， f(x)min=f(0)=0,f(x)= f(1)=1,所以函，数f(x)在[0,1]上的 值域是[0,1门. 11.(0,2) 解析：f(x)=x2-3mx十18图象的对 称轴为直线x= -3m=3m 2 ,由题意 得0<3m<3,解得0<m<2,故实教 m的取值范围为(0,2). 12.1 解析：在同一平面y↑ 直角坐标系中作 出函数f(x), 2 g(x)的图象，依 题意，h(x)的图O23贰 象为如图所示的实 线部分.易知，点A(2,1)为图象的最高，点， 因此h(x)的最大值为h(2)=1. 13.解：(1)令x=y=0,得f(0)=-1. 证明：在R上任取x1,x2,且x1>x2, 则x1-x2>0,f(x1-x)>-1. 又f(x1)=f[(x1-x2)十x2]= f(x1-x2)十f(x2)+1>f(x2), 所以函数f(x)在R上是增函数. (2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)= 5.由f(x2+2x)十f(1-x)>4, 得f(x2+2x)+f(1-x)+1>5,即 f(x2+x+1)>f(3), 又函数f(x)在R上是增函数，故x2 x十1>3，解得x<一2或x>1, 故原不等式的解集为{x|x<一2或 x>1}. 14.解：方法一（定义法）x)=兰 -+）小 x-1 x1z2∈(-1,1)，且x1<x2,有 )-)=1+) a(x2一x1） La1十-1)(x,· 由于-1<x1<x:<1,所以x2 x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数f(x)在区间 (-1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)一f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),函数f(x)在区间 (一1,1)上单调递增. 方法二（导数法）f'(x)= (ax)'(x-1)-ax(x-1)' (x-1)9 a(x-1)-a.x (x-1)2 =一 (x-1)21 当a>0时，f'(x)<0,函数f(x)在 区间(-1,1)上单调递减； 当a<0时，f'(x)>0,函数f(x)在 区间（一1,1）上单调递增. 考点练8函数的奇偶性、 对称性与周期性 。基础巩固练。 1.A对于A,根据幂函数的图象和性质， 知y=x2是偶函数，图象关于y轴对 称，且在区间（一∞，0）上是增函数，故A 正确；对于B,y=x|是偶函数，图象关 于y轴对称，当x∈(-∞，0)时，y= 一x,所以在区间（一∞，0）上是减函数， 故B错误；对于C,y=2是偶函数，当 x∈(-∞，0)时，y=2,所以在区间 (一∞，0)上是减函数，故C错误；对于D, y=x3是奇函数，图象关于原点对称，故 D错误.故选A. 2.B对于A,函数的定义域为R, f-1)=e1-1 2)=，则 f(一1)≠f(1),f(x)不是偶函数，故 A错误；对于B,函数的定义域为R,且 f(-x)=cos-x)+(-x)2 (-x)+1 c0sx十x2 =f(x),则f(x)是偶函 x2+1 数，故B正确；对于C,函数的定义域为 {xx≠一1}，不关于原点对称，则 f(x)不是偶函数，故C错误；对于D,函 数的定义域为R,f(1)=sin1十4」 f(-1D=二sn1-4,则f0)≠ f(一1)，f(x)不是偶函数，故D错误. 故选B. 3.A因为对Hx∈R都有f(3十x)= f(1-x),所以f(1)=f(3-2)= f(1一(-2))=f(3).又因为f(x)在 [2,十∞)上单调递减，且2<3<4，所 以f(4)<f(3)<f(2),即f(4) f(1)<f(2).故选A 4.C因为f(x十2π)=f(x),所以f(x) 的网期为2，所以f(g）=f(6饭中 ）=f(2m×3+号)=f(g),又因 为当x∈(0，x)时，f(x)=2sin号，所 以f(3）-2sim-1.故选C 5.C因为函数f(x)为奇函数，g(x)为偶 函数，且f(x)-g(x)=e,所以f(-1)- g(-1)=三，即-f(1)-g(1)=1①， 而f(1)一g(1)=e②，联立①②解得 f(1)= (e-)=1 2(e- e/ 2e8(1) (*)= 10 e e2+1,所以 2e f(1)1-e2 ①i+。e.故选C 6.C因为定义在R上的奇函数f(x)满 足f(x十3)=f(1一x),所以f(x+ 3)=f(1-x)=-f(x-1)= -f(x-4十3)=-f(1-(x 4)=-f(5-x)=f(x-5),故f(x) 的周期为8，当x∈[0,2]时，f(x)= me-1,则f(0)=m-1=0,所以= 1,所以f(31)=f(-1)=-f(1)=1 e.故选C. 7.BD由奇函数的定义f(一x)=一f(x): 验证，对于A,f(-x)=f(x),y= f(x)为偶函数：对于B,f(-(-x)= f(x)=一f(一x),y=f(一x)为奇函 数；对于C,一xf(-x)= [-f(x)门=xf(x),y=xf(x)为偶函 数；对于D,f(一x)十（一x)= -[f(x)十x],y=f(x)十x为奇函 数.故选BD. 8.AD因为函数f(x)的定义域为R, y=f(x一1)的图象关于直线x=1对 称，所以f(x)的图象关于y轴对称，即 f(一x)=f(x),所以f(x)为偶函数， 故A正确；由f(-x)十f(x十2)=2， f(0)=-1,令x=-1,可得f(1)+ : f(1)=2,则f(1)=1,因为f(x)为偶 : 函数，所以f(一1)=f(1)=1,故B错： 误；由f(-x)十f(x十2)=2， f(0)=-1,令x=0,可得f(2)=3, f(0)≠f(2),则2不是f(x)的一个周： 期，C错误；因为f(一x)=f(x), f(-x)+f(x+2)=2,所以f(x)+ f(x十2)=2，所以f(x十2)十f(x十 4)=2,则f(x)=f(x十4)，即f(x)是 以4为周期的周期函数，所以： 202 ∑f(k)=506[f(-1)+f(0)+ f(1)+f(2)]十f(1)=506×4+1=: 2025,故D正确.故选AD. 9.0 解析：因为f(x)是奇函数，所以 f(-x)十f(x)=0,即(-x)3+a十 x十a=0,故a=0. 10.y=x2-9(答案不唯一) 解析：由函数f(x)的图象关于y轴对 称，得函数是偶函数，又f(x)在(0,3) 上单调递减，在(3，十∞)上单调递增，： 则此函数可以是y=x一9. 11.-2 解析：因为f(x一1)的图象关于点(1， 0)对称，所以f(x)的图象关于点(0，： 151 0)对称，即函数f(x)为奇函数，又 f((x十1)-1)=f((x+1)+3),即 f(x)=f(x十4)，所以函数f(x)的周 期为4，f(2025)=f(506×4+1)= f(1)=-f(-1)=-2. 2.(-3,1) 解析：因为抛物线y=x2十2x的对称 轴为直线x=一1，且开口向上，所以 y=x2十2x在[0，十o∞)上单调递增， 且y=f(x)在R上是偶函数，所以 f(3-a)>f(2a)台|3-a>|2al, 两边平方得a2十2a一3<0，所以-3< a<1. 3.解：(1)证明：若x1十x2=0,显然不等 式成立 若x1十x2<0,则一1≤x1<-x? 1,因为f(x)在[-1,1]上是减函数且 为奇函数，所以f(x1)>f(一x2）= -f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0, 所以[f(x1)十f(x2)](x1十x2)<0 成立. 若x1十x2>0,则1≥x1>-x2≥-1， 同理可证f(x1)十f(x2)<0,所以 [f(x1)十f(x2)](x1十x2)<0成立. 综上所述，对任意x1x2∈[-1,1]，有 [f(x1)十f(x2]·(x1十x2)≤0恒 成立 (2)因为f(1-a)十f(1-a2)< 0台f(1-a2)<-f(1-a)=f(a 1),所以由f(x)在定义域[一1,1]上是 1-1≤1-a2≤1， 减函数，得-1≤a一1≤1，即 1-a2>a-1, 0≤a2≤2， 0≤a≤2， 解得0≤a<1.故实 a2+a-2<0, 数a的取值范围是[0,1) 4.解：(1)证明：f(x十2)=-f(x), .f(x十4)=-f(x+2) -[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是周期函数，且4是其一个 周期. (2)令x∈[-2,0]，则-x∈[0， 2],.f(-x)=-2x-(-x)2= -2x-x2, 又f(x)是定义在R上的奇函数，即 f(-x) -f(x), .当x∈[-2,0]时，f(x)=2x十x2 当x∈[2,4]时，x-4∈[-2,0]， .f(x-4)=2(x-4)十(x-4)2= x2-6x+8, 由于f(x)的周期是4，f(x)= f(x-4)=x2-6x十8， .当x∈[2,4]时，f(x)=x2-6x十8. (3):当x∈[0,2]时，f(x)=2x-x2, .f(0)=2×0-0=0,f(1)=2× 1-12=1. 当x∈ [2,4]时，f(x)=x2-6x+ 8,. =22-6×2+8=0,f(3)= 32-6×3+8=-1, ∴.f(0)+f(1)+f(2)十f(3)=0. f(x)是周期函数，且4是其一个周 期，2026=4×506+2， .f(0)+f(1)十f(2)十…十 f(2025)=506×0+f(0)+f(1)=1. 参考答案