第1章 考点练5 一元二次方程、不等式-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练5一元二次方程、不等式 IICHU GONGGU LIAN 基础巩固练 ●答案：146页 一、单项选择题 1.不等式(x一3)(5一x)<0的解集为 A.{x|3<x<5} B.{x|x<3或x>5} C.{x|-5<x<-3} D.{x|x<-5或x>-3} 2.(教材改编)若不等式ax+bx十2>0的解集为z厂2<x< 1 吉，则a一6的值是 A.-10 B.-14 C.10 D.14 3.“a<11”是“3x∈R,x2-2x+a<0”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为 R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为30一R)万件，要 使附加税不少于128万元，则R的取值范围是 () A.[4,8] B.[6,10] C.[4%,8%] D.[6%,100%] 5.已知x∈R,则“-3≤x≤4”是“1g(x2-2x十2)≤1”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.关于x的不等式mx2一(m+2)x+m+1>0的解集为R,则实数 m的取值范围是 () A,m< 23 3 B.m>23 3 C.m>0 D.m>23 或m<-2E 3 3 7.已知关于x的一元二次方程x2一(m+1)x+2m一1<0的解集为 {x|x1<x<x2},且实数x1,x2满足x1<x ,1+1<1,则 实数m的取值范围是 () Amm<2或n>2 B.{m|m<1或m>2} C.{m|m<1或m>5} Dam<专或m>≥5 8.已知集合A=x 3x-≤1，集合B=(x1x2-(a+2)x+2a< x-21 0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范 围是 () A(m-2】 B(0,- c. D(22 二、多项选择题 9.下列不等式的解集不是R的是 () A.-x2+x+1≥0 B.x2-2√5x+W5>0 C.x2+6.x+10>0 D.2x2-3x+4<0 10.若关于x的方程x2+(m一1)x十1=0至多有一个实数根，则它 成立的必要条件可以是 () 第一章集合、常用逻辑用语、不等式009 A.-1<m<3 B.-2<m<4 C.m<4 D.-1≤m<2 11.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n},其中m> 0,则以下选项正确的有 () A.a<0 B.c>0 Cc+6征十a>0的解综为女片<x<司 D+b:十a>0的解集为r<号或x> 12.已知k∈Z,若关于x的不等式x2一x<k(x一1)只有一个整数 解，则k的可能取值为 () A.-1 B.1 C.2 D.3 三、填空题 13.(教材改编)已知一元二次不等式2kx2+kx一 <0对一切实数 8 x都成立，则实数k的取值范围是 14分式不等式≥2的解袋为 15.若不等式2x一1>m(x2-1)对任意m∈[一1,1]恒成立，实数 x的取值范围是 16.若关于x的不等式一x2+(a+2)x一2a>0恰有1个正整数解， 则a的取值范围是 0102对勾·高考一轮复习金卷数学 NENGLI TISHENGUAN 能力提升练 答案：146页 一、单项选择题 1.已知p: x十2>19：-2≤x<1,则p是g的 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设x∈R,则“|x一1|<1”是“x2<x”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式2十3 “x-2 <0的解集 为B,则A∩B为 ( A.[-3,3] B.(-3,3) C.[-1,2] D.(-1,2) 4.已知不等式x2-a.x十1<0的解集为{x|x1<x<x2},且(x1 1)2+(x2-1)2=3,则a= ( A.-1 B.1 C.3 D.-1或3 5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积 不小于300m的内接矩形花园（阴影部分），则其 x m 40m 一边的长x(单位：m)的取值范围是 () A.15≤x≤30 B.12≤x≤25 40m C.10≤x≤30 D.20≤x≤30 |-x2+2x,x≥0， 6.(2025·福建福州月考)已知函数f(x)= 若关 x2-2x,x<0, 于x的不等式[f(x)]2+af(x)<0恰有1个整数解，则实数a的 最大值是 ( A.2 B.3 C.5 D.8 二、多项选择题 7.经过市场调查分析，某地区半年的前n个月内，对某种商品的需求 累计f(n)(单位：万件)近似地满足下列关系：f(n)=n(n十2)(6 n),n=1,2,3,4,5,6,则需求量超过3万件的月份为 () A.4月 B.3月 C.2月 D.1月 8.(新定义问题)已知两个变量x,y的关系式f(x,y)=x(1一y),则 以下说法正确的是 () A.f(1,3)=f(3,1)=0 B对任意实数a,都有fa,a)≤成立 C.若对任意实数x,不等式f(x一a,x)≤-a十4恒成立，则实数a 的取值范围是[一5,3] D.若对任意正实数a,不等式f(x一a,x)≤一a十4恒成立，则实数 x的取值范围是（一∞，0） 三、填空题 9.已知关于x的不等式x2+ax+a+3>0的解集为R,则实数a的 取值范围是 10.已知f(x)=一2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集是（一1,3）， 则b= ;若对于任意x∈[-1,0]，不等式f(x)+t≤4 恒成立，则实数t的取值范围是 11.(探究性问题)对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0 的解集为（一1,2），解关于x的不等式ax2一bx十c>0”,给出如下 一种解法： 解：由ax2+bx十c>0的解集为(-1,2)，得a(-x)2+b(-x)十 c>0的解集为（一2,1）， 即关于x的不等式ax2一bx+c>0的解集为（一2,1）. 参考上述解法，若关于工的不等式十之十b<0的解集为 x+a x+c (1。-U号则关于：的不等式年+经<©的 解集为 12.整数使关于x的不等式组女十3-6)x-3k<0 x-x-2>0, 解集中的整 数只有一2，则由k的值组成的集合为 四、解答题 3.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距 离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故 的一个重要因素.在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽 车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘 查测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过 10m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位： km/h)之间分别有如下关系：s甲=0.1x十0.01x2,s乙=0.05x十 0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？ 14.已知y=ax2+(2a-1)x-2. (1)当a=5时，求满足y≤0的x值的集合； (2)求满足y>0的x值的集合； (3)当a∈(0,1)时，y>0恒成立，求满足条件的x的取值范围.考点练5一元二次 方程、不等式 一。基础巩固练 1.B由(x-3)(5-x)<0可得(x- 3)(x-5)>0,解得x>5或x<3,故 不等式的解集为{xx<3或x>5}. 故选B. 1 2.A由题意可得x1=一之，工：=3 方程ax2十bx十2=0的两个根，所以 -合+2=0， 解得6二一12所 g++2=0， b=-2. 以a一b=一10.故选A. 3.B3x∈R,x2一2x十a<0,则要满足 △=4-4a>0,解得a<1,因为a<11p a<1,但a<1→a<11,故“a<11”是 “了x∈R,x2-2x十a<0”的必要不充 分条件.故选B. 4.A根据题意，要使附加税不少于128万 元，则(30-2R)×160×R%>128, 整理得R2-12R十320，解得4≤R≤ 8.所以R的取值范围是[4,8].故选A. 5.B由lg(x2-2x十2)≤1，得1g(x2 2x十2)≤lg10,即0<x2-2x十2 10,于是有仁2十日0郑得 一2≤x≤4，因为“-3≤x≤4”不能推 出“一2≤x≤4”，故充分性不成立；因为 “-2≤x≤4”能推出“-3≤x≤4”，故 必要性成立.所以“一3≤≤4”是 “1g(x2-2x十2)≤1”的必要不充分条 件.故选B. 6.B当m=0时，该不等式为一2x十1> 0,解得x<了不成立：当m≠0时，由 不等式的解集为R,得 m>0, 解 △=(+2)2-4m(m+1)<0, 得m>25.故选B. 3 7.D由题意，得△=(m十1)2-4(2- 1)=m2-6m十5>0，x1十x2=m十 1x1x=2m-1,1+1 m2-6m十5>0， 即有m一2 2m-i>0, 解得m>5或 m<2,故选D. 8A由经-<1得号-1 2x+1 x20..2x十1)(x二2)0，解 {x一2≠0， 得-<<2iA=[2小由 x2-(a十2)x+2a<0得(x-2)(x- a)<0.:“x∈A”是“x∈B”的充分 不必要条件，∴，A至B.当a>2时，B= (2,a),不满足AB;当a=2时，B= 2对勾·高考一轮复习金卷数学 必，不满足A手B;当a<2时，B=(a, 2),若A三B,则需a<-之.综上所述， 实数a的取值范围为（∞，- 合)故 选A. 9.ABD对于A,由-x十x十1≥0，得 x-工-1≤0，解得1-5≤：≤ 2 5,故A正确：对于B,由x: 2 2W5x十V5>0,解得x<5-√5-W5 或x>√5十√5-√5，故B正确；对于 C,x2+6x+10>0,因为△=36一 40=一40，所以不等式x2十6.x十 10>0的解集为R,故C错误；对于D, 2x2-3.x十4<0，因为△=9-32= 一23<0，所以不等式2x2-3x十4<0 的解集为☑，故D正确.故选ABD. 10.BC因为方程x2十(m一1)x十1=0 至多有一个实数根，所以方程x”十 (m-1)x十1=0的判别式△≤0，即 (m一1)2一4≤0，解得一1≤m≤3， 利用必要条件的定义，结合选项可 知，一1≤m≤3成立的必要条件可以 是选项B和选项C,故选BC, 11.AC因为不等式ax2十bx十c>0的 解集为{xm<x<n},其中m>0, 所以a<0,m,n是方程ax2十bx十c= 0的两个实数根，所以A正确：由根与系 b m十n= 数的关系得 a解得 mn=， a 仍=-(m十n)0'因为m>0,m< c mna, n,所以n>0,又a<0,所以c= na<0,所以B错误；cx2十b.x十a> 0可化为mnax2-(m十n)ax十a>0, 即mn.x2-(m十n)x十1<0，即(mx 1)(n.x-1)<0,因为nm0,所以 <,所以不等式cx+b虹十a>0 n m {x上<x<},所以C 的解集为工元 m 正确，D错误.故选AC. 12.AD关于x的不等式x2-x<k(x 1),即x2-(k十1)x十k<0,即(x 1)(x-k)<0,当k=1时，(x 1)(x一k)<0,即(x一1)2<0，解集为 空集，不合题意；当k>1时，(x一 1)(x一k)<0的解满足1<x<k,要 使得关于x的不等式x2一x<k(x一 1)只有一个整数解，需2<k≤3，由于 k∈Z,故k=3;当k<1时，(x 1)(x一k)<0的解满足k<x<1,要 使得关于x的不等式x一x<k(x 1)只有一个整数解，需一1≤k<0,由 于k∈Z,故k=一1.综上，k的可能取 值为-1,3.故选AD. 13.(-3,0) 解析：由题意可得k≠0,2kx2十kx一 8<0对一切实数x都成立，k<0, 3 3 且对于方程2kx十x-8=0,△= —146 k2-4×2×(号）<0，解得-3< k<0.综上所述，实数k的取值范围是 -3<k<0 .(台] 解折：由昌≥2，得 2十1-6x+4≥0，即52≥0，所 3x-2 15一5x)(3x-2)≥0·解得2一 以3x-2≠0， x<1,所以不等式的解集为（号] 15.(3-1,2) 解析：2x-1>m(x2-1)可转化为 m(x2-1)-2x+1<0.设f(m)= m(x2-1)-2x十1，要使f(m)<0恒 成立，只需 f(1)=x2-2x<0, f(-1)=-x2-2x+2<0.解得 5-1<x<2. 16.(-∞，1)U(3,4] 解析：不等式-x2十(a十2)x-2a>0 等价于x2-(a十2)x十2a<0.令x2 (a十2)x十2a=0,解得x=2或x= a.当a>2时，不等式x2-(a+2)x 2a<0的解集为(2，a),要想恰有1个 正整数解，则3<a≤4；当a=2时，不 等式x2-(a十2)x十2a<0无解，所以 a=2不符合题意；当a<2时，不等式 x2-(a十2)x十2a<0的解集为(a 2),要想恰有1个正整数解，则a<1.综 上，a的取值范围是(-o,1)U(3,4]. 一。能力提升练 3 1.A由千2>1， ,3一x一2>0，等价 x十2 于(x十2)(x-1)<0,解得-2<x< 1,所以p:-2<x<1,又q:-2≤x< 1,所以由p推得出q,故充分性成立；由 q推不出力，故必要性不成立，所以力是q 的充分不必要条件.故选A. 2.B由x-1<1得0<x<2,由 x2<x得0<x<1,所以“|x一1 1”是“x2<x”的必要不充分条件.故 选B. 3.D解不等式x2一2x-3<0,得-1< x<3,即A=(-1,3),解不等式 -2<0,得-3<x<2,即B=(-3. x十3 2),所以A∩B=(-1,2).故选D. 4.C不等式x2一ax十1<0的解集为 {xx1<x<x2,则x1和x2是方程 x2-ax十1=0的两根，则△=a2-4> 0,解得a>2或a<-2,有x1十1= ax1x2十1=ax2x1十x2=a, x1x2=1,(x1-1)2十(x2-1)2=x1- 2x1十1十x-2x2+1=ax1-2x1十 a.x2-2x2=(a-2)(x1十x2)=a(a 2)=3,即a2-2a-3=0,解得a=3或 a=一1（舍）.故选C. 5.C设矩形中长为xm的边的邻边长为 ym,则由三角形相叙知，后=00己之。 所以y=40一x,因为xy≥300，所以 x(40-x)≥300，即x2-40x+300≤ 0,解得10≤x≤30.故选C. 6.D作出函数f(x) y 的图象如图所示， 关于x的不等式 [f(x)]十af(x)< 0,当a>0时， -a<f(x)<0,由 2 y=fx) 于关于x的不等式 [f(x)]2+af(x)< 0恰有1个整数解， -4 因此其整数解为3， 又f(3)=-9十6=-3，所以-a< -3<0,-a≥f(4)=-8,则3<a 8,所以实数a的最大值为8.故选D. 7.BCDf(1)=15>3;当n≥2时， f(n)-f(n-1)=n(n十2)(6-n) (n-1)(n+1)(7-n)=-3n2+11n+ 7,令-3n2+11n+7>3,故3n2-11n 4<0,解得-3<n<4,又n∈N, n≥2，所以n=2,3.故选BCD. 8.BC对于A,f(1,3)=1×(1-3)= -2,f(3,1)=3×(1-1)=0,即f(1, 3)≠f(3,1),故A错误；对于B,f(a, a)=a(1-a)=a-a2=-（a2-a+ 11211 B正确；对于C,f(x一a,x)=(x一 a)(1-x)=-x2十(a十1)x-a≤ -a+4恒成立，即x2-(a+1)x+4≥ 0恒成立，则△=(a+1)2-16≤0，解 得一5≤a3,即实数a的取值范围是 [-5,3],故C正确：对于D,x2一(a+ 1)x十4≥0恒成立，令y=-Q.x+x2 x十4(a>0),当x>0时，该函数看成 关于α的一次函数，函数单调递减，不可 能恒大于0，当x=0时，y=4≥0成立， 当x0时，该函数看成关于a的一次函 数，函数单调递增，当a=0时，y=x2 4==(：)” >0,则实数x的取值范国是（一6∞， 0],故D错误.故选BC 9.(-2,6) 解析：由题意关于x的不等式x2十ax十 a+3>0的解集为R,则△=a-4(a+ 3)<0,解得-2<a<6,即实数a的取 值范围是（一2,6）. 10.4(-∞，-2] 解析：由题可知一1和3是方程一2x2十 2=6 2 bx十c=0的根，即 解得 -3=一 2 b=4,所以f(x)=-2x2+4虹+6. c=6, 所以不等式f(x)十t≤4可化为t 2x2-4x-2,x∈[-1,0].令g(x)= 2x2-4x-2,x∈[-1,0]，由二次函数 的性质可知g(x)在[一1,0]上单调递 减，则g(x)的最小值为g(0)=一2，则 t-2. 11.(-3,-1)U(1,2) 解析：若关于x的不等式 三士2<0的解条为(-1，-吉)U x+c (分小，则关于x的不￥式年 kx bx+1 cx十1 <0可看成前者不等式中的x 用二代替，则∈(-1-号)U (分)到x∈(-3-DU1.2 故解集为(-3，-1)U(1,2). 12.{-1,0,1,2,3} 解析：由x-x-2>0,得x>2或 x<-1,由x2十(3-k)x-3k<0,得 (x十3)(x一k)<0,当k=一3时， (x十3)2<0，无解，不合题意；当k< 一3时，k<x<一3，则原不等式组的解 集中不包含一2，不合题意；当k>一3 时，一3xk,因为原不等式组的解 集中只有一个整数一2，如图，结合数轴 可知，一2<k≤3，k∈Z,所以kE {-1,0,1,2,3}. -5-4-3-2-1012345x 13.解：由题意知，对于甲车，有0.1x 0.01x2>12,即x2+10x-1200>0, 解得x>30或x<-40(不符合实际意 义，舍去)，这表明甲车的车速超过 30 km/h. 但根据题意知刹车距离略超过12m, 由此估计甲车的车速不会超过限速 40 km/h. 对于乙车，有0.05x十0.005x2>10, 即x2+10.x-2000>0,解得x>40 或x<一50（不符合实际意义，舍去）， 这表明乙车的车速超过40km/h,即超 过限速. 故甲车没有超速现象，乙车有超速 现象。 14.解：(1)当a=5时，y=5x2+9x-2= (5x-1)(x+2), 则y≤0px∈-2,5」 17 (2)y=a.x2+(2a-1)x-2=(a.x- 1)(x+2), 若a=0,则y>0→x<-2: 若a>0,则y>09x>1或x<-2: 若-2<a<0,则片<-2，此时y> 0→1<x<-2: 若a=合此时y=x+2)> 0→x∈0； 若a<合，则日>2，此时y> a 0-2<<日 综上所述，a=0时解集为（一∞，一2）， a>0时解集为（一∞，一2）U (合，+)，-专<a<0时解集为 (仔，-2)0=一名时解集为， 147 a<- 号时解集为(2，) (3)由题意可知y=x(x十2)a一(x十 2)>0对任意a∈(0,1)恒成立， 所以{厂x+2)≥0， z(x+2)-(x+2)≥0，解得 x∈(-∞，-2]. 第二章 函数 考点练6函数的概念及其表示 。基础巩固练 1.B若1不在函数f(x)的定义域内， y=f(x)的图象与直线x=1没有交 点：若1在函数f(x)的定义域内，y f(x)的图象与直线x=1有1个交点. 故选B. 2.C对于A,g(x)=「x,与f(x)的对 应关系不同，故不是同一个函数，A错 误；对于B,f(x)的定义域为{xx≠ 0},g(x)的定义域为{xx>0},两函 数定义域不同，故不是同一个函数，B错 误；对于C,f(x)=lne=x与g(x) x的定义域相同，对应关系也相同，故是 同一个函数，C正确；对于D,f(x) sinx,g(x)=-sinx,f(x)与g(x)的 对应关系不同，故不是同一个函数，D错 误，故选C. 3.Cf(2)=1og(22-1)=1,故f(f(2)= f(1)=2e-1=2.故选C. 4.A由题设有y=40-2x,由 x十x>40-2x,得10<x<20.故选A (40-2x>0, 5.B由已知可得f(π)=f()十m= f(0)十2m=sin0十2m=1,所以m= 之.故选B. 6.D因为函数f(x)=3.x十1的定义域 为A,值域为B,所以当x=1时， f(1)=3十1=4；当x=2时，f(2)= 6十1=7；当x=3时，f(3)=9十1 10:当x=k时，f(k)=3k十1.所以 B={4,7,10,3k+1.又B={4,7,a1, a2十3a1,所以若a2十3a=10,解得a= 2或a=一5，因为a∈N",所以a=2. 此时B={4,7,16,10},所以3k十1= 16,则k=5:若a1=10,又a∈N”,所 以不成立.综上，a=2,k=5.故选D. 7.BD对于A,因为f(x)= {x十2，x≤-1，。所以f(x)的定义 x2,-1<x<2, 域为(-∞，-1]U(-1,2)=(-∞，2)， A错误：对于B,当x≤一1时，x十2≤1， 当-1<x<2时，0≤x2<4,f(x)的 值域为(-∞，1]U[0,4)=(-∞，4)，B 正确：对于C,因为f(x)= x十2，x-1, x2,-1<x<2 所以f(1)=1= 1,C错误；对于D,当x≤一1时，由 f(x)=3,得x十2=3，解得x=1(舍 去)，当一1<x<2时，由f(x)=3,得 x2=3,解得x=V3或x=一V3(舍 去)，综上，x=√3，D正确.故选BD. 8.AC令t=Wx+1≥1，得√x=t-1, 则x=(t-1),得（√x十1） f(t)=2t2-3t,故f(x)=2x2-3x, 参考答案