第1章 考点练4 基本不等式-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

如>0≥0=（），因 为a>b>1,所以8>1，又0<c<1, b 所以0<（台）<1，所以a<ab, 故C错误；对于D,因为y=logx在定义 域上单调递减，所以loga<logb<0, 1 log.c= a,logc=10gb,故1og.c> log a logc,故D正确.故选D. 6.D为简便起见，复用A,B,C,D表示 A,B,C,D四个同学的年龄，则A>0, B>0,C>0,D>0.由题意得A十C= B十D①，C+D>A十B②，B>A+ D③.①+②得C>B,①十③得C> 2D,②十③得C>2A,由于A>0,D> 0,故由③得B>A,B>D,由①得C B=D-A,.C>B,..C-B 0,.D-A>0,.D>A.综上，C B>D>A.故选D. 7.A因为a>b>c,2a十b十c=0,所 以a>0,c<0,b=-2a-c,因为a> b>c,所以-2a-c<a,即3a>-c,解 得￡>-3，将b=-2a-c代入b>c 中，得-2a-c>c,即a<-c,得C< -1,所以-3<￡<-1.故选A 8.A由已知GF∥BC,所以△AGFC∽ △ABC,即GF=AG 中=管，所以=b, a +6,所以1 解得d=ab 12 误；例如Q=3,b=4,则d=7 √a+b=5,显然√a+b≠a十 b一d,D错误；例如a=3,b=4,则 瓜=厘-26,2d=2x号-头 26>24 ，√ab>2d,B错误；因为0< a≤b,所以2b≥a十b,即2ab≥a(a十 、b)2a2≥a,即2d≥a,又a+b≥】 2a6,所以2d=2ab三 2ab a+6≤ 2ab √ab,所以a≤2d≤√ab,当且仅当 a=b时取等号，A正确.故选A. 9.ABD因为a十b十c=d+e+f,a十 b+e>c+d+f,所以e-c>c-e,所 以e>c,又因为a十b十c=d十e十f, a十b+f<c十d十e,所以c-f>f- c,所以c>f,所以e>c>f,所以C错 误；又因为a十e<b,所以a<b,e<b, 所以b>e>c,b>e>f,b>c>f均 成立，所以A,B,D正确.故选ABD. 10.ABC对于A,由a>b>0,2>0,知 0<1 1 2 。堂一二—，纹A正确；时 于B,因为a>b>0,所以a-b>0, 所以a3-b3-a2b+ab2=a2(a-b)+ b2(a-b)=(a-b)(a2+b2)>0,即 a3-b3>a2b一ab2,故B正确；对于C, 当a<b<0时，由a2-ab=a(a b)>0,得a2>ab,又ab-b2=b(a b)>0,则ab>b2,故a2>ab>b2,故 C正确；对于D,当a=一2，b=一1时， a2十a>b2十b,D中不等式不一定成 立，故D错误.故选ABC. 11.BD函数y=2,y=3,y=一x在 同一坐标系中的图象如下： +y=3 =2 y=-x -2-10 1 2 -1 所以一1<a<b<0,所以2<2， 3<3,0<-b<-a,所以-b· 2<-a·2,-b·3°<-a·3, 所以a·2<b·2“,b·3>a·3.故 选BD. 12.ABC对于A,由a2-b2=1,得(a+ 1)(a-1)=a2-1=b>0,而a>0, 则a+1>a-1>0,因此b2=(a+ 1)(a-1)>(a-1)2,即b>a-1,即 a-b<1,A正确；对于B,由a-V万= 1,得√a=1十Wb>1,即a>1,又a b=(√a+√b)(√a-√b)=√a+√b> √a>1,B正确：对于C,令a= 20s, b=5sim90<0<空，则a十6= os0+6sin0=ng+e. 1 2 其中锐角p满足sinp= ,c0s9= 5,显然<0十9< 十9，因此当 0十9=受时，a十)=.C正 2 1 确对于D,由。一b =1,得b= ,a>0,则0<a<1,b-a=-1十 1-a +1-a-1=-2+1-a +1- 1-a 1 a,当1-a=4,即a= 3时，一2十 1 1-a >1,即6-a>1. +1-a=4 D错误.故选ABC 13.a <ab'<ab 解析：因为-1<b<0,所以0<b< 1,又因为a<0,所以a<ab2<0< ab,所以a<ab2ab. 14.[2,10] 解析：设4a十2b=A(a十b)十B(a- 6,可得食±8二2善好合二对 4a十2b=3(a十b)十a-b,因为 1≤a十b≤3， 1≤a-b31,可得 13≤3(a+b)≤9，所以2≤4a十 -1≤a-b≤1， 2b≤10. 143 15.①→②（答案不唯一） 解析：0中日>方>0.所以a>0, 故①等价于b|>a>0:②等价于 b2>a2,a≠0，即|b1>a1,a≠0； ③等价于b>|a-1;④等价于b> a2十1；⑤等价于b>a-1.①可以推 出②，因为当b>a>0时，b> a=a,故b>a”;③可以推出⑤， 因为当b>a-1时，b>a-1≥ a一1，故b>a一1：④可以推出③，因 为当④成立时，根据基本不等式，b> a2十1≥2a>|a-1,故③成立： ④可以推出⑤，由“④→③”与 “③→⑤”都成立可得 16.①③④ 解析：不妨设a≥b≥c>0,b十c>a, 对于①，因为a≥b≥c>0,所以√a≥ √6≥E>0,又(6+E)-a= b+c-a+2√bc (E+√E+√a) >0,所以①正确； 对于②，若a=4,b=3,c=2,满足条 件，但b2十c2<a',不能构成三角形， 所以②错误；对于③，由假设易知 生≥生≥ 2 +c>0,又 2 (生生)-安=c>0.所以 2 ③正确：对于④，由假设易知c一a十1 最大，又|a-b+1>0,b-c十1> 0,c-a+1>0,(a-b+1)+(b c+1)-(c-a+1)=(a-b+1)十 (b-c十1)-(a-c十1)=1>0，所以④ 正确. 考点练4基本不等式 。基础巩固练。 1.B因为x>0,则f(x)=x十4元 1 1≥2√红·4证十1=2，当且仅当x= ，即红=号时，等号成立，所以当里仅 Ax 当x=2时，f(x)有最小值2故选B 2.Da2+2b2≥2√/2ab=2√/2X22= 4W2,当且仅当a2=2b2时，等号成立.故 选D. 3.D由AC=a,BC=b,可得圆O的半 径为r=OF=名AB=“之中，又由 2 OC=OBBC=&6-b=a).在 2 Rt△OCF中，可得FC2=OC2+OF2= )+告-为 2 OF≤FC,所以a+b a+b 2≤√2 -,当 且仅当a=b时取等号.故选D. 4.Axy=36 1(4红+y)= 4).(9w)≤52 子当且仅当=是y=言时取等子。 3 即y的最大值为子故选A 参考答案 5.C7=(a+2b)2-ab=(a+2b)2- 2a·26≥(a+2b)2-号(e+20) 2（2-/ 7(a十2b)2 8 ,当且仅当a=2b=√2时， “=”成立，则(a十2b)2≤8，又a,b∈ (0,十∞)，所以0<a十2b≤2√2，所以 a十2b的最大值为2√2.故选C. 6.D若x>0,y>0且x+y=xy,则 xy=x十y>y,即有x>1,同理可得 ; y>1,由x十y=xy,得(x-1)(y- ”1是得产兴1十 1 7=3+(1 + 2)≥3+2=3+ 12 x一1=y1·即x} 22,当且仅当1 1×2 y=1十V巨时取“=”，所以 子十马的成小佳有3+2，长港n 7.ADa>0,b>0,M=+b ab =6+ 名≥2份·吾=2，当里仅当 b 日，即a=b时，等号成立，A正确，B错 误：又a>06>0时.() = a2+b+2ab≤a2+b 4 2,即+6 2 a+b 至所以N-图 当且仅当a=b时，等号成立，C错误，D 正确.故选AD. 4e1 241 8.ABC+13e+13,图i 为e十≥2（当且仅当工=0时等号 成立)，所以0<1 ≤之，所以0< 工≤2，所以- 4 4 e十 3 1 e e十 .5 厂4e17 3≤3，所以gx)=e十13」 的值可能为一1,0,1.故选ABC. 9.3 解析：由题意y=一x十」 x-1 (x2-2x十1)+(x-1)+1 x-1 (x-1)+(x-1)+1=x-1+ x-1 十1，因为x>1,所以y=x-1十 1 1 =+1≥2Wx-1)·+1= 3.当且仅当x一1=即x=2时 等号成立，所以函数y=二t十1的 x-1 最小值为3. 红对勾·高考一轮复习金卷数学 10.m8 解析：因为a+2b十1=(a+b+b十 1 1(66）=5+公》 a+b 8≥+√君晋 =9, 所以a十2b≥8，当且仅当4(6+1) a+b %十，即a=4b=2时，等号成立，你 题意需满足m≤(a十2b)mim=8,所以 m8. 1.x≤a+6 2 解析：依题意(1十x)2=(1十a)(1+ b),所以1十x=√(1十a)(1十b) 1十a十1+b=1+a十b,所以x≤ 2 2 a十b,当且仅当a=b时等号成立. 2 2.7 解析：方法一因为xy十x一2y=4, 所以(y十1)x=4+2y,解得x= 2y+2+2=2+ y+1 y+7故2x十y= 4 4+ y+1 +(y+1)-1≥3+ 74 2√y十0)+1)=7，当且仅当 y十1=y十1，即y=1,x=3时等号 4 成立 方法二因为xy十x一2y=4,所以 (x-2)(y+1)=2,且y+1>0,故 x-2>0,故2x+y=2(x-2)+(y十 1)+3≥2√/2(x-2)(y+1)+3=7, 当且仅当2(x-2)=y十1，即y=1, x=3时等号成立. 3.证明：(1)因为a,b,c均为正实数，且满 足a十b+c=3, 所以（√a+√c)2=a十c十2√/ac≤ 2(a+c), 所以√a十√≤2(a十c)= √2(3一b),当且仅当a=c时取得 等号 则√ab+√c=√b(√a+E)≤ V258-D≤56+3-b)=3, 2 2, 3 当且仅当b= 2a=c= 3时取 得等号. (2)因为a,b,c均为正实数，且满足a+ b十c=3, 所牛≥ a'b+c a,当且仅当2a=b十c时取得等号， 同理可得 +十0≥b,当且仅当 c十a 4 2b=a十c时取得等号， c2 a+b +a+b≥c,当且仅当2c=b+ 4 a时取得等号， 则上面三式相加可得十c十c十a a 十 a于方≥a十6十c三多（当且仅当a甲 2 b=c=1时取得等号). 144 14.解：由题意知1=32-11<上< 3),每件产品售价定为32×150%十 设该公司的月利润为y万元，则y= (48+云)-82x-8-1=16x 45.5- 17 [16(3-x)十3-x] ≤45.5 2163-)‘g=45.5-2压 37.5, 当且仅当163-z)=3即x= 头时取等号。 答：该公司最大月利润为37.5万元. —即能力提升练。 1.D:z>0y=+x+25=x十 ,25 25+1≥2z· +1=11,当且仅当 工=25，即工=5时，等号成立，函数 y=十工+25的最小值为1，故 选D. 2.B因为等比数列{an}的公比为q,且 1 1 a5=1,所以a3= -ga:-qa-q 1 a6=q,所以a3十a7= 2 2√行g=2当且仅当行=g,即 q=士1时取等号，故A正确；a1十a6= +g,当q<0时a1十a:<0,故B错 误；a,-2a6十1=g2-2g十1=(g- 1)≥0，故C正确，1+1=a1十a a1a9a1·ag a十a=a1十a,故D正确.故选B 3.Ba>0.6>082≥而，当 且仅当a=b时等号成立，若√ab≥6， 期“≥V历≥6，故历≥6= “之≥6，两≥6无法0出 2 画≥62≥6”是“v而≥6 的必要不充分条件，故选B. 4.B对于A,B,由题意不妨设x1<x2, 因为函数y=2是增函数，所以0< 21<22,即0<y1<y2,可得 12 2+22>√202万=2，即 2 12 4十2>2，>0，又函数y=10g:t 2 是增函数，所以1og1十少2> 2 中_十，故B正确A错 10g22 2 误：对于D,例如x1=0,x2=1,则y1= 3 1y:=2,可得1og,y1y2三10g2 2 (0,1),即10g1y<1=x1十x,故 2 D错误；对于C,例如x1=一1，x2= 1 一2，则1=之=有可得 og4专2=6g:g=log3-3∈ 2 (-2,-1),即10g.y>-3=x1十 2 x2,故C错误.故选B. 5.B将|2ze1十ve2=2两边平方，得 |2xe1+ye212=4x2+y2+4xve1· e2=4x2十y2-2xy=2,所以(2x十y)2 2=w<s()'-32少 得-2W2≤2x十y≤2√2，当且仅当 2x=y=√2时，2x十y取得最大值，满 足题意.故选B. 6.B因为a>-2,b>0,则a十2>0，因 为a十2b=3,则(a十2)十2b=5,所以 2a十b十4+ 2a+32+4 2 5 a+2 b a+2 b 2 5： a+2 6=2a+2)十6 1 173 ,=[(a+ 2)+2b]·L2a+2 Γ1 17 3 b」 「2 b ++2+4≥2a2 b.a+2 a+2十b b 4=6,当且仅当 b 十2 =,即a= 5 3b=3 时，等号成立，故 ab+号的最小值为6，故选B a+2 7.ABD对于A,loga一log1b=loga十 1e6=eab≤g(e生） =0,当且 仅当a=b=1时取等号，A正确；对于B, g+4章=2+2≥222 2√2=4，当且仅当a=b=1时取等 号，B正确：对于C,a2十b2= (a+b)'+(a-b)y 2 y≥2a+b=2当 且仅当a=b=1时取等号，C错误；对于 1 D,2a+ba+26二6[(2a+b)+(a +碧》 +) 1 号，当且仅当a=6=1时取学号，D正 确.故选ABD. 8.AB对于A,L(a,b)=后十6 1 店+店 V历≤La6)=告，当且仪当 Q=b时，等号成立，故A正确；对于B, 2ab Lo (a,b)= 2 1 而Ga,当且仅当a=b时，等 号成立，故B正确；对于C,L2(a,b)= a2+b2 =Q2十6+a2+ -≥ a+b 2(a+b) 2然 2(a+b) 2 知，L,a,b)≥ab=L1ab,故D不 2 正确.故选AB. 9.4 ”解析：由x十y=1,可得x十1+y+2= 4,则1 9 y+2 1(1 4x+1 9 y+2)x+1+y+2)= 1+9+ 4 义+29(x+1]≥110+ x+1 y+2J /y+29(x+1)7 2√+1:y2 =4,当且仅当： y十2=3(x十1)，即x=0,y=1时取 等号， 10.4+2√3 解析：由x>0,y>0,x十2y=1,可得 (x十x十2y)(x+3y) 2xy (2x+2y)(x+3y)_x2+4zy+3y2 2xy xy 层·型+4=4+ +3y+4≥2√yz (x 2√，当且仅当y 即 x十2y=1, 红=25二3时，等号成立，所以 y=2-√3 (工十1)(x十3y2的最小值为4+25. 2xy 11.8+55 解析：令t=a十b,因为a>0b>0, 所以1>0，则上十6=16-，所以 46)=a+b)(日十方=5时 ≥+2号 ,b.4如=9，当且仅 当6=A0,即b=2a时等号成立，所 以t(16-t)≥9，即t-16t+9≤0，解 得8-√5⑤≤t≤8十√55，所以a十b 的最大值为8十√55. 12.3 解析：工十y 4 y ,令 1+ x 4 t=y0,则十之=1+t x十yx 4 =1+1+1中1≥ 2+0·千-1=8含且收当 145 4 1十t= 1+t ,即t=1,也即x=y时 等号成立.故 十义的最小值为3 x十yx 3.解：(1)设甲工程队的总报价为y元，依 题意，左、右两面墙的长度均为xm(2≤ x4), 则屋子前面新建墙体长为2m, 则y=3(50×2z+40×)- 720=900(x+16）+7200≥900× 2,2.5+7200=1440, 当且仅当x=5,即x=4时，等号 16 成立， 故当左、右两面墙的长度为4m时，甲 工程队的报价最低，为14400元. (2)由题意可知，900(x+）+720> 900a(1十x） 对任意的x∈[2,4]恒 x 成立， 即 (x+4)2 a(1+x) 所以 x T +>a,博a<[+门 (x+4)9 (x十4)2 x+1 =x十1十x十1 9 +6≥ +· 9 2/0 十6=12， 当且仅当x+1= 9 ,即x=2时， 等号成立，所以 x十4) 的最小值 x+1 为12， 即0<a<12, 所以a的取值范围是(0,12). 4.解：(1)证明：因为a十b十c=3,且a, b,c都是正数， 所以 +,1+ a+bb+c 。=ta )+h+c)+c+a(a方 6十十a)=[3+( )+(生后+)+（会 8]≥日×3+2+2+2)=名， 3 当且仅当a=b=c=1时，取等号， 所以。十方◇ (2)因为a十b+c=3, 所以(a十b+c)2=a2+b2十c2+2ab+ 2bc+2ca≤3(a2+b2十c2), 因此a2十b2十c≥3（当且仅当a= b=c=1时，取等号)， 所以(a2十b2十c2)m=3, 由题意得-x2十mx十2≤3恒成立， 即x2-1x十1≥0恒成立， 因此△=m2-4≤0→-2≤m≤2. 故存在实数∈[-2,2]使不等式 -x2十m.x十2≤a2十b2十c2恒成立. 参考答案考点练4基本不等式 CHU GONGGU LIAN 基础巩固练 ●答案：143页 一、单项选择题 12025·北京道州区期中)已知两数f()=x十石+1>0.测 ( A.当且仅当x-时，f(x)有最小值号 B.当且仅当x=号时，f(x)有最小值2 2 C.当且仅当x=1时，f(x)有最小值多7 D.当且仅当x=1时，f(x)有最小值2 2.若实数a,b满足ab=2,则a2+2b2的最小值为 A.2 B.2√2 C.4 D.4√2 3.(数学文化)《几何原本》卷2的几何代数法（以几何 方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问 题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或 A 定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示 图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB,设AC= a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为 () A士≥历a>06>0 B.a2+b2≥2√ab(a>0,b>0) C.Jab (a) D.t a2+b 2 2≤N2 (a>0,b>0) 4.(2025·福建厦门期中)已知x>0,y>0,且4x+9y=6,则xy的 最大值为 () A C.1 D.2 5.已知a,b∈(0，+∞)，且a2+3ab+4b2=7,则a+2b的最大值为 () A.2 B.3 C.22 D.3√2 6已知x>0w≥0且x十yy则十的最小值为 A.3 +6 C.3+√6 D.3+2√2 二、多项选择题 ab,N=Vat 7.设a>0,b>0,已知M=a+b, a+b ，则下列说法正确 的是 () A.M有最小值 B.M有最大值 C.N有最大值为二 2 D.N有最小值为 2 8.(数学文化)高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以他 的名字命名的“高斯函数”是数学界非常重要的函数.“高斯函数” 为f(x)=[x],其中x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.例如 「4e 17 [2.1]=2,则函数g(x)= 的值可能为 () A.-1 B.0 C.1 D.2 三、填空题 9.若x>1,则函数y=工一x十1的最小值为 x一1 1 0.已知正实数a,b满足。6+2十1，不等式m≤a+2弘恒成立 则实数m的取值范围是 11.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率 为6，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值“士的大小关 系为 12.已知x>0,y>0,且xy+x-2y=4,则2x+y的最小值 是 四、解答题 13.已知a,b,c均为正实数，且满足a+b+c=3.求证： )ab+bc≤3y2: 四+年+ 3 2 第一章集合、常用逻辑用语、不等式007 14.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商 业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2024 年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.通过 几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的 费用t万元之何满足函数关系式x=3二已知网店每月固定 的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每 件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店 体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润. 0082对勾·高考一轮复习金卷数学 NENGLI TISHENGUAN 能力提升练 答案：144页 一、单项选择题 1.设x>0,则函数y=+x+25的最小值为 ( A.6 B.7 C.10 D.11 2.已知等比数列{an}的公比为q,且a5=1,则下列选项不正确的是 () A.a3+a7≥2 B.a4+a6≥2 C.a7-2a6+1≥0 D.1+1 =a1十a 3.设a>0,b>0,则a十b 2 ≥6”是“√ab≥6”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2024·北京卷)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2的图象上两个 不同的点，则 () A.log2 y1+y2<1+x2 2 2 B.1ogy1十业>1十x 2 2 C.l1og,y1十y2<x1+x2 2 D.l1og十y>x1+x 2 5.已知ee,为平面的单位向量，且其夹角为经若12xe,十e: √2(x,y∈R),则2x十y的最大值为 () A.23 B.2√2 C.-√3 D.-23 6.已知a>-2,b>0,a+2b=3,则2a+6+4 a+2 的最小值为 b ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 二、多项选择题 7.已知正数a,b满足a十b=2,则 ( A.log3a-log1b≤0 B.20+4≥4 C.a2+b2≤2 D2十6+a+%≥号 1 1 3 8.(数学文化)设a,b为两个正数，定义a,b的算术平均数为A(a,b)= 《2,几何平均数为G(a,b)=ab.20世纪50年代，美国数学家 D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即L(a,b)= ap+b° a1十b,其 中p为有理数.下列结论正确的是 () A.Lo.5(a,b)≤L1(a,b) B.Lo(a,b)≤G(a,b) C.L2(a,b)≤A(a,b) D.Lw+1(a,b)≤Ln(a,b) 三、填空题 9.(2024·江苏南京潮末)已知非负数xy满足x十y-1,测，十1十 9。的最小值是 y+2 10.已知r>0,y>0,z+2y=1,则x+1)x+32)的最小值 2xy 为 1.已知正数a,6满是a十6十是+看=16，则a十6的最大值 a 是 12已知实数x>0y>0则，仟，十兰的最小值是 四、解答题 13.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原 有墙体，建造一面高为3m,底面积为12m2,且背面靠墙的长方体 形状的保管员室，保管员室的后背靠墙，无需建造费.甲工程队给 出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、 右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他 报价共计7200元，设屋子的左、右两面墙的长度均为xm(2≤ x≤4). (1)当左、右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价 为900a1+x)元(a>0),若无论左，右两面墙的长度为多少米， 乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围. 14.已知a+b+c=3,且a,b,c都是正数. (1)求证：1， 3 atb+bfe+cta (2)是否存在实数m,使得关于x的不等式一x2+mx+2≤a2+ b2十c2对所有满足题设条件的正实数a,b,c恒成立？如果存在， 求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.