专题06 网格作图题与相似形综合压轴题专练（期末复习专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题06 网格作图题与相似形综合压轴题专练 题型1 相似网格作图题（常考点） 题型2 相似形综合压轴题（重点）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 相似网格作图题（共10小题） 1．（2024秋•镇海区期末）由小正方形组成的5×5的网格中，△ABC的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作AC边上的中线BD； （2）若点E是BC上一点，使得，则 ，并在图上画出点E． 【分析】（1）利用网格特征作出AC的中点D，连接BD即可； （2）取格点P，Q，连接PQ交BC于点E，可以证明△PCE∽△QBE，推出EC+EB＝PC：QB＝2：3． 【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：，如图，点E即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2024秋•宁波期末）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段AB上找一点D，使BD：DA＝1：2． 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； （2）取格点E，连接CE，交AB于点D，则点D即为所求作的点． 【解答】解：（1）点E即为所求作的点，如图1.1，1.2： ∵，∠BCA＝∠CAE＝90°， ∴△ABC∽△ECA； ∵，∠BCA＝∠ACE＝90°， ∴△ABC∽△EAC； （2）点D即为所求作的点，如图2： ∵AE∥BC， ∴△ADE∽△BDC， ∴， 即BD：DA＝1：2． 【点评】本题主要考查了作图﹣相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 3．（2024秋•海曙区期末）在3×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺按要求分别画出图形． （1）在图1中作射线BD交AC于点D，使∠ABD＝∠CBD； （2）在图2中作直线BE交AC于点E，使AE：CE＝2：3． 【分析】（1）取格点J，作射线BJ交AC于点D，射线BD即为所求； （2）取格点K，连接BK交AC于点E，点E即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，射线BD即为所求； （2）如图2中，点E即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 4．（2024秋•江山市期末）在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC，相似比为1：2，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与△ABC相似的最小格点△FGH． 【分析】（1）结合相似三角形的判定与性质画图即可． （2）作三条边长分别1，1，的三角形即可． 【解答】解：（1）如图1，△ADE即为所求． （2）如图2，△FGH即为所求． 【点评】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 5．（2024秋•北仑区期末）在7×7的方格纸中，用无刻度的直尺作图． （1）在图1中找到△ABC外接圆的圆心O（保留作图痕迹）． （2）在图2中画出△DEC，使得△DEC∽△ABC，且相似比为（△DEC的顶点均在格点上，画出一个即可）． 【分析】（1）分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所求． （2）根据相似三角形的判定与性质画图即可． 【解答】解：（1）如图1，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O， 则点O即为所求． （2）如图2，△DEC即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题考查作图﹣相似变换、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2024秋•温州期末）已知△ABC中，AB＝AC．完成下列尺规作图，保留作图痕迹． （1）如图1，作△ADE，使△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1． （2）如图2，在BC上取一点D，使△DBA∽△ABC． 【分析】（1）由题意得△ADE与△ABC的相似比为2：1，结合相似三角形的判定与性质画图即可． （2）结合相似三角形的判定，作∠BAD＝∠C，交BC于点D，则点D即为所求． 【解答】解：（1）∵△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1， ∴△ADE与△ABC的相似比为2：1． 如图1，△AD'E'和△AD''E''均满足题意． （2）如图2，作∠BAD＝∠C，交BC于点D， ∵∠ABC＝∠DBA， ∴△DBA∽△ABC， 则点D即为所求． 【点评】本题考查作图﹣相似变换、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 7．（2024秋•婺城区期末）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，点P不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图1中作△ABC的中线CD； （2）在图2中作△ABC的高线BE； （3）在图3中的BC边上确定点Q，连结PQ，使得PQ∥AB． 【分析】（1）取AB的中点D，连接CD即可． （2）借助网格，根据三角形的高的定义画图即可． （3）取格点M，N，使CM∥BN，且CM：BN＝1：2，连接MN交BC于点Q，则点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图1，CD即为所求． （2）如图2，BE即为所求． （3）如图3，由图可得CP：AP＝1：2， 取格点M，N，使CM∥BN，且CM：BN＝1：2，连接MN交BC于点Q， 则点Q即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的性质、三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．（2024秋•诸暨市期末）如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）图①中，在边BC上找一点D，连接AD，使得△ACD面积为△ABC面积的； （2）图②中，在边BC上找一点E，连接AE，使得△ABE面积为△ABC面积的． 【分析】（1）先作BC的三等分点D，再连接AD； （2）先根据相似三角形的性质找到BC的四等分点E，再连接AE． 【解答】解：（1）如图①：AD即为所求； （2）如图②：AE即为所求． 【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握三角形的面积公式和三角形的性质是解题的关键． 9．（2024秋•瑞安市校级期末）如图，在6×6的方格纸中，已知△ABC是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图． （1）在图1中标出△ABC外接圆的圆心O． （2）在图2中画格点线段BD，使得BD把AC分为1：2的两条线段． 注：图1，图2在答题纸上． 【分析】（1）根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，结合网格，利用勾股定理找出点O，使得； （2）利用网格，在过点C且平行于AB的网格线上找到点D，使得CD＝4，即点C向上4个单位的点D，则，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，则可使得BD把AC分为1：2的两条线段． 【解答】解：（1）根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，可得如图，点O即为所求作； （2）如图，线段BD即为所求作． 【点评】本题考查了网格作图、三角形外接圆的圆心、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外接圆的圆心、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（2024秋•越城区期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图1、图2中点A，B，C在格点上） （1）在图1中，作△ABC的角平分线AE； （2）在图2中，以C为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的． 【分析】（1）利用网格特点确定BC的中点E，连接AE，则根据等腰三角形的性质得到AE平分∠BAC； （2）利用网格特点确定BC的中点E和AC的中点，连接DE，则△CDE与△CAB是位似图形，位似中心为C点． 【解答】解：（1）如图1，AE为所作； （2）如图2，△CDE为所作． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握位似的性质和画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质． 题型二 相似形综合压轴题（共12小题） 1．（2024秋•义乌市校级期末）如图，在矩形ABCD内放置5个大小相同的正方形，且E，F，G，H四个点分别在矩形的四条边上．要求AD﹣AB的值，只要知道下面哪条线段的长？（　　） A．CG B．AH C．FH D．BE 【分析】作FM⊥AD于点M，则四边形ABFM、四边形MFCD都是矩形，所以MF＝AB，DM＝CF，可证明△AHE∽△MFH，△CFG∽△MFH，则，，所以AHMFAB，DM＝CFMFAB，MH＝3CG，则AD﹣AB＝AD﹣（AH+DM）＝MH＝3CG，所以只要知道线段CG的长，即可求出AD﹣AB的值，于是得到问题的答案． 【解答】解：作FM⊥AD于点M，则∠FMH＝∠FMD＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABFM、四边形MFCD都是矩形， ∴MF＝AB，DM＝CF，∠CFM＝90°， 设每个正方形的边长都是m，则EH＝2m，HF＝3m，GF＝m， ∵∠EHF＝∠GFH＝90°， ∴∠AHE＝∠MFH＝90°﹣∠FHM，∠CFG＝∠MFH＝90°﹣∠GFM， ∵∠A＝∠FMH，∠C＝∠FMH， ∴△AHE∽△MFH，△CFG∽△MFH， ∴，， ∴AHMFAB，DM＝CFMFAB，MH＝3CG， ∴AH+DMABAB＝AB， ∴AD﹣AB＝AD﹣（AH+DM）＝MH， ∴AD﹣AB＝3CG， ∴要求AD﹣AB的值，只要知道线段CG的长即可， 故选：A． 【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（2024秋•越城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，点D为BC上一动点，以CD（CD）为边，作正方形CDEF，延长DE至G，以EG为边作正方形EGHP，使点H恰好落在AB上，所作两正方形把Rt△ABC分成如图所示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，则以下选项错误的是（　　） A．Ⅰ与Ⅱ的周长和为定值 B．Ⅰ与Ⅱ的面积和为定值 C．Ⅲ与Ⅳ的周长差为定值 D．Ⅲ与Ⅳ的面积差为定值 【分析】设CD＝c，GH＝d，延长HP交AC于Q，根据矩形的判定与性质用c，d表示出HQ和AQ，再根据平行线分线段成比例求出c+d的值，从而进行判断． 【解答】解：设CD＝c，GH＝d，延长HP交AC于Q，如图： ∴PQ＝DE＝CD＝c，DQ＝EP＝GH＝d， ∴HQ＝c+d，AQ＝b﹣（c+d）， ∵四边形EFCD和四边形GHPE均为正方形， ∴GH∥FP∥AC， ∴∠HQC＝90°， ∴HQ∥BC， ∴，即， ∴c+d， ∴Ⅰ与Ⅱ的周长和为4（c+d），为定值，故A正确，不符合题意； Ⅰ与Ⅱ的面积和为c2+d2＝（c+d）2﹣2cd，其中c+d为定值，cd取值不定，故B错误，符合题意； 连接CE，EH， ∵四边形CDEF和EPHG为正方形， ∴∠HEP＝45°，∠ECD＝45°， ∵EP∥CD， ∴∠EHP和∠ECD为同位角，即C，E，H共线， ∴∠HCB＝45°， ∴BH和AH为定值， ∴Ⅲ与Ⅳ的周长差为：AH﹣BH+（b﹣c+c+2d）﹣（a﹣c+c+2d）＝AH﹣BH+b﹣a，为定值，故C正确，不符合题意； Ⅲ与Ⅳ的面积差为：（b﹣c﹣d）（c+d）+cd﹣[（a﹣c﹣d）（c+d）+cd]（c+d）（b﹣a），为定值，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线分析段成比例以及矩形和正方形的判定与性质，根据平行线分线段成比例得出CD+GH为定值是本题解题的关键． 3．（2024秋•柯桥区期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，BD＝2DC，连结AD，点E在线段AD上，若∠BEC＝135°，则的值为 　 ． 【分析】过点E作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，则△APE∽△ABD，△AQE∽△ACD，所以，而BD＝2DC，则，所以PE＝2EQ，推导出EQPQ，由∠BAC＝90°，AB＝AC，得BCAC，可证明AP＝AQ，则BP＝QC，再证明△PBE∽△QEC，得，则QC2＝2EQ2，所以QCEQPQ，推导出PQAQ，EQQC，则QCAC，EQAC，再证明△CEQ∽△BCE，得，则CE2＝EQ•BCAC2，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：过点E作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，则△APE∽△ABD，△AQE∽△ACD， ∴， ∵BD＝2DC， ∴， ∴PE＝2EQ＝PQ﹣EQ， ∴EQPQ， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠APQ＝∠ABC＝45°，∠AQP＝∠ACB＝45°，BCAC， ∴∠BPE＝∠EQC＝135°，∠APQ＝∠AQP， ∴AP＝AQ， ∴BP＝AB﹣AP＝AC﹣AQ＝QC， ∵∠BEC＝135°， ∴∠QEC+∠PEB＝45°， ∴∠PBE+∠PEB＝∠APQ＝45°， ∴∠PBE+∠PEB＝∠QEC+∠PEB， ∴∠PBE＝∠QEC， ∴△PBE∽△QEC， ∴， ∴QC2＝2EQ2， ∴QCEQPQPQ， ∵PQAQ，EQQC， ∴QCAQAQ（AC﹣QC）， ∴QCAC， ∴EQACAC， ∵∠CQE＝∠BEC＝135°，∠CEQ＝∠BCE， ∴△CEQ∽△BCE， ∴， ∴CE2＝EQ•BCACACAC2， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 4．（2024秋•义乌市期末）如图，P是△ABC边BC上一点，且，PA⊥BA，若AB＝6，，则BC＝ 　 ． 【分析】作EC⊥AP交AP的延长线于点E，则AB∥EC，∠PAB＝∠E＝90°，所以△APB∽△CPE，则，因为AB＝6，AC，所以ECAB＝4，求得AE15，则APAE＝9，EPAE＝6，所以BP，PC，则BC，于是得到问题的答案． 【解答】解：作EC⊥AP交AP的延长线于点E， ∵PA⊥AB，， ∴AB∥EC，∠PAB＝∠E＝90°， ∴△APB∽△CPE， ∴， ∵AB＝6，AC， ∴ECAB3＝4， ∴AE15， ∴APAEAE15＝9，EPAEAE15＝6， ∴BP，PC， ∴BC＝BP+PC， 故答案为：． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．（2024秋•长兴县期末）《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题，是测量城池、山高和井深的测量问题，这种测量方法称为“重差术”（图1），“重差术”起源于魏晋时期刘徽的“日高图”，他曾用此方法测量太阳的高度．某天小浔偶然翻阅到“重差术”这一章，一时来了兴趣便开始了研究，请你帮助小浔完成这个研究． （1）如图2，为了测量教学楼的高度AB，小浔将一个直角三角尺放置于地上，并使得A、C、E在同一直线上，AB⊥BE，若测量得BD＝9米，CD＝1.4米，DE＝1米，请帮助小浔计算楼高AB的长． （2）“重差术”介绍了古人测量太阳高度的一种方法．如图3，为了测量太阳（点A）的高度，在相距1000米的D、G两地分别直立一根旗杆，旗杆长2米，分别测得旗杆的影子长GH和DE，便可计算太阳的高度，小浔发现图中有两组相似三角形，根据△AIF∽△FGH，可以求出的值，又根据△AIC∽△CDE，可得的值，设影子长GH＝a，DE＝b； ①请分别用a和b的代数式表示和． ②若a＝2.4米，b＝4米，计算“太阳”的高度AB． 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到AB∥CD，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）①连接CF并延长交AB于I，则BI＝FG＝DG＝2米，FG＝DG＝1000米，FI＝BG，根据相似三角形的性质即可得到结论； ②把a＝2.4米，b＝4米，代入得到，，求得AIFI，AI（IF+1000），解方程得到FI＝1500，求得AI＝1250米，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵CD⊥BE，AB⊥BE， ∴AB∥CD， ∴△ECD∽△EAB， ∴， ∵BD＝9米，CD＝1.4米，DE＝1米， ∴， ∴AB＝14， 答：楼高AB的长为14米； （2）①连接CF并延长交AB于I， 则BI＝FG＝DG＝2米，FG＝DG＝1000米，FI＝BG， ∵△AIF∽△FGH， ∴， ∵△AIC∽△CDE， ∴； ②∵a＝2.4米，b＝4米， ∴，， ∴AIFI，AI（IF+1000）， ∴FI（IF+1000）， ∴FI＝1500， ∴AI＝1250米， ∴AB＝AI+BI＝1250+2＝1252（米）， 答：“太阳”的高度AB为1252米． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的应用，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 6．（2024秋•新昌县期末）如图，点C在以AB为直径的半圆周上，连结AC，BC，点D，点E分别在BC，AB上运动，且BD＝AE，连结DE．已知AB＝10，． （1）求BC的长． （2）探究：当BD为何值时，△BDE面积达到最大值？并求出最大值． （3）过点D作DF⊥AB于点F．当BD为何值时，以D，E，F为顶点的三角形与△ABC相似？ 【分析】（1）先利用正弦定义求出AC＝sinB•AB＝6，再利用勾股定理求解即可； （2）设BD＝AE＝x，则BE＝10﹣x，过D作DF⊥AB于点F，利用正弦定义得出，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求解； （3）分E在F的左侧和E在F的右侧时两种情况求解即可． 【解答】解：（1）∵点C在以AB为直径的半圆周上，AB＝10，， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝sinB•AB＝6， ∴BC＝8； （2）点D，点E分别在BC，AB上运动，BD＝AE，如图1，过D作DF⊥AB于点F， 设BD＝AE＝x，则BE＝10﹣x， ∵， ∴， ∴， ∴当BD＝5时，△BDE面积达到最大值，最大值是； （3）设BD＝AE＝x， ∵， ∴，， ∵点D在BC上运动， ∴0＜x＜8； 第一类情况，E在F的左侧时，； ①当△DEF∽△ABC时，如图2， 可得， ∴， ∴， ∴； ②如图3，当△EDF∽△ABC，可得， ∴， ∴； 第二类情况，E在F的右侧时，， ①如图4，当△DEF∽△ABC时， 可得， ∴， ∴， ∴x＝10（舍去）； ②当△EDF∽△ABC时，如图3，可得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，BD为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与△ABC相似． 【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，解答本题的关键熟练掌握相似三角形的性质以及圆周角定理． 7．（2024秋•滨江区期末）【综合与实践】 小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作．将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形AB'C'D'，边C'D'与直线AB交于点M，边AD'，B'C'分别与直线BC交于点P，Q．已知AB＝6，BC＝8． 【特例研究】 如图1，当点M与点C′重合时，①求证：△MQB∽△AC′D′．②求． 【结论拓展】 如图2，当点M与点C′不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由． 【分析】①根据旋转的性质得到AD′＝AD＝BC＝8，C′D′＝CD＝AB＝6，得到∠D′＝∠D＝90°，根据勾股定理得到AC′10，根据相似三角形的判定定理得到△MQB∽△AC′D′． ②根据相似三角形的性质得到，求得PB，根据相似三角形的判定定理得到△MQB∽△AC′D′，求得BQ＝3，得到PQ3，于是得到； 【结论拓展】过Q作QH⊥AD′于H，则四边形AB′QH是矩形，得到QH＝AB′，根据全等三角形的性质得到AP＝PQ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】【特例研究】①证明：∵将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形AB'C'D'， ∴AD′＝AD＝BC＝8，C′D′＝CD＝AB＝6， ∠D′＝∠D＝90°， ∴AC′10， ∵∠ABC＝∠QBM＝∠D′＝90°，AD′∥B′C′， ∴∠D′AC′＝∠BMQ， ∴△MQB∽△AC′D′． ②解：∵∠BAP＝∠D′AC′，∠ABP＝∠AD′C′＝90°， ∴△ABP∽△AD′C′， ∴， ∴， ∴PB， ∵△MQB∽△AC′D′， ∴， ∴， ∴BQ＝3， ∴PQ3， ∴； 【结论拓展】解：不变， 理由：过Q作QH⊥AD′于H， 则四边形AB′QH是矩形， ∴QH＝AB′， ∴QH＝AB， ∵∠QPH＝∠APB，∠QHP＝∠ABP＝90°， ∴△QPH≌△APB（AAS）， ∴AP＝PQ， ∵∠ABP＝∠AD′C′＝90°，∠BAP＝∠D′AM， ∴△ABP∽△AD′M， ∴． 【点评】本题是相似形的综合题，可惜了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8．（2024秋•嵊州市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝mBC，E是AB上一点，连结DE，过点D作DF⊥DE交直线BC于点F，连结EF交CD于点G，作DM⊥EF交EF于点M，交直线AB于点N． （1）若m＝1，求值． （2）设tan∠BFE＝k． ①若，求的值．（用含m的代数式表示） ②若△DMG的面积为S1，△EMN的面积为S2，求的值．（用含m，k的代数式表示） 【分析】（1）证明△ADE∽△CDF，即可得到； （2）①利用等角的余角相等求得∠MDG＝∠CFG，得到，求得，据此计算即可求得； ②先利用正切函数的定义求得，再证明△DMG∽△NME，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD，AB＝mBC， ∴，∠EDF＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF＝90°﹣∠EDC， ∵∠DAE＝∠DCF＝90°， ∴△ADE∽△CDF， ∴； （2）①∵DM⊥EF， ∴∠DMG＝∠FCG＝90°， ∵∠DGM＝∠FGC， ∴∠MDG＝∠CFG， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ②由（1）得，∠EDF＝90°， ∴，， ∴， ∵CD∥AB， ∴△DMG∽△NME， ∴． 【点评】本题考查了相似形的综合应用，主要考查相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，矩形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 9．（2023秋•余杭区期末）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，EF交AB于点F，EF交AC于点H． （1）求证：FE＝AE； （2）填空： ； （3）若k，求的值（用含k的代数式表示）． 【分析】（1）先判断出∠B＝∠CAB＝45°，再判断出∠CAD＝∠CAE，进而判断出∠EAF＝∠B+∠CEH，进而判断出∠EAF＝∠AFE，即可得出结论； （2）过点F作FN⊥BC于N，先判断出BFFN，再判断出△ENF≌△ACE（AAS），得出FN＝CE，即可求出答案； （3）过点G作GM⊥BC于M，先判断出，设DM＝a，则CE＝CD＝（k+1）a，进而得出DE＝2CD＝2（k+1）a，再判断出△DMG∽△DGE，求出DGa，进而求出AG•ka，再判断出△AHG∽△EHC，即可求出答案． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，BC＝AC， ∴∠B＝∠CAB＝45°， ∵将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上， ∴AD＝AE， ∵AC⊥DE， ∴∠CAD＝∠CAE， ∴∠EAF＝∠CAB+∠CAE＝∠B+∠CAD， ∵EF⊥AD， ∴∠AGH＝90°＝∠ACE， ∴∠CAD+∠AHG＝∠CEH+∠CHE＝90°， ∵∠AHG＝∠CHE， ∴∠CAD＝∠CEH， ∴∠EAF＝∠B+∠CEH， ∵∠AFE＝∠B+∠CEH， ∴∠EAF＝∠AFE， ∴EF＝AE； （2）如图1， 过点F作FN⊥BC于N， ∴∠BNF＝∠ENF＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠BFN＝45°＝∠B， ∴BFFN， 在△ENF和△ACE中， ， ∴△ENF≌△ACE（AAS）， ∴FN＝CE， ∵DE＝2CE， ∴， 故答案为； （3）如图2， 过点G作GM⊥BC于M， ∵AC⊥BC， ∴GM∥AC， ∴， ∵k， ∴， 设DM＝a，则CE＝CD＝（k+1）a， ∴DE＝2CD＝2（k+1）a， ∵∠DMG＝∠DGE＝90°，∠MDG＝∠GDE， ∴△DMG∽△DGE， ∴， ∴DG2＝DM•DE＝a•2（k+1）a＝2（k+1）a2， ∴DGa， ∴AG＝kDG•ka， ∵∠AGH＝∠ECH＝90°，∠AHG＝∠EHC， ∴△AHG∽△EHC， ∴． 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键． 10．（2024秋•永康市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），点B，C分别为x轴正半轴和y轴上的动点，连结AB，BC，作射线AC交x轴于点D，已知∠BAC＝90°． （1）求的值． （2）当点C在y轴正半轴上，且∠ABC＝∠ADB时，求点C的坐标． （3）是否存在△ADB与△OBC相似的情况？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）过点A作MN⊥x轴于N，AM⊥OB于M，则∠ANC＝∠AMB＝90°，证明△ACN∽△ABM，推出可得结论； （2）设AC＝3k，BC＝4k，由tan∠ABC＝tan∠ADB，推出，推出ADk，DM，根据AD2＝AM2+DM2，构建方程求出k可得结论； （3）由△OBC与△ADB相似，∠DAB＝∠BOC＝90°，推出只能∠OBC＝∠ADB，推出CD＝OB，设AC＝3m，AB＝4m，BC＝5m，可得CD＝CB＝5m，推出AD＝8m，推出tan∠ADB，由此求出OC即可． 【解答】解：（1）过点A作MN⊥x轴于N，AM⊥OB于M，则∠ANC＝∠AMB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠NAC＝∠MBA＝90°﹣∠CAM， ∴△ACN∽△ABM， ∴， ∵A（3，4）， ∴AN＝3，AM＝4， ∴； （2）∵AC：BC＝3：4， ∴可以假设AC＝3k，BC＝4k， ∵∠ABC＝∠ADB， ∴tan∠ABC＝tan∠ADB， ∴， ∴ADk，DM， ∵AD2＝AM2+DM2， ∴（k）2＝42+（）2， ∴k， ∴AD，AC， ∴CD＝AD﹣AC， ∵tan∠CDO， ∴OC，OD， ∴C（0，）； （3）存在． 理由：∵△OBC与△ADB相似，∠DAB＝∠BOC＝90°， ∴只能∠OBC＝∠ADB， ∴CD＝OB， ∵AC：AB＝3：4，∠CAB＝90°， ∴可以假设AC＝3m，AB＝4m，BC＝5m， ∵∠OBC＝∠ADB， ∴CD＝CB＝5m， ∴AD＝8m， ∴tan∠ADB， ∵AM＝4， ∴DM＝8， ∵OM＝3， ∴OD＝DM﹣OM＝8﹣3＝5， ∴OCOD， ∴C（0，）． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 11．（2024秋•湖州期末）小明在综合实践课上折一个等腰直角三角形纸片△ABC，∠BAC＝90°，将△ABC沿着DE折叠，使得点A落在边BC上的点F，DE和AF交于点G． （1）如图1，若点F恰好是BC的中点，他发现，则k＝ 　 ． （2）如图2，当∠BAF＝30°时，求证：，并求出k的值． （3）当∠BAF＝α时，，则k＝ 　 　 【分析】（1）可推出AD＝AE，BF＝CF，进而得出结果； （2）作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H，设AF、DE交于点O，可推出∠AED＝∠BAF＝30°，从而得出tan30°的值，可证得AG＝FH，从而得出tan30°，进一步得出结论； （3）由（2）的过程得出结果． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，F是BC的中点， ∴AF⊥BC，∠B＝∠C， ∵△ABC沿着DE折叠，使得点A落在边BC上的点F， ∴AF⊥DE， ∴DE∥BC， ∴∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴k， 故答案为：1； （2）证明：如图1， 作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H，设AF、DE交于点O， ∴∠AGF＝∠BGF＝∠AHF＝∠FHC＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C，四边形AGFH是矩形， ∴BF，AG＝FH， ∴tan∠BAF， ∵将△ABC沿着DE折叠，使得点A落在边BC上的点F， ∴AF⊥DE， ∴∠AOD＝90°， ∴∠BAF+∠ADE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠AED+∠ADE＝90°， ∴∠AED＝∠BAF＝30°， ∴tan∠BAF＝tan∠AED， ∴tan30°； （3）解：如图1， 由（2）知：， 故答案为：tanα． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，转化线段比． 12．（2023秋•温州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，，过点C作CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点F． （1）求证：∠FAC＝∠ACG； （2）求证：； （3）若CF＝3FG，，求BD的长． 【分析】（1）由余角的性质可得∠ADC＝∠ACG，由圆周角定理可得∠FAC＝∠ADC，即可求解； （2）通过证明△AGC∽△BCA，可得； （3）由勾股定理可求FG，AG的长，通过证明△AGC∽△CGD，可得，可求DG的长，即可求解． 【解答】（1）证明：∵DA是直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝90°， ∵CG⊥AD， ∴∠AGC＝90°， ∴∠CAD+∠ACG＝90°， ∴∠ADC＝∠ACG， ∵， ∴∠FAC＝∠ADC， ∴∠FAC＝∠ACG； （2）证明：∵∠FAC＝∠ACG，∠ACB＝∠AGC＝90°， ∴△AGC∽△BCA， ∴； （3）解：∵∠FAC＝∠FCA， ∴AF＝CF， ∵CF＝3FG， ∴CG＝2FG，AF＝FC＝3FG， ∴AG2FG， ∵AC2＝AG2+GC2， ∴12＝8FG2+4FG2， ∴FG＝1（负值舍去）， ∴AG＝2，CG＝2， ∵， ∴， ∴BC＝2， ∵∠ADC＝∠ACG，∠AGC＝∠DGC， ∴△AGC∽△CGD， ∴， ∴2×2＝2GD， ∴GD， ∴CD， ∴BD＝BC﹣CD． 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． $专题06 网格作图题与相似形综合压轴题专练 题型1 相似网格作图题（常考点） 题型2 相似形综合压轴题（重点）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 相似网格作图题（共10小题） 1．（2024秋•镇海区期末）由小正方形组成的5×5的网格中，△ABC的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作AC边上的中线BD； （2）若点E是BC上一点，使得，则 ，并在图上画出点E． 2．（2024秋•宁波期末）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段AB上找一点D，使BD：DA＝1：2． 3．（2024秋•海曙区期末）在3×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺按要求分别画出图形． （1）在图1中作射线BD交AC于点D，使∠ABD＝∠CBD； （2）在图2中作直线BE交AC于点E，使AE：CE＝2：3． 4．（2024秋•江山市期末）在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC，相似比为1：2，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与△ABC相似的最小格点△FGH． 5．（2024秋•北仑区期末）在7×7的方格纸中，用无刻度的直尺作图． （1）在图1中找到△ABC外接圆的圆心O（保留作图痕迹）． （2）在图2中画出△DEC，使得△DEC∽△ABC，且相似比为（△DEC的顶点均在格点上，画出一个即可）． 6．（2024秋•温州期末）已知△ABC中，AB＝AC．完成下列尺规作图，保留作图痕迹． （1）如图1，作△ADE，使△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1． （2）如图2，在BC上取一点D，使△DBA∽△ABC． 7．（2024秋•婺城区期末）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，点P不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图1中作△ABC的中线CD； （2）在图2中作△ABC的高线BE； （3）在图3中的BC边上确定点Q，连结PQ，使得PQ∥AB． 8．（2024秋•诸暨市期末）如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）图①中，在边BC上找一点D，连接AD，使得△ACD面积为△ABC面积的； （2）图②中，在边BC上找一点E，连接AE，使得△ABE面积为△ABC面积的． 9．（2024秋•瑞安市校级期末）如图，在6×6的方格纸中，已知△ABC是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图． （1）在图1中标出△ABC外接圆的圆心O． （2）在图2中画格点线段BD，使得BD把AC分为1：2的两条线段． 注：图1，图2在答题纸上． 10．（2024秋•越城区期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图1、图2中点A，B，C在格点上） （1）在图1中，作△ABC的角平分线AE； （2）在图2中，以C为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的． 题型二 相似形综合压轴题（共12小题） 1．（2024秋•义乌市校级期末）如图，在矩形ABCD内放置5个大小相同的正方形，且E，F，G，H四个点分别在矩形的四条边上．要求AD﹣AB的值，只要知道下面哪条线段的长？（　　） A．CG B．AH C．FH D．BE 2．（2024秋•越城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，点D为BC上一动点，以CD（CD）为边，作正方形CDEF，延长DE至G，以EG为边作正方形EGHP，使点H恰好落在AB上，所作两正方形把Rt△ABC分成如图所示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，则以下选项错误的是（　　） A．Ⅰ与Ⅱ的周长和为定值 B．Ⅰ与Ⅱ的面积和为定值 C．Ⅲ与Ⅳ的周长差为定值 D．Ⅲ与Ⅳ的面积差为定值 3．（2024秋•柯桥区期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，BD＝2DC，连结AD，点E在线段AD上，若∠BEC＝135°，则的值为 　 ． 4．（2024秋•义乌市期末）如图，P是△ABC边BC上一点，且，PA⊥BA，若AB＝6，，则BC＝ 　 ． 5．（2024秋•长兴县期末）《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题，是测量城池、山高和井深的测量问题，这种测量方法称为“重差术”（图1），“重差术”起源于魏晋时期刘徽的“日高图”，他曾用此方法测量太阳的高度．某天小浔偶然翻阅到“重差术”这一章，一时来了兴趣便开始了研究，请你帮助小浔完成这个研究． （1）如图2，为了测量教学楼的高度AB，小浔将一个直角三角尺放置于地上，并使得A、C、E在同一直线上，AB⊥BE，若测量得BD＝9米，CD＝1.4米，DE＝1米，请帮助小浔计算楼高AB的长． （2）“重差术”介绍了古人测量太阳高度的一种方法．如图3，为了测量太阳（点A）的高度，在相距1000米的D、G两地分别直立一根旗杆，旗杆长2米，分别测得旗杆的影子长GH和DE，便可计算太阳的高度，小浔发现图中有两组相似三角形，根据△AIF∽△FGH，可以求出的值，又根据△AIC∽△CDE，可得的值，设影子长GH＝a，DE＝b； ①请分别用a和b的代数式表示和． ②若a＝2.4米，b＝4米，计算“太阳”的高度AB． 6．（2024秋•新昌县期末）如图，点C在以AB为直径的半圆周上，连结AC，BC，点D，点E分别在BC，AB上运动，且BD＝AE，连结DE．已知AB＝10，． （1）求BC的长． （2）探究：当BD为何值时，△BDE面积达到最大值？并求出最大值． （3）过点D作DF⊥AB于点F．当BD为何值时，以D，E，F为顶点的三角形与△ABC相似？ 7．（2024秋•滨江区期末）【综合与实践】 小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作．将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形AB'C'D'，边C'D'与直线AB交于点M，边AD'，B'C'分别与直线BC交于点P，Q．已知AB＝6，BC＝8． 【特例研究】 如图1，当点M与点C′重合时，①求证：△MQB∽△AC′D′．②求． 【结论拓展】 如图2，当点M与点C′不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由． 8．（2024秋•嵊州市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝mBC，E是AB上一点，连结DE，过点D作DF⊥DE交直线BC于点F，连结EF交CD于点G，作DM⊥EF交EF于点M，交直线AB于点N． （1）若m＝1，求值． （2）设tan∠BFE＝k． ①若，求的值．（用含m的代数式表示） ②若△DMG的面积为S1，△EMN的面积为S2，求的值．（用含m，k的代数式表示） 9．（2023秋•余杭区期末）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，EF交AB于点F，EF交AC于点H． （1）求证：FE＝AE； （2）填空： ； （3）若k，求的值（用含k的代数式表示）． 10．（2024秋•永康市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），点B，C分别为x轴正半轴和y轴上的动点，连结AB，BC，作射线AC交x轴于点D，已知∠BAC＝90°． （1）求的值． （2）当点C在y轴正半轴上，且∠ABC＝∠ADB时，求点C的坐标． （3）是否存在△ADB与△OBC相似的情况？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024秋•湖州期末）小明在综合实践课上折一个等腰直角三角形纸片△ABC，∠BAC＝90°，将△ABC沿着DE折叠，使得点A落在边BC上的点F，DE和AF交于点G． （1）如图1，若点F恰好是BC的中点，他发现，则k＝ 　 ． （2）如图2，当∠BAF＝30°时，求证：，并求出k的值． （3）当∠BAF＝α时，，则k＝ 　 　 12．（2023秋•温州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，，过点C作CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点F． （1）求证：∠FAC＝∠ACG； （2）求证：； （3）若CF＝3FG，，求BD的长． $