专题10 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题10 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． （2025·湖南长沙·三模）求同存异是一种积极向上的生活态度，是我们在人际交往中追求的理想状态．通过认同和尊重不同个体和群体的相似点和差异，我们可以建立真诚的关系，从而达到共同成长和繁荣的目的．数学中的相等、互补等也体现了“求同存异四边形”的思想，因此我们定义：把有一组邻边相等，并目对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”；例：如图1，四边形中，，，则四边形叫作“求同存异四边形”． (1)①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______； A．平行四边形            B．菱形            C．矩形            D．正方形 ②“求同存异四边形”中，若，则______； (2)如图2，在四边形中，对角线，交于点，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”； (3)如图3，在中，为直径，A，C分别为上的两个动点，使得四边形为“求同存异四边形”，对角线，交于点，若，，，求关于的函数解析式．并写出自变量的取值范围． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 例2（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，， 则（依据） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据） ∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．（从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】 （）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆； 若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 例3（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分． ①若，求的度数． ②若，，求线段的长． 例4（2025·吉林·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 【理解】 （1）如图1，点A、、在上，的平分线交于点，连接、．则四边形是等补四边形． 请直接写出图中相等的边：______；互补的角：______． 【探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【运用】 （3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，直接写出的长． 例5（2025·河南新乡·三模）阅读下列材料，并完成相应学习任务： 我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．下面是学习小组的证明过程： 已知：在四边形中， 求证：过点、、、可作一个圆． 证明：假设过点、、、四点不能作一个圆，设过点、、三点作出的圆为．分两种情况讨论． ①如图（），若点在内．延长交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾， ②如图（），若点在外．设交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾． 综上可知，假设不成立，故过点、、、可作一个圆． 学习任务： (1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______． (2)应用上述结论，解决以下问题： 如图（3），在四边形中，，对角线，交于点． ①若，求的度数； ②若，，求的长． 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”． (1)如图1，四边形是的内接四边形，且对角线平分，四边形_______（填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若，且，则的直径为 ； (2)如图2，四边形中，平分，于，．求证：四边形为“完美四边形”； (3)如图3，在“完美四边形”中，，，，对角线与相交于点，设，，求与的函数关系式，并求的最大值． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形__________“直等补”四边形．（“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为．①求的长；②已知点D到所在直线的距离为，若M、N分别是、边上的动点，求周长的最小值． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)判断正方形 “直等补”四边形；菱形 “直等补”四边形．(填“是”或“不是”） (2)如图1，在所给的网格中，画出符合条件的“直等补”四边形； (3)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，＝＝，＝，＞，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 4．（24-25九年级下·甘肃天水·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E． ①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长； ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值． 5．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)概念理解： ①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若，则∠A＝______°； ②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且，求证：四边形ADEC是互补四边形． (2)探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，AD＝BC，四边形为互补四边形，求证：． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）在互补四边形中，与是一组对角，若则 ° （2）如图，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．    7．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长． ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 8．（2025·江西南昌·二模）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． 概念理解： ①在互补四边形中，与是一组对角，若则 _ ②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形． 探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：． 推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：（1）如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接． 求证：四边形是等补四边形． 探究：（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用：（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点E，，求的长． 10．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图（1）所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图（2），四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．请写出图中相等的角，并说明理由； (3)拓展应用 如图（3），在中，，分别在边上取点M，N，且，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 11．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补． (1)如图1，若四边形为正方形，求证； (2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由； (3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）【感知】定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 如图，四边形内接于，连接交于点，点是的中点．求证：四边形是邻等对补四边形． 【探究】如图，四边形是邻等对补四边形，，，求证：平分． 下面是部分证明过程， 证明：延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，证明过程缺失 ∴平分， 请补全缺失的证明过程； 【应用】如图，在中，，，，点在边上，点在边上，连接，当四边形是邻等对补四边形时，直接写出的长． 13．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为________，的长为________，的长为________． (2)如图2，在邻等对补四边形中，，，若，，求的长； (3)如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．请直接写出的长． 14．（2025·河南商丘·二模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．    (1)操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． (2)性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． (3)拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 15．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)阅读与理解： 如图，四边形内接于，点为弧的中点．求证：四边形是等补四边形． (2)探究与运用： ①聪明的小明在图中连接对角线，得图，并发现了等补四边形中，当时对角线的一个结论，如果你也发现了，请直接写出与的数量关系． ②如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，若，，求的长． 16．（2024·广西柳州·二模）小东在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小东继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合）， 连接，则， 又∵， ∴___________， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∵点B，D在点A，C，E所确定的上， ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的横线上填的内容是________； 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转得，连接交于点D，连接．小东发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变． ①根据，利用四点共圆的思想，试证明； ②当为直角三角形，且时，直接写出的长． 17．（2025·江西·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 18．（2025·河南商丘·三模）综合与实践 小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据． ，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．    【反思归纳】 (1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；依据2：______． 【拓展延伸】 (2)如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点，连接．小明发现，旋转过程中，点始终为的中点，为验证结论，小明连接，判断，，，四点共圆后得出结论． ①请你帮小明证明； ②当为直角三角形，且时，请直接写出的长． 19．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则． (1)请完善探究展示 (2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接． ①求证：A，D，B，E四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 20．（2024·河南·模拟预测）如图，在中，与交于点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补． （1）观察猜想 若四边形是正方形，则线段与有何数量关系？请直接写出结论． （2）延伸探究 若四边形是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展证明 若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论． 21．探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 22．（2025·山东青岛·一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)【问题理解】 如图1，在☉O上有三个点A、B、C，连接AB、BC．现要在☉O上再取一点D，使得四边形ABCD是等补四边形，请写出点D的一种取法，并证明你得到的四边形ABCD是等补四边形． (2)【拓展探究】 如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD ①已知BC：CD=7：4，△ACD的面积为8，则四边形ABCD的面积为 ； ②连接AC，请在图中找出一组具有相等关系的角，并证明你的结论． (3)【问题解决】 如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD=7，DF=3，且AF的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；② (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点A分别作于E，于F，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， 又， 四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下： 如图，过点A分别作于E，于F， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）解：连接， 在等补四边形中，， 同（2）可知平分， 四边形是等补四边形， ， 又， ， 平分，平分， ， 又， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （2025·湖南长沙·三模）求同存异是一种积极向上的生活态度，是我们在人际交往中追求的理想状态．通过认同和尊重不同个体和群体的相似点和差异，我们可以建立真诚的关系，从而达到共同成长和繁荣的目的．数学中的相等、互补等也体现了“求同存异四边形”的思想，因此我们定义：把有一组邻边相等，并目对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”；例：如图1，四边形中，，，则四边形叫作“求同存异四边形”． (1)①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______； A．平行四边形            B．菱形            C．矩形            D．正方形 ②“求同存异四边形”中，若，则______； (2)如图2，在四边形中，对角线，交于点，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”； (3)如图3，在中，为直径，A，C分别为上的两个动点，使得四边形为“求同存异四边形”，对角线，交于点，若，，，求关于的函数解析式．并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)①D；②130 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）①根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质进行判断即可； ②根据“求同存异四边形”的对角互补进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，求出，即可证明结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，必有，同时时，必有，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：①平行四边形中没有一组邻边一定相等，菱形没有一组对角一定互补，矩形没有一组邻边一定相等，因此，平行四边形，菱形，矩形不一定是“求同存异四边形”；正方形有一组邻边一定相等，一组对角一定互补，因此正方形是“求同存异四边形”； 故选：D． ②∵是“求同存异四边形”， ∴， ∴； 故答案为：． （2）证明：垂直平分， ，，，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是“求同存异四边形”； （3）解：圆内接四边形是“求同存异四边形”， 四边形必有一组邻边相等， ①当时，必有，同时时，必有， 为直径， ，于点，， ，， ； ②当时，， ， 延长至点使得，如图所示： 四边形是圆内接四边形， ， ， ，， 为直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； ③当时， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了特殊四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）过点A作于点M，于点N，证明，易得，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）结合三角形面积公式易得，然后由求解即可； （3）证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值并求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点M，于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点 M，于点 N， ∴平分； （2）由（1）可知：平分，， ∴， ； （3）∵ 四边形是奇异四边形，， 又∵， ∵平分， ， 由（1）知，平分， ， ∴， 又∵， ∴， ， ∵，即 ， 解得 或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了新定义“奇异四边形”、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 例2（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，， 则（依据） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据） ∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．（从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】 （）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆； 若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（），；（）；（）证明见解析；． 【分析】（）根据圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆作答即可； （）根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （）根据（）中的结论证明即可得证； 证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点，，，四点在同一个圆上， 故答案为：，； （）解：∵在线段同侧有两点，，， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， 故答案为：； （）证明：∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆； 解：，理由如下， 如图，∵，，，四点共圆， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 例3（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分． ①若，求的度数． ②若，，求线段的长． 【答案】（）④；（），；（）①；② 【分析】（）菱形、矩形、等腰梯形、直角三角形的性质即可求解； （）假设过点，，，不能作一个圆，过，，三点作，点不在圆上，若点在外，设与交于点，连接，由圆内接四边形性质可得，进而由补角性质可得，又由三角形外角性质得到，出现矛盾，故假设不成立，即得点在过，，三点的圆上，同理可证点在内的情况，即可求证； （）①由得四点共圆， 即可得，再根据圆周角定理即可求解；②证明得，据此解答即可求解． 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆， 故答案为：④； （）证明：假设过点，，，不能作一个圆， 如图，过，，三点作，点不在圆上， 若点在外， 设与交于点，连接，则， ， ， 而是的外角， ，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过，，三点的圆上， 同理可证点在内的情况， 故答案为：，； （）解：①∵ ， ∴四点共圆， ∵平分，， ∴， ∴； ②由①可知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 例4（2025·吉林·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 【理解】 （1）如图1，点A、、在上，的平分线交于点，连接、．则四边形是等补四边形． 请直接写出图中相等的边：______；互补的角：______． 【探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【运用】 （3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3） 【分析】连接，可推出，，，，从而，根据四边形是的内接四边形，可得出，； 连接，可推出四边形内接于圆，，，，从而，从而平分； 连接，可推出，进而得出∽，从而，进而得出，从而求得． 【详解】解：如图， 连接， 平分， ， ，， ， ， 四边形是的内接四边形， ，， 故答案为：，原图中，； 如图，连接， 平分，理由如下： 四边形是等补四边形， 四边形内接于圆， ， ， ，， ， 平分； 如图，连接， 由知：四边形内接于圆，平分， ，， 平分， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ，舍去， ． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 例5（2025·河南新乡·三模）阅读下列材料，并完成相应学习任务： 我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．下面是学习小组的证明过程： 已知：在四边形中， 求证：过点、、、可作一个圆． 证明：假设过点、、、四点不能作一个圆，设过点、、三点作出的圆为．分两种情况讨论． ①如图（），若点在内．延长交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾， ②如图（），若点在外．设交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾． 综上可知，假设不成立，故过点、、、可作一个圆． 学习任务： (1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______． (2)应用上述结论，解决以下问题： 如图（3），在四边形中，，对角线，交于点． ①若，求的度数； ②若，，求的长． 【答案】(1)分类讨论思想 (2)①；② 【分析】（1）根据题意，分点在圆内与圆外两种情况讨论； （2）①根据，可得过点A，B，C，D可作一个圆，根据等弧所对的圆周角相等即可求解； ②证明，设，则，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）根据题意，分点在圆内与圆外两种情况讨论 ∴应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是分类讨论思想； 故答案为：分类讨论思想． （2）①∵； ∴过点A，B，C，D可作一个圆，如图所示． ②， ． ， ， 又， ， ， ． 设，则， ， 解得，（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”． (1)如图1，四边形是的内接四边形，且对角线平分，四边形_______（填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若，且，则的直径为 ； (2)如图2，四边形中，平分，于，．求证：四边形为“完美四边形”； (3)如图3，在“完美四边形”中，，，，对角线与相交于点，设，，求与的函数关系式，并求的最大值． 【答案】(1)是， (2)见解析 (3)，当时，有最大值，最大值为2 【分析】（1）根据四边形中和互补，且一组邻边和相等即可判定；根据勾股定理即可得到直径的长度； （2）在上截取一点，使得，连接，根据中垂线的性质即可得到，，再通过证明，即可得到，最后通过边与角的转换，即可得到答案； （3）根据，对应边成比例先表示出，再过点作于，在中表示出的长，代入计算即可． 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形， 四边形的两组对角互补， 对角线平分， ， ， 四边形是完美四边形， ， 是直径， ， ， ， 故答案为：是，； （2）证明：如图所示：在上截取一点，使得，连接， ， ，， ，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形为“完美四边形”； （3）解：如图所示，画出四边形的外接圆，过点作，垂足为， 设，，则， ，， 为等边三角形，， ， 在中，，， ， ， 在中，， ，， ， ， ，   ， ， 代入计算得， ， 当时，有最大值，最大值为2． 【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，三角形全等和相似，面积转换等知识，熟练掌握圆的内接四边形的性质、三角形全等和相似的条件并准确计算是解题的关键． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形__________“直等补”四边形．（“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为．①求的长；②已知点D到所在直线的距离为，若M、N分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；② 【分析】（1）由旋转性质得，再证明，便可； （2）①过点C作于点F，证明得，设，在中，则勾股定理列出x的方程解答便可； ②延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与、交于点M、N，求出便是的最小周长． 【详解】（1）解：四边形为“直等补”四边形， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①过点C作于点F，如图1，    则， ∵四边形是“直等补”四边形，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，，或（舍）， ∴； ②如图2，延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与、交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H．    则，，， 因为点D到所在直线的距离为， 所以， ∵， ∴，， ∴的周长的值最小， ∵四边形是“直等补”四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明全等三角形，第（2）②题关键确定M、N的位置． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)判断正方形 “直等补”四边形；菱形 “直等补”四边形．(填“是”或“不是”） (2)如图1，在所给的网格中，画出符合条件的“直等补”四边形； (3)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，＝＝，＝，＞，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是，不是 (2)见解析 (3)①；②周长的最小值为 【分析】（1）根据“直等补”四边形的定义进行判断即可求解； （2）根据“直等补四边形的定义，将绕点顺时针旋转得到，则四边形是直等补四边形； （）①如图，将绕点顺时针旋转得到，可证得四边形是正方形，则有设，则，由勾股定理列方程解之即可； ②如图，延长到，使，延长到，使，则， 由的周长知，当、、、共线时，的周长取得最小值，过作交延长线于，易证，求得、，进而求得，在中，由勾股定理求得，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：根据定义可知，正方形是“直等补”四边形；菱形不是“直等补”四边形， 故答案为：是，不是； （2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ， 共线， ，， 四边形是“直等补”四边形； （3）①四边形是“直等补”四边形，， ，， 如图，将绕点顺时针旋转得到， 则，， 、、共线， 四边形是正方形， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得：，即， 解得：或舍去， ， ②如图，延长到，使，延长到，使 则， 的周长 当、、、共线时，的周长取得最小值， 过作，交延长线于， ， ， ∴， 即， 解得：， 在中，， ， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算． 4．（24-25九年级下·甘肃天水·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E． ①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长； ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值． 【答案】(1)是； (2)①见解析，BE的长是8；②△BCM周长的最小值为210 【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案； （2）①首先证明四边形CDEF是矩形，则DE＝CF，EF＝CD＝2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE＝CF，AE＝BF，等量代换即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝2可得AE＝BE﹣2，设BE＝x，根据勾股定理求出x的值即可； ②延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，证明△ABE∽△CGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解． 【详解】（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上， ∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°， ∴∠EBF+∠D＝180°， ∵∠EBF＝90°，BF＝BE， ∴四边形BEDF是“直等补”四边形． 故答案为：是； （2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB， ∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°， ∴∠D＝90°， ∵BE⊥AD，CF⊥BE， ∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE＝CF，EF＝CD＝2， ∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠A＝∠CBF， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE＝CF，AE＝BF， ∵DE＝CF， ∴BE＝DE； ∵四边形CDEF是矩形， ∴EF＝CD＝2， ∵△ABE≌△BCF， ∴AE＝BF， ∴AE＝BE﹣2， 设BE＝x，则AE＝x﹣2， 在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102， 解得：x＝8或x＝﹣6（舍去）， ∴BE的长是8； ②∵△BCM周长＝BC+BM+CM， ∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小， 如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H， ∵∠ADC＝90°， ∴点C与点G关于AD对称， ∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C， ∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小， 在Rt△ABE中，AE6， ∵四边形ABCD是“直等补”四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠GCH＝180°， ∴∠A＝∠GCH， ∵∠AEB＝∠H＝90°， ∴△ABE∽△CGH， ∴，即， ∴GH，CH， ∴BH＝BC+CH＝10， ∴BG2， ∴△BCM周长的最小值为210． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明三角形全等，第（2）②题关键确定M的位置． 5．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)概念理解： ①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若，则∠A＝______°； ②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且，求证：四边形ADEC是互补四边形． (2)探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，AD＝BC，四边形为互补四边形，求证：． 【答案】(1)①90；②见解析； (2)见解析 【分析】（1）①设，根据，∠A与∠C是一组对角列出方程，求解方程，即可求得∠A的度数； ②根据，证得△BDE∽△BCA，再由∠BED＝∠A可证四边形ADEC是互补四边形； （2）证明△EAC≌△EBD，得∠EBD＝∠EAC，则可知∠ABD＝∠BAC，从而得到，再根据四边形为互补四边形得，可知，从而证明结论． 【详解】（1）①设 ∵ ∴ ∵互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角 ∴ ∴解得 ∴ 故答案为：90 ②证明：∵BE•BC＝AB•BD， ∴， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BCA， ∴∠BED＝∠A， ∴∠A＋∠CED＝∠BED＋∠CED＝180°， ∴四边形ADEC是互补四边形． （2）证明：∵AE＝BE，AD＝BC， ∴ED＝EC， 在△EAC和△EBD中， ， ∴△EAC≌△EBD（SAS）， ∴∠EBD＝∠EAC． ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠ABD＝∠BAC， ∵四边形CEDH是互补四边形， ∴∠E＋∠DHC＝180°， ∵∠AHB＝∠DHC， ∴∠E＋∠AHB＝180°， 又∠ABD+∠BAC+∠AHB=180°， ∴∠ABD＋∠BAC＝∠E， ∴； 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，互补四边形的定义，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握互补四边形的性质是解题关键． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）在互补四边形中，与是一组对角，若则 ° （2）如图，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．    【答案】（1）90；（2）见解析 【分析】（1）根据互补四边形的定义得到，由四边形内角和得，根据三个角的比例，列式求出各个角的度数； （2）根据两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，可以证明，就可以证明四边形ADEC是互补四边形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是互补四边形，且与是一组对角， ∴， ∵四边形内角和是， ∴， ∵， ∴设，，， ，解得， ∴，则， 故答案是：90； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ADEC是互补四边形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 7．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长． ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）①BE=4；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°,BF=BE,进而可证得四边形为“直等补”四边形； （2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD,设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可； （3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC, 由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE ∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°， ∴∠F+∠BED=180°， ∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°， 故满足“直等补”四边形的定义， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）∵四边形是“直等补”四边形，AB=BC， ∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°， 如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， 则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE ∴D、C、F共线， ∴四边形EBFD是正方形， ∴BE=FD， 设BE=x，则CF=x-1， 在Rt△BFC中，BC=5， 由勾股定理得：，即， 解得：x=4或x=﹣3(舍去)， ∴BE=4 （3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5, 则NP=NC，MT=MC, ∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT 当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT， 过P作PH⊥BC，交BC延长线于H， ∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH, ∴△BCF∽△PCH, ∴, 即， 解得：, 在Rt△PHT中，TH=, , ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算． 8．（2025·江西南昌·二模）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． 概念理解： ①在互补四边形中，与是一组对角，若则 _ ②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形． 探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：． 推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值． 【答案】（1）①90；②见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）①由互补四边形和四边形内角和定理即可求出∠A的度数； ②证明得，进而可得，从而可证明四边形是互补四边形； （2）先证明得，根据EA=EB可得，根据三角形内角和定理得∠AHB=180°-(),再根据互补四边形的定义可得结论； （3）如图，作于点交的延长线于点则，由四边形CEDH是互补四边形可得，进而证明，，求得，再证明即可得到结论. 【详解】（1）①解：∵四边形ABCD是互补四边形， ∴∠B+∠D=180°， ∵∠B：∠C：∠D=2：3：4， ∴∠B=60°，∠C=90°， 又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∴∠A=180°-∠C=90°； 故答案为：90； ②证明： 又 四边形是互补四边形． 证明： 四边形是互补四边形， 如图，作于点交的延长线于点 则 四边形是互补四边形， ． 在中， 设则 ． ， 【点睛】考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：（1）如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接． 求证：四边形是等补四边形． 探究：（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用：（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点E，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）平分，见解析；（3） 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，再由弧，弦，圆心角的关系，可得，即可解答； （2）过点B分别作于点E，垂直的延长线于点F，则，结合等补四边形的定义可证明，可得到，即可解答； （3）连接，证明，即可解答． 【详解】解：（1）证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等补四边形； （2）平分，理由如下： 如图：过点B分别作于点E，垂直的延长线于点F，则， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线，即平分； （3）连接，如图： ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）知，平分， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等． 10．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图（1）所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图（2），四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．请写出图中相等的角，并说明理由； (3)拓展应用 如图（3），在中，，分别在边上取点M，N，且，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）按照“邻等对补四边形”的定义逐个判断即可； （2）作于E，延长线于F，证明，再用角平分线的判定证明即可； （3）先证明四边形对角互补，再分类讨论，根据不同的邻边相等求解即可． 【详解】（1）解：图①和图③没有对角互补，不是邻等对补四边形，图②和图④对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：②④ （2）； 证明：作于E，延长线于F， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补， 当或时，由（2）可得，是角平分线， ∴，不符合仅有一组邻边相等； 当时，， ∵， ∴，勾股定理得； 当时， ∵， ∴； ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明． 11．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补． (1)如图1，若四边形为正方形，求证； (2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由； (3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）在AF上找一点M，使．证明，即可得出结论； （3）在AD的延长线上找一点N，使得．证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， 与互补， ． ， ． ， ； （2）解：成立．理由如下： 如图1，在AF上找一点M，使． 菱形， ， 与互补， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， ． ， ，即； （3）解：．理由如下： 如图2，在AD的延长线上找一点N，使得． 与互补， ， ． ， ． ∵四边形为平行四边形 ∴，， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ∴. 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）【感知】定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 如图，四边形内接于，连接交于点，点是的中点．求证：四边形是邻等对补四边形． 【探究】如图，四边形是邻等对补四边形，，，求证：平分． 下面是部分证明过程， 证明：延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，证明过程缺失 ∴平分， 请补全缺失的证明过程； 【应用】如图，在中，，，，点在边上，点在边上，连接，当四边形是邻等对补四边形时，直接写出的长． 【答案】[感知] 证明见解析；[探究] 证明见解析；[应用] 的长为或或． 【分析】[感知] 根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，于是得到四边形是邻等对补四边形； [探究] 延长至点，使，连接，由，，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，根据角平分线的定义得到平分； [应用] 根据题意分、、、四种情况画出图形, 证明，根据相似三角形的性质逐一求解判断即可． 【详解】[感知] 证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； [探究] 证明：延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； [应用] 解：在中，，，， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 由“邻等对补四边形”的定义可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，理解“邻等对补四边形”定义，熟练运用相似三角形的性质及判定、勾股定理是解题的关键． 13．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为________，的长为________，的长为________． (2)如图2，在邻等对补四边形中，，，若，，求的长； (3)如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．请直接写出的长． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了新定义下的四边形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活构造辅助线． （1）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出线段的长度；利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可求的长度；将绕点顺时针旋转，得到，得出为等腰直角三角形，再结合勾股定理即可求出线段的长度； （2）延长至点，使，连接，过作于，证明，得出对应边相等，然后根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）根据题意，画出图形，分三种情况进行讨论，借助于（1）（2）的思路即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，∵ 由题意，四边形是邻等对补四边形 ∴将绕点顺时针旋转，得到， 根据邻等对补四边形的定义， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵为等腰直角三角形， ∴, ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即， 故答案为：，，； （2）解：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得； （3）解：①如图所示，，，连接， 在和中， ， ∴， ∴垂直平分线段， 由勾股定理得，， ∴， 假设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 由勾股定理得， 由等面积法可得，； ②如图所示，，， 将绕点逆时针旋转，得到， 同（1）得为等腰直角三角形， 此时，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 同理可得， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得； ③如图所示，，， 将绕点顺时针旋转，得到， 同（1）得为等腰直角三角形，且 假设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴， , 由勾股定理得，， 解得； 综上，的长为或或． 14．（2025·河南商丘·二模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．    (1)操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． (2)性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． (3)拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 【答案】(1) (2)正确 (3)或或． 【分析】（1）根据四边形内角和等于即可求解； （2）利用直角三角形全等的判定，证明，即可得出结论； （3）当是等腰三角形时，有三种情况，构造直角三角形，利用勾股定理分别求出，，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：结论：小明的发现正确， 证明：连接，如图1， ∵， 在与中，，， ∴， ∴， ∴小明的发现正确． （3）解：连接，在“损矩形”中，，，， ∴， 分三种情况：①如图1，当时， 同理（2），， ∴． ②如图2，当时，过点作于点，交于点，得， ∵，， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 在中，， 在中，， ∴． ③如图3，当时，过点作于点，交于点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为的中位线， 设的长为，则，连接，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴． 综上所述：“损矩形”的面积为或或． 15．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)阅读与理解： 如图，四边形内接于，点为弧的中点．求证：四边形是等补四边形． (2)探究与运用： ①聪明的小明在图中连接对角线，得图，并发现了等补四边形中，当时对角线的一个结论，如果你也发现了，请直接写出与的数量关系． ②如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）由圆内接四边形互补可知，再根据弧相等得，根据等补四边形的定义即可得证； （2）①根据弧相等可得圆周角相等即可得出结论； ②连接，先证，推出，再证明，利用相似三角形对应边的比相等可求的长； 【详解】（1）证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴，， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等补四边形； （2）解：①，理由如下： ∵四边形是等补四边形，， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵四边形是等补四边形，， ∴， 又∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 由①知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）． ∴的长为． 【点睛】本题考查了新定义—等补四边形，圆的有关性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是正确理解新定义． 16．（2024·广西柳州·二模）小东在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小东继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合）， 连接，则， 又∵， ∴___________， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∵点B，D在点A，C，E所确定的上， ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的横线上填的内容是________； 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转得，连接交于点D，连接．小东发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变． ①根据，利用四点共圆的思想，试证明； ②当为直角三角形，且时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②． 【分析】本题主要考查了直角所对的弦是直径、圆内接四边形对角互补、相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知导论过程即可解答； （2）①先说明、即A，C，B，D四点共圆，则，进而得到，再证明可得，最后根据垂直平分线的性质即可解答；②分当和两种情况分别证明得到相应线段的长，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合）， 连接，则， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）①证明：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴A，C，B，D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵旋转得， ∴ ∴， ∵， ∴． ②如图中，当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， 如图中，当时，过B作交于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴,   ∴, ∴, ∴． 综上，的长为或． 17．（2025·江西·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 18．（2025·河南商丘·三模）综合与实践 小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据． ，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．    【反思归纳】 (1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；依据2：______． 【拓展延伸】 (2)如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点，连接．小明发现，旋转过程中，点始终为的中点，为验证结论，小明连接，判断，，，四点共圆后得出结论． ①请你帮小明证明； ②当为直角三角形，且时，请直接写出的长． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可； （2）①根据旋转的性质，证明，②根据四点共圆、圆周角定理证明，得出，，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补； 依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）①证明：∵将绕点逆时针旋转，得到，    ∴ ∴ ∵旋转角相等，即 ∴ 又∵， ∴， 设， 则， ∵在中，，， ∴ ， ∴， 即， ∵ ∴ ∴四点共圆 ∴ 又∵， ∴， ②当为直角三角形，只有一种情形，如图所示，过点作于点，    ∵ ∴是等腰直角三角形， ∵，则，即是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中，； 【点睛】本题考查了直角所对的弦是直径，圆内接四边形对角互补，确定圆的条件，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则． (1)请完善探究展示 (2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接． ①求证：A，D，B，E四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 (2)45° (3)①见解析；②的值不会发生变化，值为8 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可； （2）根据四点共圆、圆周角定理解答； （3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，证明结论； ②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】（1）解：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接，，则， ∵， ∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上， ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上； （2）解：∵， ∴点四点在同一个圆上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）①证明：∵， ∴， ∵点与点关于的对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴A，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化， 理由如下：如图4，连接， ∵点与点关于的对称， ∴， ∴， ∴， ∵A，D，B，E四点共圆， ∴， ∴， ∴A，B，F，C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 20．（2024·河南·模拟预测）如图，在中，与交于点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补． （1）观察猜想 若四边形是正方形，则线段与有何数量关系？请直接写出结论． （2）延伸探究 若四边形是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展证明 若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）OE=OF；（2）（1）的结论成立，图和证明见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）先利用同角的补角相等判断出∠MON=∠EOF，再判断出OM=ON，进而得出△OME≌△ONF（AAS），即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； （3）先用同角的补角相等判断出∠GOH=∠EOF，进而得出△EOG∽△FOH，即，再用S△AOB=S△AOD，得出ABOG=ADOH，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N， ∴∠OME=∠ONF=90°， ∴∠BAD+∠MON=180°， ∵∠BAD+∠EOF=180°， ∴∠MON=∠EOF， ∴∠EOM=∠FON， ∵O是正方形ABCD的对角线的交点， ∴∠BAO=∠DAO， ∵OM⊥AB，ON⊥AD， ∴OM=ON， ∴△OME≌△ONF（AAS） ∴OE=OF； （2）（1）的结论成立； 理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N， ∴∠OME=∠ONF=90°， ∴∠BAD+∠MON=180°， ∵∠BAD+∠EOF=180°， ∴∠MON=∠EOF， ∴∠EOM=∠FON， ∵O是菱形ABCD的对角线的交点， ∴∠BAO=∠DAO， ∵OM⊥AB，ON⊥AD， ∴OM=ON， ∴△OME≌△ONF（AAS） ∴OE=OF； （3）如图3， 过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H， ∴∠OGE=∠OHF=90°， ∴∠BAD+∠GOH=180°， ∵∠BAD+∠EOF=180°， ∴∠GOH=∠EOF， ∴△EOG∽△FOH， ∴ ∵O是▱ABCD的对角线的交点， ∴S△AOB=S△AOD， ∵S△AOB= AB•OG，S△AOD= AD•OH， ∴ABOG=ADOH， ∴ ∴，即： 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出全等三角形和相似三角形是解本题的关键． 21．探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 (2)45° (3)①见解析；②不发生变化，值为8 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （3）①根据（1）中的结论证明即可得证；②证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等） 点，，，四点在同一个圆上 故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 （2）在线段同侧有两点，， 四点共圆， 故答案为： （3）①∵， ， 点与点关于对称， ， ， 四点共圆； ②，理由如下， 如图，四点共圆， ， 关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 22．（2025·山东青岛·一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)【问题理解】 如图1，在☉O上有三个点A、B、C，连接AB、BC．现要在☉O上再取一点D，使得四边形ABCD是等补四边形，请写出点D的一种取法，并证明你得到的四边形ABCD是等补四边形． (2)【拓展探究】 如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD ①已知BC：CD=7：4，△ACD的面积为8，则四边形ABCD的面积为 ； ②连接AC，请在图中找出一组具有相等关系的角，并证明你的结论． (3)【问题解决】 如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD=7，DF=3，且AF的长． 【答案】(1)见解析 (2)22；见解析 (3) 【分析】（1）以点C为圆心，BC长为半径画，与交于点D，连接AD，CD，则四边形ABCD是等补四边形，根据圆内接四边形对角互补即可证明； （2）①过点C作，交AD延长线于点M，过点C作，交AB于点N，证明，根据相似三角形的性质以及已知条件可得，即可求得四边形ABCD的面积， ②根据（1）的方法证明结论即可； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质代入数值求解即可． 【详解】（1）点D的取法：以点C为圆心，BC长为半径画，与交于点D，连接AD，CD，则四边形ABCD是等补四边形． 证明：∵CB、CD均为的半径， ∴CB=CD， ∵A、B、C、D四点同在上， ∴四边形ABCD是的内接四边形， ∴四边形ABCD的对角互补， ∴四边形ABCD是等补四边形． （2）①如图所示，过点C作，交AD延长线于点M，过点C作，交AB于点N， 则， ∵四边形ABCD是等补四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵AB=AD， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：22； ②图中相等的一组角是与， 证明：∵AB=AD， ∴， ∴． （3）解：如图，连接， 四边形是等补四边形， 又 平分 ． 由（2）可知 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $