第08讲 一次函数的图象与性质（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦一次函数的图象与性质，覆盖正比例函数与一次函数概念、图象象限判断、与方程不等式关系等中考核心考点。通过知识导航构建网络体系，考点解析分命题点细化，结合真题讲解与方法归纳，帮助学生突破平移、几何综合等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 亮点在于“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习设计，及重难突破中一次函数与几何综合的专题训练。通过典例变式培养数学思维，如利用函数图象解不等式的数形结合策略，助力学生高效掌握解题方法。教师可依托考情分析把控复习节奏，学生通过真题实战提升应考能力。

第三章 函数 第08讲 一次函数的图象与性质 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 正比例函数、一次函数的概念 题型01 求函数解析式或点的坐标 命题点二 一次函数的图象与性质 题型01 判断一次函数图象经过的象限 题型02 函数图象与坐标轴交点问题 命题点三 一次函数与不等式的关系 题型01 利用一次函数图象求解不等式 命题点四 一次函数与一次方程的关系 题型01利用一次函数图象解方程（组） 05·重难突破·思维进阶难 21 突破一 一次函数图象的平移问题 突破二 一次函数与几何综合 突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的图象与性质 南通T5 扬州T8 淮安T14 苏州T12 镇江T7 苏州T13 宿迁T18 南通T18 南京T19 无锡T5 苏州T14 无锡T12 无锡T13 无锡T15 会运用待定系数法确定一次函数的表达式；会画出一次函数的图象；会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会根据一次函数的图象和表达式），探索并理解k值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律； 一次函数与不等式的关系 徐州T8 无锡T10 南通T17 会根据一次函数的图象解释一次函数与一元一次不等式的关系； 一次函数与一次方程的关系 / 扬州T14 / 会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系； 命题预测 分析2023-2025年江苏省中考数学关于一次函数的考查情况可以法相1. 图象与性质：高频考点，主要考查根据系数k、b判断图象经过的象限、增减性以及平移规律；2. 待定系数法求解析式；3. 一次函数与方程、不等式的关系：考查从“形”与“数”的角度理解一次函数与一元一次方程、不等式之间的联系。2026年江苏中考一次函数的命题可能呈现以下方向： 1. 回归基础，但考法更灵活：对一次函数图象性质的考查仍是基础题（选择题、填空题）的主流，但可能会通过设置新的问题情境或结合几何图形来增加灵活性。 2. 跨章节综合：与几何图形动点问题结合，求线段长、面积、或探究特殊图形（如等腰三角形）的存在性。 考点一 一次函数、正比例函数的概念 1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2．一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 1．（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式，可以令，求出函数值，进而得到点B的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点B的坐标可以为； 故答案为：（答案不唯一） 2．（2024·江苏南京·中考真题）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【知识点】求一次函数自变量或函数值、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，根据点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点，可得，代入可解得，故点的坐标为． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点， ∴， ∵两点都在函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．将各选项中的横坐标代入一次函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中给出的纵坐标对比，判断该点是否在函数图象上． 【详解】解：当时，．故不在一次函数图象上； 当时，．故不在一次函数图象上； 当时，．故在一次函数图象上； 当时，．故不在一次函数图象上； 故选：C． 考点二 一次函数的图象及性质 1．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 2．一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 1．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 考点三 一次函数与方程（组）、不等式的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标 xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式ax+b>0就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与交点的坐标数值上等于对应方程组的解。 牢记：交点的坐标“就是”对应方程组的解 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象平移问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 2．（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答． 【详解】解：当时，，解得， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义．在平面直角坐标系中，直线与直线交点的坐标就是二元一次方程组的解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点， 关于、的二元一次方程组的解是． 故答案为： ． 命题点一 一次函数的概念 ►题型01 求函数解析式或点的坐标 / 【典例】．（2025·江苏南京·三模）在等式中，当时，；当时，．当时，求y的值． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正确求出一次函数解析式是解题关键．把代入解析式，求出、的值，得到一次函数解析式，再将代入计算求值即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 所以， 将代入得，． 【变式】 1．（2025·江苏泰州·三模）已知点在一次函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图像与性质、代数式的化简与求值等知识点，解题的关键在于利用点在函数图像上的条件将未知数之间的关系建立起来．根据点在函数图象上，将b用a表示，再代入代数式化简即可． 【详解】解：将点坐标代入得， ， 则， 所以， 故答案为：． 2．（2025·江苏连云港·二模）函数经过点，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】求一次函数自变量或函数值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一次函数图象的点，理解一次函数经过某点的含义，是解答本题的关键． 将代入，即可作答． 【详解】解：根据题意，将代入， 有：，解得：， 故答案为：3． 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01判断一次函数图象经过的象限 / 【典例】．（2025·江苏淮安·一模）若点是一次函数图象上的点，则点P在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，先根据题意判断出函数图象所在的象限，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数中， ，， 此函数的图象经过第一、二、三象限， 点是一次函数图象上的点，m与互为相反数， 点在第二象限． 故选：B． 【变式】 1．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限，不经过第三象限 故答案为：三． 2．（2025·江苏宿迁·三模）若，则函数的图像不经过第 象限． 【答案】四 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，结合图像走向和与坐标轴交点位置，利用数形结合思想确定不经过的象限．根据一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第一、二、三象限即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 故答案为：四． ►题型02 函数图象与坐标轴交点问题 / 【典例】．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、等边对等角、一次函数图象与旋转问题 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：， ． 故选：B． 2．（2025·江苏宿迁·二模）如图，入射光线满足的一次函数关系式为，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了轴对称问题，一次函数与轴的交点问题，解题的关键是得出是关于原点对称的，求出点，即可求出点坐标． 【详解】解：延长交轴于，如下图： 由原理知：是关于原点对称的， 当，则，解得：， ，故， 故选：B． 命题点三 一次函数与不等式的关系 ►题型01 利用一次函数图象求解不等式 / 【典例】．（2025·江苏徐州·三模）若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握从图象上获得信息是解题的关键． 由函数图象可知，函数图象经过点，并且函数值随的增大而增大，得到，，求出，推出函数的并且函数值随的增大而减小，得到关于x的不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象可知，函数图象经过点，并且函数值随的增大而增大， ，， ， 函数的并且函数值随的增大而减小， 当时，， 关于x的不等式的解集为， 故选：D． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据函数图像解答即可求解． 【详解】解：由函数图像可知，当时，函数的图像不在函数图像的上方，即， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 2．（2025·江苏南通·二模）若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小，再由函数是函数函数向右平移2个单位长度得到的，可得函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小， ∵函数是函数函数向右平移2个单位长度得到的， ∴函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小， ∴关于x的不等式的解集是， 故选：C 命题点四 一次函数与一次方程的关系 ►题型01 利用一次函数图象解方程（组） / 【典例】．（2025·江苏南京·二模）函数（，为常数，）的图象与的图象交于点． (1)求，的值； (2)已知一次函数（为常数，），当时，总有，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题、二元一次方程组的应用、不等式的应用等知识点，掌握边界问题的求解方法是解题的关键． （1）直接将代入函数解析式得到二元一次方程组求解即可； （2）由（1）易得，，再分、两种情况解答，最后综合即可解答． 【详解】（1）解：将点代入函数（，为常数，）的图象与可得： ，解得：， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵当时，总有， ∴， ∴，即， ∵， ∴（当时恒成立，取等号边界情况），解得：； 由，即， ∴， 综上，a的取值范围为． 【变式】 1．（2025·江苏盐城·三模）“鹿鸣学堂”数学兴趣小组研究发现∶在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横坐标的倍还大(为常数)，则称此点为“倍大点”，例如、都是“倍大点”． 【验证感知】若时，“倍大点”为，则一次函数的图像上的“倍大点”的坐标为 【知识应用】若反比例函数 存在“倍大点”，求的取值范围； 【拓展延伸】若时，二次函数在的范围内，图像上有且只有个“倍大点”，求的取值范围． 【答案】[验证感知]；[知识应用] 或；[拓展延伸] 或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键； [验证感知]根据题意“倍大点”在上，联立直线解析式，即可求解； [知识应用]联立反比例函数解析式，得出一元二次方程，根据一元二次方程根判别式的意义，即可求解； [拓展延伸]分两种情况讨论，设，；①抛物线与直线相切；②当时，，且当时，，此时图像上有且只有个“倍大点”，解不等式，即可求解． 【详解】解：[验证感知]当，“倍大点”为， 则“倍大点”在上， 联立 解得： ∴一次函数的图像上的“倍大点”的坐标为； [知识应用]解：依题意，“倍大点”在上， 当反比例函数 存在“倍大点” ∴有解， ∴ ∴ 解得：或 [拓展延伸]∵，则“倍大点”在上， 设， ∵二次函数在的范围内，图像上有且只有个“倍大点”， ①当时， 即， ∴ 解得： ②当时，，且当时， 解得： 综上所述，或 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积． 【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中直线与坐标轴围成的面积，掌握一次函数交点的计算方法，图形面积的计算方法是解题的关键．根据两条直线相交，可联立方程组求得点的坐标，根据直线与坐标轴有交点可求得点的坐标，如图所示，可得，过点作于点，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意得方程组，解得， ∴， 在直线中，当时，，解得， ∴， 在直线中，当时，，解得， ∴， 如图所示，过点作于点，      ∴，， ∴． 突破一 一次函数图象的平移问题 【典例】．（2025·江苏徐州·模拟预测）将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是， 即， 故答案为：． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）将一次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象必定经过（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数与几何变换．求出平移后图象的函数解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象解析式为， 当时，，故平移后的图象必定经过，A符合题意； 当时，，故平移后的图象不经过，B不符合题意； 当时，，故平移后的图象不经过，C不符合题意； 当时，，故平移后的图象不经过，D不符合题意； 故选：A． 2．（2025·江苏常州·一模）若一次函数的图像向上平移2个单位长度后经过点，则 ． 【答案】3 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数图像的点，先根据“上加下减”的平移法则写出平移后的一次函数解析式，再将点代入求解即可． 【详解】由题意得，一次函数的图像向上平移2个单位长度后解析式为， 即， ∵平移后的图像过点， ∴， 故答案为：3． 突破二 一次函数与几何综合 【典例】．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、一次函数与几何综合、等边三角形的性质 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，点的坐标规律探索，过点作于，过点作于，过点作于，可得，，，即得点的纵坐标为，据此解答即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于， 把代入，得， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ， ∵点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A、与y轴交于点B，，点E在线段上，点F在A右侧的x轴上，且，则 ；连接，则的最小值＝    ． 【答案】 60 【知识点】一次函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】过点P作轴于点H，连接，求出，，得，；求出，得，，证明，得，∴证明，得，是等边三角形，得,由，得的最小值为． 【详解】解：过点P作轴于点H，连接，则， ∵， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 对， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题，构建方程解决问题． 2．（2025·江苏扬州·三模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则 ． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行．直接写出点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 【答案】（1）10；（2）；（3）或；（4） 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、切线的性质定理、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）设，根据点N为点M关于点P的二次对称点，可得，故； （2）由关于的对称点，又关于原点的对称点，即得A关于点Q的二次对称点B的坐标为； （3）设，可得C关于点的二次对称点D坐标为；由、都与坐标轴平行，分四种情况：①若轴，轴，则；②若轴，轴，则；③若轴，轴，则；④若轴，轴，则，分别解方程组可得答案； （4）连接，设直线交x轴于G，交y轴于K，求出，，知，，，由点F为点E关于点的二次对称点，可得，，，而当时，为的垂直平分线，有，，故点F在以O圆心，5为半径的上运动，用面积法求出当与直线m相切时，，即可得b的取值范围． 【详解】解：（1）设， ∵点N为点M关于点P的二次对称点， ∴P为的中点， ∵， ∴， ∵N，T关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：10； （2）∵关于的对称点，又关于原点的对称点， ∴A关于点Q的二次对称点B的坐标为； 故答案为：； （3）设， ∵关于点的对称点，又关于原点的对称点， ∴C关于点的二次对称点D坐标为； 由、都与坐标轴平行，分四种情况： ①若轴，轴，则， 方程组无解，故这种情况不存在； ②若轴，轴，则， 解得， ∴； ③若轴，轴，则， 解得， ∴； ④若轴，轴，则， 方程组无解，故这种情况不存在； 综上所述，C的坐标为或； （4）连接，设直线交x轴于G，交y轴于K，如图： 在中，令得，令得， ∴，， ∴，，， ∵点F为点E关于点的二次对称点， ∴同（1）可得，，， ∴当时，为的垂直平分线， ∴，， ∴点F在以O圆心，5为半径的上运动， 当与直线m相切时，， 此时， ∴， 解得， ∵在运动过程中，一定存在的情形， ∴b的取值范围为． 【点睛】本题考查了点的坐标一轴对称，一次函数的综合，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）抛物线分别与x轴、y轴交于点A、点、点，连结、，P是抛物线上一点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，设点P的横坐标是．作直线，交于点D，求证：点D是线段的中点； (3)若与互为余角，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，一次函数和二次函数的综合，相似三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线； （1）根据待定系数法的步骤求出二次函数的解析式即可； （2）根据（1）中二次函数的解析式求出点P的坐标，根据待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两个解析式求出交点坐标即可得到答案； （3）作出辅助线，证明三角形相似即可得到答案； 【详解】（1）解：把点、点代入抛物线可得： ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：∵点P的横坐标是， ∴， ∴点P， ∵抛物线的解析式为， 令，即， 解得： ∴点A点B， 令，即， ∴点C， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理得：直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点D， ∵点A点C， ∴点D是线段的中点； （3）解：过点P作于点M，过点N作于点N， 由（2）中可知：，， 在中 ∴，， 在中， ∴， ∴， ∵若与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 由（1）可知：抛物线的函数解析式为， ∴可设， ∵， ∴， ∴ ∴点P在y轴的右侧，， ∴， ∴， 解得：或（负值舍去）， ∴点P的坐标为或． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； （2）如图，设直线 与 的交点为， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)8 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【详解】（1）解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． （2）解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 1．（2025·江苏常州·一模）已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的性质、正比例函数的图象 【分析】本题主要考查了正比例图象上点的坐标特征，熟知正比例的图象和性质是解题的关键．根据正比例的图象和性质即可解决问题． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又点在正比例函数的图象上，且 ． 故选：B 2．（2025·江苏盐城·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键． 把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，即， 则， 故选：D． 3．（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，平行四边形的对角线与x轴平行．直线与x轴、y轴分别交于点E、F．将四边形沿x轴向左平移m个单位，当点D落在的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求出点点的坐标是解题的关键． 如图中，连接交于，延长交于．求出点的坐标，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，延长交于， ∵平行四边形的顶点的坐标为，点的坐标为，，对角线与轴平行， ， ∴点的坐标为， 当时，，解得：， ∴点的坐标为， ， ∴当时，点落在的内部（不包括三角形的边）． 故选：B． 4．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】画一次函数图象、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题主要考查绝对值二次函数图象与一次函数图象的交点个数判断，掌握函数图象的画法，数形集合是解题的关键．先画出两个函数的图象，然后数形结合就可以得出答案． 【详解】解：， 或时，，当时，， 过、、 ， 其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 将的图象在轴下方的部分对称到上方，得到的图象， 一次函数，当时，，当时，，当时，，故一次函数过和和，如图所示： 从图象可知，交点个数为3个， 故选：C． 5．（2025·江苏镇江·二模）已知点都在直线上，则的值的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握k的符号如何决定函数的增减性是解题的关键． 先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【详解】∵直线，其中． ∴根据一次函数性质，当时，随的增大而减小． ∵三点的横坐标分别为，，， ∴． ∵随增大而减小， ∴对应的纵坐标大小关系为． 故选：A． 6．（2025·江苏扬州·二模）若一次函数的函数值随着的增大而增大，则不可能是（   ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】A 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟悉一次函数的图象与性质是关键． 由一次函数的性质可得为正，从而可求得m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的函数值随着的增大而增大， ∴，即． 故选：A． 7．（2025·江苏苏州·一模）若，为一次函数图像上两点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据一次函数的增减性，得到的符号，进行求解即可． 【详解】解：∵，为一次函数图像上两点，且， ∴随着的增大而减小， ∴， ∴； 故选D． 8．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算、根据一次函数增减性求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质． 推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【详解】解：①当时，，当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴在时，，即， ∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当时，，当时，， ∵对称轴为y轴，， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴在时，，即， ∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵， ∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵，， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 设，则， 当函数存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数的“4级关联范围”， ∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 9．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数交点情况，一次函数与不等式，根据题意得到，再结合当时，不等式恒成立，得到，对进行讨论得到，进而得到m的取值范围，即可解题． 【详解】解：一次函数的图像与x轴交于点， ， 整理得， 当时，不等式恒成立， 整理得， 当时，有，与当时，不等式恒成立矛盾， 当时，有，即当时，不等式恒成立，所以 ， ，即，有， 即，解得， 综上， ，， 即，解得， 故选：B． 10．（2025·江苏扬州·二模）如图直线交x轴于点A，将一个等腰直角三角形的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰好落在上，若点N在第二象限，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数与几何综合，勾股定理，设直线与x轴交于B，过作于，过作于，设的坐标是，则，可求出，则，利用勾股定理得到，再利用等面积法求出，据此解直角三角形得到，据此利用勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：设直线与x轴交于B，过作于，过作于， ∵在直线上， ∴设的坐标是， 则， 在中，当时，，当时，， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵在中，由三角形的面积公式得：， ， ， ∵在中，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得（舍去）或， ∴， ， 故选：A． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）已知点与点N关于y轴对称，将点M向右平移4个单位长度得到点P．若N，P在函数的图象上，求点M的坐标． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、由平移方式确定点的坐标、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，待定系数法，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得，根据平移方式可得，再把点N和点P的坐标代入一次函数解析式中计算求解即可． 【详解】解：∵点与点N关于y轴对称， ∴， ∵将点M向右平移4个单位长度得到点P， ∴， ∵N，P在函数的图象上， ∴，解得， ∴点M的坐标为． 2．（2025·江苏南通·二模）已知不等式的解集是，，，，四个点中，有一个点在直线上，则这个点是 ． 【答案】点B 【知识点】判断一次函数的图象、求一次函数自变量或函数值 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．根据不等式的解集是得到一次函数必过点，且y随着的增大而增大，即，进一步即可作出判断，得到答案． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴一次函数必过点，且y随着的增大而增大，即， ∵，， ∴点A的纵坐标应该大于2，点C的纵坐标应该小于2，点D的纵坐标应该小于2， ∴，，一定不在直线直线上， ∵，，，四个点中，有一个点在直线上， ∴点在直线上， 故答案为：点B 3．（2025·江苏宿迁·三模）若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象，解一元一次不等式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 将代入得，则代入原不等式，化为，再根据图象可得，则，即可求不等式的解集． 【详解】解：将代入得：， ∴， ∴化为：， ∴， 由函数图象可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·江苏泰州·二模）如图，一次函数的图像与正比例函数的图像交于点，且与轴交于点． (1)求和的值； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数综合问题，求三角形的面积，掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）将代入得出，再代入即可得出的值； （2）把代入得，，则，进而根据的面积为，得出，即可求解． 【详解】（1）解：在的图像上， ， 在一次函数的图像上， ， ； （2）过点作轴，垂足为， 把代入 得，， ， ，轴， ， ， 或． 5．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将上的一点变换为，上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为，称为的变换图形． (1)①点的变换点的坐标是______； ②直线的变换图形上任意一点的横坐标是______； (2)求直线的变换图形与轴的交点坐标； (3)已知点的坐标是，以点为圆心，1为半径作，若的变换图形与直线有共公点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】切线的性质定理、已知两点坐标求两点距离、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、求一次函数解析式 【分析】（1）①由变换点定义求解即可；②由变换图形定义求解即可； （2）设直线上一点为，根据变换图形定义求出变换点，然后求出解析式即可得解； （3）取两点A和B且为直径，进而利用变换图形的定义求出的变换图形的圆心坐标，进而结合图形求解即可． 【详解】（1）①由定义可知点的变换点的坐标，即， 故答案为：； ②设直线上点为， ∴变换图形横坐标为， 故答案为：； （2）设直线上一点为， 则其变化点为，即， ∴， ∴直线的变换图形的解析式为， 令，得， ∴直线的变换图形与x轴的交点坐标为； （3）∵的半径为1，圆心， ∴可在圆上取两点，，，且为直径， ∴点A的变换点为，点B的变换点为， ∴中点为，， ∵为直径， ∴的变换图形则是以为圆心，为半径的圆， 记直线为直线l，且与y轴交于点K，则， 当与直线相切，且在直线上方时，过作于点M，    由辅助线可知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 当与直线相切，且在直线下方时， 同理可知∴， ∴， ∴，即， ∴． 综上，． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数的应用，切线的性质，勾股定理等知识，正确理解变换图形的定义，能够准确表示出变换点的坐标是解题的关键． 1．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】BD 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的性质、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； 故选：． 3．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、y=a（x-h）²+k的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 4．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 5．（2025·湖北·中考真题）已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 7．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 8．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 9．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 10．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标． 方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错． 首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标． 【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴， 解得：， 直线的解析式为：, 是的角平分线，， 所在直线的解析式为． 联立方程组： 将代入中，得到： ， 解得． ， ． 所以，直线与的交点F的坐标为． 故答案为：． 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第08讲 一次函数的图象与性质 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 正比例函数、一次函数的概念 题型01 求函数解析式或点的坐标 命题点二 一次函数的图象与性质 题型01 判断一次函数图象经过的象限 题型02 函数图象与坐标轴交点问题 命题点三 一次函数与不等式的关系 题型01 利用一次函数图象求解不等式 命题点四 一次函数与一次方程的关系 题型01利用一次函数图象解方程（组） 05·重难突破·思维进阶难 11 突破一 一次函数图象的平移问题 突破二 一次函数与几何综合 突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 06·优题精选·练能提分 14 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的图象与性质 南通T5 扬州T8 淮安T14 苏州T12 镇江T7 苏州T13 宿迁T18 南通T18 南京T19 无锡T5 苏州T14 无锡T12 无锡T13 无锡T15 会运用待定系数法确定一次函数的表达式；会画出一次函数的图象；会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会根据一次函数的图象和表达式），探索并理解k值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律； 一次函数与不等式的关系 徐州T8 无锡T10 南通T17 会根据一次函数的图象解释一次函数与一元一次不等式的关系； 一次函数与一次方程的关系 / 扬州T14 / 会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系； 命题预测 分析2023-2025年江苏省中考数学关于一次函数的考查情况可以法相1. 图象与性质：高频考点，主要考查根据系数k、b判断图象经过的象限、增减性以及平移规律；2. 待定系数法求解析式；3. 一次函数与方程、不等式的关系：考查从“形”与“数”的角度理解一次函数与一元一次方程、不等式之间的联系。2026年江苏中考一次函数的命题可能呈现以下方向： 1. 回归基础，但考法更灵活：对一次函数图象性质的考查仍是基础题（选择题、填空题）的主流，但可能会通过设置新的问题情境或结合几何图形来增加灵活性。 2. 跨章节综合：与几何图形动点问题结合，求线段长、面积、或探究特殊图形（如等腰三角形）的存在性。 考点一 一次函数、正比例函数的概念 1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2．一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 1．（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可） 2．（2024·江苏南京·中考真题）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 考点二 一次函数的图象及性质 1．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 2．一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 1．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 考点三 一次函数与方程（组）、不等式的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标 xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式ax+b>0就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与交点的坐标数值上等于对应方程组的解。 牢记：交点的坐标“就是”对应方程组的解 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是 ． 命题点一 一次函数的概念 ►题型01 求函数解析式或点的坐标 / 【典例】．（2025·江苏南京·三模）在等式中，当时，；当时，．当时，求y的值． 【变式】 1．（2025·江苏泰州·三模）已知点在一次函数的图象上，则的值为 ． 2．（2025·江苏连云港·二模）函数经过点，则的值是 ． 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01判断一次函数图象经过的象限 / 【典例】．（2025·江苏淮安·一模）若点是一次函数图象上的点，则点P在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】 1．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 2．（2025·江苏宿迁·三模）若，则函数的图像不经过第 象限． ►题型02 函数图象与坐标轴交点问题 / 【典例】．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【变式】 1．（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·二模）如图，入射光线满足的一次函数关系式为，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 命题点三 一次函数与不等式的关系 ►题型01 利用一次函数图象求解不等式 / 【典例】．（2025·江苏徐州·三模）若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 2．（2025·江苏南通·二模）若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 命题点四 一次函数与一次方程的关系 ►题型01 利用一次函数图象解方程（组） / 【典例】．（2025·江苏南京·二模）函数（，为常数，）的图象与的图象交于点． (1)求，的值； (2)已知一次函数（为常数，），当时，总有，则的取值范围是 ． 【变式】 1．（2025·江苏盐城·三模）“鹿鸣学堂”数学兴趣小组研究发现∶在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横坐标的倍还大(为常数)，则称此点为“倍大点”，例如、都是“倍大点”． 【验证感知】若时，“倍大点”为，则一次函数的图像上的“倍大点”的坐标为 【知识应用】若反比例函数 存在“倍大点”，求的取值范围； 【拓展延伸】若时，二次函数在的范围内，图像上有且只有个“倍大点”，求的取值范围． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积． 突破一 一次函数图象的平移问题 【典例】．（2025·江苏徐州·模拟预测）将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是 ． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）将一次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象必定经过（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·一模）若一次函数的图像向上平移2个单位长度后经过点，则 ． 突破二 一次函数与几何综合 【典例】．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为 ． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A、与y轴交于点B，，点E在线段上，点F在A右侧的x轴上，且，则 ；连接，则的最小值＝    ． 2．（2025·江苏扬州·三模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则 ． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行．直接写出点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）抛物线分别与x轴、y轴交于点A、点、点，连结、，P是抛物线上一点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，设点P的横坐标是．作直线，交于点D，求证：点D是线段的中点； (3)若与互为余角，求点P的坐标． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 1．（2025·江苏常州·一模）已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于（     ） A． B． C．3 D．5 3．（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，平行四边形的对角线与x轴平行．直线与x轴、y轴分别交于点E、F．将四边形沿x轴向左平移m个单位，当点D落在的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·江苏镇江·二模）已知点都在直线上，则的值的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏扬州·二模）若一次函数的函数值随着的增大而增大，则不可能是（   ） A． B．2 C．3 D．6 7．（2025·江苏苏州·一模）若，为一次函数图像上两点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·江苏扬州·二模）如图直线交x轴于点A，将一个等腰直角三角形的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰好落在上，若点N在第二象限，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）已知点与点N关于y轴对称，将点M向右平移4个单位长度得到点P．若N，P在函数的图象上，求点M的坐标． 2．（2025·江苏南通·二模）已知不等式的解集是，，，，四个点中，有一个点在直线上，则这个点是 ． 3．（2025·江苏宿迁·三模）若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 4．（2025·江苏泰州·二模）如图，一次函数的图像与正比例函数的图像交于点，且与轴交于点． (1)求和的值； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 5．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将上的一点变换为，上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为，称为的变换图形． (1)①点的变换点的坐标是______； ②直线的变换图形上任意一点的横坐标是______； (2)求直线的变换图形与轴的交点坐标； (3)已知点的坐标是，以点为圆心，1为半径作，若的变换图形与直线有共公点，直接写出的取值范围． 1．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 3．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 5．（2025·湖北·中考真题）已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ． 6．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 8．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 9．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 10．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 5 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $