第09讲 一次函数的应用（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次函数的应用”专题，覆盖行程、销售、梯度计价、分配方案及科技热点五大中考核心考点，构建“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测-分层练习”的系统复习框架，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破分段函数建模等难点。 亮点在于融入新课标核心素养，如通过行程问题“三看”分析法培养数学眼光，用销售问题建模步骤发展数学思维，以梯度计价实例提升数学语言表达能力。特设“基础巩固-能力提升-全国新趋势”三级练习，配合真题精讲和命题预测，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生实战应考能力。

第三章 函数 第09讲 一次函数的应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 26 命题点一 一次函数的应用 题型01 一次函数与行程问题 题型02 一次函数与销售问题 题型03 一次函数与梯度计价问题 题型04 一次函数与分配方案问题 题型05 一次函数与科技热点问题 05·重难突破·思维进阶难 47 突破一 一次函数与行程问题的综合 突破二 一次函数与反比例函数、二次函数综合应用 06·优题精选·练能提分 57 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数与行程问题 宿迁T26 南通T9 淮安T14 无锡T26 镇江T17 南京T13 淮安T25 苏州T26 连云港T25 能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式；会在 不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式；能在实 际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。 一次函数与销售问题 / / 扬州T26 一次函数与其他问题 镇江T22 苏州T7 / / 命题预测 2023 - 2025 年一次函数应用考查情况分析： 1.题型相对稳定，多为解答题，部分地市会结合选择题的函数图象分析考查，分值通常在 8 - 12 分，属于中档或中高档题型； 2.问题背景多以行程问题为背景，偶尔也会以销售问题或问题等为背景。 2026 年中考一次函数应用考查预测 1. 题型与分值保持稳定：大概率仍以解答题为主，部分地市可能在选择题中设置函数图象分析题，分值维持在 8 - 12 分。不会出现偏题、怪题，难度依旧以中档为主，旨在考查学生的基础应用与简单综合能力。 2. 考查场景更贴近热点：实际应用场景可能结合当下低碳出行、新能源汽车、社区服务、电商促销等热点话题，比如新能源汽车续航里程与行驶路程的函数关系、电商直播带货中销量与利润的一次函数建模等。 3. 注重图象解读能力：可能会进一步增加函数图象相关的考查，比如给出实际场景的折线图（如销量、气温、路程等随时间变化的图），要求学生从中提取信息，转化为一次函数表达式，再解决实际问题。 复习建议 1. 夯实基础，掌握核心方法：熟练掌握一次函数 的性质，明确 k、b 的几何意义，能快速通过两点坐标求函数表达式。针对分段一次函数，重点练习根据不同区间的数量关系列表达式，避免因区间划分错误出错。 2. 强化实际场景建模训练：分类练习商业经营（利润、成本、销量）、阶梯收费（水、电、气）、行程问题（速度、时间、距离）、几何相关（边长、面积）等高频场景题目。练习时先梳理题目中的变量关系，将文字语言转化为数学式子，建立一次函数模型。 3. 错题复盘，总结常见误区：整理过往错题，重点关注易错点，如分段函数的区间端点取值、一次函数表达式求解时的计算错误、忽略实际场景中自变量的取值限制等。通过错题总结，形成规范的解题步骤，避免重复出错。 4. 限时训练，适配中考节奏：针对 8 - 12 分的解答题进行限时练习，控制在 10 - 15 分钟内完成一道综合题，提升解题速度和准确率。同时熟悉各地市真题的命题风格，适应不同背景下的题目表述方式，减少审题失误。 考点一 一次函数与行程问题 1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2．一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 3.利用待定系数法求一次函数关系式 4.分析一次函数与行程问的函数图象方法： （1）一看坐标轴：行程问题函数图象的 “基础语言”（必记） 行程问题的函数图象通常是路程 （纵坐标）时间（横坐标）图象，少数情况是速度（纵坐标） 时间（横坐标）图象，谨记：看图象，要先看坐标轴表示的意义； （2）二看关键点：图象起点、拐点、交点、终点 起点：确定出发时刻、初始位置（是否同地出发）； 拐点：预示着运动状态改变：速度变化、方向改变（前进→返回）、暂停（水平线段起点 / 终点）； 交点：同一时间，两人到达同一位置； 终点：到达目的地（路程不再变化）或运动结束. （3）三看变化趋势：坐标轴的意义不同，变化趋势的意义也不同，所以要在明确坐标轴的意义前提下，再看变化趋势才有意义。 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 2．（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出时的的值即可． 【详解】解：由题意，当时，解得：； ∴轿车从A地到达B地所用时间是小时； 故答案为：． 3．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题： (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 【答案】(1)由负到正 (2) (3)当或时， 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解； （2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解； （3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解． 【详解】（1）∵， 当滑块在点时，，， 当滑块在点时，，， ∴的值由负到正． 故答案为：由负到正． （2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时， ∵， ∴， ∴ ∴是的一次函数， ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数； ∴当时，， ∴， ∴， ∴滑块从点到点所用的时间为， ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿， ∴滑块从点到点的滑动时间为， ∴滑块返回的速度为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为； （3）当时，有两种情况， 由（2）可得， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：， 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键． 考点二 一次函数与销售问题 1．销售问题的常用数量关系 （1）总利润W = 单件利润 × 销量 = 总收入 总成本 （2）单件利润 = 售价 成本（进价）= 标价 × 折扣率 成本 （3）销量与定价联动问题： ① 涨价时：销量 = 原销量 每涨1元少卖的件数 × 涨价金额； ② 降价时：销量 = 原销量 每降1元多卖的件数 × 降价金额； （4）售价 = 标价 × 折扣率 2． 一次函数建模方法 建模要素 具体说明 自变量 x 设定 优先设 “定价调整量”： ① 设涨价 x 元（新售价 = 原售价 + x）； ② 设降价 x 元（新售价 = 原售价 - x）； ③ 设折扣率为 x（新售价 = 标价 ×x）。 因变量 y 设定 通常设 “总利润 W”（核心），或 “总销售额”“销量”。 函数表达式形式 ① 单件利润变化量 × 销量变化系数（如涨价 1 元，单件利润 + 1，销量 - 5，则 ； ② b = 初始总利润（未涨价 / 降价时的总利润，即原单件利润 × 原销量） 函数性质应用 ① 当  > 0：W 随  增大而增大（此时最大值在 取值上限，最小值在下限）； ② 当  < 0：W 随 增大而减小（此时最大值在  取值下限，最小值在上限）； ③ 当  = 0：W = （总利润不变，与定价调整无关） 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【知识点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 (2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 3．（2023·江苏泰州·中考真题）某公司的化工产品成本为元/千克．销售部门规定：一次性销售千克以内时，以元/千克的价格销售；一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润（元）与一次性销售量（千克）的函数关系如图所示． (1)当一次性销售千克时利润为多少元？ (2)求一次性销售量在之间时的最大利润； (3)当一次性销售多少千克时利润为元？ 【答案】(1)当一次性销售千克时，利润为元； (2)一次性销售量在之间时的最大利润为元； (3)当一次性销售为或或千克时，利润为元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（）用销售量利润计算即可； （）根据一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元求出每千克利润，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值； （）分一次性销售量在之间和一次性销售不低于千克两种情况列方程求解即可； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意， 当时，， ∴当一次性销售千克时，利润为元； （2）解：设一次性销售量在之间时， 每千克利润为， ∴， ， ， ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴一次性销售量在之间时的最大利润为元； （3）解：当时， ， ∴， 当一次性销售量在之间时， 由题意得，， 解得； 当一次性销售不低于千克时， 每千克利润为元， 由题意得，， 解得； ∴当一次性销售为或或千克时，利润为元． 考点三 一次函数与梯度计价问题 1．梯度计价问题（如阶梯水费、电费、燃气费、个税等）是初中数学一次函数应用的中考高频题型（常以解答题形式出现），核心特征是 “分区间定价”—— 不同用量 / 收入区间对应不同单价，需通过分段一次函数建模求解。 2．梯度计价的本质是分段的一次函数： 梯度计价的本质是 “多区间线性定价”，每个区间对应一段独立的一次函数（ 为用量 / 收入，为总费用），关键在于明确： 分段函数要素 对应梯度计价的意义 自变量  实际用量（如水、电度数）或收入额（如个税应纳税所得额），需注意 “区间分界点”（如电费 1-200 度为第一档，201-400 度为第二档）。 k 对应区间的 “单价”（如第一档电费0.5元/度，第二档 0.8 元/度），（费用随用量增加而上升） b 前序区间的 “累计总费用”（第一档 ，第二档 b =第一档最大用量 第一档单价，第三档  = 前两档总费用，以此类推） 自变量范围 每个区间的 取值范围（含左端点、不含右端点，或反之，需结合题目 “不超过”“超过” 表述确定） 3. 通用解题步骤： 第一步：审题析区间 —— 拆分梯度，明确关键参数； （1）找分界点：从题目中提取梯度划分的关键数值（如 “电费：不超过 200 度按 0.5 元 / 度，超过 200 度的部分按 0.8 元 / 度”，分界点为 200 度）； （2）列区间表：按 “用量从小到大” 拆分区间，标注每个区间的 “单价” 和 “累计基础费用 ”； （3）定变量：设为实际用量/收入，为总费用； 第二步：列函数表达式 —— 分区间写一次函数 根据 “= 本区间单价 + 前序累计费用”，分区间推导表达式， 关键：表达式需标注对应 x 的取值范围，避免区间混淆。 第三步：根据题意求数值 —— 分情况代入计算 （1）已知用量 ，求总费用 ：先判断  属于哪个区间，再代入对应区间的函数表达式计算； （2）已知总费用，求用量，从第一档开始验证，直到找到对应区间； 第四步：验证答案 —— 结合实际场景检验合理性 1．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析． 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、梯度计价问题 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． 2．（2025·江苏·模拟预测）每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 【答案】(1) (2)50957.1元 【知识点】求自变量的值或函数值、梯度计价问题 【分析】此题考查一次函数的应用，理解题意并根据计算公式写出函数关系式是解题的关键： （1）根据计算公式计算即可； （2）先判断李师傅纳税使用级数，再根据对应级数y关于x的函数表达式，当时，求出对应的x的值即可 【详解】（1）解：， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：因为根据李师傅纳税2575.71元，， 所以李师傅纳税适用级数为2级，关于的函数表达式为． 当时，． 解得． 答：李师傅全年应纳税所得额是50957.1元． 3．（2025·江苏·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)14.5吨 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的实际应用， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）根据题意，得当时，设该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． 将点和点的坐标代入 得， 解得 当时，该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． （2）当时，得． 解得． 答：该用户5月用了14.5吨水． 考点四 一次函数与分配方案问题 1．用一次函数解决分配方案问题是初中数学中考综合应用题的高频类型，常以解答题形式出现，核心场景是 “资源分配（材料、人力、资金）、生产调度、运输调配” 等，本质是在多个约束条件下（如总量限制、数量范围），通过构建一次函数（目标函数）求最优方案（最小成本、最大收益、最高效率） 。 2．分配方案问题分析 要素类型 具体说明 与一次函数的关联 约束条件 ① 总量限制（如材料总用量≤库存、资金总额≤预算）； ② 数量范围（如产量0、人数为正整数）； ③ 比例限制（如A产品产量B产品的 2 倍）。 用不等式组表示，解出自变量的取值范围（通常为整数集合，因分配方案多为具体数量）。 目标函数 ① 优化目标：最小成本、最大收益、最短时间等； ② 表达式形式：， 为分配量（如A产品产量、甲运输的吨数）， 为目标量（成本、收益）。 一次函数的增减性决定最优方案的位置（最值在自变量取值范围的端点，因一次函数无顶点）。 3．一次函数性质在分配方案问题中的应用 目标函数k 函数增减性 最优方案位置 k > 0 随  增大而增大 最大值在  取值上限，最小值在  取值下限。 k < 0  随  增大而减小 最大值在 取值下限，最小值在 取值上限。 4. 自变量的特殊要求： 分配方案中的自变量多为 “数量”（如件数、吨数、人数），因此需满足： · 非负性：； · 整数性： 为正整数（或自然数），最终可行方案需为整数解。 5.通用解题方法总结： 第一步：审题析题 —— 明确约束条件和优化目标 1. 找关键词：提取 “总量”“不超过”“至少”“最多”“比例” 等约束条件（如 “钢材总用量不超过 100 吨”“A 产品产量至少 5 件”）； 2. 定优化目标：明确是 “求最小成本”“最大收益” 还是 “最短时间”（目标函数的因变量）； 3. 设变量：设核心分配量为自变量 （如 “设生产 A 产品 件”“设甲运输 吨”），用 表示其他相关量（如 B 产品产量 = 总销量 ）。 第二步：列不等式组 —— 确定自变量取值范围 根据约束条件列出不等式组，解出的取值范围（注意整数性要求）： 第三步：列目标函数 —— 构建一次函数 根据优化目标，用 表示目标量，化简为 的形式： · 成本类：总成本 = A的单位成本 + B的单位成本×相关量 ； · 收益类：总收益 = A的单位收益 + B的单位收益相关量。 第四步：求最优方案 —— 利用一次函数增减性 1. 判断 的正负，确定函数增减性； 2. 结合自变量取值范围（整数区间），找到最优端点： · 若：取  最大值， 最大；取 最小值，最小； · 若 ：取  最大值， 最小；取  最小值， 最大； 3. 列出所有可行方案（若取值范围为连续整数，可列举关键端点方案）。 第五步：验证答案 —— 检验方案的可行性 · 检查最优方案是否满足所有约束条件（如成本是否超预算、产量是否符合要求）； · 确认自变量为整数，目标量计算无误。 1．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【知识点】分式方程的经济问题、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 2．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 考点五 一次函数与科技热点问题 1．用一次函数解决实际问题的一般步骤： · 审题析量 —— 分析 “关系、变量、约束条件” · 设函数解析式 —— 抽象建模 · 利用待定系数法求函数解析式（找两组数据代入求解） · 确定自变量取值范围 —— 找 “边界” · 求解实际问题 —— 用函数性质（一次函数主要利用增减性） · 验证回归实际 —— 验 “合理性” 1．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】(1) (2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可． 【详解】（1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 2．（2025·江苏南京·三模）小明对甲、乙两个保温壶进行了保温测试，同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，在这段测试时间内，甲、乙两个保温壶的各自水温（单位：）与测试时间之间的函数图象如图所示． (1)当测试时间为时，乙壶中的水温是___________． (2)求甲壶中的水温与之间的函数关系式． (3)当甲、乙两个保温壶的温差不超过时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)80； (2)； (3)． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数关系式，一元一次不等式的应用等知识，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）求出乙壶中的水每分钟下降的温度，再根据水的温度测试开始时的水温时下降的温度计算即可； （2）求出甲壶中的水每分钟下降的温度，再根据水的温度测试开始时的水温分钟下降的温度计算即可； （3）写出乙壶中的水温与之间的函数关系式，当时列关于的一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：乙壶中的水的温度每分钟下降， ∴当测试时间为时，乙壶中的水温是， 故答案为：． （2）解：甲壶中的水的温度每分钟下降， ∴甲壶中的水温与之间的函数关系式为； （3）解：乙壶中的水温与之间的函数关系式为， 当时，得， 解得：， ∴的取值范围为． 3．（2025·江苏盐城·二模）五一假期，唐老师一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．唐老师在满电状态下出发，汽车的剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为___________； (2)若行驶一段时间后，唐老师发现电量还有，离景区有，唐老师能到达景区吗？请说明理由． (3)已知汽车快速充电功率为．唐老师驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量充电功率充电时间】 【答案】(1) (2)唐老师不能到达景区，理由见解析 (3)在充电站充电的时长为 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再令，求出的值，即可求解； （2）先计算出剩余电量相当于，令求出的值，加上还要行驶的路程，然后与充满电的状态下能行驶的路程比较即可； （3）根据行程需要的电量求出需要停车充电的电量，再根据快速充电功率计算充电的时长即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为：， 将，代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：， 当时，， 解得：， 当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为， 故答案为：； （2）唐老师不能到达景区，理由如下： 剩余电量，相当于， 在中，令，则， 解得：， ， 唐老师不能到达景区； （3）当时，， 唐老师驾驶满电汽车前往距离的景区，当到达景区时电量灯恰好变为红色，需要停车充电电量为， 充电电量为， 充电时间为， 答：在充电站充电的时长为． 命题点一 一次函数与行程问题 ►题型01 一次函数与行程问题 / 【典例】．（2025·江苏苏州·三模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来用30分钟装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)=________，货车装完货物后的行驶速度为________． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 【答案】(1)120， (2) (3)或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数图象及应用，待定系数法求一次函数解析式，路程、速度和时间的关系．关键在于利用待定系数法求函数表达式，结合路程、速度、时间关系分析各阶段运动状态，第三问需分类讨论“相遇前”和“相遇后”的距离情况．而且注意时间单位统一及图象中坐标的实际意义． （1）求a的值：通过出租车从甲地到乙地的函数图象确定其速度，再代入计算a；求货车装完货物后的速度：利用相遇时的路程和与时间关系求解即可； （2）求出租车从乙地返回甲地的速度：先确定货车到达甲地的时间，再结合出租车比货车早15分钟到达，计算出租车返回时间，进而求速度； （3）求出租车返回时与货车相距的时间：设时间为t小时，分别表示货车和出租车距乙地的距离，分“相遇前”和“相遇后”两种情况列方程求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 的解析式为． 把代入，． 出租车从甲地到乙地的速度为， 货车继续出发小时后，与出租车相遇， 相遇时，货车的速度为； 故答案为：120，； （2）由（1）得， 货车卸货时与乙地相距， 装完货物后，发现此时与出租车相距, 此时出租车距离乙地， 把代入，得，解得， ， 货车的速度为， 直线的解析式为， 把代入得，解得， 出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，且， 点E的坐标为即， 出租车从乙地返回到甲地的速度为； （3）设货车出发t小时后，出租车返回与货车相距， 货车距乙地：， 出租车距乙地：， 分两种情况讨论： 情况一：相遇前相距 ，可得， 解得； 情况二：相遇后相距，可得， 解得． 综上，货车出发或与出租车相距． 【变式】 1．（2025·江苏盐城·三模）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是 千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当两车距网点的路程之和是千米时，此时求乙车的行驶时间． 【答案】(1)； (2)； (3)乙车的行驶或小时后，两车距网点的路程之和是千米． 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键． （）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解； （）先求得乙车的速度，进而得出，待定系数求得解析式，即可求解； （）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可知：甲车的速度是（千米时）， 故答案为：； （2）解：根据图象可知：乙车的速度是（千米时）， ∴， ∴， 设线段的函数解析式为， ∴，解得：， ∴线段的函数解析式为； （3）解：由题意设， ∴，解得：， ∴， 同理可得：当时，； ∴， 设乙车的行驶小时后，两车距网点的路程之和是千米， 当乙未到达时，， 解得：； 当乙经过后，， 解得：（舍去）； 当甲到达后，， 解得：； 答：乙车的行驶或小时后，两车距网点的路程之和是千米． 2．（2025·江苏南京·二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为，货车与南京的距离，轿车与南京的距离． (1)在图2中，分别画出和补全关于t的函数图象； (2)分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离； (3)若镇江距离南京90 km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔． 【答案】(1)见解析； (2)南京到上海距离，苏州到上海距离； (3)h． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据两车都匀速行驶，到达终点的时间相同，即可画出一次函数的图象； （2）先求出苏州到上海的距离，设南京到上海的距离为，依题意列出方程求解即可； （3）分别求出货车从南京到镇江所用的时间和轿车从上海到镇江所用的时间，即可求解． 【详解】（1）解：两车都匀速行驶，到达终点的时间相同， ∴关于t的函数图象如图： （2）解：苏州到上海的距离为： ， 设南京到上海的距离为，依题意得： ， 解得：， 答：南京到上海距离，苏州到上海距离； （3）解：镇江到上海的距离为：， 货车从南京到镇江所用的时间为：， 轿车从上海到镇江所用的时间为：， ∴货车和轿车经过镇江的时间间隔为： ． 命题点二 一次函数与销售问题 ►题型01一次函数与销售问题 / 【典例】．（2025·江苏宿迁·二模）为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台． (1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ (2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过5400万元．高性能服务器每台售价80万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打7折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)高性能服务器每台的进价各是60万元，普通服务器每台的进价各是40万元 (2)购进高性能服务器70台，普通服务器30台时利润最大，最大利润是1880万元． 【知识点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查不等式的实际应用、一次函数的应用和分式方程的应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设普通服务器每台进价为万元，则高性能服务器每台进价为万元，根据“花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可求解； （2）设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台，根据“购买的总费用不超过5400万元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设总利润为万元，根据题意，可找出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设普通服务器每台进价为万元，则高性能服务器每台进价为万元． 根据题意列方程得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，则高性能服务器每台进价为：万元； 答：高性能服务器每台的进价是60万元，普通服务器每台的进价是40万元； （2）解：设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台． 可列出不等式：， 解得：，且m的整数， 高性能服务器每台利润为：（万元）， 普通服务器每台利润为：（万元）， 设总利润为万元，则，化简得：， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴当时，有最大值，（万元），此时购进普通服务器：（台）． 答：购进高性能服务器70台，普通服务器30台时利润最大，最大利润是1880万元． 【变式】 1．（2025·江苏南通·二模）小明到服装店进行社会实践活动，服装店老板让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价120元，售价180元；乙种每件进价100元，售价150元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． (1)若购进这100件服装的费用不得超过11500元，则甲种服装最多购进多少件？ (2)在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案使这批服装获得的利润最大？ 【答案】(1)件 (2)方案1：当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：当时，当时，购进甲种服装65件，乙种服装35件． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确列出不等式和函数解析式是关键． （1）设购进甲种服装x件, 购进这100件服装的费用不得超过11500元，据此列出不等式，解不等式即可得到答案； （2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以，列出函数解析式，根据一次函数的性质分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设购进甲种服装x件,由题意可知：       解得： 答：甲种服装最多购进75件． （2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以， 方案1：当时，，w随x的增大而增大 所以当时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件； 方案2：当时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以； 方案3：当时，，w随x的增大而减小 所以当时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件． 2．（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 【答案】(1) (2)购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准不等量关系，正确列出一元一次不等式组；（3）灵活运用一次函数的性质求最值． 设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元，根据购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤，根据题意，得，，设销售的总利润为W元，则，根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：南粳1号大米的进价是元，南粳2号大米价是6元． （2）解：设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤， 根据题意，得：， 解得， 设销售的总利润为W元，则， 由y随x的增大而增大，得当时，利润最大，最大为740元． 购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 答：购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 命题点三 一次函数与梯度计价问题 ►题型01 一次函数与梯度计价问题 / 【典例】．（2025·江苏·模拟预测）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键． 根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得到解，在从给出的四个图像中判断出正确的图像即可． 【详解】解：当时，； 当时，， 故与的函数关系式为， 观察各选项，选项中的图象符合， 故选：． 【变式】 1．（2025·江苏·一模）2025年3月1日，《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． (1)求关于的函数表达式； (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 【答案】(1) (2)该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可分用水量在13立方米以内和超过13立方米，然后分别列出函数关系式即可； （2）根据（1）中函数关系式可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：当时，则； 当时，则有； 综上所述：关于的函数表达式为； （2）解：由（1）可知：当时，则，解得：； 当时，则，解得：； ∴（立方米）； 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米． 2．（2025·江苏·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下： (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． 【答案】(1)， (2)，点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元 (3)王林选择方案一花费更少，见解析 【知识点】梯度计价问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用； （1）根据题意分别列出函数关系式即可； （2）依据题意联立方程组并求解即可求出点P的坐标，再结合实际说出实际意义即可； （3）根据图象进行分析，当时，；当时，即可求出结果． 【详解】（1）解：由已知得：方案一费用与剪发次数的函数关系式为， 方案二费用与剪发次数的函数关系式为； （2）依据题意联立方程组得：， 解得， ∴点， 点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元； （3）选择方案一花费更少． 理由：根据图象可知：当时，；当时，； ∴当时，； ∴王林选择方案一花费更少． 命题点四 一次函数与分配方案问题 ►题型01 一次函数与分配方案问题 / 【典例】．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 【答案】(1) (2)当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 【知识点】求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、不等式组的经济问题 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出函数关系式和不等式组是解题的关键． （1）当时，；当时，设，再利用待定系数法求解即可； （2）设采购A种器材m台，则采购B种器材台，根据A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍建立不等式组求出m的取值范围为，再分和两种情况，分别求出w关于m的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，设， 把代入中得：，解得， ∴； 综上所述，； （2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材台， 由题意得，， 解得； 当时，则， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为； 当时，则 ， ∵，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∵， ∴当，时，w有最小值， 答：当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 【变式】 1．（2025·江苏·一模）姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）． 方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：直接购买门票方式如图所示． 解答下列问题： (1)方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ； (2)如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张． 【答案】(1) (2)当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省 (3)甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了函数关系式，利用待定系数法求一次函数的解析式，求图象的交点坐标，利用图象判定自变量的大小，利用一元一次方程解决实际问题等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质，分类讨论的数学思想． （1）根据题意列出函数关系式，利用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析式即可； （2）联立方案一和方案二解析式，求出交点坐标，利用图象即可判定出省钱的方案； （3）设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，分类两种情况进行讨论，根据总费用列出一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：方案一中，与的函数关系式为； 方案二中，当时，假设与的函数关系式为， 将代入解析式得， ， 解得 所以，当时，与的函数关系式为； 当时，假设与的函数关系式为， 将代入解析式得， 解得 所以，当时，与的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：如图所示， 联立 解得 所以，当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省； （3）解：设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，根据题意得， 当时， 解得，不符合题意舍去； 当时， 解得， 则， 所以，甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张． 2．（2025·江苏南通·二模）某超市准备购进甲，乙两种商品共80件（其中甲商品不少于15件），相关信息如下： 信息一 商品 每件进价（单位：元） 每件售价（单位：元） 购买总资金（单位：元） 甲 28 不超过820 乙 13 信息二 用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同． (1)求的值； (2)现该超市准备对甲商品每件优惠元出售，乙商品售价不变，则该超市怎样选择进货方案，能使销售完这80件商品所获利润最大？ 【答案】(1)18 (2)当时，甲商品购进18件，乙商品购进62件；当时，甲、乙商品可以购进符合条件的任意件数；当时，甲商品购进15件，乙商品购进65件． 【知识点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和不等式是关键． （1）用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同，据此列方程，解方程并检验即可； （2）设甲商品购买件，销售总利润为元．列出一次函数并分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意列方程，得．    方程两边乘， 得． 解得．     检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：的值为18； （2）设甲商品购买件，销售总利润为元． 则 ．     ，且， ．     ①当时，，此时随的增大而增大． 当时，取得最大值， 即甲商品购进18件，乙商品购进62件；     ②当时，，此时与无关． 即甲、乙商品可以购进符合条件的任意件数；      ③当时，，此时随的增大而减小． 当时，取得最大值， 即甲商品购进15件，乙商品购进65件． 命题点五 一次函数与科技热点问题 ►题型01 一次函数与科技热点问题 / 【典例】．（2025·江苏宿迁·三模）文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元． (1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 【答案】(1)制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元 (2)当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元，根据“制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签，根据“A主题书签的制作数量不少于B主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设全部售出后的获得的总利润为w元，利用总利润每套A主题书签的销售利润制作A主题书签的套数每套B主题书签的销售利润制作B主题书签的套数，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签， 根据题意得：， 解得：， 设全部售出后的获得的总利润为w元， 则， 即， ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为（元）， （套）． 答：当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有． ①则甲的速度是__________，乙的速度是__________； ②求与的函数关系式； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等? 【答案】(1)①240；80；② (2)甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键． （1）①设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可；②根据①中甲的速度，分和两种情况即可求解； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、、四种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：①设甲的速度是，乙的速度是， 当时，，， 当时，，， 由题意得，， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：240；80； ②甲的速度是， 甲到达的时间为， 当时，； 当时，； 与的函数关系式为． （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则，解得； ③当，，， 令，则，解得（舍去）； ④当，，， 令，则，解得； 答：甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等． 2．（2025·江苏宿迁·二模）小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委的批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率）随充电时间（分钟）变化的函数图．下列说法中正确的个数有（   ）个． ①本次充电持续时间是120分钟   ②本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量   ③若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时   ④本次充电60分钟，汽车电池含电率达到 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义，由函数图象读取信息是解题的关键．仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可得出答案． 【详解】解：仔细观察汽车电池含电率（电池含电率随充电时间（分钟）变化的函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答如下： A．由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，符合题意； B．由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，符合题意； C．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量千瓦时，即本次耗电56千瓦时，故该选项错误，不符合题意； D．由函数图象可知，本次充电60分钟，汽车电池含电率达到，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 突破一 一次函数与行程问题的综合 【典例】．（2025·江苏淮安·二模）甲骑电动车从A地驶向B地，甲行驶2min后，乙骑摩托车沿同一直路从A地驶向B地，已知乙的速度是甲速度的2倍．在整个行驶过程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示． (1)乙行驶_________min后追上甲； (2)在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图象； (3)已知A、B两地的距离为3500米，乙追到甲时距离B地还有2000米，当乙在行驶途中与甲相距不超过500米时，求x的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、求一元一次不等式的解集、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次不等式，正确理解题意、数形结合是解题的关键 （1）设甲的速度为，则乙的速度为,设乙行驶tmin后追上甲，当乙追上甲时二人行驶的路程相等，据此列关于t的一元一次方程并求解即可； （2）当时，，当时，两个函数图象相交，据此即可画出函数图象； （3）分别求出甲、乙离A地的距离与时间之间的函数关系式，再根据乙在行驶途中与甲相距不超过500米，列关于x的绝对值不等式并求其解集即可． 【详解】（1）解：设甲的速度为，则乙的速度为，设乙行驶tmin后追上甲， 根据题意可得：， 解得：， 所以乙行驶2min后追上甲； 故答案为：2； （2）解：当时，，当时，两个函数图象相交，则乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图象如图： （3）解：根据题意可得：甲的速度为， 乙的速度为， 甲到达B地的时间为， 乙到达B地的时间为（min）， 甲离A地的距离与时间x的函数关系式是， 乙离A地的距离与时间x的函数关系式是， 当时，乙在行驶途中与甲相距不超过500米时，， 解得：． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·二模）【综合实践】 素材1：如图①所示，两地相距千米，地位于两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地． 素材2： 5月10日高铁G234时刻表 站名 到时 发时 停留 站 ___________ ___________ 站 分 站 ___________ ___________ 5月10日高铁G235时刻表 站名 到时 发时 停留 站 ___________ ___________ 站 分 站 ___________ ___________ 两辆高铁在行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数关系如图②所示． 【问题解决】 (1)图①中，_________，_________，高铁在行驶过程中速度是___________； (2)求高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式； (3)求5月10日、两列高铁在相遇后两车之间距离为时的当日时刻．（提示：答“xx点xx分xx秒”） 【答案】(1)，，； (2) (3)点分秒 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出相应的函数解析式是解题的关键． （1）根据路程、时间、速度之间的关系，结合函数图象即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法求出从站到站的函数解析式，联立由站往站的函数解析式，求得相遇时刻两车距离地千米，进而求解． 【详解】（1）解：根据素材2可得：在站停留分钟， ∴用于行驶的时间为分， ∵两地相距千米， ∴的速度为：(千米/分)， ∵走到地用了分， ∴距地的距离为(千米)，则 即图②中， ∴离地的距离为(千米)，则 即图②中， 故答案为：，，； （2）设高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式为， ∵过点，， ∴， 解得， ∴； （3）设从站到站的函数解析式 ()， ∵过点，， ∴， 解得， ∴， 由， 解得， ∵出发， ∴点分秒相遇，相遇时，两车距离地千米 ∵千米， ∴当时，在地，距离地路程为：千米 ∴两车相距千米即点分秒 ∴5月日、两列高铁在相遇后两车之间距离为时的当日时刻为点分秒． 2．（2025·江苏淮安·一模）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是_______千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当两车距网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为_______． 【答案】(1) (2) (3) 或小时 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解； （2）先求得乙车的速度，进而得出，待定系数求得解析式，即可求解； （3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，千米/时； 故答案为：． （2）解：乙车的速度为千米/时； 而， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴． （3）解：由题意设， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：当时，， ∴， 设乙车的行驶小时后，两车距B的路程之和是千米， 当乙未过时， 解得： 当乙经过B后， ， （舍） 当甲到达后， 答：乙车的行驶 或小时后两车距B的路程之和是千米． 突破二 一次函数与反比例函数、二次函数综合 【典例】．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务． 制定购买方案 问题背景 背景1 ◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元． ◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售． 背景2 学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人． 信息整理 设奖励一等奖学生人，列表如下： 一等奖人数范围 钢笔支数 钢笔单价 笔记本本数 笔记本单价 __________ __________ 探究任务1 建立数学模型 设购买总额元，求关于的函数表达式． 探究任务2 拟定购买方案 制定购买奖品金额最少的购买方案． 【答案】信息整理：，8；探究任务1：当时，；当时，；探究任务2：当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； 信息整理：根据问题背景，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售，即可得出钢笔单价； 探究任务1：当， 时，根据总额等于钢笔与笔记本的购买金额，分别列出函数关系式； 探究任务2：根据一次函数的性质，得出的最小值为700元，即可求解． 【详解】信息整理： 当时，钢笔单价为：，     当时，钢笔单价为：8    探究任务： ①当时，           当时，，当时，， 当时，．          ②当时， ，          ，            当时，的最小值为700元， 当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、图形运动问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，； 故答案为：，． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）某运动品牌店欲购进一批单价为20元/套的球服，如果按每套40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即每套售价每提高1元，每个月的销售量相应减少5套．设销售单价为元/套，销售量y套． (1)y与x之间的函数表达式是__________； (2)设销售总利润为w（元），求w与x的函数关系式，并求出当销售单价为多少元/套时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ (3)若该店要求一个月内获利不低于2500元，则销售单价x的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)当销售单价为50元/套时，获得最大利润，最大利润为4500元 (3) 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用： （1）每套售价每提高1元，每个月的销售量相应减少5套，销售量计算即可； （2）根据“总利润单件利润销售量”得到关系式，将关系式化为顶点式，即可得到最大利润； （3）将代入（2）中的关系式，计算分析即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：； （2）解：销售单价为元/套，则利润为元/套， 总利润 ， 当时，w有最大值4500， 当销售单价为50元/套时，获得最大利润，最大利润为4500元； （3）解：将代入中， 解得：，， ， 时，获利不低于2500元， 故答案为：． 1．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 2．（2023·江苏南京·中考真题）甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可． 【详解】解：由函数图象可知甲的速度为（km/min）， 追及的路程为（km）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 所以乙车的速度v的取值范围是． 故答案为：． 3．（2025·江苏淮安·一模）轿车加满油箱后，剩余油量升与行驶里程百公里的关系式是，则轿车加满油箱最多可以行驶 百公里． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，当时，求出对应x的值即可． 【详解】解：当时，得， 解得， 轿车加满油箱最多可以行驶百公里． 故答案为：． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换．一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分．现将全班学生成绩作线性转化、原始分记x，转化后的分数记为y．满足其中．转化后使得最高分100分、最低分30分，某同学原始分是80分，则转换后的分数是 分． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意可得，解方程组可得到，再求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】解：∵转化前全班最高分是95分，最低分是45分，转化后使得最高分100分、最低分30分， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴某同学原始分是80分，则转换后的分数是分， 故答案为：79． 5．（2025·江苏镇江·二模）如图，一架梯子靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，一次函数的应用，过中点作地面于点，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过中点作地面于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 由题意可知，，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·江苏镇江·二模）某汽车行驶的路程与时间的函数关系图象如图所示，则汽车行驶20分钟时距离终点 千米． 【答案】20 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数图象，由图象可求出汽车后的速度，进而得出答案． 【详解】解：由题意得，汽车后的速度为：， 所以汽车行驶20分钟时距离终点：． 故答案为：20． 7．（2025·江苏淮安·二模）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程随时间（分）变化的函数图像，则甲乙相遇时，乙出发了 分钟． 【答案】6 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象求出甲、乙的速度，设甲乙相遇时，乙出发了分，再根据路程相等即可求解，读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，甲的速度为， 乙的速度为， 设甲乙相遇时，乙出发了分，则， 解得， 故答案为：． 8．（2025·江苏南通·一模）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量（）与汽车行驶路程（）的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，则此时它们行驶的路程均为 ． 【答案】300 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，设的函数解析式分别为，利用待定系数法求出的函数解析式，再结合款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：由图知，过点， 设的函数解析式分别为， 又过点，过点， ， 解得， 的函数解析式分别为， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12， ， 解得， 故答案为：300． 9．（2025·江苏淮安·二模）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是求出弹簧长度与重物质量的关系式．根据表格观察可发现：重量每增加1千克，弹簧增长2厘米，满足一次函数关系，根据待定系数法求解析式即可得解． 【详解】解：设L与x的关系式为：， 把，代入解析式得， 解得， ∴L与x的关系式为， 当时，， 故选：C． 10．（2025·江苏无锡·二模）如图，小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程S（千米）关于小张所用时间t（分钟）的函数关系．根据图像的信息，小张比小王早到乙地的时间是（  ） A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了函数图象获取相关信息，熟悉掌握函数图象的相关信息获取是解题的关键． 根据函数图象分别求出时间作差即可． 【详解】解：∵小王的速度，小张的速度为， ∴小王走完全程用时分钟，小张走完全程用时分钟， ∴， 故选：B． 11．（2024·江苏镇江·二模）甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯收费方式，他们各自的费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系如图，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（    ）元． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出、关于的函数关系式，作差后，即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据图中点的坐标，利用待定系数法求出、关于的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：当时，设，均为常数，且， 将，代入得：， 解得：， ； 当时，设，均为常数，且， 将，代入得：， 解得：， ． 当时，， 若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜12元． 故选：C． 12．（2024·江苏镇江·模拟预测）古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为（斤），秤砣到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时所记录的一些数据： （斤） （厘米） 当为斤时，对应的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、加减消元法 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 观察表格数据可以发现与之间存在一次函数关系，故借助表格数据，利用待定系数法求出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，求出对应的函数值即可． 【详解】解：观察表格数据发现与之间存在一次函数关系，故设， 将点与分别代入，得， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 关于的函数关系式为， 将代入上述解析式，得：， 即当为斤时，对应的水平距离为， 故选：． 13．（2024·江苏无锡·一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．观察函数图象，逐一分析四个选项的正误即可． 【详解】解：第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了米，且二者速度不变， （分），所以C正确； 当时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，路程为2800米， 亮亮的速度为（米分）， 两人的速度和为（米分）， 明明的速度为（米分）， ∴，所以A正确； 第三个拐点处应为明明到达B地，此时所用时间为（分），所以D正确，此时，所以B错误， 故选：B． 14．（2024·江苏扬州·二模）在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，则物体比重 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，设物体质量为.则在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度，根据在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，知在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度，故物体质量为，即可得物体比重． 【详解】设物体质量为，则在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度 在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大 在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度 在一次函数中，令 得： 解得： 即物体质量为： 物体比重 故答案为：． 1．（2025·江苏·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为______；甲车的速度为______千米时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 【答案】(1)，； (2)乙车减速前的速度为千米小时，． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象求出的值，由速度路程时间求出甲车的速度即可； （）设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时，根据乙车减速前后路程之和为两地之间的距离，据此列关于的一元一次方程并求解，求出点的坐标和减速后乙车的速度，根据路程速度时间求出所表示的与的函数关系式． 【详解】（1）解：（小时）， ∴， 甲车的速度为（千米小时）， 故答案为：，； （2）解：设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时， 根据图象，得， 解得， ∴乙车减速前的速度为千米小时， （千米）， ∴， ∴， 乙车减速后的速度为（千米小时）， 则， ∴线段所表示的与的函数关系式为． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）一支队伍以匀速前进，排尾的传令兵因传达命令，以的速度赶赴排头，到达排头后立即原速返回．假设传令兵第与排尾的距离为．传令兵从排尾赶赴排头的过程中，s与t之间的函数图象如图所示． (1)在图中画出传令兵从排头返回排尾的过程中s与t之间的函数图象； (2)若队伍长，求传令兵从排头回到排尾所走的路程． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据图象，先求出队伍的长度，再求出传令兵返回用的时间即可画出图象； （2）结合（1）中结论，求出传令兵返回走过的路程即可． 【详解】（1）解：函数图象如下： 根据题意得， 赶赴排头时，传令兵的走过的路程为队伍的长度和队伍走过的路程的和， 得出队伍的长度为：； 传令兵返回时，传令兵走过的路程和队伍走过的路程和等于队伍的长度， 所以，传令兵所用的时间为， 所以，在时，传令兵返回排尾； （2）解：结合（1）得， 传令兵返回时，走过的路程为队伍的倍，即为； 所以，传令兵从排头回到排尾所走的路程为． 1．（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：， 由图象可代入得：， 解得：， ∴， 当，则 故选：A． 2．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米． 【答案】150 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察图形找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据图形找出点、的坐标利用待定系数法求出线段的函数解析式，代入求出点的坐标，由此即可得出直线的解析式，再在直线的解析式中代入求出点的坐标，将点的横坐标代入线段的解析式中求出值，将其与做差即可得出结论． 【详解】解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得：， 线段的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时，， 千米． 故答案为：． 3．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 4．（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①40，5；②7.5；③0.2； (2)； (3)或． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）①根据题意可直接得到a的值；根据“速度＝路程÷时间”求出甲骑行的速度，再由“路程＝速度×时间”求出甲骑行的路程，即b的值； ②根据“路程＝速度×时间”计算即可； ③根据“路程＝速度×时间”计算即可； （2）分段用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意，作出乙离A地的距离与时间的图象，根据甲、乙之间的距离列绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地， ； ∵甲骑行的速度为，甲骑行的路程为， ∴． 故答案为：40，5． ②甲骑行的速度为， 甲出发离A地的距离是， 故答案为：7.5； ③乙骑行的速度为， 故答案为：0.2； （2）解：当时，设函数解析式为， 将代入得：，求得， 当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 当时，设函数解析式为， 将代入得： ，解得， 当时， 综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为； （3）解：设乙的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为． 根据题意，乙离A地的距离与时间的图象如图所示： 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得（舍去）或（舍去）； 综上，或70． ∴当甲乙相距时，甲出发的时间是或． 5．（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ．当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ 【答案】(1)； (2)每个许愿瓶的售价应定为12元时可以满足要求，此时最大纯收入是1180元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，一次函数的应用等，会利用二次函数性质求最值是解题的关键； （1）找出等量关系式：销售利润单个许愿瓶销售利润销售量基本活动费用，据此列出函数关系式即可求解； （2）分别求出当时或当时，相应的一次函数和二次函数的最值，比较得出结论即可． 【详解】（1）解：由题意得：当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ； 当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ； （2）解：当时，， ， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取最大值，最大值为元； 当时， ， ， 当时，W取最大值， 又∵x取正整数， ∴或13，W取最大值， ∵要使每天的销售额较大， ∴，此时最大值元； ∵， ∴每个许愿瓶的售价应定为12元时可以满足要求，此时最大纯收入是1180元． 7．（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据现在售价为每个60元，每天可销售100个，售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，即可得解； （2）根据总利润单件利润销售数量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最大，为元，此时定价为（元）， ∴零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元． 8．（2025·甘肃武威·一模）兰州西湖公园开创了“借景九州，倚临黄河，湖光山色，殿阁掩映”的景观，既体现北国地方风格，又效江南水乡秀美，是赋诗作画的绝好去处．节假日来临之际，公园的商店打算购进一批纪念品，已知甲、乙两个批发店均以每件10元的标价对外零售，甲批发店：每件按标价的7折出售；乙批发店：若一次购进20件以上的纪念品，超过20件的部分按标价的6折出售． (1)求从甲、乙两家批发店购买纪念品的费用y（元）与纪念品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若计划购买300件纪念品，则到哪个批发店购买较省钱？ 【答案】(1)， (2)到乙批发店购买较省钱 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解甲、乙两个批发店的购买方案． （1）根据甲、乙两个批发店的购买方案求解即可； （2）将分别代入（1）求得的表达式求解判断即可． 【详解】（1）根据题意得，， 当时，； 当时，； ∴； （2）当时，； ∵ ∴到乙批发店购买较省钱． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第09讲 一次函数的应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 16 命题点一 一次函数的应用 题型01 一次函数与行程问题 题型02 一次函数与销售问题 题型03 一次函数与梯度计价问题 题型04 一次函数与分配方案问题 题型05 一次函数与科技热点问题 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一 一次函数与行程问题的综合 突破二 一次函数与反比例函数、二次函数综合 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数与行程问题 宿迁T26 南通T9 淮安T14 无锡T26 镇江T17 南京T13 淮安T25 苏州T26 连云港T25 能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式；会在 不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式；能在实 际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。 一次函数与销售问题 / / 扬州T26 一次函数与其他问题 镇江T22 苏州T7 / / 命题预测 2023 - 2025 年一次函数应用考查情况分析： 1.题型相对稳定，多为解答题，部分地市会结合选择题的函数图象分析考查，分值通常在 8 - 12 分，属于中档或中高档题型； 2.问题背景多以行程问题为背景，偶尔也会以销售问题或问题等为背景。 2026 年中考一次函数应用考查预测 1. 题型与分值保持稳定：大概率仍以解答题为主，部分地市可能在选择题中设置函数图象分析题，分值维持在 8 - 12 分。不会出现偏题、怪题，难度依旧以中档为主，旨在考查学生的基础应用与简单综合能力。 2. 考查场景更贴近热点：实际应用场景可能结合当下低碳出行、新能源汽车、社区服务、电商促销等热点话题，比如新能源汽车续航里程与行驶路程的函数关系、电商直播带货中销量与利润的一次函数建模等。 3. 注重图象解读能力：可能会进一步增加函数图象相关的考查，比如给出实际场景的折线图（如销量、气温、路程等随时间变化的图），要求学生从中提取信息，转化为一次函数表达式，再解决实际问题。 复习建议 1. 夯实基础，掌握核心方法：熟练掌握一次函数 的性质，明确 k、b 的几何意义，能快速通过两点坐标求函数表达式。针对分段一次函数，重点练习根据不同区间的数量关系列表达式，避免因区间划分错误出错。 2. 强化实际场景建模训练：分类练习商业经营（利润、成本、销量）、阶梯收费（水、电、气）、行程问题（速度、时间、距离）、几何相关（边长、面积）等高频场景题目。练习时先梳理题目中的变量关系，将文字语言转化为数学式子，建立一次函数模型。 3. 错题复盘，总结常见误区：整理过往错题，重点关注易错点，如分段函数的区间端点取值、一次函数表达式求解时的计算错误、忽略实际场景中自变量的取值限制等。通过错题总结，形成规范的解题步骤，避免重复出错。 4. 限时训练，适配中考节奏：针对 8 - 12 分的解答题进行限时练习，控制在 10 - 15 分钟内完成一道综合题，提升解题速度和准确率。同时熟悉各地市真题的命题风格，适应不同背景下的题目表述方式，减少审题失误。 考点一 一次函数与行程问题 1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2．一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 3.利用待定系数法求一次函数关系式 4.分析一次函数与行程问的函数图象方法： （1）一看坐标轴：行程问题函数图象的 “基础语言”（必记） 行程问题的函数图象通常是路程 （纵坐标）时间（横坐标）图象，少数情况是速度（纵坐标） 时间（横坐标）图象，谨记：看图象，要先看坐标轴表示的意义； （2）二看关键点：图象起点、拐点、交点、终点 起点：确定出发时刻、初始位置（是否同地出发）； 拐点：预示着运动状态改变：速度变化、方向改变（前进→返回）、暂停（水平线段起点 / 终点）； 交点：同一时间，两人到达同一位置； 终点：到达目的地（路程不再变化）或运动结束. （3）三看变化趋势：坐标轴的意义不同，变化趋势的意义也不同，所以要在明确坐标轴的意义前提下，再看变化趋势才有意义。 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 2．（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 3．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题： (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 考点二 一次函数与销售问题 1．销售问题的常用数量关系 （1）总利润W = 单件利润 × 销量 = 总收入 总成本 （2）单件利润 = 售价 成本（进价）= 标价 × 折扣率 成本 （3）销量与定价联动问题： ① 涨价时：销量 = 原销量 每涨1元少卖的件数 × 涨价金额； ② 降价时：销量 = 原销量 每降1元多卖的件数 × 降价金额； （4）售价 = 标价 × 折扣率 2． 一次函数建模方法 建模要素 具体说明 自变量 x 设定 优先设 “定价调整量”： ① 设涨价 x 元（新售价 = 原售价 + x）； ② 设降价 x 元（新售价 = 原售价 - x）； ③ 设折扣率为 x（新售价 = 标价 ×x）。 因变量 y 设定 通常设 “总利润 W”（核心），或 “总销售额”“销量”。 函数表达式形式 ① 单件利润变化量 × 销量变化系数（如涨价 1 元，单件利润 + 1，销量 - 5，则 ； ② b = 初始总利润（未涨价 / 降价时的总利润，即原单件利润 × 原销量） 函数性质应用 ① 当  > 0：W 随  增大而增大（此时最大值在 取值上限，最小值在下限）； ② 当  < 0：W 随 增大而减小（此时最大值在  取值下限，最小值在上限）； ③ 当  = 0：W = （总利润不变，与定价调整无关） 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 3．（2023·江苏泰州·中考真题）某公司的化工产品成本为元/千克．销售部门规定：一次性销售千克以内时，以元/千克的价格销售；一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润（元）与一次性销售量（千克）的函数关系如图所示． (1)当一次性销售千克时利润为多少元？ (2)求一次性销售量在之间时的最大利润； (3)当一次性销售多少千克时利润为元？ 考点三 一次函数与梯度计价问题 1．梯度计价问题（如阶梯水费、电费、燃气费、个税等）是初中数学一次函数应用的中考高频题型（常以解答题形式出现），核心特征是 “分区间定价”—— 不同用量 / 收入区间对应不同单价，需通过分段一次函数建模求解。 2．梯度计价的本质是分段的一次函数： 梯度计价的本质是 “多区间线性定价”，每个区间对应一段独立的一次函数（ 为用量 / 收入，为总费用），关键在于明确： 分段函数要素 对应梯度计价的意义 自变量  实际用量（如水、电度数）或收入额（如个税应纳税所得额），需注意 “区间分界点”（如电费 1-200 度为第一档，201-400 度为第二档）。 k 对应区间的 “单价”（如第一档电费0.5元/度，第二档 0.8 元/度），（费用随用量增加而上升） b 前序区间的 “累计总费用”（第一档 ，第二档 b =第一档最大用量 第一档单价，第三档  = 前两档总费用，以此类推） 自变量范围 每个区间的 取值范围（含左端点、不含右端点，或反之，需结合题目 “不超过”“超过” 表述确定） 3. 通用解题步骤： 第一步：审题析区间 —— 拆分梯度，明确关键参数； （1）找分界点：从题目中提取梯度划分的关键数值（如 “电费：不超过 200 度按 0.5 元 / 度，超过 200 度的部分按 0.8 元 / 度”，分界点为 200 度）； （2）列区间表：按 “用量从小到大” 拆分区间，标注每个区间的 “单价” 和 “累计基础费用 ”； （3）定变量：设为实际用量/收入，为总费用； 第二步：列函数表达式 —— 分区间写一次函数 根据 “= 本区间单价 + 前序累计费用”，分区间推导表达式， 关键：表达式需标注对应 x 的取值范围，避免区间混淆。 第三步：根据题意求数值 —— 分情况代入计算 （1）已知用量 ，求总费用 ：先判断  属于哪个区间，再代入对应区间的函数表达式计算； （2）已知总费用，求用量，从第一档开始验证，直到找到对应区间； 第四步：验证答案 —— 结合实际场景检验合理性 1．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 2．（2025·江苏·模拟预测）每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 3．（2025·江苏·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 考点四 一次函数与分配方案问题 1．用一次函数解决分配方案问题是初中数学中考综合应用题的高频类型，常以解答题形式出现，核心场景是 “资源分配（材料、人力、资金）、生产调度、运输调配” 等，本质是在多个约束条件下（如总量限制、数量范围），通过构建一次函数（目标函数）求最优方案（最小成本、最大收益、最高效率） 。 2．分配方案问题分析 要素类型 具体说明 与一次函数的关联 约束条件 ① 总量限制（如材料总用量≤库存、资金总额≤预算）； ② 数量范围（如产量0、人数为正整数）； ③ 比例限制（如A产品产量B产品的 2 倍）。 用不等式组表示，解出自变量的取值范围（通常为整数集合，因分配方案多为具体数量）。 目标函数 ① 优化目标：最小成本、最大收益、最短时间等； ② 表达式形式：， 为分配量（如A产品产量、甲运输的吨数）， 为目标量（成本、收益）。 一次函数的增减性决定最优方案的位置（最值在自变量取值范围的端点，因一次函数无顶点）。 3．一次函数性质在分配方案问题中的应用 目标函数k 函数增减性 最优方案位置 k > 0 随  增大而增大 最大值在  取值上限，最小值在  取值下限。 k < 0  随  增大而减小 最大值在 取值下限，最小值在 取值上限。 4. 自变量的特殊要求： 分配方案中的自变量多为 “数量”（如件数、吨数、人数），因此需满足： · 非负性：； · 整数性： 为正整数（或自然数），最终可行方案需为整数解。 5.通用解题方法总结： 第一步：审题析题 —— 明确约束条件和优化目标 1. 找关键词：提取 “总量”“不超过”“至少”“最多”“比例” 等约束条件（如 “钢材总用量不超过 100 吨”“A 产品产量至少 5 件”）； 2. 定优化目标：明确是 “求最小成本”“最大收益” 还是 “最短时间”（目标函数的因变量）； 3. 设变量：设核心分配量为自变量 （如 “设生产 A 产品 件”“设甲运输 吨”），用 表示其他相关量（如 B 产品产量 = 总销量 ）。 第二步：列不等式组 —— 确定自变量取值范围 根据约束条件列出不等式组，解出的取值范围（注意整数性要求）： 第三步：列目标函数 —— 构建一次函数 根据优化目标，用 表示目标量，化简为 的形式： · 成本类：总成本 = A的单位成本 + B的单位成本×相关量 ； · 收益类：总收益 = A的单位收益 + B的单位收益相关量。 第四步：求最优方案 —— 利用一次函数增减性 1. 判断 的正负，确定函数增减性； 2. 结合自变量取值范围（整数区间），找到最优端点： · 若：取  最大值， 最大；取 最小值，最小； · 若 ：取  最大值， 最小；取  最小值， 最大； 3. 列出所有可行方案（若取值范围为连续整数，可列举关键端点方案）。 第五步：验证答案 —— 检验方案的可行性 · 检查最优方案是否满足所有约束条件（如成本是否超预算、产量是否符合要求）； · 确认自变量为整数，目标量计算无误。 1．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 2．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 3．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 考点五 一次函数与科技热点问题 1．用一次函数解决实际问题的一般步骤： · 审题析量 —— 分析 “关系、变量、约束条件” · 设函数解析式 —— 抽象建模 · 利用待定系数法求函数解析式（找两组数据代入求解） · 确定自变量取值范围 —— 找 “边界” · 求解实际问题 —— 用函数性质（一次函数主要利用增减性） · 验证回归实际 —— 验 “合理性” 1．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 2．（2025·江苏南京·三模）小明对甲、乙两个保温壶进行了保温测试，同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，在这段测试时间内，甲、乙两个保温壶的各自水温（单位：）与测试时间之间的函数图象如图所示． (1)当测试时间为时，乙壶中的水温是___________． (2)求甲壶中的水温与之间的函数关系式． (3)当甲、乙两个保温壶的温差不超过时，直接写出的取值范围． 3．（2025·江苏盐城·二模）五一假期，唐老师一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．唐老师在满电状态下出发，汽车的剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为___________； (2)若行驶一段时间后，唐老师发现电量还有，离景区有，唐老师能到达景区吗？请说明理由． (3)已知汽车快速充电功率为．唐老师驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量充电功率充电时间】 命题点一 一次函数与行程问题 ►题型01 一次函数与行程问题 / 【典例】．（2025·江苏苏州·三模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来用30分钟装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)=________，货车装完货物后的行驶速度为________． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 【变式】 1．（2025·江苏盐城·三模）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是 千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当两车距网点的路程之和是千米时，此时求乙车的行驶时间． 18．（2025·江苏南京·二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为，货车与南京的距离，轿车与南京的距离． (1)在图2中，分别画出和补全关于t的函数图象； (2)分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离； (3)若镇江距离南京90 km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔． 命题点二 一次函数与销售问题 ►题型01一次函数与销售问题 / 【典例】．（2025·江苏宿迁·二模）为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台． (1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ (2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过5400万元．高性能服务器每台售价80万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打7折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【变式】 1．（2025·江苏南通·二模）小明到服装店进行社会实践活动，服装店老板让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价120元，售价180元；乙种每件进价100元，售价150元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． (1)若购进这100件服装的费用不得超过11500元，则甲种服装最多购进多少件？ (2)在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案使这批服装获得的利润最大？ 2．（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 命题点三 一次函数与梯度计价问题 ►题型01 一次函数与梯度计价问题 / 【典例】．（2025·江苏·模拟预测）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·江苏·一模）2025年3月1日，《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． (1)求关于的函数表达式； (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 2．（2025·江苏·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下： (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． 命题点四 一次函数与分配方案问题 ►题型01 一次函数与分配方案问题 / 【典例】．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 【变式】 1．（2025·江苏·一模）姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）． 方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：直接购买门票方式如图所示． 解答下列问题： (1)方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ； (2)如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张． 2．（2025·江苏南通·二模）某超市准备购进甲，乙两种商品共80件（其中甲商品不少于15件），相关信息如下： 信息一 商品 每件进价 （单位：元） 每件售价 （单位：元） 购买总资金 （单位：元） 甲 28 不超过820 乙 13 信息二 用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同． (1)求的值； (2)现该超市准备对甲商品每件优惠元出售，乙商品售价不变，则该超市怎样选择进货方案，能使销售完这80件商品所获利润最大？ 命题点五 一次函数与科技热点问题 ►题型01 一次函数与科技热点问题 / 【典例】．（2025·江苏宿迁·三模）文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元． (1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有． ①则甲的速度是__________，乙的速度是__________； ②求与的函数关系式； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等? 2．（2025·江苏宿迁·二模）小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委的批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率）随充电时间（分钟）变化的函数图．下列说法中正确的个数有（   ）个． ①本次充电持续时间是120分钟   ②本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量   ③若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时   ④本次充电60分钟，汽车电池含电率达到 A．1 B．2 C．3 D．4 突破一 一次函数与行程问题的综合 【典例】．（2025·江苏淮安·二模）甲骑电动车从A地驶向B地，甲行驶2min后，乙骑摩托车沿同一直路从A地驶向B地，已知乙的速度是甲速度的2倍．在整个行驶过程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示． (1)乙行驶_________min后追上甲； (2)在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图象； (3)已知A、B两地的距离为3500米，乙追到甲时距离B地还有2000米，当乙在行驶途中与甲相距不超过500米时，求x的取值范围． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·二模）【综合实践】 素材1：如图①所示，两地相距千米，地位于两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地． 素材2： 5月10日高铁G234时刻表 站名 到时 发时 停留 站 ___________ ___________ 站 分 站 ___________ ___________ 5月10日高铁G235时刻表 站名 到时 发时 停留 站 ___________ ___________ 站 分 站 ___________ ___________ 两辆高铁在行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数关系如图②所示． 【问题解决】 (1)图①中，_________，_________，高铁在行驶过程中速度是___________； (2)求高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式； (3)求5月10日、两列高铁在相遇后两车之间距离为时的当日时刻．（提示：答“xx点xx分xx秒”） 2．（2025·江苏淮安·一模）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是_______千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当两车距网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为_______． 突破二 一次函数与反比例函数、二次函数综合 【典例】．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务． 制定购买方案 问题背景 背景1 ◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元． ◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售． 背景2 学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人． 信息整理 设奖励一等奖学生人，列表如下： 一等奖人数范围 钢笔支数 钢笔单价 笔记本本数 笔记本单价 __________ __________ 探究任务1 建立数学模型 设购买总额元，求关于的函数表达式． 探究任务2 拟定购买方案 制定购买奖品金额最少的购买方案． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）某运动品牌店欲购进一批单价为20元/套的球服，如果按每套40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即每套售价每提高1元，每个月的销售量相应减少5套．设销售单价为元/套，销售量y套． (1)y与x之间的函数表达式是__________； (2)设销售总利润为w（元），求w与x的函数关系式，并求出当销售单价为多少元/套时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ (3)若该店要求一个月内获利不低于2500元，则销售单价x的取值范围为__________； 1．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏南京·中考真题）甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 ． 3．（2025·江苏淮安·一模）轿车加满油箱后，剩余油量升与行驶里程百公里的关系式是，则轿车加满油箱最多可以行驶 百公里． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换．一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分．现将全班学生成绩作线性转化、原始分记x，转化后的分数记为y．满足其中．转化后使得最高分100分、最低分30分，某同学原始分是80分，则转换后的分数是 分． 5．（2025·江苏镇江·二模）如图，一架梯子靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是 ． 6．（2025·江苏镇江·二模）某汽车行驶的路程与时间的函数关系图象如图所示，则汽车行驶20分钟时距离终点 千米． 7．（2025·江苏淮安·二模）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程随时间（分）变化的函数图像，则甲乙相遇时，乙出发了 分钟． 8．（2025·江苏南通·一模）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量（）与汽车行驶路程（）的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，则此时它们行驶的路程均为 ． 9．（2025·江苏淮安·二模）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 10．（2025·江苏无锡·二模）如图，小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程S（千米）关于小张所用时间t（分钟）的函数关系．根据图像的信息，小张比小王早到乙地的时间是（  ） A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟 11．（2024·江苏镇江·二模）甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯收费方式，他们各自的费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系如图，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（    ）元． A．10 B．11 C．12 D．13 12．（2024·江苏镇江·模拟预测）古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为（斤），秤砣到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时所记录的一些数据： （斤） （厘米） 当为斤时，对应的水平距离为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏无锡·一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 14．（2024·江苏扬州·二模）在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，则物体比重 ． 1．（2025·江苏·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为______；甲车的速度为______千米时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）一支队伍以匀速前进，排尾的传令兵因传达命令，以的速度赶赴排头，到达排头后立即原速返回．假设传令兵第与排尾的距离为．传令兵从排尾赶赴排头的过程中，s与t之间的函数图象如图所示． (1)在图中画出传令兵从排头返回排尾的过程中s与t之间的函数图象； (2)若队伍长，求传令兵从排头回到排尾所走的路程． 1．（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米． 3．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 4．（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 5．（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ．当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ 7．（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 8．（2025·甘肃武威·一模）兰州西湖公园开创了“借景九州，倚临黄河，湖光山色，殿阁掩映”的景观，既体现北国地方风格，又效江南水乡秀美，是赋诗作画的绝好去处．节假日来临之际，公园的商店打算购进一批纪念品，已知甲、乙两个批发店均以每件10元的标价对外零售，甲批发店：每件按标价的7折出售；乙批发店：若一次购进20件以上的纪念品，超过20件的部分按标价的6折出售． (1)求从甲、乙两家批发店购买纪念品的费用y（元）与纪念品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若计划购买300件纪念品，则到哪个批发店购买较省钱？ 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $