数学一模突破卷07（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A]B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A D B A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）为等差数列，设其公差为d， 则，解得， 故； 2分 又①， 故当时，②， 两式相减得， 4分 故，所以，，又，故，满足， 从而； 6分 （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 9分 当时，， 当时，， 所以数列前75项是项之后，还有5项为1， 11分 故. 13分 16．【详解】（1）由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 2分 又平面，所以. 3分 （2）由（1）知平面，平面，则， 而，，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 5分 又，，，， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 7分 设平面的法向量为，则，令，得， 因此， 9分 所以平面与平面夹角的正弦值为. 10分 （3）设，依题意，， 即，，， 即，则， 由平面，得是平面的一个法向量，于是， 13分 即，解得，， 因此，所以. 15分 17．【详解】（1）设半焦距为，则即，而，故， 故，， 2分 故双曲线的方程为：. 3分 （2）由（1）得，， 因为在第一象限，故设，其中， 因为三角形是等腰三角形，故或或， 5分 若，则在的中垂线上，则，舍； 若，则，故， 故，解得，故. 7分 若，同理有，， 故， 综上，或. 9分 （3） 设直线，设， 而，故， 10分 因为是锐角， 故， 所以， 整理得到， 由可得， 13分 故且， 且，因为点P在第一象限，所以或， 又， 整理得：，故或或. 15分 18．【详解】（1），则，，结合正态分布的性质：和 2分 即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率为0．8186． 4分 （2）设方案一的折扣为，则可以取，，， ，，， 6分 ． 7分 设方案二的折扣为，则可以取，， 用，表示游客首次在第位置的概率， 则，，． 由题知，游客到达，位置，只有两种途径， 一种是从位置，掷到偶数，其概率为， 另一种是从位置，掷到奇数，其概率为， ，，． 10分 当时，数列是以为首项，为公比的等比数列． ，，，，， 又， ，， 13分 ，，且 ，． 15分 第二次到达①位置的概率． ． ，若想要获得最大优惠，游客应选方案二． 17分 19．【详解】（1）函数的定义域为，则， 1分 当时，，此时在上单调递增； 3分 当时，由可得；由，可得. 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 5分 （2）①因为，则， 因为存在两个极值点，则存在两个变号的零点， 即有两个不同的根， 则函数与有两个不同的交点， 7分 又因为，则有，即有单调递增， 则有，即有单调递减， 所以， 又时，，当时，， 9分 则函数与有两个不同的交点，有，即， 故存在两个极值点，的取值范围为； 11分 ②证明：由①可知时，存在两个极值点，设， 则，即， 则， 所以，要证， 即证明，即证， 13分 由①知在上单调递增，则即证， 又因为，即证， 令， ， 所以在上单调递增， 15分 又， 所以在上有， 即成立， 所以有，即成立. 17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D．1 3．在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．苏轼，字子瞻，号铁冠道人、东坡居士.北宋文学家，书法家、画家，历史治水名人.与父苏洵、弟苏辙三人并称“三苏”.为了纪念苏轼在文学方面的伟大成就，某中学开展“苏轼文化竞赛”活动，最终参加决赛共有位同学，参加决赛的同学都有奖，决赛设置一、二、三等奖.若要求获得一等奖的人数不少于人，获得二等奖的人数不少于人，获得三等奖的人数不少于人，则恰有人获得二等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（新定义）若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，（，）.下列结论不正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若平面，则的最小值为 C．若的外心为M，则为定值2 D．若，则点Q的轨迹长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某企业招聘考试分笔试与面试，笔试满分为100分，笔试成绩排名前（含）的考生才可以参加面试．现有1800人报名参加笔试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如下图所示，则（    ） A．90后考生比00后考生多100人 B．所有考生笔试成绩的分位数约为83.3（保留一位小数） C．进入面试的笔试成绩最低分约为85.7（保留一位小数） D．所有考生笔试成绩的中位数大于平均数 10．已知数列满足，其中，则（    ） A． B．为等差数列 C．数列的前项和为 D．数列的前99项和大于 11．已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（   ） A．C的方程为 B．面积的最大值为2 C．坐标原点O到直线AB的距离为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，的模长相等，与的夹角为，若，则与的夹角为 ． 13．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 14．在中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 16．（15分）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 17．（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 18．（17分）向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． (1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； (2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且存在两个极值点． ①求的取值范围； ②设的两个极值点为，证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，，故. 故选：A. 2．已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】，所以， 故选：B 3．在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设，连接，设． 易得，且， 所以四边形为平行四边形，则， 所以或其补角为异面直线与所成的角． 设正方体的棱长为1，则． 因为，且，所以， 所以， 所以，则． 故异面直线与的夹角为． 故选：A    4．苏轼，字子瞻，号铁冠道人、东坡居士.北宋文学家，书法家、画家，历史治水名人.与父苏洵、弟苏辙三人并称“三苏”.为了纪念苏轼在文学方面的伟大成就，某中学开展“苏轼文化竞赛”活动，最终参加决赛共有位同学，参加决赛的同学都有奖，决赛设置一、二、三等奖.若要求获得一等奖的人数不少于人，获得二等奖的人数不少于人，获得三等奖的人数不少于人，则恰有人获得二等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设获得一等奖、二等奖、三等奖的人数分别为、、，则， 因为要求获得一等奖的人数不少于人，获得二等奖的人数不少于人，获得三等奖的人数不少于人， 则或或， 所以恰有人获得二等奖的概率为. 故选：D. 5．已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆， 因，故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：； 又当时，点同时在圆上，所以， 所以且. 故选：B. 6．（新定义）若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令得， 令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 又，， 故， 由题意得，即， 解得. 故选：A 7．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 8．在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，（，）.下列结论不正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若平面，则的最小值为 C．若的外心为M，则为定值2 D．若，则点Q的轨迹长度为 【答案】C 【详解】对于A，因为，， 所以三点共线，所以点在，因为，平面， 平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值， 因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确； 对于B，取的中点分别为，连接，则， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，所以， 因为平面，平面，平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以当时，最小， 因为，所以，， 所以，所以重合，所以的最小值为，所以B正确， 对于C，若的外心为，过作于， 因为，所以，所以C错误， 对于D，过作于点，因为则可得平面， 平面，所以，因为， 平面，所以平面， ，在上取点，使得， 则，所以若， 则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 因为，所以，则圆弧等于，所以D正确， 故选：C. 【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某企业招聘考试分笔试与面试，笔试满分为100分，笔试成绩排名前（含）的考生才可以参加面试．现有1800人报名参加笔试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如下图所示，则（    ） A．90后考生比00后考生多100人 B．所有考生笔试成绩的分位数约为83.3（保留一位小数） C．进入面试的笔试成绩最低分约为85.7（保留一位小数） D．所有考生笔试成绩的中位数大于平均数 【答案】BD 【详解】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有人， 00后的考生有人，可得人，所以A不正确； 对于B中，由频率分布直方图性质，可得， 解得，则前三个矩形的面积和， 前四个矩形的面积和， 所有考生笔试成绩的分位数，所以， 所以笔试成绩的分位数为分，所以B正确； 对于C中，设进入面试成绩的最低分为，由前三个矩形的面积和为，第四个矩形的面积为，则分，所以C不正确； 对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为： 分， 因为前两个矩形的面积和，前三个矩形的面积和， 设考试成绩的中位数设为，所以，所以笔试成绩的中位数为分，所以D正确. 故选：BD. 10．已知数列满足，其中，则（    ） A． B．为等差数列 C．数列的前项和为 D．数列的前99项和大于 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意，数列满足，可得，故A错误； 对于B，因为，所以为常数，且， 所以数列为首项为，公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由选项B可知，所以，所以， 所以数列的前项和为，故C正确； 对于D，由可知，所以， 因为对都有，所以， 所以数列的前99项和，故D正确. 故选：BCD 11．已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（   ） A．C的方程为 B．面积的最大值为2 C．坐标原点O到直线AB的距离为 D． 【答案】BCD 【详解】 A项，由椭圆上顶点为得，， 由知，由对称性可得， 所以，即，则， 椭圆方程为，故A错误； B项，由A项可知，为定值， 故当点到距离最大时，面积最大， 即当为短轴端点时取最大值，最大值为，故B正确； C项，在中，， 设为斜边上的高，由， 可得点到直线的距离为，故C正确； D项，设，由， 所以直线方程为，令，可得， 直线方程为，令，. 由点在椭圆上，则，， 则 ，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，的模长相等，与的夹角为，若，则与的夹角为 ． 【答案】 【详解】由可得，两边取平方，， 设，则，即， 再由可得，两边取平方，， 即，解得， 因，则. 故答案为：. 13．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 【答案】2 【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直， 如图，可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，，， 当时，，， 则，． 所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故. 故答案为：2. 14．在中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】由三角形面积，余弦定理， 有， 则 由基本不等式当且仅当时取等号，则， 所以， 令，则， 根据辅角公式， 其中，即， 因为，所以，两边平方可得， 则的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 【详解】（1）为等差数列，设其公差为d， 则，解得， 故； 2分 又①， 故当时，②， 两式相减得， 4分 故，所以，，又，故，满足， 从而； 6分 （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 9分 当时，， 当时，， 所以数列前75项是项之后，还有5项为1， 11分 故. 13分 16．（15分）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 【详解】（1）由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 2分 又平面，所以. 3分 （2）由（1）知平面，平面，则， 而，，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 5分 又，，，， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 7分 设平面的法向量为，则，令，得， 因此， 9分 所以平面与平面夹角的正弦值为. 10分 （3）设，依题意，， 即，，， 即，则， 由平面，得是平面的一个法向量，于是， 13分 即，解得，， 因此，所以. 15分 17．（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 【详解】（1）设半焦距为，则即，而，故， 故，， 2分 故双曲线的方程为：. 3分 （2）由（1）得，， 因为在第一象限，故设，其中， 因为三角形是等腰三角形，故或或， 5分 若，则在的中垂线上，则，舍； 若，则，故， 故，解得，故. 7分 若，同理有，， 故， 综上，或. 9分 （3） 设直线，设， 而，故， 10分 因为是锐角， 故， 所以， 整理得到， 由可得， 13分 故且， 且，因为点P在第一象限，所以或， 又， 整理得：，故或或. 15分 18．（17分）向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． (1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； (2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 【详解】（1），则，，结合正态分布的性质：和 2分 即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率为0．8186． 4分 （2）设方案一的折扣为，则可以取，，， ，，， 6分 ． 7分 设方案二的折扣为，则可以取，， 用，表示游客首次在第位置的概率， 则，，． 由题知，游客到达，位置，只有两种途径， 一种是从位置，掷到偶数，其概率为， 另一种是从位置，掷到奇数，其概率为， ，，． 10分 当时，数列是以为首项，为公比的等比数列． ，，，，， 又， ，， 13分 ，，且 ，． 15分 第二次到达①位置的概率． ． ，若想要获得最大优惠，游客应选方案二． 17分 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且存在两个极值点． ①求的取值范围； ②设的两个极值点为，证明：． 【详解】（1）函数的定义域为，则， 1分 当时，，此时在上单调递增； 3分 当时，由可得；由，可得. 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 5分 （2）①因为，则， 因为存在两个极值点，则存在两个变号的零点， 即有两个不同的根， 则函数与有两个不同的交点， 7分 又因为，则有，即有单调递增， 则有，即有单调递减， 所以， 又时，，当时，， 9分 则函数与有两个不同的交点，有，即， 故存在两个极值点，的取值范围为； 11分 ②证明：由①可知时，存在两个极值点，设， 则，即， 则， 所以，要证， 即证明，即证， 13分 由①知在上单调递增，则即证， 又因为，即证， 令， ， 所以在上单调递增， 15分 又， 所以在上有， 即成立， 所以有，即成立. 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D．1 3．在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．苏轼，字子瞻，号铁冠道人、东坡居士.北宋文学家，书法家、画家，历史治水名人.与父苏洵、弟苏辙三人并称“三苏”.为了纪念苏轼在文学方面的伟大成就，某中学开展“苏轼文化竞赛”活动，最终参加决赛共有位同学，参加决赛的同学都有奖，决赛设置一、二、三等奖.若要求获得一等奖的人数不少于人，获得二等奖的人数不少于人，获得三等奖的人数不少于人，则恰有人获得二等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（新定义）若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，（，）.下列结论不正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若平面，则的最小值为 C．若的外心为M，则为定值2 D．若，则点Q的轨迹长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某企业招聘考试分笔试与面试，笔试满分为100分，笔试成绩排名前（含）的考生才可以参加面试．现有1800人报名参加笔试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如下图所示，则（    ） A．90后考生比00后考生多100人 B．所有考生笔试成绩的分位数约为83.3（保留一位小数） C．进入面试的笔试成绩最低分约为85.7（保留一位小数） D．所有考生笔试成绩的中位数大于平均数 10．已知数列满足，其中，则（    ） A． B．为等差数列 C．数列的前项和为 D．数列的前99项和大于 11．已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（   ） A．C的方程为 B．面积的最大值为2 C．坐标原点O到直线AB的距离为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，的模长相等，与的夹角为，若，则与的夹角为 ． 13．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 14．在中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 16．（15分）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 17．（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 18．（17分）向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． (1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； (2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且存在两个极值点． ①求的取值范围； ②设的两个极值点为，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $