精品解析：江苏省南通市海门区2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年江苏省南通市海门区七年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在足球比赛中，如果甲队进球3个，记作，那么甲队失2个球，记作（ ） A. B. C. 1 D. 2. 太阳半径约为696000km，将696000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 单项式的次数是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 6 4. 下列数：15，，，7，，，12，，中，整数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 5. 下列各题中的两个量不成反比例关系的是（ ） A. 一个由200名学生组成的体操方队，每排学生人数和排数 B. 小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 C. 长方体的体积一定，长方体的底面积与高 D. 一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量 6. 把算式改写成省略括号和加号的形式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a是一个有理数，若，则数a为（ ） A. 正有理数 B. 0 C. 负有理数 D. 非零有理数 8. 已知数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图所示，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在电子工程中，数字电路中使用的是二进制系统，而采用六进制编码的数字也慢慢用于电子设备的编程中．现用二进制记数法表示正整数，例如：，记作，，记作，六进制记数法表示正整数，例如：，记作，则等于六进制中的数为（ ） A. 121 B. 203 C. 113 D. 135 10. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图是其中一类：1，5，12，22称为五边形数，请你根据其中数排列的规律计算第101个五边形数与第100个五边形数的差是（ ） A. 199 B. 201 C. 290 D. 301 二、填空题：本题共6小题，共22分． 11. 比较大小：_____（选填“>”或“<”）． 12. 写出代数式的意义是__________． 13. 数m在数轴上对应的点在原点的左侧，且，则__________． 14. 一架直升机从高度的位置，先以的速度竖直上升；后以的速度竖直下降，这时直升机所在的高度是______． 15. 若，，则代数式的值为__________． 16. 如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 三、解答题：本题共10小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． （1）各表示什么？ （2）哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 18. 在数轴上表示下列各数：3，，4，，0，，，并把这些数用“”号连接． 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 21. 某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：，，，，，，，．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 22. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果．根据这些数据回答下列问题： （1）该机器人能识别多大范围内的苹果？ （2）该机器人识别范围内的苹果需要多少秒？ （3）若该机器人搭载了m个机械手，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 23. 做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下表所示． 类型 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 （1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？ （2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？ 24. 某校11月份体育节，准备订购一批篮球和排球，采购员调查发现篮球每个售价为150元，排球每个售价为50元．现有甲、乙两家门店提供了各自的优惠方案． 甲店：买一个篮球送一个排球； 乙店：篮球和排球都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，排球x个 （1）若在甲店购买，则需付款______元；若在乙店购买，则需付款______元；（用含x的代数式表示） （2）当时，在哪家店购买较为合算？ （3）当时，你认为还有更省钱的购买方案吗？如果没有，请说明理由；如果有，请写出你的购买方案，并计算需要付款的金额． 25. 在数轴上有A，B，C三点，点A在点C左边，点B表示的数为2，点A，C之间的距离为 （1）若点A表示的数为，则点A，C之间（不包含点A与点C）有多少个点表示的数为整数？并写出这些点表示的整数； （2）当点B，C之间距离为为正整数，则点A，C之间（不包含点A与点C）有多少个点表示的数为整数？并写出这些点表示的整数用含a的代数式表示 26. 【回顾书本】 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是， 显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除．即：能被3整除． 【类比证明】 （1）小明同学从中发现：如果一个两位数的所有数位上的数字之和等于9，那么这个两位数就能被9整除．在此基础上，小明同学提出了“如果一个自然数的各数位上的数字之和等于9，那么这个自然数就能被9整除”的观点． 请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【简单运用】 （2）当五位数能被9整除，求代数式的值； 【拓展提升】 （3）①若两位数能被11整除，则a，b满足的条件______； ②若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件______； ③按此方法探究，若任意一个自然数能被11整除，直接写出这个自然数所有数位上的数满足的规律． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南通市海门区七年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在足球比赛中，如果甲队进球3个，记作，那么甲队失2个球，记作（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数．用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：如果甲队进球3个，记作，那么甲队失2个球，记作， 故选：B． 2. 太阳半径约为696000km，将696000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到的后面，所以 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 3. 单项式的次数是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是灵活掌握单项式的次数的定义，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：单项式的次数是． 故选：D． 4. 下列数：15，，，7，，，12，，中，整数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握整数的定义，是解题的关键．根据有理数的分类方法，进行解答即可． 【详解】解：15，，，7，，，12，，中，整数有：15，，7，，12，共5个． 故选：C． 5. 下列各题中的两个量不成反比例关系的是（ ） A. 一个由200名学生组成的体操方队，每排学生人数和排数 B. 小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 C. 长方体的体积一定，长方体的底面积与高 D. 一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例，关键是掌握反比例的定义． 判断两个量是否成反比例关系，关键是看它们的乘积是否为常数． 选项A、C、D中两个量的乘积均为定值，故成反比例；选项B中两个量为正比例关系，故不成反比例． 【详解】解：选项A：每排学生人数×排数（常数），成反比例． 选项B：设制作时间为t小时，制作朵数为d，则，d与t成正比，不成反比例． 选项C：设底面积为S，高为h，体积V一定，则（常数），成反比例． 选项D：设每箱质量为m，装箱数为n，总质量M一定，则（常数），成反比例． 故选B． 6. 把算式改写成省略括号和加号的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，根据有理数的加减运算法则，减去一个数等于加上它的相反数，再省略加号和括号． 【详解】解：． 故选：A． 7. 已知a是一个有理数，若，则数a为（ ） A. 正有理数 B. 0 C. 负有理数 D. 非零有理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 根据0的相反数是0判断即可． 【详解】解：∵已知a是一个有理数，若，即数a与它的相反数相等， ∴数a为0． 故选：B． 8. 已知数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图所示，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【详解】解：由数轴图可得，，，， 选项D正确，符合题意． 故选：D． 9. 在电子工程中，数字电路中使用的是二进制系统，而采用六进制编码的数字也慢慢用于电子设备的编程中．现用二进制记数法表示正整数，例如：，记作，，记作，六进制记数法表示正整数，例如：，记作，则等于六进制中的数为（ ） A. 121 B. 203 C. 113 D. 135 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不同记数制之间的转换，解答本题的关键是明确二进制数转化为十进制数和十进制数转化为六进制数的方法． 先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为六进制数． 【详解】解： ， 故选：C． 10. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图是其中一类：1，5，12，22称为五边形数，请你根据其中数排列的规律计算第101个五边形数与第100个五边形数的差是（ ） A. 199 B. 201 C. 290 D. 301 【答案】D 【解析】 【分析】找出五边形数变化的规律，依据规律解答即可． 本题考查了数字类变化规律，根据所给五边形数准确找出数字的规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得：第二个五边形数比第一个五边形数多， 第三个五边形数比第二个五边形数多， 第四个五边形数比第三个五边形数多， ， 第101个五边形数比第100个五边形数多 故选：． 二、填空题：本题共6小题，共22分． 11. 比较大小：_____（选填“>”或“<”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值和相反数，先将的符号化简，求出的绝对值，再进行比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 写出代数式的意义是__________． 【答案】a的2倍与c的3倍的和 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的意义，根据代数式的意义，将代数式分解为各项的含义， 解答即可． 【详解】解：代数式中，表示的2倍，表示的3倍，加号表示和，因此整个代数式的意义是的2倍与的3倍的和． 故答案为：a的2倍与c的3倍的和． 13. 数m在数轴上对应的点在原点的左侧，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的乘方． 根据绝对值的意义得到 m 的可能值，再结合数轴上的位置确定m为负数，最后计算立方． 【详解】解：∵， ∴． ∵m在数轴上对应的点在原点的左侧， ∴． ∴． 故答案为． 14. 一架直升机从高度的位置，先以的速度竖直上升；后以的速度竖直下降，这时直升机所在的高度是______． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算在实际问题中的应用，通过速度乘以时间得到距离，上升时高度增加，下降时高度减少，结合初始高度计算最终高度． 【详解】解：直升机上升的高度为：， 上升后高度为：． 下降的高度为：， 下降后高度为：． 故答案为： 15. 若，，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算． 先去括号合并同类项，再代入已知条件计算即可． 【详解】 ， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 16. 如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 ①. 3 ②. 4 【解析】 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 三、解答题：本题共10小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． （1）各表示什么？ （2）哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【答案】（1） 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示不足标准质量． （2）记为的排球最接近标准质量． 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，掌握克数的绝对值越小就越接近标准是解题的关键． （1）根据题中各正负数所表示的实际意义即可解答； （2）先比较各数的绝对值，再根据克数的绝对值越小就越接近标准即可解答． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：记为的排球最接近标准质量，理由如下： ∵， ∴记为的排球最接近标准质量． 18. 在数轴上表示下列各数：3，，4，，0，，，并把这些数用“”号连接． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 本题考查了有理数的大小比较和数轴，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【详解】略 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）减法转化为加法，再进一步计算即可； （2）除法转化为乘法，再进一步计算即可； （3）先计算乘除，再计算加法即可； （4）先计算乘方和括号内的运算，再计算加法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可求出答案； （2）先根据整式的运算法则进行化简，然后将a与b的值代入化简后的式子即可求出答案． 本题考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； 当，时， 原式 21. 某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：，，，，，，，．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】（1）B地在A地南方，相距5千米 （2）这天汽车共耗油升 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，列代数式，掌握有理数的混合运算法则是关键． （1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加，然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【小问1详解】 解：， 答：B地在A地南方，相距5千米； 【小问2详解】 解：， ∴(升)， 答：这天汽车共耗油升． 22. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果．根据这些数据回答下列问题： （1）该机器人能识别多大范围内的苹果？ （2）该机器人识别范围内的苹果需要多少秒？ （3）若该机器人搭载了m个机械手，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 【答案】（1）该机器人能识别范围内的苹果 （2）识别范围内的苹果需要秒 （3）机器人可比工人多采摘个苹果 【解析】 【分析】（1）根据苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，得出能识别的范围即可； （2）先求出机器人识别需要的时间，据此得出机器人识别范围内的苹果需要的时间即可； （3）根据题意，分别表示出机器人和工人采摘的苹果个数，据此可解决问题． 本题主要考查了列代数式，能根据题意分别求出机器人平均每秒识别的范围及识别需要的时间是解题的关键． 【小问1详解】 因为机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别， 所以该机器人能识别范围内的苹果； 【小问2详解】 因为机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别， 则识别需要的时间为秒， 所以识别范围内的苹果需要秒； 【小问3详解】 因为一个机械手平均可以采摘一个苹果， 所以一个机械手平均每秒采摘个苹果， 则m个机械手平均每秒采摘个苹果， 所以m个机械手1小时可采摘的苹果个数为：个 因为工人平均可以采摘一个苹果， 则个，即采摘工人1小时可采摘的苹果个数为720个， 所以机器人可比工人多采摘个苹果． 23. 做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下表所示． 类型 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 （1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？ （2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用等知识点，根据题意正确列出代数式并熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）分别表示出小纸盒的表面积和大纸盒的表面积，两者相加即可得出做这两个纸盒共用纸多少平方厘米； （2）用大纸盒的表面积减去小纸盒的表面积即可得解． 【小问1详解】 解：小纸盒的表面积是， 大纸盒的表面积是， ， 答：做这两个纸盒共用纸； 【小问2详解】 解： ， 答：做大纸盒比做小纸盒多用纸． 24. 某校11月份体育节，准备订购一批篮球和排球，采购员调查发现篮球每个售价为150元，排球每个售价为50元．现有甲、乙两家门店提供了各自的优惠方案． 甲店：买一个篮球送一个排球； 乙店：篮球和排球都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，排球x个 （1）若在甲店购买，则需付款______元；若在乙店购买，则需付款______元；（用含x的代数式表示） （2）当时，在哪家店购买较为合算？ （3）当时，你认为还有更省钱的购买方案吗？如果没有，请说明理由；如果有，请写出你的购买方案，并计算需要付款的金额． 【答案】（1）， （2）当时，在甲店购买较为合算 （3）有，在甲店购买50个篮球，在乙店购买30个排球时需付金额最少，为8700元 【解析】 【分析】根据两家所给优惠方式，分别表示甲，乙两家店所需费用即可； 将代入中的代数式进行计算即可； 将两家店联合起来购买，计算出所需金额即可． 本题主要考查了列代数式及代数式求值，能根据所给两店的优惠方式，分别表示出所需费用是解题的关键． 【小问1详解】 由题知， 在甲店购买时，所需费用为：元； 在乙店购买时，所需费用为：元． 故答案为：，； 【小问2详解】 当时， 元， 元， 因为， 所以在甲店购买较为合算； 【小问3详解】 有，理由如下： 在甲店购买50个篮球，费用为元，同时送了50个排球， 在乙店购买30个排球，费用为元， 则元，且， 所以在甲店购买50个篮球，在乙店购买30个排球时需付金额最少，为8700元． 25. 在数轴上有A，B，C三点，点A在点C左边，点B表示的数为2，点A，C之间的距离为 （1）若点A表示的数为，则点A，C之间（不包含点A与点C）有多少个点表示的数为整数？并写出这些点表示的整数； （2）当点B，C之间距离为为正整数，则点A，C之间（不包含点A与点C）有多少个点表示的数为整数？并写出这些点表示的整数用含a的代数式表示 【答案】（1）点A，C之间有5个点表示的数为整数，这些整数为，0，1，2，3 （2）点A，C之间不包含点A与点有4个点表示的数为整数，当点C在点B左侧时，分别为，，，；当点C在点B右侧时，分别为，，a， 【解析】 【分析】根据点A表示的数及A，C之间的距离，得出点C表示的数，据此写出点A，C之间表示整数的点的个数及表示的数即可； 分点C在点B的左侧和右侧两种情况进行讨论，分别求出点A和点C表示的数，再确定它们之间的整数即可． 本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数的大小比较，列代数式，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 【小问1详解】 因为点A表示的数为，点A在点C左边，点A，C之间的距离为5， 所以点C表示的数为， 则点A，C之间有5个点表示的数为整数，这些整数为，0，1，2，3； 【小问2详解】 因为点B，C之间距离为a， 当点C在点B左侧时， 点C表示的数为，点A表示的数为， 则点A，C之间不包含点A与点有4个点表示的数为整数，分别为，，，； 当点C在点B右侧时， 点C表示的数为，点A表示的数为， 则点A，C之间不包含点A与点有4个点表示的数为整数，分别为，，a，． 26. 【回顾书本】 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是， 显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除．即：能被3整除． 【类比证明】 （1）小明同学从中发现：如果一个两位数的所有数位上的数字之和等于9，那么这个两位数就能被9整除．在此基础上，小明同学提出了“如果一个自然数的各数位上的数字之和等于9，那么这个自然数就能被9整除”的观点． 请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【简单运用】 （2）当五位数能被9整除，求代数式的值； 【拓展提升】 （3）①若两位数能被11整除，则a，b满足的条件______； ②若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件______； ③按此方法探究，若任意一个自然数能被11整除，直接写出这个自然数所有数位上的数满足的规律． 【答案】 （1）正确，证明：设三位数的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则这个三位数可表示为： ， ∵， 则上式变为， ∵是9的整数倍， 能被9整除，小明的观点正确； （2）或； （3）①；②或；③任意自然数能被11整除的规律：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数 【解析】 【分析】本题主要考查了数的整除特性的证明与应用，涉及3、9、11 的整除规律推导及实际运用．熟练掌握“用代数表示数并拆分变形，结合整除定义分析数字和与数的关系”是解题关键． （1）通过代数表示三位数，拆分变形为9 的倍数与数字和的组合，利用“数字和为9”推导其是9 的倍数，验证观点正确性； （2）根据能被9 整除的数的数字和规律，结合五位数的数字和，确定其为9 的倍数，进而求的值即可； （3）将数拆分为11 的倍数与数字组合的形式，通过整除条件推导不同位数下数字需满足的关系，归纳通用规律即可． 【详解】解：（1）略 （2）的各位数字和为， 由（1）的证明过程类比可知，若一个自然数各数位数字之和能被9整除，则该数能被9整除， 因此若五位数能被9整除，则能被9整除， 由题意可知， ∴或， ∴或； （3）①两位数，若能被11整除，则（k为整数）， ∵，， ∴，即； ②三位数 若能被11整除，则或11的倍数， 即或； ③根据②可得：若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件为（k为整数）， 四位数 ， 若能被11整除，则（k为整数）， 同理可得：若五位数能被11整除，则（k为整数）， 若六位数能被11整除，则（k为整数）， … 则任意自然数能被11整除的规律：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $