专题01 直线与圆的位置关系3大题型（专项训练）数学冀教版九年级下册

专题01 直线与圆的位置关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的定义 1 题型二、利用圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判定位置关系 2 题型三、由位置关系反推d与r的大小关系 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的定义 1．如图，与直线l的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 2.仁人及《论语》“怀德里仁”之意而命名．如图是以“仁”设计的艺术字，若将“仁”字每一笔画抽象为直线，背景抽象为圆，则图中直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 4．若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 5．下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．直线和圆有公共点，则直线与圆相交 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 题型二、利用圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判定位置关系 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为，点P是直线l上一点，的长为，则直线l与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 3．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 4．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 5.（2025·福建厦门·二模）如图所示，已知半径为，是直径，过点作于，交弦于点，连接，若， (1)证明； (2)设是射线上的动点，将绕着点顺时针旋转得到． ①当时，探究直线与的位置关系； ②在旋转过程中，是否存在点落在线段上且的情形？若存在，求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 题型三、由位置关系反推d与r的大小关系 1．已知的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与相交，则r与d之间的关系是（　　） A． B． C． D． 2．直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 4．已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 5．已知的斜边，直角边，以点为圆心作． （）当半径为 时，直线与相切； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为 ． 6．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 7．在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ． 8．如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点，交于，两点． (1)当为中点时，求的长； (2)①如图2，当与边相切于点时，的长为__________； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系； (3)当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围__________． 9.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆半径为1，直线的解析式为． （1）试说明：直线恒过点． （2）若直线从垂直于轴的位置开始绕点顺时针旋转，旋转角为， ①求当直线与⊙O相切于点时，直线的表达式； ②当直线与⊙O有两个交点时，设两个交点分别是点，（点是离点较近的点），请直接写出线段的变化趋势和取值范围，并写出当线段在的变化过程中，它扫过的面积． 10.如图，在坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） (4)E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． 11.如图，的半径为1，圆心O在正三角形的边AB的中点处，向顶点A方向运动，点O运动到点A时终止．若，运动速度为1个单位/秒，运动时间设为ts．试问： (1)当t为多少时，与直线AC相离？ (2)当t为多少时，与直线AC相切？ (3)当t为多少时，与直线AC相交？ 1．（2024·河北·模拟预测）如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（  ） ①相交；②相切；③相离 A．①②③ B．② C．①③ D．①② 3．（24-25九年级下·河北秦皇岛·月考）已知直线l与圆O相交，点P在直线l上，若P点到O点的距离等于圆O的半径，则点P的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．3个以上 4．（河北沧州·三模）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ）    A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 5．（江苏无锡·模拟预测）如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（    ）． A． B． C． D． 6．（河北唐山·二模）已知的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（    ） A．5 B．5.5 C．4.5 D．1 7．（河北石家庄·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙C的半径为6.5，则⊙C与AB的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 9．（2025·福建福州·二模）如图，，为上一点，且，以点为圆心作半径为1的，将绕点顺时针旋转，则旋转后的与射线的位置关系是 （填“相交”“相切”或“相离”）． 10．（2025·宁夏银川·一模）在中，，，O是上一点，，的半径为2，与的关系是 ． 11．（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，，，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰好与点重合，折痕为，顺次连接，，，，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰好与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 12．（河北唐山·二模）如图，点B为线段上一点，，，过B作于B，且，以为邻边作矩形，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，优弧交于N，交于M，设旋转角为． (1)若扇形的面积为，则________； (2)连接，判断与扇形所在圆的位置关系，并说明理由； (3)设P为直线上一点，沿所在直线折叠矩形，若折叠后所在的直线与扇形所在的相切，直接写出的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆的位置关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的定义 1 题型二、利用圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判定位置关系 2 题型三、由位置关系反推d与r的大小关系 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的定义 1．如图，与直线l的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：∵直线与圆有两个交点， ∴直线与圆的位置关系是相交． 故选：A． 怀仁市，因晋王李克用与辽太祖耶律阿保机会盟于云州东城，易袍马约为兄弟，取怀想 2.仁人及《论语》“怀德里仁”之意而命名．如图是以“仁”设计的艺术字，若将“仁”字每一笔画抽象为直线，背景抽象为圆，则图中直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：通过观察发现，“仁”字每一笔画所在直线与背景圆均有公共点，则图中直线与圆的位置关系是相交， 故选：A． 3．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【答案】C 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 4．若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：圆心到直线的距离等于的半径， 直线与的位置关系是相切， 故选：． 5．下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．直线和圆有公共点，则直线与圆相交 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A不正确，不符合题意； B．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切，故B不正确，不符合题意； C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不正确，不符合题意； D．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，故D正确，符合题意． 故选D． 题型二、利用圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判定位置关系 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2.5，即， ∴与该直线相交， ∴这条直线可能是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为，点P是直线l上一点，的长为，则直线l与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 【答案】D 【详解】解：圆心O到直线l的距离d是直线l上各点到O的最短距离，由垂线段最短可知． ∵圆的半径， ∴当时，直线与圆相交； 当时，直线与圆相切； 当时，直线与圆相离； ∴直线l与的位置关系可能是相交、相切或相离． 故选：D 3．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交， ∴直线与有2个交点， 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ，， 圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 5.（2025·福建厦门·二模）如图所示，已知半径为，是直径，过点作于，交弦于点，连接，若， (1)证明； (2)设是射线上的动点，将绕着点顺时针旋转得到． ①当时，探究直线与的位置关系； ②在旋转过程中，是否存在点落在线段上且的情形？若存在，求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①当时， 与相切;当时，直线与相交； ②存在； 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∴． ∴． ∴； （2）①解：连接交直线于， ∵绕着点顺时针旋转得到， ∴． 由（1）知：，， ∴． ∴，即． ∵在中，， 设， ∴在中，． 当时，，，此时点与点重合，由可得与相切． 当时，，，此时点与点不重合，故直线与不相切，则直线与相交． ②解：存在，当，时，点落在上且． 理由如下： 连接，，，，，． ∵绕着点顺时针旋转得到， ∴，，． ∴． ∵点在射线上， ∴． ∴． ∴点在上． 当，时， ∵，， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴，即存在点落在上且的情形． 此时，，， ∴在和中，，，， ∴． ∴，． ∴． ∴是等边三角形． ∴，，即点和点都在上． ∴． 题型三、由位置关系反推d与r的大小关系 1．已知的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与相交，则r与d之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与相交， ∴． 故选：A 2．直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5， ∴， ∵， ∴A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 3．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】D 【详解】解：∵直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离， ∴半径． ∴只有D选项符合题意． 故选D． 4．已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离， 所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即． 故答案为：. 5．已知的斜边，直角边，以点为圆心作． （）当半径为 时，直线与相切； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为 ． 【答案】 / 或； 或． 【详解】（）如图作于， 在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 6．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【答案】2或3 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 7．在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：过点O作于点E， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵与有公共点，且与边没有公共点， 当线段在外时，如图，此时， 当线段在内时，如图，此时    ∴的半径r的取值范围是：或 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系，相似三角形的判定以及性质，掌握圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系是解题的关键． 8．如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点，交于，两点． (1)当为中点时，求的长； (2)①如图2，当与边相切于点时，的长为__________； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系； (3)当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围__________． 【答案】(1)3 (2)①，②弦长大于的长． (3)或． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴ （2）解：①连接， 当与边相切于点时，则，即， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ②连接，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）①当与相切时，设切点为，如图， 由上述结果可知，，， ∴， ， 即当，与相切，与平行四边形的边的公共点的个数为1， ②过点，如图，与平行四边形的边的公共点的个数为， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴是直径，此时， 当时，点在圆内，与平行四边形的边的公共点的个数为1， 综上所述，的值的取值范围是或． 9.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆半径为1，直线的解析式为． （1）试说明：直线恒过点． （2）若直线从垂直于轴的位置开始绕点顺时针旋转，旋转角为， ①求当直线与⊙O相切于点时，直线的表达式； ②当直线与⊙O有两个交点时，设两个交点分别是点，（点是离点较近的点），请直接写出线段的变化趋势和取值范围，并写出当线段在的变化过程中，它扫过的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）①或；② 【详解】（1）将代入一次函数中，等式恒成立 ∴直线恒过点； （2）①如图1，第一种情况：直线与相切时，点为直线与轴的交点，此时直线的表达式为； 第二种情况：直线与相切时，连接，，直线 由点坐标可知 ∵点为圆心的圆半径为1 在中， ∴ 同理 ∴ 在中，， ∴ ∴； 将点坐标代入中，得直线的表达式为； ②的变化趋势：先变大再变小， ∵点为圆心的圆半径为1 ∴取值范围是 如图，取值范围是，对应和之间的区域，连接、、、； ∵点为圆心的圆半径为1 ∴， ∴，扇形面积=扇形面积 , 扇形面积 ∴线段扫过的面积=面积-（扇形面积-） ∴线段扫过的面积 ∴线段扫过的面积：． 10.如图，在坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） (4)E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． 【答案】(1) (2) (3)外 (4)4 【详解】（1）解：如图所示， ∴； （2）解：， ∴这个圆的半径长为； （3）解：， ∵， ∴点在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接，过点作的垂线， ∴点均为图中网格点，符合题意， ∴该图中有4个， 故答案为：4． 11.如图，的半径为1，圆心O在正三角形的边AB的中点处，向顶点A方向运动，点O运动到点A时终止．若，运动速度为1个单位/秒，运动时间设为ts．试问： (1)当t为多少时，与直线AC相离？ (2)当t为多少时，与直线AC相切？ (3)当t为多少时，与直线AC相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：过点作，如图，． 为正三角形，， ，即，， 此时． ∴当时，与直线相离． （2）解：由（1）可知，当时，与直线相切． （3）解：由（1）可知，当时，与直线相交． 1．（2024·河北·模拟预测）如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，交于点，连接， ， 在中，， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 根据勾股定理可得， ， 若线段与有2个交点，则， 即， ， x的值可能是， 故选：C． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（  ） ①相交；②相切；③相离 A．①②③ B．② C．①③ D．①② 【答案】D 【详解】设圆心O到直线l的距离为d， 根据题意，在直线l上存在一点P，使得， 因为垂线段最短，所以圆心O到直线l的距离，即， 又因为圆的半径，所以， 当时，直线l与相切； 当时，直线l与相交， 故直线l和的位置关系可能是相切或相交 故选：D． 3．（24-25九年级下·河北秦皇岛·月考）已知直线l与圆O相交，点P在直线l上，若P点到O点的距离等于圆O的半径，则点P的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．3个以上 【答案】B 【详解】解：∵直线l与圆O相交， ∴直线l与圆O有两个公共点，这两个公共点到O点的距离等于圆O的半径， 故选B， 4．（河北沧州·三模）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ）    A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】D 【详解】解：，， ， 斜边上的高为：， 当时，画出图如图所示：   ， 此时在圆内部，与只有一个交点， 当时，画出图如图所示，   ， 此时与只有一个交点， 当时，画出图如图所示：   ， 此时与只有一个交点， 三人的答案合在一起才完整， 故选：D． 5．（江苏无锡·模拟预测）如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E， ∵点P和点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点B为圆心，半径为1的圆， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆． ∵当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，直线y=kx－3k（k＞0）过定点D(3,0)， ∴OP⊥PD， ∴∠OPD=90°， 在Rt△OPD中，OP=OA=2，OD=3， 由勾股定理得：PD== 由等积法，可得：OD•PE=OP•PD， 即：3×PE=2×， 解得：PE= 在Rt△OPE中，OE== ∴点P的坐标为(，) 把点P的坐标代入y=kx－3k，得:， 解得:k=． 故选：C． 6．（河北唐山·二模）已知的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（    ） A．5 B．5.5 C．4.5 D．1 【答案】B 【详解】∵直线与有公共点 ∴直线与应是相交或相切的位置关系 ∴圆心距小于等于半径 ∵5.5>5 ∴B选项错误 故选B． 7．（河北石家庄·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙C的半径为6.5，则⊙C与AB的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】 过C作CD⊥AB于D， 由勾股定理得：AB＝＝13， 由三角形的面积公式得：AC×BC＝AB×CD， ∴5×12＝13×CD， ∴CD＝， ∴⊙C与AB的位置关系是相交， 故选：C． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 9．（2025·福建福州·二模）如图，，为上一点，且，以点为圆心作半径为1的，将绕点顺时针旋转，则旋转后的与射线的位置关系是 （填“相交”“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【详解】解：将绕点顺时针旋转后为，过点作交于点， ， ， ， 的长度与的半径长度相等，且， 所以，旋转后的与射线相切． 故答案为：相切． 10．（2025·宁夏银川·一模）在中，，，O是上一点，，的半径为2，与的关系是 ． 【答案】相交 【详解】解：如图，过O作于D，则， ∵在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵的半径为2，， ∴与相交， 故答案为：相交． 11．（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，，，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰好与点重合，折痕为，顺次连接，，，，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰好与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)与所在圆的位置关系是相交，理由见解6790 【详解】（1）解：四边形为菱形，证明如下： ∵折叠， ∴垂直平分， ∴，，， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：与所在圆的位置关系是相交． 理由如下： 由折叠可知，所在圆的圆心为点， 连接，， ∵是直径， ∴， ∴与相切， ∵， ∴与所在圆的位置关系是相交． 12．（河北唐山·二模）如图，点B为线段上一点，，，过B作于B，且，以为邻边作矩形，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，优弧交于N，交于M，设旋转角为． (1)若扇形的面积为，则________； (2)连接，判断与扇形所在圆的位置关系，并说明理由； (3)设P为直线上一点，沿所在直线折叠矩形，若折叠后所在的直线与扇形所在的相切，直接写出的长． 【答案】(1) (2)相离，见解析 (3)的长为或或或 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴， 故答案为：； （2）解：相离，理由如下； 如图1，连接，作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，， ∵， ∴与扇形所在圆相离； （3）解：①当折叠后所在的直线与扇形所在的圆B相切时，切点为Q，如图2，当点Q在的左侧时，连接，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，当点Q在右侧时，同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． ③当与圆相切时，如图3， 由折叠知：， 同理，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ④当在左侧与圆相切时，如图4， 同理可得：，； 综上，的长为或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $