专题03 切线长定理与三角形的内切圆（专项训练）数学冀教版九年级下册

专题03 切线长定理与三角形的内切圆 目录 A题型建模・专项突破 题型一、切线长定理 1 题型二、三角形内切圆与外接圆的定义、圆心（内心）的性质 2 题型三、内切圆半径与三角形边长、面积的关系 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等） 1．如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 2．题目：如图，将三角尺绕零刻度落在点A，直径为的量角器（半圆O）的点B旋转，分别交于点P，Q．已知，，，，点P在量角器上的读数为．下列说法正确的有（   ） ①若，则与半圆O相切； ②在旋转过程中，的长为定值； ③若点K在上，且，当点K在半圆O内时，的取值范围为． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．下列说法中，不正确的是（    ） A．经过三个点一定可以作圆 B．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等 C．三角形三条内角平分线的交点是三角形内切圆的圆心，叫做该三角形的内心 D．三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，叫做该三角形的外心 4．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，已知，，，则的周长为 ． 5．如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 6．如图，在中，是的内切圆，三个切点分别为点，．若．求的面积． 题型二、三角形内切圆与外接圆的定义、圆心（内心）的性质 一、单选题 1．下列命题中，正确的是（　　） A．三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．直角三角形的内心与外心重合 D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线 2．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 3．如图，是的内切圆，若，则 ． 4．如图，在矩形中，，，为的中点，连接．在矩形外部找一点，使得，则线段长为 ；线段的最大值为 ． 5．如图，I是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若于点M．求证：． 6．如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 7．已知：在中，， (1)利用直尺和圆规作的外接圆； (2)若，求的半径． 8．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，，与交于Q点． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：； (3)若，的面积为，求的长． 题型三、内切圆半径与三角形边长、面积的关系 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 2．在中，，，，则内切圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 4．《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 5．设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 6．如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 7．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径． 8．已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 一、单选题 1．（2025·河北石家庄·一模）如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（河北石家庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（四川泸州·中考真题）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是 A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C． D．2 二、填空题 5．（2025·河北唐山·二模）如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 三、解答题 6．（2025·河北·一模）如图，，，，是以为直径的半圆上一动点，交直线于点，设． (1)当时，求的长； (2)当时，连接，求的外接圆的半径长； (3)若点在线段上，直接写出的取值范围． 7．（2025·河北邯郸·三模）已知的半径为5，B、C是上两定点，点A是上一动点，且． (1)①尺规作图：做的平分线交于点D． ②证明：点D为上一定点； (2)过点D作的平行线交的延长线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若为锐角三角形，直接写出的取值范围． 8．（2025·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，点为边上一点，，以为圆心、长为半径作圆，交于点，恰好与对角线相切于点，作弦，与交于点． (1)求矩形对角线的长； (2)求弦的长． 9．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，的半径为2，A、B是上的两点，，C是的中点． (1)_______________度；并求阴影部分的面积； (2)若点P在上，且是直角三角形，请在图1中画出点P的所有位置； (3)如图2，弦的端点在优弧上滑动（不与A、B重合），且，连接、分别交、于点E、F．当弦的端点在优弧上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出四边形面积的取值范围； (4)如图3，过点A作射线，交于点G，D是平面内的一个动点，且，Q为的中点．直接写出线段长度的最大值与最小值的差． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03切线长定理与三角形的内切圆 目录 A题型建模·专项突破 题型一、切线长定理 ………1 题型二、三角形内切圆与外接圆的定义、圆心（内心)的性质...2 题型三、内切圆半径与三角形边长、面积的关系...· …3 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等） 1.如图，P为O0外一点，PA,PB,MN分别切OO于A,B,C三点，且切线MN分别交PA,PB于点M,N ·若PA=12,则△PMN的周长为() A.12 B.13 C.16 D.24 【答案】D 【详解】解：，PA,PB分别切OO于A,B, .PA=PB=12. 同理，可得MC=MA,NC=NB, ∴.△PMN的周长 =PM+CM+CN+PN =PM+AM+PN+BN PA+PB =2PA =24 故选：D. 2.题目：如图，将三角尺MNB绕零刻度落在点A,直径为AB的量角器（半圆O)的点B旋转，BM,BN分 别交AB于点P,Q.己知AB=2,BN=1,∠MBN=60°，∠N=90°，点P在量角器上的读数为 a(0°<a≤60).下列说法正确的有() ①若a=60°，则BN与半圆0相切： ②在旋转过程中，AP+BQ的长为定值； 1/35 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③若点K在MN上，且NK=1,当点K在半圆0内时，a的取值范围为0°<a<45°. M 6 B A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【答案】B 【详解】解：如图，连接OP, M P A B(O ,a=60°， .∠A0P=60°， 日∠ABP∠A0P=309 .∠MBN=60°， ∴.∠ABN=∠ABP+∠MBN=90°， .AB⊥BN, ,.BN与半圆0相切，故①正确； 如图，连接OQ,OP,AQ,其中AQ与BM交于点D, A 直径为AB, .∠AQB=90°=∠N, .AQ∥NM, ∴.∠BDQ=∠BMN=90°-∠MBN=30°， ,∠BDQ=∠BAQ+∠ABP, .∠BAQ+∠ABP=30°， ,∠AOP=2∠ABP,∠BOQ=2∠BAQ, ∴.∠A0P+∠B0Q=2(∠ABP+∠BAQ=60°， 2/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·AP+B0= 60mx2 _π为定值， 180 即在旋转过程中，AP+BQ的长为定值，故②正确： 如图，当BN与圆O相切时，此时MN与圆O交于点K, B(O) 此时∠ABN+∠N=90°+90°=180°， ∴.MN∥AB, 此时点O到MN的距离等于BN=1, “圆0的半径为号1， ∴.MN与圆0相切，， 此时满足KN=BN=1,满足题意， 由①得：∠ABP=30°， .当点K在半圆0内时，的取值范围为0°<a<30°，故③错误. 故选：B 3.下列说法中，不正确的是() A.经过三个点一定可以作圆 B.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等 C.三角形三条内角平分线的交点是三角形内切圆的圆心，叫做该三角形的内心 D.三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，叫做该三角形的外心 【答案】A 【详解】解：A选项：不在同一直线上的三点确定一个圆.当三个点共线时无法作圆，A选项不正确，此 选项符合题意： B选项：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.正确，此选项不符合题意； C选项：三角形的三条内角平分线交于一点，这点是三角形的内心，正确，此选项不符合题意； D选项：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等，它是 三角形的外心，正确，此选项不符合题意； 故选：A. 4.如图，O0是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,已知AF=6,CF=5,AD=3BD,则△ABC的周 长为 3/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 O B 【答案】26 【详解】解：：O0是直角ABC的内切圆，且AF=6,CF=5, .AD=AF=6,CE=CF=5,BE BD, AD =3BD, :BE BD =-AD =2, 3 :△ABC的周长为AB+BC+AC=AF+CF+CE+BE+BD+AD=26, 故答案为：26. 5.如图，在⊙O中，DE是OO的直径，过点D作OO的切线DF,点A是DF上一点，且AD=DE,连接 AE交OO于点B,点C是AD的中点，连接CB,OC,CB为OO的切线. D A (1)求证：四边形BCOE是平行四边形： (2)已知⊙0的半径为1，求阴影部分的面积.（结果保留π） 【答案】(1)见解析 ②1-音 【详解】(1)证明：如图，连接OB, B :AD与CB都是OO的切线， D ∠EDA=∠OBC=90°，CD=CB, AD =DE, ∠DAE=∠DEA=45°， 又点C为AD的中点， .CD=CB=AC, 4/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DAE=∠ABC=45°， ∠ACB=90°， ∠BCD=180°-90°=90°， :四边形OBCD为矩形， CB∥D0,且CB=DO, CB∥OE,且CB=OE, :四边形BCOE是平行四边形： (2)解：：由(1)知，四边形OBCD为矩形， 又，0B=0D, ·矩形OBCD为正方形， ÷阴影部分的面积是S能=SE0aD-Sa500=0B2_90c08-1-工 360 4 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是ABC的内切圆，三个切点分别为点D,E,F.若 BF=3,AF=10.求ABC的面积. B E A 【答案】S4Bc=30 【详解】解：设⊙0半径为 在四边形0DCE中，∠0DC=∠C=∠OEC=90°， 四边形ODCE为矩形. 又因为0D=0E, :四边形ODCE为正方形. 则CD=CE, B E 由切线长定理易知：BD=BF=3,AE=AF=I0, 5/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC=3+r,AC=10+r, 在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2, (10+r)2+(3+r)2=132. 整理，得：r2+13r-30=0, 解得r=2, AC=12,BC=5. S c =AC.BC=1x12x5=30. 2 2 题型二、三角形内切圆与外接圆的定义、圆心（内心)的性质 一、单选题 1.下列命题中，正确的是() A.三个点确定一个圆 B.等弧所对的圆周角相等 C.直角三角形的内心与外心重合 D.与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线 【答案】B 【详解】A、不在同一条直线的三个点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意； B、等弧所对的圆周角相等，选项说法正确，符合题意； C、直角三角形的内心和外心不重合，选项说法错误，不符合题意； D、经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，选项说法错误，不符合题意： 故选B 2.如图，ABC是一张周长为24cm的三角形的纸片，BC=7cm,⊙0是它的内切圆，小明准备用剪刀在 ⊙O的右侧沿着与OO相切的任意一条直线MN剪下△AMN,则剪下的三角形的周长为() B A.12cm B.11cm C.10cm D.随直线MN的变化而变化 【答案】c 【详解】解：设⊙O与AB、BC、AC、直线MN分别相切于点D、E、F、H, :△ABC的周长为24cm,BC=7cm, 6/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 4:.AB+AC AD+BD CF+AF 24-7=17(cm), F .BD=BE,CF=CE, :BD+CF BE+CE BC 7cm, .AD+AF AB+AC (BD+CF)=17-7=10(cm), .HM =DM,HN FN, :AM +MN AN AM HM HN AN AM D M FN AN AD AF =10cm :剪下的三角形的周长为10cm, 故选：C 3.如图，⊙0是ABC的内切圆，若LA=58°，则LB0C=一 0 B 【答案】119°/119度 【详解】解：：⊙0是ABC的内切圆， 208c=<4Bc,∠ocB=5<4c8. :∠A=58°， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=122°， ∠B0c=180-(<08C+∠0cB=180-∠ABC+∠ACB 180°-7×122°=1190 故答案为：119°。 4.如图，在矩形ABCD中，AD=10,AB=16,P为CD的中点，连接BP,在矩形ABCD外部找一点E, 使得LBEC+∠BPC=I80°，则线段BP长为 ;线段DE的最大值为 R 【答案】 241 13+√41 7/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：根据题意得BP=√CP2+CB2=V02+82=√64=2√41， 故答案为：2√41. 如图 H D 以BP为中心O为圆心，OB为半径画圆， 在矩形ABCD中AD=BC=10,AB=CD=16, ∠BCP=90°， :所画圆Rt△BCP为外接圆， 弦BC右侧画弧上任意一点E与BC构成∠BEC,使得四边形BPCE是圆内接四边形， .∠BEC+∠BPC=180°， 连接DO并延长与圆的交点即为DE的最长距离， 作OH⊥DC于点H, H是PC的中点， ·OH是△PBC的中位线， a0H号8c=5. :P为CD的中点， :.CP-DP=CD=8, 2 .PH=1/2CP=4, DH=DP+PH=8+4=12, 0P=V0H2+PH2=52+43=41, OE=OP=√41， :0D=VDH2+0H2=V122+52=13, DE=0D+0E=13+4I, 故答案为：13+√41. 5.如图，I是ABC的内心，AⅡ的延长线和ABC的外接圆⊙0相交于点D,OI⊥AD. 8/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)求证：AD=2BD; (2)若M⊥AB于点M.求证：BC=2AM· 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：连接B1, D :I是ABC的内心， ∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI, ∠BAD+∠ABI=LCAD+∠CBI, :∠CAD=∠CBD, ∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI, :∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBD+∠CBI, .∠BID=∠IBD, :DB=DI, OI L AD, :AI=DI, ∴.AD=2BD; (2)解：连接OB,OD交BC于点E, :∠BAD=∠CAD, E D .BD=CD, 9/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.OD⊥BC,BE=CE, OI⊥AD,IM⊥AB, ∴.∠BED=∠AMI=90°，IA=DI, :DB=DI, :DB=IA, :∠DBE=∠DAC,∠IAM=∠DAC, ∴∠DBE=∠IAM, 在△DBE和△IAM中， [∠BED=∠AMI ∠DBE=∠IAM, DB=IA :ADBE≌AIAM(AAS), :BE AM, :2BE =2AM, BC=2BE, :BC 2AM. 6,如图，⊙O是ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且CB=CD,CE⊥DA交DA的延长线于 点E. 】 (1)求证：∠CAB=∠CAE; (2)求证：CE是⊙0的切线； (3)若AE=1,BD=4,求⊙0的半径长. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 明 【详解】(1) 证明：连接BD 10/35