寒假作业03 圆的方程与点与圆的位置关系6类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业03 圆的方程与点与圆的位置关系 一、圆的标准方程与一般方程 1、圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径. 2、圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. (1)当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 二、点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系 (1)、若点在圆上 (2)、若点在圆外 (3)、若点在圆内 2、点与圆的位置关系： (1)、点P在圆外； (2)、点P在圆上； (3)、点P在圆内． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求圆的方程 1．（25-26高二上·河南·期中）已知点. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)7； (2). 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、求圆的一般方程、圆内接三角形的面积 【分析】（1）求出直线的方程，求出点到直线的距离，求出，计算. （2）设外接圆的方程为，代入，计算得解. 【详解】（1）直线的方程为，即， 点到直线的距离， ， 所以的面积. （2）设外接圆的方程为， 由题意得 解得 故的外接圆的方程为. 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）分别求满足下列条件的圆的方程 (1)过点，圆心为； (2)圆心在第一象限，半径为，且与直线相切于点． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）求出圆的半径，结合圆心坐标可得出圆的方程； （2）设圆心坐标为，其中，，根据已知条件得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）由题意可知，圆的半径为， 故圆的标准方程为. （2）设圆心坐标为，其中，，记点， 由题意可知直线与直线垂直，则， 又因为，解得，即圆心为， 故所求圆的方程为. 3．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若过圆心的直线在轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】(1)利用中垂线组方程组来求圆心和半径，可得圆的标准方程； (2)利用直线过原点和直线不过原点且截距互为相反数，再用待定系数法来求解即可. 【详解】（1）由可知中点， 设过的中垂线斜率为， ，则. 所以，即 由，解得，故， 圆的半径为， 故圆的标准方程为 （2）①若直线过原点，满足题意，则可设， 因为直线过，所以，则. ②若直线不过原点，由于直线在轴，轴上的截距是互为相反数， 设，因为直线过， 所以，则，即 综上所述：直线的方程为或. 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般方程利用待定系数法求解可得. 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且AB中点为，即， 所以AB的垂直平分线方程为，即， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标， 所以圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 （2）圆心为，且经过点， 故圆的半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则由题意， ∴圆的方程为：，标准方程为. 题型二 轨迹方程 1．（25-26高二上·重庆·月考）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设，，根据线段的中点坐标得到与和与的关系式，再代入圆的方程即可求得结果. 【详解】设，，则线段的中点坐标为， 即，所以. 因为点在圆上，所以满足. 化简得. 故选：C. 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 3．（25-26高二上·天津静海·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则， 则点轨迹方程为. 故选：C. 4．（25-26高三上·上海青浦·期末）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质可得，再利用圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切圆于点，得，而，则， 即，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】设点，利用中点坐标公式得，解得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，所以①， 又，代入①有：，解得， 故答案为：. 6．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化、求平面轨迹方程 【分析】设，用两点间距离公式表示，化简可得动点的轨迹方程； 【详解】设动点，则，， ∵点满足， ∴，化简，整理得. ∴动点的轨迹方程为. 故答案为：. 题型三 点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】根据点与圆的位置关系，代入求解，即可得答案. 【详解】由在圆内，得，解得． 故选：A 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知在圆：外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】先将圆方程化为标准式，分别根据圆的存在性和点在圆外的条件列不等式，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准式. 因为圆存在，所以，即. 点在圆外，圆心为，点到圆心的距离的平方为， 半径的平方为，故，解得. 综上，. 故选：A 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若过可作两条直线与圆相切，则k的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据点与圆的位置关系，可得，结合圆的半径为正数，列出不等式，求解即得k的取值范围. 【详解】由题意，点在圆的外部， 由配方得， 可知圆心为，半径为， 则由，即，解得或. 又由，解得， 综上，可得k的取值范围是. 故选：B 4．（24-25高二上·江苏常州·月考）已知点关于直线对称的点Q在圆上，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得坐标,代入圆方程计算即可. 【详解】设,则,解得. 因为在上,所以,解得，经检验，符合题意. 故答案为： 5．（23-24高二下·上海·月考）若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将原问题转换为直线所过的定点在圆内或者圆上，由此列出不等式即可求解. 【详解】由题意可知直线经过的定点为 则定点在圆内或者圆上的时候满足题意， 所以， 又表示圆， 所以，解得或； 综上，. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系分析判断. 【详解】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交. 题型四 圆的弦长问题 1．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知圆，直线与圆相交，则直线被圆所截得的最短弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】确定直线过定点，结合时，弦长最短，即可求解. 【详解】将直线整理得， 由得，则直线过定点， 由得，圆心为，半径， 因为， 所以点在圆内部， 当直线被圆所截得的弦长最短时，， 此时弦长为， 故选：A． 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线， 可得直线方程为，即. 故选：B. 3．（23-24高二上·山东·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】根据垂径定理，过圆内一点的最短的弦，应垂直于该定点和圆心的连线，再结合弦长公式进行求解即可. 【详解】过点的直线被圆所截得的弦长的最小， 即点为弦的中点 所以若要弦长最小，只要圆心到直线的距离即为圆心到定点的距离， 圆心到直线距离的最大值为，所以弦长的最小值为. 故选：D 4．（25-26高二上·河北张家口·期中）当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 ． 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】确定直线过定点，由时，弦长取最小值，即可求解. 【详解】直线的方程变形为， 则由得， 所以直线过定点． 圆，因为， 所以点在圆内． 设直线与圆交于，两点， 则当时，取最小值， 由，得， 解得． 故答案为：0． 5．（2025·上海闵行·一模）过点的直线被圆截得的最短弦长为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】先确定圆的圆心与半径，计算点到圆心的距离，利用“直线与圆心和点的连线垂直时弦长最短”的结论，结合弦长公式计算最短弦长. 【详解】圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离为. 当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大（等于），此时弦长最短. 最短弦长为. 故答案为：. 题型五 最值问题 1．（24-25高二上·贵州·期中）已知实数，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．12 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】令，利用判别式法即可. 【详解】令，则， 由， 得， 整理得，， 因为存在实数满足等式， 所以， 解得， 则的最大值为，此时，. 故选：C. 2．（2024·贵州黔南·一模）若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在该圆上， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：A 3．（23-24高三上·陕西·月考）已知点，，动点C在圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】辅助角公式、数量积的坐标表示、向量与几何最值、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据三角换元得，即可根据向量的坐标运算求解，结合三角函数的性质即可求解最值. 【详解】不妨设，． 因为，，则，， 所以． 当时，即时等号成立， 故选:D． 4．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】因为， 所以圆心坐标为，半径. 所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度. 所以. 故答案为：4. 5．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知O为坐标原点，点M满足，则点M到直线距离的最大值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】由题意可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，而直线恒过定点，则点M到直线距离的最大值为：即可求解． 【详解】解：由题意可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆， 如图所示： 直线，即， 则直线恒过定点， 则点M到直线距离的最大值为：． 故答案为： 6．（2025·天津和平·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】利用圆的性质求出点到直线距离的最大值，进而求出面积的最大值. 【详解】圆C：的圆心，半径， 则点到直线的距离， 因此圆上的点到直线距离的最大值为，又， 所以的面积的最大值为. 故答案为：3 题型六 圆的综合应用 1．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知为圆：上一动点，点，为的中点. (1)求的轨迹方程； (2)若为圆上一动点，在直线：上存在点，使得最小，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、求平面轨迹方程 【分析】（1）相关点法求轨迹方程即可; （2）先求对称点,再应用数形结合得出距离和最小值. 【详解】（1）设，，则得 因为A在圆O上，所以，则，化简得， 故Q的轨迹方程为. （2）如图，设圆的圆心为， 设O关于对称的点为，则得，即. 易得，则当，M，N三点共线时，最小， 最小值为. 因为，所以的最小值为. 2．已知方程. (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值 【难度】0.94 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的对称性的应用、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围； （2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案. 【详解】（1）若此方程表示圆，则， 解得， 即实数m的取值范围是； （2）由（1）可知，此时圆E：， 圆心坐标为，半径为1， 因为圆F和圆E关于y轴对称， 所以圆F圆心坐标是，半径是1， 故圆F方程为， 则圆心到直线的距离， 故到直线的距离的最大值为，最小值. 3．已知圆C的圆心在直线l：上并且圆心的横坐标大于0，过点的直线与圆C相交的最短弦长为4，最长弦长为6. (1)求圆C的标准方程； (2)若点在圆C上，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）设圆C的圆心为（），半径为R.由已知建立方程组，求解可得圆的方程； （2）令，则可得，再根据正弦函数的性质可求得所求的范围. 【详解】（1）解：设圆C的圆心为（），半径为R.即圆C：. 依题意有：，，， 解得，，或（舍去）， ∴圆C的标准方程为：. （2）解：令，则， 当时，即时，； 当时，即时，； ∴.的取值范围是. 4．已知两定点，，动点到定点的距离与到定点的距离比值是. (1)求点的轨迹方程； (2)现有一直线：与两坐标轴交点为、，试求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）点坐标为，用坐标表示，即得解； （2）用两点间距离公式可求得，则，又，计算即得解 【详解】（1）设点坐标为，由题意 得，即 整理可得：， 即,点的轨迹为以为圆心，半径的圆 （2）由题意，不妨设A为与x轴的交点，B为与y轴的交点 故，，令表示点到的距离 故 用表示圆心到直线的距离，则 故，即 故 故面积的取值范围是 1．（25-26高三上·贵州遵义·月考）多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早年．已知点，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据条件判断出的轨迹，然后将的最大值表示为到圆心的距离加上半径，由此可求结果. 【详解】因为，所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 因为，所以在圆外， 所以， 故选：B. 2．（25-26高二上·山东聊城·期中）已知三点，动点满足，若，则线段（为原点）长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上，再结合点到圆上点距离最值求解. 【详解】设，由，，得点为的中点，则. 又，，则，， 因此，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 线段长度的最大值为. 故选：D 3．（25-26高三上·山东青岛·期中）将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条直线：，：平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、点与圆的位置关系求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】首先根据两直线的位置关系求的关系式，再根据古典概型概率公式求和，最后根据点与圆的位置关系，列不等式，即可求解. 【详解】若，则，即，且， 则满足条件的为，所以； 若两直线重合，则，则，所以不成立， 所以两直线相交的概率, 则，得. 故答案为： 4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱（将支柱视为两条线段），且，则支柱的高度为 m． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故答案为：7. 5．（25-26高二上·江西景德镇·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知中，，，动点满足，则面积最大值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、轨迹问题——圆 【分析】由题意计算可得点轨迹方程，则可得，即可得面积最大值. 【详解】由题意可得，化简得， 则点在圆上， 则有，即， 又，故. 故答案为：. 1．（2025高二·全国·专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨氏，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】利用阿波罗尼斯圆的定义求出定点的坐标，再结合将进行转化，最后根据几何性质求解的最小值. 【详解】设，， 已知，所以，即， 整理得， 又点的轨迹方程为，所以，解得，即. 因为，所以，则， 当、、三点共线时取得最小值，即. 又，所以最小值为. 故选：C. 2．（25-26高二上·北京·期中）“康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求得的坐标，设出康威圆的一般方程，根据的坐标求得康威圆的一般方程，进而求得圆心的坐标. 【详解】依题意，，，， ， 则直线的方程为，所以， 是线段的中点，所以， 是线段的中点，所以， 设康威圆的方程为， 代入，，得： ，解得， 所以圆的一般方程为，即， 所以圆心. 故选：D 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）（多选题）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、轨迹问题——圆 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】设点，因为， 所以，整理得， 所以圆C的方程为，故A错误． 因为，所以． 因为， 所以，故B正确． 设A关于直线的对称点为， 则解得 因为，所以， 所以当，C，M三点共线时，有最小值． 因为， 所以，故C正确． 设，， 因为，， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为，故D正确． 故选：BCD 4．（2025·贵州黔南·三模）（多选题）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（   ）    A． B．曲线经过的整数点个数为4个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，将已知点代入方程，可得正误；对于B，利用赋值法，由一元二次方程，可得正误；对于C，由一元二次方程根的存在性判别，可得正误；对于D，由基本不等式，结合圆的面积，可得正误. 【详解】对于A，将与代入方程，可得，故A正确； 对于B，由A可知曲线，当时，，解得； 当时，，解得或或；同理可得当时，或或； 当，，时，，即， 由，则方程无解， 综上可得曲线经过的整数点有，，，，，， ，，共个，故B错误； 对于C，将曲线的方程等价转化为关于的一元二次方程， 则，解得， 同理可得，故C正确； 对于D，，当且仅当时，等号成立， 由，则，即的最大值为，所以圆的面积最大值为，故D正确. 故选：ACD. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业03 圆的方程与点与圆的位置关系 一、圆的标准方程与一般方程 1、圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径. 2、圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. (1)当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 二、点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系 (1)、若点在圆上 (2)、若点在圆外 (3)、若点在圆内 2、点与圆的位置关系： (1)、点P在圆外； (2)、点P在圆上； (3)、点P在圆内． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求圆的方程 1．（25-26高二上·河南·期中）已知点. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）分别求满足下列条件的圆的方程 (1)过点，圆心为； (2)圆心在第一象限，半径为，且与直线相切于点． 3．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若过圆心的直线在轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程. 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 题型二 轨迹方程 1．（25-26高二上·重庆·月考）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津静海·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海青浦·期末）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是 . 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是 6．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 题型三 点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知在圆：外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若过可作两条直线与圆相切，则k的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏常州·月考）已知点关于直线对称的点Q在圆上，则 ． 5．（23-24高二下·上海·月考）若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是 ． 6．（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 题型四 圆的弦长问题 1．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知圆，直线与圆相交，则直线被圆所截得的最短弦长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26高二上·河北张家口·期中）当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 ． 5．（2025·上海闵行·一模）过点的直线被圆截得的最短弦长为 题型五 最值问题 1．（24-25高二上·贵州·期中）已知实数，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．12 2．（2024·贵州黔南·一模）若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·陕西·月考）已知点，，动点C在圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 4．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 5．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知O为坐标原点，点M满足，则点M到直线距离的最大值为 . 6．（2025·天津和平·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 题型六 圆的综合应用 1．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知为圆：上一动点，点，为的中点. (1)求的轨迹方程； (2)若为圆上一动点，在直线：上存在点，使得最小，求的最小值. 2．已知方程. (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值. 3．已知圆C的圆心在直线l：上并且圆心的横坐标大于0，过点的直线与圆C相交的最短弦长为4，最长弦长为6. (1)求圆C的标准方程； (2)若点在圆C上，求的取值范围. 4．已知两定点，，动点到定点的距离与到定点的距离比值是. (1)求点的轨迹方程； (2)现有一直线：与两坐标轴交点为、，试求面积的取值范围. 1．（25-26高三上·贵州遵义·月考）多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早年．已知点，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东聊城·期中）已知三点，动点满足，若，则线段（为原点）长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东青岛·期中）将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条直线：，：平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数m的取值范围是 . 4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱（将支柱视为两条线段），且，则支柱的高度为 m． 5．（25-26高二上·江西景德镇·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知中，，，动点满足，则面积最大值是 . 1．（2025高二·全国·专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨氏，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·期中）“康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）（多选题）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 4．（2025·贵州黔南·三模）（多选题）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（   ）    A． B．曲线经过的整数点个数为4个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $