寒假作业07 抛物线6类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业07 抛物线 一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注意：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 三、与抛物线有关的常用结论 1、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 2、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 3、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 4、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 抛物线的定义与方程 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的定义，及焦半径的求法，分析即可得答案. 【详解】由题意，抛物线的准线方程为， 因为抛物线上点到直线的距离为5， 所以点到直线的距离为4， 由定义得，抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，所以， 故选：B. 2．（25-26高二上·四川达州·月考）抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】借助抛物线焦半径公式与抛物线定义计算即可得. 【详解】设，则，故， 则点到轴的距离为. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 4．（2025高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 题型二 求抛物线的轨迹方程 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．求的轨迹的方程； 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、数量积的坐标表示 【分析】法1：利用向量垂直以及中点坐标公式即可求解；法2：利用菱形的性质以及抛物线的定义可判断点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 【详解】法1：设 因为，所以，即． 又，所以，所以， 即点的轨迹的方程为． 法2：如图，设关于的对称点为，由已知得，互相垂直平分， 所以四边形为菱形，所以． 因为为中点，所以，即点在定直线上， 因为，所以与直线垂直， 即点到定点的距离等于点到定直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 所以点的轨迹的方程为． 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知直线过点且与曲线交于两点，求的值. 【答案】(1) (2)-4 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、利用抛物线定义求动点轨迹、直线与抛物线交点相关问题 【分析】(1)根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程； (2)设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得解. 【详解】（1）由点到点的距离比点到直线的距离小， 得点到点的距离等于点到直线的距离， 因此点的轨迹是以点为焦点、直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，， 由消去得，恒成立，， 所以. 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、利用抛物线定义求动点轨迹、直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可； （2）设出直线的方程，将直线方程与曲线的方程联立，利用韦达定理及得到，，，求出的中点坐标和直线的方程，进而即可得证． 【详解】（1）因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等， 所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， 此时， 则曲线的方程为； （2）证明：设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时， 解得， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 设点为的中点， 此时， 所以直线的方程为， 令， 解得． 故点为定点，坐标为． 题型三 与抛物线有关的距离与最值问题 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线的几何性质转化线段可求和的最小值. 【详解】方法一：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小2， ，化简得， 即点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线． 方法二：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小 动点到点的距离等于到直线的距离， 点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 即抛物线方程为． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得， 则，当三点共线时， 取得最小值，最小值为． 故选：C． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、切线长 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径， 由切圆于点，得， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一动点．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线定义的理解 【分析】先由题意求出抛物线方程，设出M点坐标，然后分类讨论.当时，求出，当时，利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】由题意得，即，则抛物线的方程为． 设，由抛物线定义可知. 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立． 综上，. 故选：A 5．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·月考）抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求抛物线上一点到定点的最值、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】根据圆的性质，化简得到，设坐标，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设圆心为，则， 因为点在上，则坐标，点坐标， 则， 因为圆的半径为，所以最小值为． 故答案为：． 题型四 抛物线中的三角形、四边形问题 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、抛物线上的点到定点的距离及最值、余弦定理解三角形 【分析】根据抛物线的定义、余弦定理得，再应用基本不等式求最值. 【详解】由抛物线的定义知，，，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A 2．（2024·江苏·模拟预测）已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、抛物线上的点到定点的距离及最值、二倍角的余弦公式 【分析】设，由取得最小值，则最大，最小求解. 【详解】如图所示： 因为，， 设， 则， 当时，取得最小值， 此时最大，最小， 且，故C正确. 故选：C 3．（23-24高三上·陕西西安·月考）已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、求平面两点间的距离、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合的周长为，结合两点间距离公式计算可得． 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于， 抛物线为，准线l的方程为     B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知， 所以的周长为， , , 故选：B． 题型五 焦半径问题 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、二倍角的正切公式 【分析】过作垂直于的准线，垂足为，过作轴，垂足为D.通过，得到，进而求得，即可求解. 【详解】如图， 过作垂直于的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，，,所以， 所以. 设，则.所以. 因为轴，所以，过作轴，垂足为. 因为，又， 解得：，， 又， 所以.所以，解得. 故选：B. 2．（2025·湖南·模拟预测）已知点在抛物线上，记点到轴，到直线的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、求点到直线的距离 【分析】设点到直线的距离为，利用抛物线的定义，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为， 设点到直线的距离为， 则.    故选：A. 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知抛物线的焦点为，点且是上的动点，关于轴对称的点为，点，且周长的最小值为4，则当直线的倾斜角为时，等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、直线的倾斜角、抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】设点到轴的距离为，由周长的最小值为4，求得，再由直线的倾斜角为求出，再由抛物线的焦半径即可求解. 【详解】设点到轴的距离为， 的周长为， 解得，所以抛物线，点， 则，得，， 所以， 故选：B. 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、抛物线定义的理解 【分析】先设 ，由抛物线的定义可知 ，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，所以，得到 【详解】设 ,准线为 ， 由抛物线的定义可知点M到准线距离为 ， M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，所以 即，得到 故选：C 5．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由题意根据抛物线的定义得到，根据的位置分两种情况分别求得的坐标即可得结果. 【详解】    分别过点M，N作，垂足为，则 由抛物线的定义，得 由，得， 则， 由图1，，， ∵M，O，B三点共线，∴ , . 由图2，， ， , ， ∵M，O，B三点共线，∴ 综上，或9. 故选：C. 题型六 抛物线的综合性质 1．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； (3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、直线与抛物线交点相关问题、利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式. （2）根据抛物线的焦点弦公式求弦长，点到直线的距离求高，可求出三角形的面积. （3）根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值. 【详解】（1）由题意：曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线，所以. 所以曲线的方程为：. （2）直线方程为：，代入， 整理得：， 由韦达定理得：. 所以. 又点到直线：的距离为：. 所以. （3）如图：    设直线：，代入抛物线得：， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以. 设，则，当且仅当时取“”. 则. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 【答案】(1)8 (2) 【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程、抛物线的焦半径公式 【分析】（1）根据题意分析可知直线的斜率，根据抛物线方程以及斜率公式列式求解； （2）利用待定系数法，列方程即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，直线的倾斜角为，斜率， 设，且， 则，解得或（舍去）， 所以， （2）设的外接圆方程为, 由于，，, 故,解得, 故圆的方程为 3．（2023高二·全国·专题练习）抛物线焦点弦的性质 直线l过抛物线的焦点F，交抛物线于两点，则有： （1）通径的长为 . （2）焦点弦长：. （3），. （4）以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线 . （5）若α为弦AB的倾斜角，则， ； ；； （6）以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 【答案】 2p 相切 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）根据通径的定义即可代入求解， （2）根据焦半径的定义即可求解， （3）联立方程由韦达定理即可求解， （4）（6）由焦点弦以及中位线即可求解. （5）根据焦半径以及锐角三角函数即可由几何关系求解. 【详解】（1）焦点坐标为，所以当时，，所以通径为， （2）设,在抛物线的准线上的射影为,，根据抛物线的定义可知所以焦点弦长：. （3）设直线方程为，代入，可得，由于， ，； （4）由于过焦点的弦为，的中点是，到准线的距离是． 而到准线的距离，B到准线的距离． 又到准线的距离是梯形的中位线，故有， 由抛物线的定义可得：，等于半径． 所以圆心到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切． （5）倾斜角为，过分别作轴，轴， 所以， 同理, 故， （6）设的中点为，与轴交于点， 由于，, 所以到轴的距离为，故以AF为直径的圆与y轴相切， 同理可得BF为直径的圆与y轴相切. 4．（2023·全国·二模）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且. (1)求曲线和曲线的标准方程； (2)过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)， (2). 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、抛物线的焦半径公式 【分析】（1）根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解 ，进而可根据 的关系求解， （2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为，结合对勾函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）椭圆， 又, 椭圆, 抛物线 （2）因为直线斜率不为0，设为， 设，联立 整理得，. 所以， 所以， ， 设四边形的面积为， 则， 令，再令， 则在单调递增， 所以时，， 此时取得最小值4，所以. 【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到面积的关系，对于简化计算起到了重要的作用 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设出直线方程，直线方程与曲线方程联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为 联立直线与抛物线方程，将代入， 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得. 则. 将代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得. 当时，；当时， 所以. . 所以. 故选：B. 2．（2025·上海普陀·一模）设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A．的最大值是5 B．的最小值是5 C．的最大值是7 D．的最小值是7 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】作出图象，根据图象利用两边之和、差与第三边的关系分析最大值与最小值即可得解. 【详解】如图， 由点是抛物线的焦点，故， 由双曲线知，， 故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线右支无交点，故，故AC错误； 由双曲线的定义，， 所以， 即点运动到点，三点共线时，有最小值7，故B错误D正确. 故选：D 3．（2025·云南楚雄·模拟预测）设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A．32 B．28 C．20 D．16 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】由题意画出图像，由抛物线的定义，说明是等腰三角形，说明平分，同理平分，从而得出，最后利用勾股定理得到结论. 【详解】如图，设抛物线的准线与轴的交点为， 由题意结合抛物线的定义可知， 所以， 又因为， 所以，， 所以， 即是直角三角形，且， 显然， 所以， 故选A. 4．（25-26高二上·安徽合肥·期中）（多选题）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括轴）.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.已知直线族的包络曲线为，下列说法正确的是（   ） A．若曲线为圆，则. B．若曲线为抛物线，则直线族中过点的直线方程为. C．若，，，则曲线为椭圆. D．当，时，则曲线的方程为. 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】圆锥曲线新定义、求椭圆的切线方程、求抛物线的切线方程 【分析】A利用点到直线的距离等于半径计算；B设其方程为，与抛物线方程联立，利用即可得出；C设椭圆上的点为，过点作椭圆的切线为，分切线斜率存在、切线斜率不存在两种情况讨论，当切线斜率存在时，设切线方程，与椭圆方程联立，根据得出斜率，进而求出切线方程；D设抛物线上的点为，其中，设过点的切线方程为，根据得出斜率，进而求出切线方程. 【详解】A选项，由题意可知，点到直线的距离， 则，故A错误； B选项，直线族中的每条直线均与抛物线相切， 显然过点的直线斜率存在，则设其方程为， 联立，得， 则，得， 则直线族中过点的直线方程为，故B正确； C选项，设椭圆上的点为， 过点作椭圆的切线为， 当切线斜率存在时，设，则， 联立，得， 则， 则， 则， 则， 即，得， 则， 即， 当切线斜率不存在时， 或，此时切线方程为或，满足， 故直线族的包络曲线为椭圆，故C正确； D选项，设抛物线上的点为，其中， 因抛物线上任意一点的切线斜率存在， 则设过点的切线方程为， 联立，得， 则，得， 则过点的切线方程为，即， 故直线族的包络曲线为抛物线，故D正确. 故选：BCD 5．（25-26高二上·浙江·月考）（多选题）过点的直线与抛物线交于两点，过点分别作抛物线的切线，两切线交于点为坐标原点，直线交直线于点，则下列选项正确的是（   ） A．点的横坐标为定值 B．可能是直角 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的定值问题 【分析】设直线方程，联立抛物线方程，求出交点坐标，进而得到切线交点M的坐标，再分析各选项的正确性. 【详解】A选项： 设过点的直线方程为，代入抛物线得， 设，则， 抛物线在点的切线方程为，即； 同理，在点的切线方程为， 联立两切线方程，解得交点的横坐标为，为定值，故A选项正确； B选项：计算：， 代入，得： 故不可能是直角，B选项错误； C选项：直线的斜率为，由得，直线的斜率为，两者斜率之积为，故，C选项正确； D选项：直线的方程为，直线的方程为，联立得交点的坐标为， 通过坐标计算可得，则，当时，，即，故D选项正确. 故选：ACD. 6．（25-26高二上·四川绵阳·月考）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点为抛物线的焦点，从点出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点（10，1），若入射光线和反射光线所在直线都与圆相切，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】L根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意，反射光线平行于轴且经过点，故其方程为， 因反射点在光线与抛物线上，所以该点纵坐标为， 当时，，故入射光线经过和，， 故入射光线的方程为，化简得， 圆心为，半径为， 所以， 当，化简得：，解得， 当，化简得：， 无解. 综上. 故答案为： 1．（25-26高三上·甘肃·月考）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，曲线是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的曲线，且这四条抛物线的焦点共圆.若开口向右的抛物线方程为，过点的直线与曲线相交，记第一、四象限的四个交点由下至上依次为，，，，且，则线段的中点到轴的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据题意抛物线为，过点的直线与曲线相交，由于，利用抛物线定义根据比例求得直线斜率，联立直线与和，求得交点,再利用中点坐标公式求得的中点到轴的距离. 【详解】显然点为抛物线的焦点，分别记，的横坐标为，， 如下图，过，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，， 过作直线的垂线，垂足为，依题意，，， 由，得，， 因此，即，所以的斜率为， 所以直线的方程为，联立， 得，解得， 结合图形可知. 联立，得，解得， 结合图形可知， 所以线段的中点横坐标为， 即线段的中点到轴的距离为. 故选：A.    2．（25-26高二上·安徽合肥·期中）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件列方程求，结合抛物线性质可求结论． 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 抛物线焦点到顶点的距离为． 故选：D． 3．（25-26高二上·江苏宿迁·月考）定义: 在平面直角坐标系中， 把到定点，的距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线C.其形状是无穷大符号“∞”（如图）.已知是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（      ） A．双纽线C关于原点O成中心对称 B． C．双纽线C上满足 的点P有两个 D．的最大值为 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】对于A选项 ，设动点，把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立； 对于B选项，根据的面积范围证明即可； 对于C选项，易得若则在轴上，再根据的轨迹方程求解即可； 对于D选项，根据题中所给的定点，距离之积等于，再画图利用余弦定理分析中的边长关系，进而利用三角形三边的关系证明即可. 【详解】 对于A选项，设动点，由题可得的轨迹方程，把关于原点对称的点代入轨迹方程显然成立，故A正确； 对于B选项，因为，故. 又，所以， 即，故，故B正确； 对于C选项，若则在的中垂线即轴上. 故此时，代入， 可得，即，仅有一个，故C错误； 对于D选项，因为，故， 即， 因为， 故. 即， 所以. 又，当且仅当共线时取等号. 故， 即，解得，故D正确. 故选：C., 4．（2025·上海虹口·一模）小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时， . （结果保留2位小数）    【答案】 【难度】0.4 【知识点】抛物线方程的四种形式与位置特征、求抛物线的切线方程、基本不等式求和的最小值 【分析】如图建系，设抛物线方程为，根据题意得到，将其代入抛物线得到，根据抛物线设，，利用导数求出，设直线的方程为，利用直线的方程求出和，求出，利用基本不等式求最小值即可得解. 【详解】如图建系，设抛物线方程为，    当点到的距离为4.5时，， 则，代入抛物线，解得， 则，即，设，则， 设，， ，，， 则直线的方程为， 令，解得，令，解得， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，取最小值，此时. 故答案为： 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业07 抛物线 一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注意：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 三、与抛物线有关的常用结论 1、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 2、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 3、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 4、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 抛物线的定义与方程 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高二上·四川达州·月考）抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 题型二 求抛物线的轨迹方程 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．求的轨迹的方程； 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知直线过点且与曲线交于两点，求的值. 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 题型三 与抛物线有关的距离与最值问题 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（   ） A．4 B． C．6 D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一动点．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 6．（24-25高二下·上海·月考）抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ． 题型四 抛物线中的三角形、四边形问题 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏·模拟预测）已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·陕西西安·月考）已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五 焦半径问题 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·湖南·模拟预测）已知点在抛物线上，记点到轴，到直线的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知抛物线的焦点为，点且是上的动点，关于轴对称的点为，点，且周长的最小值为4，则当直线的倾斜角为时，等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 题型六 抛物线的综合性质 1．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； (3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 3．（2023高二·全国·专题练习）抛物线焦点弦的性质 直线l过抛物线的焦点F，交抛物线于两点，则有： （1）通径的长为 . （2）焦点弦长：. （3），. （4）以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线 . （5）若α为弦AB的倾斜角，则， ； ；； （6）以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 4．（2023·全国·二模）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且. (1)求曲线和曲线的标准方程； (2)过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值. 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海普陀·一模）设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A．的最大值是5 B．的最小值是5 C．的最大值是7 D．的最小值是7 3．（2025·云南楚雄·模拟预测）设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A．32 B．28 C．20 D．16 4．（25-26高二上·安徽合肥·期中）（多选题）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括轴）.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.已知直线族的包络曲线为，下列说法正确的是（   ） A．若曲线为圆，则. B．若曲线为抛物线，则直线族中过点的直线方程为. C．若，，，则曲线为椭圆. D．当，时，则曲线的方程为. 5．（25-26高二上·浙江·月考）（多选题）过点的直线与抛物线交于两点，过点分别作抛物线的切线，两切线交于点为坐标原点，直线交直线于点，则下列选项正确的是（   ） A．点的横坐标为定值 B．可能是直角 C． D． 6．（25-26高二上·四川绵阳·月考）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点为抛物线的焦点，从点出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点（10，1），若入射光线和反射光线所在直线都与圆相切，则的值是 ． 1．（25-26高三上·甘肃·月考）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，曲线是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的曲线，且这四条抛物线的焦点共圆.若开口向右的抛物线方程为，过点的直线与曲线相交，记第一、四象限的四个交点由下至上依次为，，，，且，则线段的中点到轴的距离为（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽合肥·期中）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏宿迁·月考）定义: 在平面直角坐标系中， 把到定点，的距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线C.其形状是无穷大符号“∞”（如图）.已知是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（      ） A．双纽线C关于原点O成中心对称 B． C．双纽线C上满足 的点P有两个 D．的最大值为 4．（2025·上海虹口·一模）小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时， . （结果保留2位小数）    1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $