山东省济南市历城第二中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

济南历城第二中学高二月考数学试题 2025.12 一、单选题 1. 如图，空间四边形中，，，，点N在上，且，点M为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 若动点满足，则动点P的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 直线 D. 抛物线 5. 已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 6. 已知圆：，点P为直线上一动点，过点P向圆引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点（ ）. A. B. C. D. 7. 已知，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 10. 已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长可以为14 D. 当时， 11. 在平行六面体中，已知，，O是中点，则（ ） A. B. 线段的长度为 C. 直线与所成的角为 D. 直线与平面所成角的正切值 三、填空题 12. 在空间直角坐标系中，已知向量，，若在上的投影向量为，则______. 13. 已知椭圆的方程为，点P的坐标为，则过点P且与椭圆相切的直线方程为________． 14. 直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，的中点为，的垂直平分线交轴于点，则线段长度的取值范围为_____. 四、解答题 15. 已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 16. 如图，在长方体中，，，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 17. 已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P. 18. 已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为1，求弦长； （3）记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 19. 如图，在四棱锥中，底面，. （1）证明：面面； （2）设，，，且点，，，均在球的球面上. （i）证明：点在线段上； （ii）设与面所成角为，求的最大值. 济南历城第二中学高二月考数学试题 2025.12 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多选题 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】或． 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则取，则，， 所以． 因为，， 所以． 又因为平面，所以平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，① 设点，则，直线的方程为， 令得， 将代入整理得，② 由①得， 代入②整理得， 所以直线与轴相交于定点． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） 因为底面，所以. 又，，所以面. 又面，所以面面. （2） （i）解法一：取的中点.因为，所以. 又，所以，，，四点共圆，圆心为. 取的中点，连接，则，底面. 因为，，所以. 所以为点，，，所在球的球心， 又三棱锥的外接球的球心是唯一的. 所以即为，点在线段上. 解法二：取的中点.因为，所以. 又，所以，，，四点共圆，圆心为. 因为为三棱锥的外接球的球心，则底面. 如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，. 设，则，所以，解得. 所以，为的中点.所以点在线段上； 解法三：因为，所以. 又因为底面，所以. 又，所以面，. 由（1）可知，面，. 取的中点，则. 所以为点，，，所在球的球心，又三棱锥的外接球的球心是唯一的. 所以即为，点在线段上. （ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $