精品解析：福建省福州第四中学桔园洲中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年第一学期八年级12月适应性练习 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故选：B． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢钎架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形两边的和大于第三边 B. 三角形两边的差小于第三边 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，主桥采用双塔双索面钢钎架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故选：C． 4. 如图，是的外角，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴． 故选：A． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 6. 已知点关于y轴的对称点为，则b的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，直接计算即可． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点为， ∴， ∴． 故选：D． 7. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，则A不符合题意； 无法进行约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 8. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意； 是乘法运算，则B不符合题意； 中等号右边不是整式积的形式，则C不符合题意； 符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：． 9. 牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质．已知m克牛奶中含a克蛋白质，比n克鸡蛋中含的蛋白质少b克，则m克鸡蛋中蛋白质的含量是（ ）克 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式．把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．由题意知，n克鸡蛋中含的蛋白质克，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，n克鸡蛋中含的蛋白质克， 所以m克鸡蛋中蛋白质的含量是克． 故选：B． 10. 设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，根据，得出，，再分别代入，整理得，因为，故，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， 则， 即代数式的最大值为3， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若分式的值为0，则x的值为 _______________ 【答案】－5 【解析】 【详解】由题意得， x2-25=0且x-5≠0， 解之得x=-5． 故答案为：-5． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子的值为0；（2）分母的值不为0．这两个条件缺一不可． 12. 因式分解：=_______________. 【答案】a(a+b)(a-b). 【解析】 【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式. 解析：原式= a(a+b)(a-b). 故答案为a(a+b)(a-b). 13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理， 先作，由作图可知平分，再根据角平分线的性质定理得，然后根据得出答案． 【详解】解：如图，过点G作，交于点H， 由作图可知平分， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 14. 已知，则代数式的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，整式的混合运算，运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先运用完全平方公式、平方差公式将代数式化简，再利用已知条件代入求值． 【详解】解：原式 ∵， ∴， 原式 故答案为：0． 15. 嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则淇淇放的方形棋子的位置是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，轴对称图形的定义，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义，画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示： 则淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为， 故答案为：． 16. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有______．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据图1、图2与正方形A、正方形B的关系以及正方形面积的计算方法逐项进行判断即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 图1的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2的阴影部分是边长为的大正方形与边长为a，边长为b的两个正方形的面积差，即， 又图1，图2中阴影部分的面积分别为4， ，，即， ， 即， 因此①正确； ， 因此②正确； ，，， ，， ，， ， 即正方形A与正方形B的面积差为16， 因此③正确； 由于，即正方形A的边长为5， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，零指数幂，负整数指数幂，求一个数的绝对值等知识点，解决本题的关键是掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）根据题意，先算积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式，再合并同类项． （2）先算乘方、零次幂、绝对值、负整数指数幂，再计算加减． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，点C是的中点，，且．求证． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，证明是关键．证明，则，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】略 19. 先化简，再从，1，2选一个合适的数作为值代入，求出代数式的值． 【答案】；当时，4 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，注意分式的分母不为0．先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 由，，得，，． 当时，原式． 20. 如图，已知在中，． （1）尺规作图：在边上求作点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若于点D，，求的长． 【答案】（1） 解：点P即为所求作： （2）4 【解析】 【分析】本题考查基本尺规作图、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，正确作图是解答的关键． （1）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤画图即可； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵于点D， ∴． 21. 列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． （1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 （2）请你完整解答本题． 【答案】（1）1300；； （2）每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）先求出型号的“文房四宝”花费元，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套； （2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元， ∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，， ∴每套型号的“文房四宝”的价格为元， ∴购买型号的“文房四宝”套， 故答案为：1300；；； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 22. 证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明） 已知：如图，在中，______． 求证：______． 【答案】 已知：如图，在中，，是的中点，于，于． 求证：． 证明：连接， ，是中点， 为的平分线（三线合一的性质）， 又，， ∴， ∵， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确画出图形、写出已知和求证是解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证；证明：连接，根据等腰三角形的性质以及证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 23. 阅读下面的分解因式的过程，回答问题： ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法． （1）因式分解：______； （2）利用上述分解因式的方法证明：如果是的三条边的长，那么． （3）若、、为非零实数，且，求证：． 【答案】（1） （2） ∵是的三条边的长， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、、为非零实数， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）分组后用平方差公式分解因式； （2）将分解因式，再利用三边关系求解； （3）利用完全平方公式、多项式乘以多项式法则将的左、右两边分别展开，再统一移到等式的左边，再将左边分解因式即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了分组分解法，平方差公式分解因式，三角形三边关系的应用，完全平方公式分解因式，因式分解的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 24. 综合与实践 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上补全证明过程． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接． 在中，（① ）， ∵实物与点关于平面镜对称， ∴② ， ∴③ ，（④ ）， ∵，， ∴． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图步骤） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，求的长． 【答案】（1）三角形两边之和大于第三边；垂直平分；；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等； （2）如图，作关于的对称点，连接，并延长交分别为，则点和点即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系推出，然后根据与点关于平面镜对称推出，，最后根据三角形两边之和大于第三边即可得证，写出推理过程后填空即可； （2）作关于的对称点，连接，并延长交分别为，于是得到结论； （3）作点关于的对称点，过点作于点，交于点，得出，过点作于，根据光线反射的特点结合推出为等边三角形即可求解． 【详解】（1）解：在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接、、， 在中，（三角形两边之和大于第三边）， ∵实物与点关于平面镜对称， ∴垂直平分， ∴，（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）， ∵，， ∴． 故答案为：三角形两边之和大于第三边；垂直平分；；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等． （2）略 （3）如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点， 则， 过点作于， ∵， ∴， ∴． ∵光线射出经过镜面处反射到地面点， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，等边三角形的判定和性质，根据成轴对称图形的特征进行求解，轴对称中的光线反射问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 25. 如图，在中，，点M是边上一个动点（不与点A、B重合），点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称，直线与线段交于点E，连接，设． （1）若，直接写出的度数； （2）试判断点P、M、Q是否在同一条直线上？并说明理由； （3）若，，，求与的面积之和的最大值． 【答案】（1）； （2） 点P、M、Q在同一条直线上，理由如下： ∵， ∴， ∵点B和点P关于直线对称， ∴， ∴， ∵点A和点Q关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P、M、Q在同一条直线上； （3）和的面积之和的最大值是 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，于是得到； （2）根据轴对称的性质得到，求得，根据轴对称性质得到，得到，求得，推出，于是得到点P、M、Q在同一条直线上； （3）过Q作于点H，连接，设与相交于点，根据轴对称的性质得到，推出，得到，得到，当点H、D与点B重合时，最大值是4；根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点B和点P关于直线对称， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过Q作于点H，连接，设与相交于点， ∵点A和点Q关于直线对称，， ∴， ∵点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称， ∴和关于直线对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当点H、D与点B重合时，QH最大值是4； ∴， 又∵， ∴， 故和的面积之和的最大值是． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期八年级12月适应性练习 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢钎架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形两边的和大于第三边 B. 三角形两边的差小于第三边 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 4. 如图，是的外角，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知点关于y轴的对称点为，则b的值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9. 牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质．已知m克牛奶中含a克蛋白质，比n克鸡蛋中含的蛋白质少b克，则m克鸡蛋中蛋白质的含量是（ ）克 A. B. C. D. 10. 设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若分式的值为0，则x的值为 _______________ 12. 因式分解：=_______________. 13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是______． 14. 已知，则代数式的值为______． 15. 嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则淇淇放的方形棋子的位置是___________． 16. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有______．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 如图，点C是的中点，，且．求证． 19. 先化简，再从，1，2选一个合适的数作为值代入，求出代数式的值． 20. 如图，已知在中，． （1）尺规作图：在边上求作点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若于点D，，求的长． 21. 列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． （1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 （2）请你完整解答本题． 22. 证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明） 已知：如图，在中，______． 求证：______． 23. 阅读下面的分解因式的过程，回答问题： ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法． （1）因式分解：______； （2）利用上述分解因式的方法证明：如果是的三条边的长，那么． （3）若、、为非零实数，且，求证：． 24. 综合与实践 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上补全证明过程． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接． 在中，（① ）， ∵实物与点关于平面镜对称， ∴② ， ∴③ ，（④ ）， ∵，， ∴． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图步骤） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，求的长． 25. 如图，在中，，点M是边上一个动点（不与点A、B重合），点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称，直线与线段交于点E，连接，设． （1）若，直接写出的度数； （2）试判断点P、M、Q是否在同一条直线上？并说明理由； （3）若，，，求与的面积之和的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $