精品解析：新疆伊犁哈萨克自治州伊宁县愉群翁回族乡中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

伊宁县2025—2026学年第一学期 第三次阶段性评价质量检测试卷（九年级数学） （总分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线y＝2(x+1)2－5的顶点坐标是( ) A. (1，－5) B. (－1，－5) C. (－1，－4) D. (－2，－7) 4. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 如图，已知，，均为上的点，若，则（　　） A. B. C. D. 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 7. 用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. 1.5cm C. D. 1cm 8. 如图在中，，，，将绕顶点顺时针方向旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点所经过的最短路线的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形内接于，边长，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若点M(4，-2)关于原点对称的点N的坐标是________； 12. 将抛物线y＝4x2先向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是_________． 13. 如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________. 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝___． 15. 底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积是____________ 16. 一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为_____． 三、解答题（共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积． 19. “一方有难，八方支援”，自新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，全国各地的医疗支援队不断集结，陆续前往湖北支援，全国人民众志成城，纷纷慷慨解囊通过捐款支援武汉．小亮和小华想通过网络捐款平台进行资助，以表达自己的爱心，经了解相关捐款信息得知，现网络捐款平台提供四种捐助方式，即“微信支付”、“支付宝”、“ 支付”、“银联支付”．假设小亮和小华通过这四种捐助方式进行捐款的可能性相同． （1）求小亮选择“微信支付”捐款的概率． （2）请用列表或画树状图法，求小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的概率． 20. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度增加多少？ 21. 如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D， 连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC ． （1）求证：AC是⊙O的切线 ； （2）若BD=OB=4，求弦AE的长． 22. 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件． （1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？ （2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？ 23. 【学习心得】 （1）小雯在学习完“圆”这一章内容后，意识到一些几何问题可以通过添加辅助圆的方式，使问题变得更加容易解决．例如：如图①，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图②，在四边形中，，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图③，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 伊宁县2025—2026学年第一学期 第三次阶段性评价质量检测试卷（九年级数学） （总分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一般地，对于一件事情，所有可能出现的结果数为 其中满足某个条件的事件A出现的结果数为 那么事件A发生的概率为： 根据概率公式直接计算即可. 【详解】解：∵布袋中装有2个红球，3个白球，5个黑球，共10个球，从袋中任意摸出一个球共有10种结果，其中出现白球的情况有3种可能， ∴从袋中任意摸出一个球是白球的概率是． 故选：A． 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握“简单随机事件的概率公式”是解题的关键. 3. 抛物线y＝2(x+1)2－5的顶点坐标是( ) A. (1，－5) B. (－1，－5) C. (－1，－4) D. (－2，－7) 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数顶点公式进行解题. 【详解】 顶点为（-1，-5）. 故选B. 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点公式的计算是解题关键. 4. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断． 【详解】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确； ②当三点共线的时候，不能作圆，故错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确． 故选：B． 5. 如图，已知，，均为上的点，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得解． 【详解】解：∵，，均为上的点，， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键． 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得： 168（1-x）2=108． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 7. 用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. 1.5cm C. D. 1cm 【答案】D 【解析】 【详解】解：设此圆锥的底面半径为r， 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，， 解得：r=1． 故选D． 8. 如图在中，，，，将绕顶点顺时针方向旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点所经过的最短路线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据旋转的性质求解，含度角的直角三角形，求某点的弧形运动路径长度等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得，再根据旋转的性质求得，然后得出点所经过的最短路线是以为半径，圆心角为的弧，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕顶点顺时针方向旋转至的位置， ∴， ∵、、三点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴点所经过的最短路线是以为半径，圆心角为的弧， ∴点所经过的最短路线的长为（）， 故选：D． 9. 如图，正六边形内接于，边长，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正六边形的性质与扇形面积计算，涉及知识点：正六边形的中心角、扇形面积公式．利用正六边形的中心角为，结合扇形面积公式计算，解题关键是确定扇形的圆心角． 【详解】正六边形内接于圆，其中心角，且半径． ∴． 故选：D． 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可． 【详解】解∶∵对称轴 ∴，2a+b=0；故②正确； ∴a、b异号， ∴ab＜0，故①正确； ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a， ∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误； 根据图示知，当m=1时，有最大值； 当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c， 所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确． 如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若点M(4，-2)关于原点对称的点N的坐标是________； 【答案】． 【解析】 【分析】关于原点对称的两点的坐标的关系是横坐标、纵坐标都互为相反数，据此规律写出即可． 【详解】解：点M(4，-2)关于原点对称的点N的坐标是（-4，2）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称，熟练其规律是解决本题的关键． 12. 将抛物线y＝4x2先向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是_________． 【答案】y＝4（x﹣1）2+3 【解析】 【分析】由题意直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行分析解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝4x2向右平移一个单位所得直线的解析式为：y＝4（x﹣1）2； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝4（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝4（x﹣1）2+3． 故平移后的抛物线的函数关系式是：y＝4（x﹣1）2+3． 故答案为：y＝4（x﹣1）2+3． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是解题的关键． 13. 如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积=S四边形， ∴针头扎在阴影区域内的概率为； 故答案为． 【点睛】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝___． 【答案】##80度 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理即可得． 【详解】解：四边形内接于，且， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． 15. 底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积是____________ 【答案】12π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π． 故答案为：12π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 16. 一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为_____． 【答案】60°或120°． 【解析】 【分析】先求出这条弦所对圆心角的度数，然后分情况讨论这条弦所对圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接OA、OB． 弦AB将⊙O分为1：2两部分， 则∠AOB＝×360°＝120°； ∴∠ACB＝∠AOB＝60°， ∠ADB＝180°﹣∠60＝120°； 故这条弦所对的圆周角的度数为60°或120°． 故答案为：60°或120° 【点睛】本题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质；需注意的是在圆中，一条弦（非直径）所对的圆周角应该有两种情况，不要漏解． 三、解答题（共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法分解因式即可求解； （2）先移项，然后利用提取公因式法分解因式即可求解． 【小问1详解】 解： 因式分解，得， 于是得或， ∴，； 【小问2详解】 ， ， ， 或． ，． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积． 【答案】（1） 即为所求，如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，勾股定理逆定理，勾股定理以及扇形面积计算． （1）先作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，然后顺次连接即可； （2）先根据小正方形的特点用勾股定理求出各个边长，根据各个边长用勾股逆定理证明为等腰直角三角形，进而求出的面积，再用旋转的性质知道，再求出扇形的面积，最后的面积加上扇形的面积即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴在旋转过程中扫过的面积为∶． 19. “一方有难，八方支援”，自新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，全国各地的医疗支援队不断集结，陆续前往湖北支援，全国人民众志成城，纷纷慷慨解囊通过捐款支援武汉．小亮和小华想通过网络捐款平台进行资助，以表达自己的爱心，经了解相关捐款信息得知，现网络捐款平台提供四种捐助方式，即“微信支付”、“支付宝”、“ 支付”、“银联支付”．假设小亮和小华通过这四种捐助方式进行捐款的可能性相同． （1）求小亮选择“微信支付”捐款的概率． （2）请用列表或画树状图法，求小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率、概率公式等知识点，通过列表法或树状图法确定所有结果数和满足题意的结果数是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式即可解答； （2）画出树状图，确定所有结果数和满足题意的结果数，然后再根据概率公式即可解答． 【小问1详解】 解∶P(小亮选择“微信支付”捐款) 【小问2详解】 解：记“微信支付”为A， “支付宝”为B， “支付”为C， “银联支付”为 D．根据题意，画树状图如图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的结果有2 种， ∴P(小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”) 20. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度增加多少？ 【答案】水面下降1m,水面宽度增加（）m． 【解析】 【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点（2，-2）代入求出解析式可解． 【详解】解：如图，建立直角坐标， 可设这条抛物线为， 把点（2，-2）代入，得 ， ∴， 当y=-3时，． ∴水面下降1m,水面宽度增加（）m． 【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 21. 如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D， 连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC ． （1）求证：AC是⊙O的切线 ； （2）若BD=OB=4，求弦AE的长． 【答案】 （1）证明：连结OE， 因为CD与⊙O相切于点E，所以OE CD，所以∠CEO =90°， 因为OC∥BE，所以∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB， 因为OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，所以∠AOC=∠COE， 因为OA=OE，OC=OC， 所以△AOC≌△EOC， 所以∠CAO=∠CEO =90°， 所以AC是⊙O的切线 ； （2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）连结OE，根据条件证明△AOC≌△EOC，进而得出∠CAO=∠CEO =90°即可；（2）利用直角三角形的性质和特殊角的三角函数值，可求出线段AE的长． 试题解析：（1）略 （2）解：在Rt△DEO中，因为BD=OB， 所以BE=OD=OB=4， 又因为OB=OE， 所以△AOC是等边三角形，所以∠ABE=60°， 因为AB为直径，所以∠AEB=90°， 在Rt△ABE中，AE=tan60°BE=． 考点：1．切线的判定；2．圆周角定理及其推论；3．锐角三角函数． 22. 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件． （1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？ （2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？ 【答案】（1）每件童装应降价20元，（2）当x=15时，函数有最大值，即童装一天的销售利润最多为1250元． 【解析】 【分析】（1）表示出销售数量，找到等量关系即可解题，（2）求出二次函数的表达式，化成顶点式即可解题． 【详解】解：（1）设降了x元，则日销售量增加2x件，依题意得： （40-x）（20+2x）=1200， 化简整理得：（x-10）(x-20)=0， 解得：x=10或x=20， ∵让顾客得到更多的实惠， ∴每件童装应降价20元， （2）设销售利润为y， y=（40-x）（20+2x）， y=-2（x-15）2+1250， ∴当x=15时，函数有最大值，即童装一天的销售利润最多为1250元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，中等难度，建立等量关系是解题关键． 23. 【学习心得】 （1）小雯在学习完“圆”这一章内容后，意识到一些几何问题可以通过添加辅助圆的方式，使问题变得更加容易解决．例如：如图①，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图②，在四边形中，，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图③，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，四点共圆，尺规作图—作圆，熟练掌握圆周角定理及其推论，是解题的关键． （1）根据圆周角定理，即可得出结果； （2）取的中点，以为半径作，连接，，斜边上的中线得到，进而得到点，，，共圆，圆周角定理即可得出结果； （3）分别以为圆心，的长为半径化弧，两弧交于点，以为圆心，的长为半径化弧，交直线于点，点即为所求． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ． （2）如图，取的中点，以为半径作，连接，． ， ，， ， 点，，，共圆， ， ， ． （3）作图如下： 由作图可知：为等边三角形， ∴， 又∵四点共圆，都在以为圆心，为半径的圆上， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $