4.3.2等比数列的前n项和公式课件(1)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式，通过复习回顾等比数列定义、通项公式等旧知搭建支架，以国际象棋麦粒故事导入，引导学生从具体求和问题抽象出错位相减法，逐步推导公式。 其亮点在于以情景导入培养数学眼光，通过错位相减法推导及q=1与q≠1分类讨论发展数学思维，结合例题练习中的方程思想、对称设法提升数学语言表达能力。课堂小结系统梳理公式与性质，助力学生构建知识网络，教师使用可提高教学效率，学生能深化理解并灵活应用。

4.3.2 等比数列的 前n项和公式(1) 1. 等比数列的定义： 2. 等比数列的通项公式： 3. 等比中项： 4. 等比数列的主要性质： 若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则aman＝ . 特别地，若m＋n＝2t (m，n，t∈N*)，则有aman＝ . apaq at2 复习回顾 ① an＝a1qn－1 ②an＝amqn－m (m，n∈N*) 情景导入 相传古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔，于是，这位国王对宰相说： ? … 你想得到 什么样的 赏赐？ 陛下赏小人几粒麦子就搞定. 第一格放1粒麦子, 以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍, 直到第64个格子. OK! 情景导入 根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言？故事可以提炼出一个什么数学问题？ ? … 1 2 … 实际上就是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的求和问题 情景导入 ① ①×2得： 错位相减法 由②- ①得： S64=264－1 ② =18446744073709551615 ≈ 1.84×1019 所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现： 就是把全印度甚至全世界的麦粒拿来，也满足不了他的要求. 假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨. 2002年全世界小麦总产量约为4.56亿吨. 2016年全世界小麦总产量约为7.5亿吨. 情景导入 ① ①×2得： 错位相减法 由②- ①得： S64=264－1 ② 思考1 ①式两边为什么要乘以2？ 2是该等比数列的公比. 思考2 类比上面求和的方法能否得到一般等比数列前n项和公式呢？ 新知探究 ② ①-②得： ①×q 得: 是否可以把等式两边同除以(1-q)？ 错位相减法 新知获得 等比数列{an}的前n项和的公式： 当q=1时，Sn=na1 当q≠1时， “知三求二” (方程思想) 公式中涉及 五个量 通项公式： 注意：等比数列求和时应考虑q=1与q≠1两种情况. 新知获得 等比数列{an}的前n项和的公式： 当q≠1时， 例题分析 书P35 解： 例7 已知数列{an}是等比数列. 等比数列的计算 例题分析 书P35 例7 已知数列{an}是等比数列. 解： 例题分析 书P35 例7 已知数列{an}是等比数列. 解： 练习 书P37 1. 已知数列{an}是等比数列. 练习 书P37 1. 已知数列{an}是等比数列. 在解方程组时，经常用到两式相除达到整体消元的目的，注意立方差、平方差公式的使用 q未知时，注意考虑q=1与q≠1两种情况 练习 书P37 练习 书P37 4. 已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64. 求这个 等比数列的首项和公比. 等比数列的对称设法 例题分析 书P36 例8 已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若 求公比q. 解： 新知获得 1. 性质1： 当q≠1时， 等比数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等比数列前n项和的性质： 练习 书P37 等比数列的性质应用 5. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50， 那么这个数列的公比等于多少? 解： 例题分析 书P36 例9 已知等比数列{an}的公比q ≠－1，前n项和为Sn，证明 Sn ， S2n－Sn , S3n－S2n , 成等比数列，并这个数列的公比. 证明： 例题分析 书P36 例9 已知等比数列{an}的公比q ≠－1，前n项和为Sn，证明 Sn ， S2n－Sn , S3n－S2n , 成等比数列，并这个数列的公比. 例题分析 书P36 例9 已知等比数列{an}的公比q ≠－1，前n项和为Sn，证明 Sn ， S2n－Sn , S3n－S2n , 成等比数列，并这个数列的公比. 新知获得 1. 性质1： 当q≠1时， 2. 性质2： Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， …也是等比数列，公比为qn. 等比数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等比数列前n项和的性质： (其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， …均不为0) 练习 书P37 等比数列的性质应用 5. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50， 那么这个数列的公比等于多少? 解： 还有其他解法吗？ 练习 书P37 等比数列的性质应用 变式：如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50， 求这个数列的前15项的和. 解： 新知获得 1. 性质1： 当q≠1时， 2. 性质2： Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， …也是等比数列，公比为qn. 等比数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等比数列前n项和的性质： (其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， …均不为0) 3. 性质3： 若项数为2n，则 练习 练P43 等比数列的性质应用 补充：一个等比数列共2n项，其和为-240，且奇数项和比偶数项和大80，则公比q=______. 2 新知获得 等比数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等比数列前n项和的性质： 4. 性质4： 数列{an}是等比数列 (A≠0, q≠0, q≠1 ) . Sn= Aqn - A 练习 练P43 等比数列的性质应用 补充：数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项的和Sn=3n+k，则k=______. -1 课堂小结 等比数列{an}的前n项和的公式： 当q=1时，Sn=na1 当q≠1时， “知三求二” (方程思想) 公式中涉及 五个量 通项公式： 注意：等比数列求和时应考虑q=1与q≠1两种情况. 课堂小结 1. 性质1： 当q≠1时， 2. 性质2： Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， …也是等比数列，公比为qn. (其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， …均不为0) 3. 性质3： 若项数为2n，则 等比数列前n项和的性质： 4. 性质4： 数列{an}是等比数列 (A≠0, q≠0, q≠1 ) . Sn= Aqn - A 下课! $