4.3.2 课时1 等比数列的前n项和公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式的推导与应用，通过国际象棋麦粒情境导入，复习等比数列定义及通项公式，以问题链引导学生从“如何计算麦粒总数”“能否类比等差数列求和”等问题出发，搭建从旧知到新知的探究支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过反思倒序相加法的局限性，引导学生自主探究错位相减法，发展数学思维。例题设计“知三求二”问题，结合方程思想强化公式应用，体现数学语言表达。小结明确公式、公比分类及推导方法，学生能提升探究与应用能力，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

4.3.2 课时1 等比数列的前 n 项和公式 作者编号：32100 1.探究并理解等比数列的前n项和公式的推导过程及方法. 2.掌握等比数列的前n项和公式，能应用公式解决相关问题. 学习目标 作者编号：32100 等比数列 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 公比(q ) →q可正、可负，不可零 an=amqn-m 名称 定义 常数 通项 公式1 中项 公式2 复习：你还记得等比数列的定义和通项公式吗？ 问题导入 作者编号：32100 情境：国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 问题1 国王一共应该给他多少颗麦粒？ 问题导入 作者编号：32100 4 第2格： 第1格： 第4格： 第3格： 第63格： 第64格： 1 2 …… 问题1 国王一共应该给他多少颗麦粒？ 作者编号：32100 问题2 如何计算 ？ 首项：1 公比：2 共64项 如何求一个等比数列的前n项和？ 作者编号：32100 6 问题3 等差数列有求和公式，那么你能否类比等差数列前n项和公式的求法，推导出等比数列的前n项和公式？ 等差数列的前n项和公式的推导过程： 等差数列 的前n项和是 得， 所以 根据等差数列的定义 对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？ 作者编号：32100 7 因为在等比数列中 所以 可以发现，对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的. 作者编号：32100 8 求和的根本目的： 等差数列的前n项和公式的推导过程： 等差数列 的前n项和是 得， 所以 根据等差数列的定义 消除项与项 之间的差异 消除中间项 利用公差 作者编号：32100 9 为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示. 问题4 观察 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？ 问题5 如何构造另一个式子，与①相减后可以消除中间项？ 作者编号：32100 10 问题5 如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？ 消除中间项 作者编号：32100 11 设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前n项和是 根据等比数列的通项公式， 得， 即 问题6 要求出 ，是否可以把上式两边同时除以 ？ 等比数列的前n项和公式的推导 错位相减法 作者编号：32100 12 当 时，即 时， 当 时，即 时， 问题6 要求出 ，是否可以把上式两边同时除以 ？ 作者编号：32100 13 （1）等比数列的前n项和 （2）等比数列求和时，应考虑 与 两种情况. 知识点一：等比数列的前n项和公式 知识归纳 作者编号：32100 14 一千颗麦粒的质量约为40g，得出的数据是2016-2017年度世界小麦产量（约7.5亿吨）的981倍！ 国王不能实现他的诺言 问题解决： =？ 作者编号：32100 15 例1 已知 是等比数列. （1）若 求 ; （2）若 求 ; （3）若 求 . 因为 所以 解：（1） 典型例题 作者编号：32100 16 例1 已知 是等比数列. （1）若 求 ; （2）若 求 ; （3）若 求 . 所以 解：(2)由 ，得 又由 ，所以 所以 作者编号：32100 17 解：(3)把 代入 ， 得 整理，得 解得 例1 已知 是等比数列. （1）若 求 ; （2）若 求 ; （3）若 求 . 作者编号：32100 18 （1）对于等比数列的相关量 知三求二. 基本量法 （转化与化归） （方程思想） 知三求二 注意： 作者编号：32100 19 1.判断下列计算是否正确. 练一练 作者编号：32100 2.根据下列各题中的条件，求相应的等比数列的前n项和. 练一练 作者编号：32100 例2 已知等比数列 {} 的首项为-１，前n项和为．若，求公比q． 提示：对q分类讨论. 解： 典型例题 作者编号：32100 练一练 C 作者编号：32100 典型例题 作者编号：32100 作者编号：32100 作者编号：32100 知识点二：等比数列前n项和的性质 知识归纳 作者编号：32100 4.如果一个等比数列前５项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比为 . 练一练 作者编号：32100 1.等比数列前n项和公式： 2. 在计算前n项和时，一定要考虑公比是否为 1. 3. 推导前n项和公式时，用的方法为错位相减法. 本节课你学到了哪些知识？ 本课小结 作者编号：32100 (2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用； 知道首尾两项a1，an和q，可以用； 3.已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　) A．1 B．－eq \f(1,2) C．1或－eq \f(1,2) D．－1或eq \f(1,2) 解析：当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意； 当q≠1时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q2＝7，,\f(a11－q3,1－q)＝21，))得q＝－eq \f(1,2). 综上，q的值是1或－eq \f(1,2)，故选C. 例3 已知等比数列的公比，前项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比. 证明:(方法一) 当时， ， ， ， 所以，，成等比数列，公比为1. 当时， ， ， ， 所以 . 因为为常数,所以，，成等比数列，公比为. (方法二) ， ， . 所以 . 等比数列的公比，前项和为，则，，成等比数列，公比为. 注意：当时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立. $