专题01 期末复习之三角形（考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学三角形专题复习讲义通过表格系统梳理8个期末考点，涵盖概念分类、性质应用、跨学科情境等内容，明确复习目标、考察形式及难度分层，结合错题警示模块归纳高线辨析等高频易错点，构建清晰知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型巩固三边关系判断等核心知识，提升题型融入物理镜面反射等跨学科情境培养模型意识，培优题型通过双角平分线模型、动态问题发展推理能力。同步练习覆盖全题型，助力学生分层提升，教师可据此实施精准教学。

专题01 三角形 期末考点 复习目标 考察形式 难度 1.三角形的概念与分类 1.掌握三角形定义（不在同一直线的三条线段首尾相接）； 2.能按边/角准确分类 选择/填空（1题） 基础 2.三角形三边关系 1.会判断三条线段能否构成三角形； 2.求第三边取值范围； 3.结合等腰三角形分类讨论 选择/填空/解答（1-2题） 基础-中档 3.三角形“三线”（高、中线、角平分线） 1.辨析概念与作图； 2.利用中线分面积、角平分线分角等性质计算 选择/填空/作图（1-2题） 基础-中档 4.三角形内角和与外角性质 1.掌握内角和、外角定理； 2.进行角度计算与证明 全题型覆盖（2-3题） 基础-中档 5.三角形稳定性 1.理解性质； 2.解释生活现象与实际应用 选择/填空（1题） 基础 6.情境化应用（跨学科/生活） 1.运用三角形知识解决物理、文化、生活场景问题； 2.建立几何模型 解答（1题） 中档 7.双角平分线模型 1.推导内角/内外角/双外角平分线的角度关系； 2.结合内角和定理计算 填空/解答（1题） 中档-培优 8.折叠与动态问题 1.折叠前后对应角/边相等的应用；2.动点/旋转中的分类讨论 解答（1题） 培优 【题型1】三角形高线的辨析与作图（高频易错） 1.易错点总结 混淆钝角三角形高线位置：误将钝角两边的高线画在三角形内部，实际需向边的延长线作垂线，垂足在外部。 混淆高线与中线/角平分线：忽略“垂直”核心特征，误将中线（连顶点与对边中点）或角平分线（平分内角）当作高线。 2.避坑攻略 明确高线定义：必须满足“过顶点”且“垂直于对边（或其延长线）”，作图时标注直角符号（）。 分类记忆高线位置：锐角三角形高线全在内部，直角三角形两条直角边互为高线，钝角三角形钝角两边的高线在外部。 重叠角的倍数关系。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·月考）如图，已知，求作： (1)的平分线； (2)边上的中线； (3)边上的高． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的高，已知． (1)请画出边上的高； (2)求的长． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）请仅用无刻度直尺完成下列画图（不写画法，保留作图痕迹）    (1)如图1，在中，分别为的中点，请在图1中画出的中点M； (2)如图2，在四边形内找一点O，使之和最小； (3)在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点已知A，B，C均为格点，请仅用无刻度直尺利用格点完成画图； ①在图3中，画的高； ②在图4中，过点B画的平行线（注：本小题D为格点） 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【基础题型】 【题型2】三角形的分类与三边关系判断 1.期末考点总结 按边分类：等腰三角形（含等边三角形）、三边不相等的三角形；按角分类：锐角、直角、钝角三角形。 三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形时，只需验证“最短两边之和大于最长边”。 2.解题攻略 分类判断：先确定最长边，再用三边关系验证；等腰三角形求边长时，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况，验证后舍去不能构成三角形的解。 取值范围：设第三边为，两边为、（），则，结合整数条件或周长要求缩小范围。 【例题2】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为 ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列各组线段中能围成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．14，8，6 C．1，1，3 D．2，3，6 【变式题2-2】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）在中，的补角为，则是 三角形． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东江门·期中）已知一个三角形的两边长分别为和， (1)求这个三角形的第三边的取值范围． (2)如果这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长． 【题型3】三角形“三线”的概念辨析与简单计算 1.期末考点总结 中线：分对边为相等两段，分三角形为面积相等的两部分；重心是三条中线交点，到顶点距离是到对边中点距离的倍。 角平分线：平分内角，交点（内心）到三边距离相等。 高：垂直于对边（或延长线），可用于等面积法求边长。 2.解题攻略 概念辨析：抓住核心特征（中线“分边相等”、角平分线“分角相等”、高线“垂直对边”）排除错误选项。 计算技巧：中线求面积时，利用“等底同高面积相等”；角平分线求角度时，结合内角和定理拆分角度。 【例题3】.（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，点D在的边上，且，点E为中点，若，则的面积为 ． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为 平方厘米． 【题型4】三角形内角和与外角性质的直接应用 1.期末考点总结 内角和定理：三角形内角和，直角三角形两锐角互余。 外角性质：外角不相邻两内角和；外角大于任意一个不相邻内角；外角和。 2.解题攻略 角度计算：直接利用定理列等式，若有平行线、对顶角，先转化为三角形内角或外角再计算。 简化技巧：复杂图形中标记已知角，利用“外角不相邻两内角和”快速拆分复合角，避免重复计算。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，直线l，m分别与的边平行，，则的度数是 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·吉林白山·月考）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为 ． 【变式题4-3】.（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，在中，，，平分，E为上一点，于F． (1)求的度数． (2)求的度数． 【提升题型】 【题型5】跨学科情境下的三角形角度计算 1.期末考点总结 跨学科融合：结合物理（镜面反射）、文化（古代角度单位）、生活场景，建立三角形模型，运用内角和、外角性质求解。 核心能力：将实际情境转化为几何图形，提取已知角度条件，实现跨学科知识迁移。 2.解题攻略 情境转化：先根据题意画出几何示意图，标注已知条件（如镜面反射中“入射角反射角”“古代矩”）。 角度推导：利用三角形内角和、平角建立等式，逐步转化未知角（如镜面反射中用“”“”推导最终角度关系）。 【例题5】.（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）如图1，在物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（法线镜面）都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角（），这就是光的反射定律．如图2，镜子与镜子的夹角，经过两次反射后，入射光线与反射光线平行但方向相反，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．从岛看，两岛的视角是多少度？从岛看，两岛的视角呢？ 【变式题5-2】.（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为 ． 【题型6】三角形“三线”与面积结合的计算 1.期末考点总结 核心性质：中线分三角形为面积相等的两部分；等面积法（）可实现边长与高的互求。 综合应用：结合中线、高的定义，求不规则图形（如四边形、组合图形）的面积。 2.解题攻略 面积拆分：将复杂图形通过中线、高拆分为多个三角形，利用“等底同高”“同底等高”的面积关系求和或求差。 等面积法公式：若三角形两边为、，对应高为、，则，可快速求未知高或边长。 【例题6】.（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是12，那么的面积为（   ） A．6 B．3 C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在长方形中，，垂足为交于点，连接．写出一对面积相等但不全等的三角形 ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若，求的面积． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·北京·课后作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【培优题型】 【题型7】新定义探究式问题（如“准互余三角形”“倍长三角形”） 1.期末考点总结 新定义特征：以三角形为基础，定义新关系（如“准互余：”“倍长：一边另一边”）。 核心能力：理解新定义内涵，结合三角形性质探究数量关系或取值范围。 2.解题攻略 定义转化：将新定义翻译为数学等式（如“倍长三角形”中设一边为，另一边为，结合三边关系求第三边)。 分类探究：按新定义的约束条件分类讨论(如“准互余三角形”中谁是倍角)，排除不符合三角形性质的解，总结规律。 【例题7】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（   ） A．2 B．3 C．10 D．12 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）新定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以点为端点作射线，交线段于点．（规定） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）灵动三角形； (2)若，求证：是“灵动三角形”； (3)若是“灵动三角形”，求的度数． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为______． 【题型8】三角形动态问题(动点/旋转)中的角度与边长变化 1.期末考点总结 动态场景：动点沿三角形边运动、三角形绕顶点旋转，探究角度、边长、面积的变化规律或定值关系。 核心思想：化动为静，抓住运动过程中的不变量(如边长、角度、全等关系)。 2.解题攻略 分段分析：按动点的运动范围(如“在线段上”“在延长线上”)或旋转角度(如）分段讨论。 不变量锁定：运动中始终不变的条件（如等腰三角形的腰长、角平分线的分角比例），作为推导的核心依据，建立函数或等式关系。 【例题8】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【变式题8-1】.（25-26七年级上·四川成都·期中）初2025级的同学们在学习“面动成体”的过程中，就不同图形的旋转方式做了研究，三个小组的研究情况如下图所示： (1)一、二小组就相邻两边分别为3和4的长方形做了旋转； ①第一小组沿边所在直线旋转一周，请帮助第一小组计算旋转后所得几何体的体积；（结果保留） ②第二小组延长到，使，延长到，使，然后将原长方形沿着直线旋转一周，请帮助第二小组计算旋转后所得几何体的表面积；（结果保留） (2)第三小组画了一个正方形，并且连接，交于点，取的中点，连接，取的中点，连接．若，将正方形绕直线旋转一周，三角形和三角形旋转一周得到的几何体体积分别记为和．则的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图1，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)求，，的度数； (2)在旋转过程中，如图2，当时，求α的度数； (3)如图3，当点C在内部时，边、分别交、的延长线于、两点． ①α的取值范围是 ； ②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广西百色·期中）【问题背景】经历了第13章的学习，我们知道三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础．因此我们可以利用三角形的相关定理及推论，解决一些几何问题． 小聪在课后数学探索中发现这样一个有趣的题目，具体是：李师傅制作了一个模具，测量得这个模具其中三个角度数及模具合格的要求如图1所示． (1)【问题解决】请你帮小聪判断李师傅制作的这一个模具是否合格？并写出证明过程． (2)【问题迁移】在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接，若为直线与之间的一动点，（点不在直线，上），且点在线段的左侧（如图2所示）与两个角的平分线交于点．若，．求的度数（用含、来表示） 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，6， C．4，4，8 D．，， 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四边形中，点E在上，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），的平分线的反向延长线与的平分线交于点C，在A，B的运动过程中，的度数（    ） A．变大 B．变小 C．等于 D．等于 4．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是 ． 6．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）已知，a，b，c是的三边长，a，b满足，且c为奇数，则 ． 7．（25-26八年级上·浙江台州·期中）将一副三角板按如图位置摆放，若，则的度数是 ． 8．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则 ． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则 ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东威海·期中）现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 10．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 11．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 12．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）【感知】（1）如图1，在中，，点，分别在的边，上，以为边作，使点在内，则___________； 【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则___________； 【类比探究】（3）在【感知】的条件下，之间有怎样的数量关系？请给予证明： 【变式探究】（4）如图2，在中，，点分别在的边上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则，之间的数量关系是___________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 期末考点 复习目标 考察形式 难度 1.三角形的概念与分类 1.掌握三角形定义（不在同一直线的三条线段首尾相接）； 2.能按边/角准确分类 选择/填空（1题） 基础 2.三角形三边关系 1.会判断三条线段能否构成三角形； 2.求第三边取值范围； 3.结合等腰三角形分类讨论 选择/填空/解答（1-2题） 基础-中档 3.三角形“三线”（高、中线、角平分线） 1.辨析概念与作图； 2.利用中线分面积、角平分线分角等性质计算 选择/填空/作图（1-2题） 基础-中档 4.三角形内角和与外角性质 1.掌握内角和、外角定理； 2.进行角度计算与证明 全题型覆盖（2-3题） 基础-中档 5.三角形稳定性 1.理解性质； 2.解释生活现象与实际应用 选择/填空（1题） 基础 6.情境化应用（跨学科/生活） 1.运用三角形知识解决物理、文化、生活场景问题； 2.建立几何模型 解答（1题） 中档 7.双角平分线模型 1.推导内角/内外角/双外角平分线的角度关系； 2.结合内角和定理计算 填空/解答（1题） 中档-培优 8.折叠与动态问题 1.折叠前后对应角/边相等的应用；2.动点/旋转中的分类讨论 解答（1题） 培优 【题型1】三角形高线的辨析与作图（高频易错） 1.易错点总结 混淆钝角三角形高线位置：误将钝角两边的高线画在三角形内部，实际需向边的延长线作垂线，垂足在外部。 混淆高线与中线/角平分线：忽略“垂直”核心特征，误将中线（连顶点与对边中点）或角平分线（平分内角）当作高线。 2.避坑攻略 明确高线定义：必须满足“过顶点”且“垂直于对边（或其延长线）”，作图时标注直角符号（）。 分类记忆高线位置：锐角三角形高线全在内部，直角三角形两条直角边互为高线，钝角三角形钝角两边的高线在外部。 重叠角的倍数关系。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·月考）如图，已知，求作： (1)的平分线； (2)边上的中线； (3)边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线，高，理解三角形的角平分线，中线，高的定义是解题的关键． （1）作的角平分线，交于点D，线段即为所求； （2）取边的中点E，连接，线段即为所求； （3）过点A向边所在直线作垂线，垂足为F，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：如图，为所求． （3）解：如图，为所求． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的高，已知． (1)请画出边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形高的画法及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用“同一三角形面积相等”的等积法，通过已知底和高求出面积，再反求未知高的长度． （1）根据三角形高的定义，过点C作边的垂线，垂足为E，线段即为边上的高； （2）先以为底、为高计算的面积，再以为底、为高，结合面积相等列方程求解的长度． 【详解】（1）解：如图，线段即为边上的高． （2）解：∵ 是边上的高， ∴ 的面积，代入，，得． 又∵ 是边上的高,， ∴ 面积也可表示为， 即， 解得． 答：的长为． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）请仅用无刻度直尺完成下列画图（不写画法，保留作图痕迹）    (1)如图1，在中，分别为的中点，请在图1中画出的中点M； (2)如图2，在四边形内找一点O，使之和最小； (3)在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点已知A，B，C均为格点，请仅用无刻度直尺利用格点完成画图； ①在图3中，画的高； ②在图4中，过点B画的平行线（注：本小题D为格点） 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)①详见解析；②详见解析 【分析】本题主要考查了作图的知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据三角形中线的性质，即可获得答案； （2）连接相交于点O，即可获得答案； （3）①取点，连接交于点，即可获得答案；②取点，连接，即可获得答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长，交于点M，则点M即为所求；    （2）解：如图所示，连接相交于点O，点O即为所求；    （3）解：①如图所示，即为所求；    ②如图所示，即为所求．    【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】本题主要考查了借助网格线画图、三角形的中线与面积，解决本题的关键是借助网格找到符合条件的点． 根据中线的定义画出的中线； 根据三角形的高线的定义画出的高线； 由网格可知，可知，因为点到的距离为，所以当时即符合要求； 借助网格作出，根据网格即可求出． 【详解】（1）解：如下图所示，借助网格作的中线； （2）解：如下图所示， （3）解：如下图所示， 由图可知，， ， 当时，的面积为， 平分的面积； （4）解：如下图所示， 在中，， ，， ， ． 【基础题型】 【题型2】三角形的分类与三边关系判断 1.期末考点总结 按边分类：等腰三角形（含等边三角形）、三边不相等的三角形；按角分类：锐角、直角、钝角三角形。 三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形时，只需验证“最短两边之和大于最长边”。 2.解题攻略 分类判断：先确定最长边，再用三边关系验证；等腰三角形求边长时，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况，验证后舍去不能构成三角形的解。 取值范围：设第三边为，两边为、（），则，结合整数条件或周长要求缩小范围。 【例题2】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值． 【详解】解：由三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵c为整数且为奇数， ∴． 故答案为：5． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列各组线段中能围成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．14，8，6 C．1，1，3 D．2，3，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：A、，能围成三角形，故本选项符合题意； B、，不能围成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能围成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能围成三角形，故本选项不符合题意． 故选：A 【变式题2-2】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）在中，的补角为，则是 三角形． 【答案】钝角 【分析】本题主要考查补角的定义、三角形内角和定理．根据补角的定义求出的度数，再根据三角形的分类判断即可． 【详解】的补角是， ， ， 是钝角， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东江门·期中）已知一个三角形的两边长分别为和， (1)求这个三角形的第三边的取值范围． (2)如果这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义， （1）根据“三角形的第三边大于任意两边之差，而小于任意两边之和”进行求解即可； （2）根据等腰三角形的定义得出第三边的长，再计算三角形的周长即可； 解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：∵一个三角形的两边长分别为和， ∴这个三角形的第三边的取值范围是：， 即； （2）①当腰长为，底长为， 此时这个等腰三角形的三边长分别为，，，周长为：； ②当腰长为，底长为， 此时这个等腰三角形的三边长分别为，，，周长为：； 综上所述，这个三角形的周长为或． 【题型3】三角形“三线”的概念辨析与简单计算 1.期末考点总结 中线：分对边为相等两段，分三角形为面积相等的两部分；重心是三条中线交点，到顶点距离是到对边中点距离的倍。 角平分线：平分内角，交点（内心）到三边距离相等。 高：垂直于对边（或延长线），可用于等面积法求边长。 2.解题攻略 概念辨析：抓住核心特征（中线“分边相等”、角平分线“分角相等”、高线“垂直对边”）排除错误选项。 计算技巧：中线求面积时，利用“等底同高面积相等”；角平分线求角度时，结合内角和定理拆分角度。 【例题3】.（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，点D在的边上，且，点E为中点，若，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形的面积计算；由可求出的面积，再由点E为中点，可得的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴. 故答案为：4． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，由垂线段最短可知当时，的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为： 【变式题3-2】.（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线和中线，根据角平分线和中线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，是角平分线，点E是的中点， ∴，，，是的中线， 故错误的是选项C； 故选C． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，根据中线平分三角形面积，可得，，然后求出的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E，F分别是，，的中点， ，， ∵平方厘米， ， ， ， 故答案为：． 【题型4】三角形内角和与外角性质的直接应用 1.期末考点总结 内角和定理：三角形内角和，直角三角形两锐角互余。 外角性质：外角不相邻两内角和；外角大于任意一个不相邻内角；外角和。 2.解题攻略 角度计算：直接利用定理列等式，若有平行线、对顶角，先转化为三角形内角或外角再计算。 简化技巧：复杂图形中标记已知角，利用“外角不相邻两内角和”快速拆分复合角，避免重复计算。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分的外角，， ∴, ∵是的外角, ∴, ∴． 故选：． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，直线l，m分别与的边平行，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据“两直线平行同旁内角互补”得，再根据三角形的外角的性质得，然后根据“两直线平行同位角相等”得出答案． 【详解】解：如图， ∵直线，， ∴， ∴． 根据三角形外角的性质得， ∴． ∵直线， ∴． 故答案为：． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·吉林白山·月考）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过设未知数，列方程求解两个锐角的度数． 【详解】解：设较小的锐角为， 则较大的锐角为． 根据直角三角形两锐角互余，得． 解得：， 则． 故两个锐角分别为和， 故答案为：和． 【变式题4-3】.（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，在中，，，平分，E为上一点，于F． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理求出，再依据角平分线定义即可求出； （2）由三角形内角和定理求出，再由即可求出. 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴. （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴. 【提升题型】 【题型5】跨学科情境下的三角形角度计算 1.期末考点总结 跨学科融合：结合物理（镜面反射）、文化（古代角度单位）、生活场景，建立三角形模型，运用内角和、外角性质求解。 核心能力：将实际情境转化为几何图形，提取已知角度条件，实现跨学科知识迁移。 2.解题攻略 情境转化：先根据题意画出几何示意图，标注已知条件（如镜面反射中“入射角反射角”“古代矩”）。 角度推导：利用三角形内角和、平角建立等式，逐步转化未知角（如镜面反射中用“”“”推导最终角度关系）。 【例题5】.（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）如图1，在物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（法线镜面）都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角（），这就是光的反射定律．如图2，镜子与镜子的夹角，经过两次反射后，入射光线与反射光线平行但方向相反，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分别过点E、G作，，垂线相交于点D，由入射角等于反射角，可得，，再根据平行线的性质可得，即，再由，，可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：分别过点E、G作，，垂线相交于点D，如图所示： ∵入射角等于反射角， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．从岛看，两岛的视角是多少度？从岛看，两岛的视角呢？ 【答案】从岛看，两岛的视角是，从岛看，两岛的视角是 【分析】本题主要考查了方位角的实际问题，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，先根据已知求得，根据平行线的性质得出，即可求得的大小，再根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：， 由，得 ． 所以， ， 在中， ， 所以从岛看，两岛的视角是，从岛看，两岛的视角是 【变式题5-2】.（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由三角形的外角性质求出，根据平行线的性质得到，，推出解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型6】三角形“三线”与面积结合的计算 1.期末考点总结 核心性质：中线分三角形为面积相等的两部分；等面积法（）可实现边长与高的互求。 综合应用：结合中线、高的定义，求不规则图形（如四边形、组合图形）的面积。 2.解题攻略 面积拆分：将复杂图形通过中线、高拆分为多个三角形，利用“等底同高”“同底等高”的面积关系求和或求差。 等面积法公式：若三角形两边为、，对应高为、，则，可快速求未知高或边长。 【例题6】.（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是12，那么的面积为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴； 故选C． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在长方形中，，垂足为交于点，连接．写出一对面积相等但不全等的三角形 ． 【答案】和（或和，或和，或和） 【分析】此题主要考查了三角形面积公式应用，根据已知得出三角形的高与底边是解题关键． 根据要找出三角形面积相等但不全等的三角形，利用三角形面积公式等底等高面积相等，即可得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ， 与，底边为，高为， ， ， ， 与，底边为，高为， ， 与，等底等高， ， 图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对， 即和，和，和，和， 故答案为：和（或和，或和，或和）． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若，求的面积． 【答案】(1)20 (2)8 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线等分线段，等分面积． （1）由是的中线，得到，再结合的周长，，即可得到的周长； （2）由三角形中线的性质可得，，易得，即，最后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，， ∴ ∴， ∴， ∴的周长 （2）解：是的中线， ， ， ， 又∵是的中线， ， 又， ， ， 的面积是． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·北京·课后作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 【培优题型】 【题型7】新定义探究式问题（如“准互余三角形”“倍长三角形”） 1.期末考点总结 新定义特征：以三角形为基础，定义新关系（如“准互余：”“倍长：一边另一边”）。 核心能力：理解新定义内涵，结合三角形性质探究数量关系或取值范围。 2.解题攻略 定义转化：将新定义翻译为数学等式（如“倍长三角形”中设一边为，另一边为，结合三边关系求第三边)。 分类探究：按新定义的约束条件分类讨论(如“准互余三角形”中谁是倍角)，排除不符合三角形性质的解，总结规律。 【例题7】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【详解】（1）解： 为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； （2）证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（   ） A．2 B．3 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系．分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 观察四个选项，三角形第三边的长是3． 故选：B． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）新定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以点为端点作射线，交线段于点．（规定） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）灵动三角形； (2)若，求证：是“灵动三角形”； (3)若是“灵动三角形”，求的度数． 【答案】(1)，是 (2)是“灵动三角形” (3)或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“灵动三角形”的概念判断； （2）根据“灵动三角形”的概念证明即可； （3）根据，点在线段上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴为“灵动三角形”， 故答案为：；是； （2）解: 是“灵动三角形” 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴是“灵动三角形”； （3）解：∵为“灵动三角形”， ∵点在线段上，， ∵， ∴， Ⅰ、当时，， ∴， Ⅱ、当时， ∴ ∴此种情况不存在， Ⅲ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅳ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅴ、当时， ∴， ∴， ∵点与点不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ、当时， ∴°， ∴， ∴此种情况不存在， 综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为______． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． （1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由是中边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得，，结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理，设，则，根据是“友爱三角形”，分当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵是“友爱三角形”，与互为“友爱角”（）， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴，解得，， ∴； ②、都是“友爱三角形”．理由如下： ∵是中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）解：在中，， 设， 则， ∵是“友爱三角形”， 当与互为“友爱角”时， ， 或， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； ∴的度数为或． 【题型8】三角形动态问题(动点/旋转)中的角度与边长变化 1.期末考点总结 动态场景：动点沿三角形边运动、三角形绕顶点旋转，探究角度、边长、面积的变化规律或定值关系。 核心思想：化动为静，抓住运动过程中的不变量(如边长、角度、全等关系)。 2.解题攻略 分段分析：按动点的运动范围(如“在线段上”“在延长线上”)或旋转角度(如）分段讨论。 不变量锁定：运动中始终不变的条件（如等腰三角形的腰长、角平分线的分角比例），作为推导的核心依据，建立函数或等式关系。 【例题8】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·四川成都·期中）初2025级的同学们在学习“面动成体”的过程中，就不同图形的旋转方式做了研究，三个小组的研究情况如下图所示： (1)一、二小组就相邻两边分别为3和4的长方形做了旋转； ①第一小组沿边所在直线旋转一周，请帮助第一小组计算旋转后所得几何体的体积；（结果保留） ②第二小组延长到，使，延长到，使，然后将原长方形沿着直线旋转一周，请帮助第二小组计算旋转后所得几何体的表面积；（结果保留） (2)第三小组画了一个正方形，并且连接，交于点，取的中点，连接，取的中点，连接．若，将正方形绕直线旋转一周，三角形和三角形旋转一周得到的几何体体积分别记为和．则的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)的值为定值；3 【分析】本题主要考查了面动成体，圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，解题的关键是熟练掌握相关的体积公式和面积公式． （1）①根据圆柱的体积公式进行求解即可； ②根据圆柱的表面积计算公式进行求解即可； （2）先求出和的值，再求出其比值即可． 【详解】（1）解：①沿边所在直线旋转一周，旋转后所得几何体的体积为：； ②， 第二小组旋转后所得几何体的表面积为： ； （2）解：的值为定值； ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴点F到的距离为：； 同理可得：点E到的距离为； ， ， ∴． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图1，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)求，，的度数； (2)在旋转过程中，如图2，当时，求α的度数； (3)如图3，当点C在内部时，边、分别交、的延长线于、两点． ①α的取值范围是 ； ②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系． 【答案】(1)，，； (2)； (3)①；②． 【分析】（1）根据三角形内角和是，再按比例分配进行计算即可； （2）根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，再由三角形的内角和等于进行计算即可； （3）①根据“端值”检测计算，即当与重合时最小值，当与重合时最大值；②连接，根据三角形内角和定理进行计算即可． 本题考查三角形内角和定理，平行线的性质以及垂直的定义，掌握三角形内角和是，平行线的性质是正确解答的前提． 【详解】（1）解：在中，，，的度数之比为， ， ， ； （2）解：， ， ，． ， ； （3）解：①当与重合时，为最小值， ， ； 当与重合时，为最大值，此时， ， 故答案为：； ②，理由如下： 如图，连接， ， ， 在中， ， ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广西百色·期中）【问题背景】经历了第13章的学习，我们知道三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础．因此我们可以利用三角形的相关定理及推论，解决一些几何问题． 小聪在课后数学探索中发现这样一个有趣的题目，具体是：李师傅制作了一个模具，测量得这个模具其中三个角度数及模具合格的要求如图1所示． (1)【问题解决】请你帮小聪判断李师傅制作的这一个模具是否合格？并写出证明过程． (2)【问题迁移】在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接，若为直线与之间的一动点，（点不在直线，上），且点在线段的左侧（如图2所示）与两个角的平分线交于点．若，．求的度数（用含、来表示） 【答案】(1)不合格，见解析 (2) 【分析】（1）利用外角的性质求出后即可判断模具是否合格； （2）利用平行线的性质得到，再利用角平分线的定义和平角的定义即可求解． 【详解】（1）解：方法1：李师傅制作的这一个模具不合格 如图延长交于点． ， ， 又 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． 方法2：李师傅制作的这一个模具不合格． 如图，连接并延长至． 则， ． 又，， ， 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． 方法3：李师傅制作的这一个模具不合格． 如图，连接． 在中，，且， ， ，， ， 在四边形中，， ， 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． （2） 又， 又与两个角的平分线交于点 ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质以及角平分线的定义，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，6， C．4，4，8 D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大的数即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A．较小的两数之和为，等于第三边5，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； B．较小的两数之和为，小于第三边，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； C．较小的两数之和为，等于第三边8，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； D．较小的两数之和为，大于第三边，满足三角形三边关系，能构成三角形； 故选：D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四边形中，点E在上，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理． 根据两直线平行，同位角相等，据此可求出，然后根据三角形内角和进行解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），的平分线的反向延长线与的平分线交于点C，在A，B的运动过程中，的度数（    ） A．变大 B．变小 C．等于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的外角性质；设，，由角平分线的定义得，，利用外角的性质得，再利用即可求出. 【详解】解：设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴. 故选：C. 4．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是 ． 【答案】8或14 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分两种情况讨论：当8为腰长时，底边为14；当8为底边长时，腰为11．利用三角形三边关系检验，两种情况均成立，故底边长为8或14． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，则周长为． 若一边长8为腰长，则，此时三边为8、8、14，满足，符合三角形三边关系． 若一边长8为底边长，则，此时三边为11、11、8，满足，符合三角形三边关系． 因此等腰三角形的底边长为8或14． 故答案为：8或14． 6．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）已知，a，b，c是的三边长，a，b满足，且c为奇数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 7．（25-26八年级上·浙江台州·期中）将一副三角板按如图位置摆放，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为． 由题意可得，，则由平角的定义可求得的度数，再利用三角形的内角和即可求的度数． 【详解】解：由题意得：，， ， ． ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则 ． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则 ． 【答案】 /35度 /45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1） 平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2） 平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东威海·期中）现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 【答案】(1)或 (2)①等腰三角形，理由见解析；②7 【分析】本题考查了乘方，绝对值，等腰三角形的判定，正确求得a、b、c的值是解题的关键． （1）利用偶次方的非负性，绝对值方程，可得a、b、c的值； （2）① 分情况讨论可得时，无法组成，可得，此时为等腰三角形； ②根据①求出的周长即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或； （2）解：①等腰三角形，理由如下： 当时， ，即 此时无法组成三角形， a、b、c是三条边的长度时，， ， 是等腰三角形； ②此时的周长为． 10．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段： （1）由三角形外角的定义及性质可得再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 【答案】(1) (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”即可求解； （）根据“准互余三角形”可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据“准互余三角形”进行求证即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ，，，不符合题意； ，能构成“准互余三角形”； ，能构成“准互余三角形”； 故选：； （2）解：∵为“准互余三角形”，与为“准互余角”， ， ， ， 又， ； （3）是“准互余三角形”，理由如下： ∵平分， 又∵是的外角，且 ， ， ， ∴是“准互余三角形”． 12．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）【感知】（1）如图1，在中，，点，分别在的边，上，以为边作，使点在内，则___________； 【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则___________； 【类比探究】（3）在【感知】的条件下，之间有怎样的数量关系？请给予证明： 【变式探究】（4）如图2，在中，，点分别在的边上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则，之间的数量关系是___________ 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据三角形内角和定理计算即可解答； （2）先求出，再根据角之间的关系得出即可解答； （3），根据特例探究，由特殊到一般的思想即可用一样的方法解答； （4）．先由直角三角形的性质得出，化简得到，再根据即可解答． 【详解】解：（1）在中， ； 故答案为：； （2）在中，， ， ，， ， ； 故答案为：； （3） 证明：，， ， ， ， ． 故答案为：； （4）． ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $