精品解析：河南省周口市第四初级中学2025-2026学年九年级上学期第二次素养评价数学试卷

九年级数学学科素养测评 一、选择题（10×3=30分） 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 明天一定会下雨 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 D. 在一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾 2. 反比例函数的图象经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 3. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　） A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日 C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意 4. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 5. 如图，是的内接三角形，，连接，则的度数（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图象上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N，若四边形的面积为4，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 如图，转盘中个扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，估计下列个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（ ） A. 指针落在标有的区域内 B. 指针落在标有的区域内 C. 指针落在标有偶数或奇数的区域内 D. 指针落在标有奇数的区域内 8. 如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是直径，弦于点H．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣2）．则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ） A. y＞1 B. 0＜y＜l C. y＞2 D. 0＜y＜2 二、填空题（5×3=15分） 11. ，三条边的长分别是6，8，10，则其内切圆的半径为__． 12. 已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系_____． 13. 如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为_____． 14. 如图，正比例函数与反比例函数 交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为4，则反比例函数的解析式为_____． 15. 如图，为的外接圆， ，点D是上的动点，且点C、D分别位于直径的两侧，则的半径为______；连接，设的中点为M，在点D运动的过程中，线段的最大值为_____． 三、解答题（共8题，75分） 16. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 17. 已知，与成反比例，与x成正比例，且当，，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 18. 如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； （1）求被剪掉的部分的面积； （2）如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 19. 小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯（不考虑黄灯）的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际上这个事件发生的概率是多少？（用列举法说明） 20. （1）任意画一个及外任意一点P，过点P作的两条切线，切点分别为A、B（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； （2）连接． 若，，求的周长？ 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 22. 如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P． （1）求反比例函数的解析式； （2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P； ②矩形的面积等于k的值． 23. 如图，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． （1）如图1，求劣弧的长； （2）连接，，，，当时，如图2，求证：； （3）点E是的中点，过点C作于点F，如图3．当时，求线段的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科素养测评 一、选择题（10×3=30分） 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 明天一定会下雨 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 D. 在一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决问题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A．明天一定会下雨是随机事件，故A不符合题意； B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意； C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，故C不符合题意； D．在一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾是必然事件，故D符合题意； 故选：D． 2. 反比例函数的图象经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数图象的性质即可解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限． 故选：C． 3. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　） A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日 C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误； B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误； C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误； D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键． 4. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此， ∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5， ∴6＞5，即：d＜r． ∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C． 5. 如图，是的内接三角形，，连接，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先根据圆周角定理计算出，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B 6. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图象上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N，若四边形的面积为4，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，直接根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点A是反比例函数图象上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N， ∴， ∵四边形的面积为4，反比例函数图象位于第一、三象限内， ∴． 故选：C 7. 如图，转盘中个扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，估计下列个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（ ） A. 指针落在标有的区域内 B. 指针落在标有的区域内 C. 指针落在标有偶数或奇数的区域内 D. 指针落在标有奇数的区域内 【答案】C 【解析】 【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可． 【详解】解：A、指针落在标有5的区域内的概率是； B、指针落在标有10的区域内的概率是0； C、指针落在标有偶数或奇数的区域内的概率是1； D、指针落在标有奇数的区域内的概率是； 故选：C． 【点睛】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性． 8. 如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，先根据圆周角定理，由，则利用互余可计算出，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数，熟练掌握三角形的外心的定义与性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，是直径，弦于点H．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理求出，根据圆的性质及线段的和差求出，，根据勾股定理求出，据此即可得解． 【详解】解：连接， ∵是直径，弦， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 10. 如图，反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣2）．则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ） A. y＞1 B. 0＜y＜l C. y＞2 D. 0＜y＜2 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：已知反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣2），可求得， 把x=1代入可得y=2， 结合反比例函数的图象即可得当x＞1时， 函数值y的取值范围是0＜y＜2． 故选D. 考点：反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征． 二、填空题（5×3=15分） 11. ，三条边的长分别是6，8，10，则其内切圆的半径为__． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆问题． 找到内切圆与的切点，连接，根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图， 圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，连接， 则，，． 设其内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：2． 12. 已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数，当时，经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大；反之经过一、三象限，随的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ∴在第二象限，在第四象限， ， 故答案为：． 13. 如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，． 故答案为： ． 14. 如图，正比例函数与反比例函数 交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为4，则反比例函数的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义．根据反比例函数的性质可得点A，B关于坐标原点对称，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数 交于A、B两点， ∴点A，B关于坐标原点对称， ∴， ∵轴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 故答案为： 15. 如图，为的外接圆， ，点D是上的动点，且点C、D分别位于直径的两侧，则的半径为______；连接，设的中点为M，在点D运动的过程中，线段的最大值为_____． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点的运动轨迹． 利用勾股定理求出即可．连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，，根据，可得结论． 【详解】解：∵， ， ， 的半径为1； 连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，． ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：1；． 三、解答题（共8题，75分） 16. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率． 【小问1详解】 解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为； 【小问2详解】 如图，画树状图如下： 所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个， ∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：． 【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 17. 已知，与成反比例，与x成正比例，且当，，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，把，和，分别代入求解即可得； （2）把代入解析式计算可得答案． 【小问1详解】 解：设，， ∴， 把，和，分别代入，，得 ， 解得， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义、正比例函数的定义，掌握其概念是解决此题关键． 18. 如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； （1）求被剪掉的部分的面积； （2）如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查扇形与圆的面积计算，扇形弧长的计算，割补法求面积，以及扇形所围成的圆锥与扇形之间的关系，掌握扇形与圆的面积，弧长公式是解决本题的关键． （1）由图可知当扇形圆心角为时，的连线过圆心O，连接，，进而可证为等腰直角三角形，通过勾股定理可计算出扇形半径，进而计算出扇形面积，用圆形铁皮面积减扇形面积即为所求； （2）根据扇形半径可求出扇形上弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【小问1详解】 解： 如图所示，连接，， 当扇形圆心角为时，的连线过圆心O， ∵（为同圆的半径），， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 所以扇形面积为：， 圆形铁皮面积为：， ∴减掉部分面积为：； 【小问2详解】 解：由剪下来的扇形的半径为， ∴扇形弧长为：， ∴围成圆锥的底面半径为：． 19. 小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯（不考虑黄灯）的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际上这个事件发生的概率是多少？（用列举法说明） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率． 使用列举法，列出所有可能的情况，共8种，其中只有1种情况满足三个路口都是绿灯． 【详解】解：每个路口有绿灯（G）和红灯（R）两种可能，且机会相同．三个路口的所有可能情况如下： ①G，G，G； ②G，G，R； ③G，R，G； ④G，R，R； ⑤R，G，G； ⑥R，G，R； ⑦R，R，G； ⑧R，R，R； 其中，只有第①种情况满足三个路口都是绿灯． 总共有8种等可能情况，因此概率为． 20. （1）任意画一个及外任意一点P，过点P作的两条切线，切点分别为A、B（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； （2）连接． 若，，求的周长？ 【答案】（1）即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接即可． （2）连接，由切线的性质可得即， ，并推出；在 中，通过三角函数求出；由、，判定为等边三角形，进而计算其周长。 【详解】解：（1）如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接， 由圆周角定理可得，， ∵为的半径， ∴为的切线． 则即为所求； （2）解：连接， ∵为的两条切线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ， ∵， ∴为等边三角形， ∴的周长． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图像得到一次函数图像在反比例函数图像上方的x取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图像经过A和B， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的解析式为， ∴令，解得：，即一次函数图像与x轴交点为， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：如图：∵，， ∴根据函数图像可得：的x的取值范围为或． 【点睛】本题是主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 22. 如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P． （1）求反比例函数的解析式； （2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P； ②矩形的面积等于k的值． 【答案】（1）； （2）矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形． 【解析】 【详解】分析：（1）将P点坐标代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可． 详解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象过格点P（2，2）， ∴k=2×2=4， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）略 点睛：本题考查了作图-应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键． 23. 如图，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． （1）如图1，求劣弧的长； （2）连接，，，，当时，如图2，求证：； （3）点E是的中点，过点C作于点F，如图3．当时，求线段的长； 【答案】（1） （2） 证明：， ， 又，， ； （3）； 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求弧长，直角三角形的性质等知识，作圆的半径构造等边三角形是解题的关键． （1）求劣弧长，需先确定其所对圆心角及圆半径，再用弧长公式计算即可． （2）利用圆中弧与角的关系找全等条件，用全等判定定理证明． （3）通过角度关系求，在直角三角形中用三角函数求，进而得． 【小问1详解】 解：连接， ∵半圆O的直径，， ∴， 为等边三角形，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 由（1）得，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $