15.2一元一次不等式（讲义）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦初中数学“一元一次不等式”核心知识点，系统梳理不等式的解与解集（含概念区分、数轴表示）、解法步骤（含去分母等及三大易错点）、实际应用（方案选择等），构建从概念到解法再到应用的完整学习支架。 该资料以核心素养为设计亮点，通过实际应用题（如购物优惠方案）培养模型意识，易错点提示强化推理能力，知识表格梳理提升抽象能力。课中助力分层教学，课后检测覆盖各类题型，有效辅助学生查漏补缺。

沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 15.2 一元一次不等式 知识梳理 知识点 相关题型 不等式的解和解集 不等式解和解集的区分 根据不等式的解集求参数字母的取值范围 在数轴上表示不等式的解集 解一元一次不等式 解一元一次不等式 求不等式的整数解 一元一次不等式的应用 根据关键词列不等式 用一元一次不等式解决实际问题（方案选择、比赛积分、购物优惠） 知识点讲解 1.不等式的解和解集 （1）概念 ①能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； ②一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； ③求不等式解集的过程，叫作解不等式； （2）解和解集的区别与联系 区别：解是________（填“个体”或“全体”）数值，解集属于________，是所有解的集合； 联系：不等式的解一定在它的________中，解集包含不等式的________。 （3） 不等式的解集在数轴上的表示方法 ①用实心点，如： x ②用空心点，如：x 2.解一元一次不等式 （1）概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的不等式叫作一元一次不等式。 （2）解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； （3）三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项；② 移项要注意变号； 2 系数化为1要注意同乘除一个负数时要变号； 3.一元一次不等式的应用 （1）注意关键词语“不少于”、“最多”、“至少”… （2）常见题型（方案选择、比赛积分、购物优惠…） （3）解题步骤 步骤1：分析实际问题，设未知数——教材明确表述：分析实际问题，设未知数，用不等式表示相应的不等关系； 步骤2：列一元一次不等式——根据关键词（至少、最多等），用含未知数的代数式表示相关量，列出符合教材规范的不等式； 步骤3：解不等式——教材步骤：解不等式，按“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”求解； 步骤4：确定整数解——教材明确要求：结合实际情形，检验并确定最终结论（如x为正整数）。 例题讲解 【题型1】不等式解和解集的区分 【例1】（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【变式1】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有 个． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【题型2】根据不等式解集的情况求参数字母的取值范围 【例2】（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【变式1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【变式2】（23-24七年级下·江苏徐州·月考）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【题型3】在数轴上表示不等式的解集 【例3】（25-26七年级下·上海宝山·期中）如图，数轴上所表示的不等式的解集是 ． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为 ． 【题型4】解一元一次不等式 【例4】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【变式2】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【题型5】不等式的整数解 【例5】（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解。 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式，并写出它的所有负整数解． 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是 ． 【题型6】根据关键词列不等式 【例6】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打 折出售． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（   ） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【题型7】一元一次不等式的实际应用 【例7】（24-25七年级下·上海闵行·月考）为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费． 若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示） (2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围． 【变式1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）振兴乡村，打造特色农产品，沙坪坝区中梁镇政府组织销售“诗意田园，中梁好物”特色农产品A，B两种礼盒，端午节前预售A礼盒400盒和B礼盒100盒，且预售中B礼盒的售价是A礼盒售价的2倍． (1)若预售总额不少于21000元，则每盒A礼盒的预售价最少是多少元？ (2)沙坪坝区中梁镇政府在端午节三天假期间计划推出A礼盒3200盒，B礼盒800盒．由于预售的火爆，决定将A礼盒的价格在（1）中最低价格的基础上增加，而B礼盒在（1）中的售价上增加了a元，结果A礼盒的销售量比计划少，B礼盒的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相等，求a的值． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）一件商品的成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得的利润，如果设该商品原价为y元，那么可列式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·安徽亳州·期中）某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 过关检测 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．当代数式的值小于代数式的值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．要使式子的值不小于式子的值，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 5．解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 6．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为 ． 8．已知是关于x的一元一次不等式，那么 ，不等式的解集是 ． 9．如果，则的取值范围 ． 10．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 11．不等式的解集为，则 ． 12．不等式的解集是 ． 13．当a 时，不等式的解集是． 14．某同学在解不等式的过程中，步骤如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④系数化为1，得． 其中错误的步骤是 ． 在此步骤之前，还可以增加一步是 ． 15．某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少应答对的题数为_______ 16．某校七年级406名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车．如果44座的客车租用了3辆，那么40座的客车至少需租用_______辆 17．小明计划在7天内阅读完一本68页的图书．如果第1天只阅读了5页，为了按时或提前完成，那么他在以后几天里平均每天至少要阅读多少页？设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为_______ 18．在一次知识竞赛中，共有20道题，每一题答对得20分，不答得0分，答错扣10分，冰冰有一道题没答，竞赛成绩超过100分．设他答对了道题，则根据题意可列出不等式为_______ 三、解答题 19．解不等式： 20．解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 21．解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 22．已知不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求此时的值． 23．古人曰：“读万卷书，行万里路”．经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某校团委组织135名学生去农博园研学，决定租用A、B两种型号的旅游车．已知一辆A型车可坐20人，一辆B型车可坐28人，经测算学校需要租用这两种型号的旅游车共6辆．学校至少要租用B型车多少辆？ 24．某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 25．如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 26． 某商品的零售价是每件50元，进价是每件35元．经核算，每天商店的各种费用（包括房租、售货员工资等）是120元，还需把商品售出价的上缴税款，问商店每天需要出售多少件这样的商品，才能保证商店每天获纯利润在100元以上（不包括100元）？ 试卷第1页，共3页 9 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 15.2 一元一次不等式 知识梳理 知识点 相关题型 不等式的解和解集 不等式解和解集的区分 根据不等式的解集求参数字母的取值范围 在数轴上表示不等式的解集 解一元一次不等式 解一元一次不等式 求不等式的整数解 一元一次不等式的应用 根据关键词列不等式 用一元一次不等式解决实际问题（方案选择、比赛积分、购物优惠） 知识点讲解 1.不等式的解和解集 （1）概念 ①能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； ②一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； ③求不等式解集的过程，叫作解不等式； （2）解和解集的区别与联系 区别：解是________（填“个体”或“全体”）数值，解集属于________，是所有解的集合； 联系：不等式的解一定在它的________中，解集包含不等式的________。 （3） 不等式的解集在数轴上的表示方法 ①用实心点，如： x ②用空心点，如：x 2.解一元一次不等式 （1）概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的不等式叫作一元一次不等式。 （2）解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； （3）三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项；② 移项要注意变号； 2 系数化为1要注意同乘除一个负数时要变号； 3.一元一次不等式的应用 （1）注意关键词语“不少于”、“最多”、“至少”… （2）常见题型（方案选择、比赛积分、购物优惠…） （3）解题步骤 步骤1：分析实际问题，设未知数——教材明确表述：分析实际问题，设未知数，用不等式表示相应的不等关系； 步骤2：列一元一次不等式——根据关键词（至少、最多等），用含未知数的代数式表示相关量，列出符合教材规范的不等式； 步骤3：解不等式——教材步骤：解不等式，按“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”求解； 步骤4：确定整数解——教材明确要求：结合实际情形，检验并确定最终结论（如x为正整数）。 例题讲解 【题型1】不等式解和解集的区分 【例1】（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 【变式1】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及一元一次不等式解的定义，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．先求出不等式的解集，然后在，，，，这五个数中找出符合条件的解，即可得解． 【详解】解：∵， 解得， 在，，，，这五个数中， 是不等式解的有，，，共个． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 【题型2】根据不等式解集的情况求参数字母的取值范围 【例2】（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，当不等式的两边同时乘或者除以一个负数时，不等号方向要改变，根据此性质即可得到答案； 【详解】解：由题意可知：当两边同时除以时，不等式方向发生了改变，所以； 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·江苏徐州·月考）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 【题型3】在数轴上表示不等式的解集 【例3】（25-26七年级下·上海宝山·期中）如图，数轴上所表示的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键；根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出结论． 【详解】解：∵1处是实心圆点且折线向右， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 根据数轴表示的不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示， 该不等式组的解集为， 故答案为： 【题型4】解一元一次不等式 【例4】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 即不等式的解集为． 将不等式的解集在数轴上表示为： 【变式2】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化成1，进行计算，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集表示在数轴上如下： 【题型5】不等式的整数解 【例5】（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 【答案】， 【分析】本题考查求不等式的整数解，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∴， ∴不等式的负整数解为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】，负整数解为：，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是掌握不等式的解法． 根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ∴原不等式负整数解为：，． 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最大整数解是2． 故答案为：2． 【题型6】根据关键词列不等式 【例6】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打 折出售． 【答案】8/八 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设打折出售，根据单件利润不低于24元，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设打折出售，由题意，得：， 解得：， 答：最低可打8折出售． 故答案为：8． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（   ） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，本题可设小刚买圆珠笔支，再分别乘以它们的单价，令两者的和小于等于，化简即可得出x的取值，取最大整数即可得出答案． 【详解】解：设小刚买圆珠笔支， ， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大为， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； (2)至少购进5台A型智能机器人． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， 解得，， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． 【题型7】一元一次不等式的实际应用 【例7】（24-25七年级下·上海闵行·月考）为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费． 若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示） (2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确列出代数式，找出数量关系列出一元一次不等式． （1）根据甲、乙的促销方案进行解答即可； （2）分两种：当时和当时，分别列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：在甲商场购买的优惠价（元）， 在乙商场购买的优惠价（元）， 故答案为：；； （2）解：当时， 由题意可得：， 解得：； 当时， 由题意可得：， 解得：， ∴时，顾客在甲商场购物花费少， 综上所述，顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围为． 【变式1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）振兴乡村，打造特色农产品，沙坪坝区中梁镇政府组织销售“诗意田园，中梁好物”特色农产品A，B两种礼盒，端午节前预售A礼盒400盒和B礼盒100盒，且预售中B礼盒的售价是A礼盒售价的2倍． (1)若预售总额不少于21000元，则每盒A礼盒的预售价最少是多少元？ (2)沙坪坝区中梁镇政府在端午节三天假期间计划推出A礼盒3200盒，B礼盒800盒．由于预售的火爆，决定将A礼盒的价格在（1）中最低价格的基础上增加，而B礼盒在（1）中的售价上增加了a元，结果A礼盒的销售量比计划少，B礼盒的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相等，求a的值． 【答案】(1)35元 (2)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用， （1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式即可解决； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程即可解决． 【详解】（1）解：设A礼盒每盒的预售价为元，则礼盒每盒的预售价为元． ， ， ∴A礼盒每盒的预售价最少为35元． （2）解：． 解得：． 答：的值为20． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）一件商品的成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得的利润，如果设该商品原价为y元，那么可列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，利用利润与进件以及打折与原价的关系得出不等关系即可． 【详解】解：设该商品原价为y元，那么可列式为： ，即． 故选：A． 【变式3】（23-24七年级下·安徽亳州·期中）某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据答对题的得分；答错题的得分，根据得分不低于80分，列出一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意可列出的不等式为， 故选：D． 过关检测 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，空心不包含等于，实心包含是等于”是解答此题的关键． 先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 移项得， 故此不等式的解集为． 在数轴上表示为： ． 故选：D． 2．当代数式的值小于代数式的值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 根据题意，代数式的值小于代数式的值，列出不等式并求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A 3．要使式子的值不小于式子的值，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．先根据题意列出不等式，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， 解得， 故选：C． 4．若不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 【分析】本题考查了不等式的解集情况求参数．根据不等式的解集方向与原不等式相反，得到，即可求解． 【详解】解：不等式为的解集为， 解集方向与原不等式相反， ， ， 故选：B． 5．解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集为 在数轴上表示不等式的解集，应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈即可. 【详解】解： ， 则解集在数轴上表示如下： 故选C 6．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．先按照去分母去括号移项系数化为1的步骤解不等式，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 解得，． 把不等式的解集表示在数轴上如下： 故选：B 二、填空题 7．在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为 ． 解析： x 8．已知是关于x的一元一次不等式，那么 ，不等式的解集是 ． 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知，求得值，然后代入不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 将代入得：， 解得， 故答案为：，． 9．如果，则的取值范围 ． 【分析】本题考查了绝对值的性质，解一元一次不等式，由绝对值的非负性可得，解不等式即可求解，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的求解．求出方程的解，令方程的解大于零，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由题可知，解得， 故答案为：． 11．不等式的解集为，则 ． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键．先解不等式得到，再利用不等式的解集为，得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 故答案为：． 12．不等式的解集是 ． 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤 是解题的关键． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 故答案为：． 13．当a 时，不等式的解集是． 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 解需不等式两边同除以，由题目所给解集可知不等号方向改变，因此，计算可得答案． 【详解】解：解，需不等式两边同除以， ∵解集为，不等号方向改变， ∴， 解得． 故答案为：． 14．某同学在解不等式的过程中，步骤如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④系数化为1，得． 其中错误的步骤是 ． 在此步骤之前，还可以增加一步是 ． 【分析】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．根据不等式的性质可判断④有错误，依此即可求解，再通过合并同类项，即可增加一步． 【详解】解：解不等式的过程中，步骤如下： ①去分母，得；②去括号，得； ③移项，得；④系数化为1，得． 故其中错误的步骤是④， 在此步骤之前，还可以增加一步是：合并同类项，得， 故答案为：④，合并同类项，得． 15．某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少应答对的题数为_______ 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是假设未知数，找出不等关系，列出不等式求解． 设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意，总得分不低于70分，列出不等式并求解，确定的最小整数值． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得， 总得分为：， 解不等式得， 即 因为整数，故最小为13， 因此至少需答对13道题， 16．某校七年级406名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车．如果44座的客车租用了3辆，那么40座的客车至少需租用_______辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．设需租用40座的客车辆，根据总人数需求建立不等式，解出的最小整数值即可． 【详解】解：设需租用40座的客车x辆，由题意得： 　， 解得：． ∵x为整数， ∴x最小为7． 17．小明计划在7天内阅读完一本68页的图书．如果第1天只阅读了5页，为了按时或提前完成，那么他在以后几天里平均每天至少要阅读多少页？设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为_______ 【分析】设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为解答即可． 本题考查了不等式的应用，正确选择不等号建立不等式是解题的关键． 【详解】解：设以后几天里平均每天要阅读页， 根据题意列不等式为， 18．在一次知识竞赛中，共有20道题，每一题答对得20分，不答得0分，答错扣10分，冰冰有一道题没答，竞赛成绩超过100分．设他答对了道题，则根据题意可列出不等式为_______ 【分析】总共有20道题，冰冰有1题未答，因此答了19题；设答对x题，则答错题，根据得分规则：答对得20分，答错扣10分，总成绩超过100分，列出不等式即可． 本题考查了不等式的应用，正确理解超过是大于的意义是解题的关键． 【详解】解：总共有20道题，冰冰有1题未答，因此答了19题；设答对x题，则答错题，实际得分， 根据题意，成绩超过100分，因此不等式为： 三、解答题 19．解不等式： 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法．按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】解：， 去括号得， 移项合并得， 解得． 20．解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 21．解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】由， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把解集在数轴上表示出来为： 则这个不等式的最小整数解为． 22．已知不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求此时的值． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次方程的求解，熟练掌握解一元一次不等式和一元一次方程的方法是解题的关键．先求解不等式，得出其解集，确定最小整数解，再将该最小整数解代入方程，求出a的值，最后代入式子计算． 【详解】解：由得 ， ， 解得， ∴它的最小整数解为． 将代入得 ， 解得， ． 23.古人曰：“读万卷书，行万里路”．经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某校团委组织135名学生去农博园研学，决定租用A、B两种型号的旅游车．已知一辆A型车可坐20人，一辆B型车可坐28人，经测算学校需要租用这两种型号的旅游车共6辆．学校至少要租用B型车多少辆？ 【分析】此题考查一元一次不等式的应用，设学校租用x辆B型车，则租用辆型车，根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】解：设学校租用x辆B型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴的最小正整数值为2． 答：学校至少要租用B型车2辆． 24．某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小明答对道题，则小明答错题，根据总得分不低于70分建立不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对道题， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴x的最小值为15， 答：小明至少要答对15道题． 25．如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设可以买x盒爆米花，利用总价=单价数量，结合总价不超过1600元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设可以买x盒爆米花，根据题意得： ， 解得，， 所以，最多可买４盒爆米花． 26．某商品的零售价是每件50元，进价是每件35元．经核算，每天商店的各种费用（包括房租、售货员工资等）是120元，还需把商品售出价的上缴税款，问商店每天需要出售多少件这样的商品，才能保证商店每天获纯利润在100元以上（不包括100元）？ 【分析】此题考查一元一次不等式的实际应用，根据题意列得不等式是解题的关键，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设商店每天需要出售件这样的商品，依题意有： 解得：， 所以商店每天需要出售23件这样的商品，才能保证每天获纯利润在100元以上（不包括100元）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 0242 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $