精品解析：广东省惠州市2025-2026学年上学期八年级第二次学情诊断 数学试题

2025-2026学年度第一学期八年级第二次学情诊断 数学试题 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（） A. B. C D. 3. 等腰三角形有两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 无法判断 4. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点分别在边上，若，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 计算等于（ ） A. B. 1 C. D. 4 9. 如图，中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，AP交BC于点D，过D作于点．若，那么的面积是（ ） A 10 B. 16 C. 24 D. 32 10. 如图，中，，的角平分线．交于点，延长．，，，则下列结论中正确的个数是（ ） ①平分；②；③；④； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共5题，共15分） 11. 比较大小：_______（填＝、＞或＜）． 12. 点关于轴对称的点的坐标是______． 13. 一个三角形的三个内角的度数的比是1∶2∶3，这个三角形是_________________三角形．（填锐角、直角或钝角） 14. 如图，，，将纸片的一角折叠，使点落在内部，若∠1=45°，则=____． 15. 如图，以长方形 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为，面积之和为，则长方形 的面积为_______． 三、解答题（每题7分，共3题，共21分） 16. 计算： 17. 计算： 18. 先化简，再求值 ，其中，． 四、解答题二（每题9分，共3题，共27分） 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段垂直平分线，交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求的度数． 20. 如图，点E在的外部，点D边上，交于点F，若，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 21. 如图，是高线，E为边上的一点，连接交于点F，． （1）求度数； （2）若平分，求的度数． 五、解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的两个正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则： （1）由图3可以解释的等式是_________________； （2）用5张长为b、宽为a的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为的长设为x． ①请用含x的代数式表示：； ②若无论x取任何实数时，①的结果始终保持不变，请直接写出a与b满足的数量关系． 23. （1）【情境建模】人教版教材八年级上册第78页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明； 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： （2）【理解内化】如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交于点E、F，；求证：； （3）【拓展应用】如图3，在中，，，，垂足为E，与相交于点F；试探究线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期八年级第二次学情诊断 数学试题 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂相除法则、积的乘方法则、单项式乘以单项式法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 等腰三角形有两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况：当等腰三角形腰长为3，底边长为7时；当等腰三角形腰长为7，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答． 详解】解：分两种情况： 当等腰三角形腰长为3，底边长为7时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形腰长为7，底边长为3时， 等腰三角形的周长； 综上所述：该等腰三角形的周长是17， 故选：B． 4. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论． 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点Q，则，由两点之间线段最短可知，此时管道长度最短． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 5. 如图，，点分别在边上，若，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由可得即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先求解 可得 从而可得答案. 【详解】解： 是等边三角形， ， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键. 7. 如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：D． 8. 计算等于（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 9. 如图，中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，AP交BC于点D，过D作于点．若，那么的面积是（ ） A. 10 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、角平分线的性质，过点作于点，由作图过程可知，射线为的平分线，可得．再根据的面积为可得答案．熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图过程可知，射线为的平分线， ， ． 的面积为． 故选：B． 10. 如图，中，，的角平分线．交于点，延长．，，，则下列结论中正确的个数是（ ） ①平分；②；③；④； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选D． 二、填空题（每题3分，共5题，共15分） 11. 比较大小：_______（填＝、＞或＜）． 【答案】 【解析】 【分析】把两个数转化为相同的指数，再比较底数的大小即可． 【详解】解：， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，有理数的大小比较，解题的关键是把两个数的指数转为相等． 12. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点关于坐标轴对称，根据点关于x对称的特征，横坐标不变，纵坐标变成相反数，即可得到答案； 【详解】解：∵点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数； ∴点关于轴对称的点的坐标是． 13. 一个三角形的三个内角的度数的比是1∶2∶3，这个三角形是_________________三角形．（填锐角、直角或钝角） 【答案】直角 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数，即可得出答案． 【详解】180°÷(1+2+3)×3 =180°÷6×3 =30°×3 =90°， 答：这个三角形中最大的角是直角． 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出这个三角形的最大内角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°． 14. 如图，，，将纸片的一角折叠，使点落在内部，若∠1=45°，则=____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数．进而在△CDE中，得出∠CDE与∠CED的和，由平角的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵，， ∴∠C=40°， ∴在△CDE中，则∠CDE+∠CED=140°， 由折叠，可知： ∵∠1+2∠CED=180°，∠2+2∠CDE=180°， ∴∠1+∠2=360°-2（∠CDE+∠CED）=80°， ∵∠1=45°， ∴=35°. 故答案为35°. 【点睛】本题考查三角形内角和定理及平角的性质，折叠的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和是180°． 15. 如图，以长方形 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为，面积之和为，则长方形 的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解题的关键．设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为，根据完全平方公式得出，求解即可． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③②得， 所以， 即长方形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（每题7分，共3题，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握绝对值、有理数的乘方、零指数幂的运算法则是解题关键． 根据各运算的基本规则，按照“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序计算． 【详解】解：原式 ． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算及合并同类项，正确运用完全平方公式和平方差公式是解题关键． 先运用完全平方公式、平方差公式去括号，再合并同类项，化简整式． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键，根据整式的混合运算将式子化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 四、解答题二（每题9分，共3题，共27分） 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确的作出垂直平分线． （1）依据线段垂直平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理求出，由线段垂直平分线的性质可知，由等边对等角得到，然后求出的度数即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，点E在的外部，点D边上，交于点F，若，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）是等边三角形．理由见解析. 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）由结合可得，即可证得，由此即可得到； （2）由可得，由可得，，进而可得，由此即可得到，这样结合即可得到是等边三角形. 【小问1详解】 证明：∵，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 21. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段： （1）由三角形外角定义及性质可得再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 再由三角形内角和定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∴． 五、解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的两个正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则： （1）由图3可以解释的等式是_________________； （2）用5张长为b、宽为a的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为的长设为x． ①请用含x的代数式表示：； ②若无论x取任何实数时，①的结果始终保持不变，请直接写出a与b满足的数量关系． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查图形变换与代数表示图形的面积，整式的加减与乘法运算，理清题目中图形变换规律，列代数式，整式的乘法运算是解题的关键． （1）根据图示，大长方形的面积为两个小正方形（边长为a），一个大正方形（边长为b），三个长方形（长为b、宽为a）的面积和，由此即可求解； （2）①根据图示可知，，，由此即可求解；②无论x取任何实数时，①的结果始终保持不变，则有，由此即可求解． 【小问1详解】 解：大长方形的面积为：，两个小正方形（边长为a），一个大正方形（边长为b），三个长方形（长为b、宽为a）的面积和为：， ∵面积相等， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 ①根据题意得，的长设为x， ∴，， ∴，∴； ②无论x取任何实数时，①的结果始终保持不变， ∴中含x项的系数为零， ∴，即， ∴． 23. （1）【情境建模】人教版教材八年级上册第78页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明； 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： （2）【理解内化】如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交于点E、F，；求证：； （3）【拓展应用】如图3，在中，，，，垂足为E，与相交于点F；试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的有关计算等知识点，运用三线合一的性质和作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据角平分线和垂直的性质，证明即可证明结论； （2）由“情境建模”的结论得可得、，进而得到，，再利用三角形外角的性质得到，从而推出，进而证明结论； （3）如图：作于点H，交的延长线于G，分别证明，再根据全等三角形的性质、线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵在△ABC中，AD角平分线，AE⊥BF， 由“情境建模”的结论得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． （3）解：，理由如下： 作于点H，交的延长线于G， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 和中， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $