精品解析：山西省晋城市泽州县部分学校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷

山西省2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 一元二次方程x2－3x＝0解为（ ） A. x＝0 B. x＝3 C. x1＝x2＝－3 D. x1＝0 ，x2＝3. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用因式分解法解方程即可． 详解： x=0或x-3=0 所以 故选D. 点睛：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 2. 若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据a和b之间的关系式用a来表示b，再代入所求代数式中计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握该知识点是解题关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 5. 如图，，若，则的长为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，结合，则的长为12，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的长为12， 故选：B． 6. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，二次根式的化简，解题的关键是掌握同类二次根式． 判断二次根式能否与合并，需化简各二次根式，看是否含有因数． 【详解】解：A. ，不能与合并，不符合题意； B. ，不能与合并，不符合题意； C. ，能与合并，符合题意； D. ，不能与合并，不符合题意； 故选：C． 7. 2024年9月30日国庆档电影《志愿军：存亡之战》上映，上映当日票房约亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房约亿元．设平均每天的票房增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每天的票房增长率为x，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设平均每天的票房增长率为x，依题意得： ， 故选：A． 8. 如图，与是位似图形，点是位似中心，；若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据位似图形的性质解题即可． 【详解】解：， ． 与是位似图形， ， ， ． 故选：D． 9. 如图，小区工人用长为的围栏，将一块荒地改造成矩形种植园，一面利用墙（墙的最大可用长度为），为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程并求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意知，， 解得：， 而， ， ， ， ， ∴，， ∵， ∴， 即． 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，连接，过点E作交边于点F，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，．再证明，由相似三角形的性质计算得出，再由面积公式计算即可得解． 【详解】解：四边形矩形， ∴，，． ． ， ． ． ． 又， ． ． 点E是中点， ． ， 解得． ． 的面积为， 故选：C． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得2x－4≥0， 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系：当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根；根据题意得关于k的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数．若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 根据日历的特点列出方程即可． 【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为16， 这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：． 故答案为：． 14. 如图，中，点，分别是边，的中点，的角平分线交于点，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线，平行线的性质可得，由即可求解． 本题主要考查三角形的中位线，平行线，角平分线的性质，掌握中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且，延长交于点G．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，先由平行四边形得出，，然后在中，，代入数值得，再过点G作于点H，得出是等腰直角三角形，然后证明，则，代数计算得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． ． ． ， ． 设，则． 在中，， 即， 解得． ． 如图，过点G作于点H， 则， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ， ． ． 又． ． ． 设， 则． ． 解得． ． 在中，． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． （1）根据二次根式的加减乘除法则运算； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解方程即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：， 变形得， 方程左边分解因式，得， ∴或， 得，． 18. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到，点的坐标是______． （2）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是_______． 【答案】（1）画图见解析，点坐标为 （2）画图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画图即可；根据点的位置写出坐标即可； （2）根据位似的性质画图即可，根据点的位置写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，是所求作三角形；由图可知； 故答案为： 【小问2详解】 解：如图所示，是所求作三角形； 由图可知； 故答案为：； 【点睛】本题考查了几何变换画图，解题关键是掌握几何变换的特点，明确坐标变换规律． 19. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． （1）求该座钟摆针的摆动周期． （2）若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 【答案】（1）该座钟摆针的摆动周期为 （2）在内，该座钟发出70次滴答声 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、有理数除法运算的应用、二次根式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接将，，代入，再根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先根据题意列式，然后运用有理数的除法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：将，，代入，得 答：该座钟摆针的摆动周期为． 【小问2详解】 解：，（次）． 答：在内，该座钟发出70次滴答声． 20. 国庆期间，山西作为全国古建筑遗存最多的省份迎来了巨大的客流量，古建游火爆出圈．某文创商店销售一款冰箱贴，每枚的进价为20元，售价为28元，平均每天可售出100枚．为了扩大销量，该店计划降价销售，根据经验，售价每降低1元，平均每天可多售出4枚．当每枚冰箱贴的售价定为多少时，每天的销售利润为560元？ 【答案】当每枚冰箱贴的售价定为25元时，每天的销售利润为560元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每枚冰箱贴的售价降低x元，则每天可售出枚，根据“每天的销售利润为560元”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设每枚冰箱贴的售价降低x元，则每天可售出枚． 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． （元）． 答：当每枚冰箱贴的售价定为25元时，每天的销售利润为560元． 21. 阅读与思考 在《相似三角形》一章中，我们学习了三角形的中位线定理．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 下面是小明对这个定理的证明过程． 已知：如图1，在梯形中，，点，分别是，的中点． 求证：，． 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点． ， ，． …… （1）请根据小明的思路补全证明过程； （2）如图2，正方形的边长为4，点，分别是边，上的点，且，连接，，点，分别是，的中点，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线、全等三角形的性质和判定、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接并延长，交的延长线于点，证明≌，结合是的中位线进行计算； （2）连接并延长交于点，连接，证明≌，得到，结合三角形中位线定理和勾股定理进行解题． 【小问1详解】 解： 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点， ， ，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，； ∴， ∴， 综上所述，，； 【小问2详解】 解： 连接并延长交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴≌， ∴，， 又∵点为的中点， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 22. 综合与实践 【学科融合】 如图1，在光的反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】 小颖很想知道学校教学楼前雕像的高度（含底座），于是，她带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图2，小颖在处放置一平面镜，她从点沿方向后退1米到处时，恰好在镜子中看到雕像顶端的像，此时测得小颖的眼睛到地面的距离为米；然后，小颖继续沿方向后退到点处，用测倾器测得雕像顶端的仰角，此时测得米，测倾器的高度米．已知点，，，在同一水平直线上，且，，均垂直于． （1）求证：． （2）求雕像的高度． 【答案】（1）见解析 （2）雕像的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点作，根据题意可知，证得，结合，即可求证． （2）先证为等腰直角三角形，再结合图形得到，设，用含有x的式子将表示出来，根据（1）中的相似三角形对应边成比例，列方程，求出x的值，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，过点作，则， 由题意，得， ，即， ，， ， ． 【小问2详解】 解：由题意，可得四边形，都为矩形， 米，，， ， 又， ， ， ， ， 设米，则米，米， ， ，即，解得， （米）． 答：雕像的高度为米． 23. 综合与探究 如图，在中，，，，点是边上一点，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）的长为__________cm． （2）如图1，当为何值时，？ （3）如图2，连接，，当为何值时，？ 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）由推出，进而解题； （3）过点作于点，证明∽，进而解题． 【小问1详解】 解：由勾股定理知，； 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由题意知，， ， ， ，即，解得， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，则， 由题意，得，则， 根据（2）可知， ，， ， ． ， ． ， 又， ∽， ，即，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 一元二次方程x2－3x＝0的解为（ ） A. x＝0 B. x＝3 C. x1＝x2＝－3 D. x1＝0 ，x2＝3. 2. 若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，则的长为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 6. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 7. 2024年9月30日国庆档电影《志愿军：存亡之战》上映，上映当日票房约亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房约亿元．设平均每天的票房增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与是位似图形，点是位似中心，；若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小区工人用长为的围栏，将一块荒地改造成矩形种植园，一面利用墙（墙的最大可用长度为），为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为（ ） A. 或 B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点E为中点，连接，过点E作交边于点F，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______． 13. 如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数．若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为，则可列方程为__________． 14. 如图，中，点，分别是边，的中点，的角平分线交于点，，，则的长为__________． 15. 如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且，延长交于点G．若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是______． （2）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是_______． 19. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． （1）求该座钟摆针的摆动周期． （2）若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 20. 国庆期间，山西作为全国古建筑遗存最多的省份迎来了巨大的客流量，古建游火爆出圈．某文创商店销售一款冰箱贴，每枚的进价为20元，售价为28元，平均每天可售出100枚．为了扩大销量，该店计划降价销售，根据经验，售价每降低1元，平均每天可多售出4枚．当每枚冰箱贴的售价定为多少时，每天的销售利润为560元？ 21. 阅读与思考 在《相似三角形》一章中，我们学习了三角形中位线定理．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 下面是小明对这个定理的证明过程． 已知：如图1，在梯形中，，点，分别是，中点． 求证：，． 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点． ， ，． …… （1）请根据小明思路补全证明过程； （2）如图2，正方形的边长为4，点，分别是边，上的点，且，连接，，点，分别是，的中点，请直接写出的长． 22. 综合与实践 【学科融合】 如图1，在光的反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】 小颖很想知道学校教学楼前雕像的高度（含底座），于是，她带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图2，小颖在处放置一平面镜，她从点沿方向后退1米到处时，恰好在镜子中看到雕像顶端的像，此时测得小颖的眼睛到地面的距离为米；然后，小颖继续沿方向后退到点处，用测倾器测得雕像顶端的仰角，此时测得米，测倾器的高度米．已知点，，，在同一水平直线上，且，，均垂直于． （1）求证：． （2）求雕像的高度． 23. 综合与探究 如图，在中，，，，点是边上一点，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）的长为__________cm． （2）如图1，当为何值时，？ （3）如图2，连接，，当何值时，？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $