精品解析:四川省德阳市中江县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题
2025-12-22
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2份
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资源信息
| 学段 | 初中 |
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | - |
| 年级 | 九年级 |
| 章节 | - |
| 类型 | 试卷 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-期中 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区(省份) | 四川省 |
| 地区(市) | 德阳市 |
| 地区(区县) | 中江县 |
| 文件格式 | ZIP |
| 文件大小 | 1.58 MB |
| 发布时间 | 2025-12-22 |
| 更新时间 | 2026-06-18 |
| 作者 | 匿名 |
| 品牌系列 | - |
| 审核时间 | 2025-12-22 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/55571687.html |
| 价格 | 5.00储值(1储值=1元) |
| 来源 | 学科网 |
|---|
内容正文:
2025年秋教学质量监测(二)九年级数学试卷
说明:
1.本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷.第I卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题,全卷共4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效,考试结束后,将答题卡交回.
2.本试卷满分150分,监测时间为120分钟.
第I卷选择题(36分)
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)
1. 已知x=1是一元二次方程x2﹣2mx+1=0的一个解,则m的值是( )
A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或﹣1
2. 抛物线 与x轴的交点是和,这条抛物线的对称轴是( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
3. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正方形 D. 正五边形
4. 方程4x2﹣3x+1=0的根的情况是( )
A. 有两个都是负的实数根 B. 有两个都是正的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
5. 已知点和关于原点对称,则的值为( )
A. 1 B. 0 C. D.
6. 下面图形中,中心对称图形的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图,与关于点成中心对称,若点A的坐标为,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中,若点关于原点对称的点的坐标是,则坐标关于x轴对称的坐标为( )
A. B. C. D.
9. 围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有4000多年的历史.2017年5月,世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战,截取首局对战棋谱中的四个部分,由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
10. 如图,点为矩形的对称中心,动点从点出发沿向点移动,移动到点停止,延长交于点,则四边形 形状的变化依次为( )
A. 平行四边形一矩形一平行四边形一矩形 B. 平行四边形一矩形一菱形一矩形
C. 平行四边形一菱形一平行四边形一矩形 D. 平行四边形一菱形一平行四边形
11. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别是、,且,则的值是( )
A. 1 B. 12 C. 13 D. 25
12. 将 按如图方式放置在平面直角坐标系中,其中,,顶点A的坐标为,将 绕原点逆时针旋转,每次旋转,则第2025次旋转结束时,点A对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题(114分)
二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分)
13. 点关于坐标原点对称的点坐标为,则的值为_____.
14. 若二次函数的图像开口向下且经过原点,则函数的对称轴为_____.
15. 点O是矩形的对称中心,连接、,若,则 的度数是______°.
16. 已知、是方程 的两个根,则_________.
17. 如图,与关于点C成中心对称,则的长是____
18. 如图,正方形和正方形的对称中心都是点O,其边长分别是3和2,则图中阴影部分的面积是_______.
三、解答题(共计90分)
19. 用适当的方法解下列方程
(1);
(2)
20. 如图,在直角坐标系内,已知点 .
(1)图中点B的坐标是 ;
(2)点B关于原点对称的点D的坐标是 ;点A关于y轴对称的点C的坐标是 ;
(3)四边形ABCD的面积是 ;
(4)在y轴上找一点F,使,那么点F的坐标为 .
21. 如图, 绕点O旋转 得到 ,点A的对应点为点C.分别延长, 至点E,F且,连接,,, .
(1)求证:四边形 是平行四边形.
(2)若 , ,,求四边形 的周长.
22. 某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元,试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件,销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;
(3)如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元,请你计算最大利润.
23. 如图,一小球M从斜坡上的O点处抛出,球的抛出路线是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,斜坡可以用一次函数刻画,若小球到达的最高的点坐标为,解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)在斜坡上的B点处有一棵树,树与y轴平行,B点的横坐标为2,树高为4,小球M能否飞过这棵树?
24. 如图,在中,点E在边上, ,将线段绕A点旋转到的位置,使得,连接,与交于点G.
(1)求证: ;
(2)若,求 的度数.
25. 如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(3,0),B(﹣1,0),抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=kx+b1经过点A和点C.
(1)求抛物线和直线AC的解析式;
(2)连接CD,请问:非第一象限内的抛物线上是否存在一点P,使△ACP的面积是△ACD面积的2倍?若有,请求出点P的坐标;若没有,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使线段QA绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1,且A1恰好落在抛物线上?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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2025年秋教学质量监测(二)九年级数学试卷
说明:
1.本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷.第I卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题,全卷共4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效,考试结束后,将答题卡交回.
2.本试卷满分150分,监测时间为120分钟.
第I卷选择题(36分)
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)
1. 已知x=1是一元二次方程x2﹣2mx+1=0的一个解,则m的值是( )
A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解.把x=1代入方程式即可求解.
【详解】解:把x=1代入方程x2-2mx+1=0,可得1-2m+1=0,得m=1,
故选:A.
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.
2. 抛物线 与x轴的交点是和,这条抛物线的对称轴是( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的对称性,根据抛物线的对称性,可得二次函数与x轴的交点是关于抛物线的对称轴对称的,利用两个交点的坐标,求出中点,即可求出对称轴,掌握抛物线的对称性是解题的关键.
【详解】∵抛物线与x轴的公共点是和,
∴抛物线的对称轴为直线,
即为直线.
故选:A.
3. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正方形 D. 正五边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.根据轴对称图形与中心对称图形的概念,对各选项分析判断即可得解.
【详解】解:A、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
B、等腰直角三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
C、正方形是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项正确;
D、正五边形是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项错误.
故选:C.
4. 方程4x2﹣3x+1=0的根的情况是( )
A. 有两个都是负的实数根 B. 有两个都是正的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据根的判别式即可求出答案.
【详解】解:由题意可知:,
∴原方程没有实数根
故选:D.
【点睛】本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用根的判别式,本题属于基础题型.
5. 已知点和关于原点对称,则的值为( )
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特点,利用关于原点对称的点坐标关系,即对应坐标互为相反数,列方程求a和b,再计算的值即可.
【详解】解:∵点和关于原点对称,
∴ 且,
解得:,,
∴.
故选:C.
6. 下面图形中,中心对称图形的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念,熟练掌握概念是解题的关键.根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解.
【详解】解:第一个是中心对称图形,符合题意;
第二个是是中心对称图形,符合题意;
第三个是是中心对称图形,符合题意;
第四个不是中心对称图形,不符合题意;
所以符合题意的有3个.
故选:C.
7. 如图,与关于点成中心对称,若点A的坐标为,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称的性质.根据中心对称的性质,为,的中点,即可求解.
【详解】解: 与关于点成中心对称,点A的坐标为,
设,
依题意,,
解得:,
点的坐标为,
故选:C.
8. 在平面直角坐标系中,若点关于原点对称的点的坐标是,则坐标关于x轴对称的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
根据关于原点对称的点的坐标特征求出a和b的值,得到点A的坐标,再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解.
【详解】解:∵点关于原点对称的点的坐标是,
∴,
解得,
∴点A的坐标为,
点A关于x轴对称的点的坐标:横坐标不变,纵坐标互为相反数,
∴对称点的坐标为.
故选:A.
9. 围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有4000多年的历史.2017年5月,世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战,截取首局对战棋谱中的四个部分,由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了了中心对称图形的识别,熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键.根据中心对称图形的定义逐项识别即可,在平面内,把一个图形绕着某个点旋 转,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.
【详解】解:A、它是中心对称图形,符合题意;
B、它不是中心对称图形,故不符合题意;
C、它不是中心对称图形,故不符合题意;
D、它不是中心对称图形,故不符合题意;
故选: A.
10. 如图,点为矩形的对称中心,动点从点出发沿向点移动,移动到点停止,延长交于点,则四边形 形状的变化依次为( )
A. 平行四边形一矩形一平行四边形一矩形 B. 平行四边形一矩形一菱形一矩形
C. 平行四边形一菱形一平行四边形一矩形 D. 平行四边形一菱形一平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称中心的定义,根据矩形的性质,可得四边形 形状的变化情况:这个四边形先是平行四边形,当对角线互相垂直时是菱形,然后又是平行四边形,最后点A与点重合时是矩形.
【详解】解:观察图形可知,四边形 形状的变化依次为平行四边形 菱形 平行四边形 矩形.
故选C.
【点睛】本题考查了中心对称,矩形的性质,平行四边形的判定与性质,菱形的判定,根据与的位置关系即可求解.
11. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别是、,且,则的值是( )
A. 1 B. 12 C. 13 D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】由根与系数的关系及根的判别式若,是一元二次方程的两根时,则,根据一元二次方程根与系数的关系,,根据,即,可求出m的值,再结合一元二次方程根的判别式,得出m的值,再将求出即可.
【详解】解:一元二次方程的两个实数根分别是,,
,,
,
,
,
整理得,
解得或 ,
,
当时,,
当 时,,
,
一元二次方程可化为 ,
.
故选.
【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形,一元二次方程根与系数的关系,根的判别式,掌握以上知识是解题的关键.
12. 将 按如图方式放置在平面直角坐标系中,其中,,顶点A的坐标为,将 绕原点逆时针旋转,每次旋转,则第2025次旋转结束时,点A对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查图形的旋转规律,坐标与图形,关于原点对称的点的坐标中;根据得,由 绕原点逆时针旋转,每次旋转,每旋转6次回到原位,可知第 次旋转结束时,点A对应点与点关于点对称,进而可求解.
【详解】解:∵,
∴,
∵ 绕原点逆时针旋转,每次旋转,每旋转6次回到原位,
∴,
∴第2025次旋转结束时,点A的对应点与点关于点对称,
∴点A对应点的坐标为.
故选:D.
第Ⅱ卷 非选择题(114分)
二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分)
13. 点关于坐标原点对称的点坐标为,则的值为_____.
【答案】##0.125
【解析】
【分析】本题考查了坐标原点对称的点坐标特征.
根据关于坐标原点对称的点坐标特征,横纵坐标均互为相反数,求出和的值,再代入计算.
【详解】解:点关于坐标原点对称的点的横坐标为,纵坐标为 ,
即 ,,
则.
故答案为:.
14. 若二次函数的图像开口向下且经过原点,则函数的对称轴为_____.
【答案】直线
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质.
由图像开口向下可得,由图像经过原点代入点得 ,解得 ,结合得,再根据二次函数对称轴公式直线计算对称轴即可.
【详解】解:∵图像经过原点,
∴代入函数得 ,
解得 ,
∵图像开口向下,
∴,
∴,
函数为,
对称轴为直线,
故答案为:直线.
15. 点O是矩形的对称中心,连接、,若,则 的度数是______°.
【答案】70
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质,熟练掌握矩形的性质是解题的关键;由题意易得,则有,然后问题可求解.
【详解】解:如图,
∵点O是矩形的对称中心,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
故答案为70.
16. 已知、是方程 的两个根,则_________.
【答案】6
【解析】
【分析】此题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解.因为,是方程 的两根,利用根与系数的关系求出,再将代入方程 得,两个式子相加就能得到结果.
【详解】解:∵,是方程 的两根,
∴,
将代入方程 得,
∴,
∴,
故答案为:6.
17. 如图,与关于点C成中心对称,则的长是____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查中心对称,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题.
【详解】解:与关于点成中心对称,
,
,, ,
,
,
,
故答案为:.
18. 如图,正方形和正方形的对称中心都是点O,其边长分别是3和2,则图中阴影部分的面积是_______.
【答案】1.25
【解析】
【分析】本题考查了中心对称,连接,,根据中心对称的定义可知,阴影的面积等于正方形面积差的四分之一.
【详解】连接,,
正方形的边长分别为3和2,
面积分别为9和4,
正方形和正方形的对称中心都是点,
.
故答案为:1.25.
三、解答题(共计90分)
19. 用适当的方法解下列方程
(1);
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程;
(1)先进行配方得到,然后进行开方即可;
(2)先提取公因式即可得到,再解两个一元一次方程即可.
【小问1详解】
解:∵,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:∵,
∴,
∴.
20. 如图,在直角坐标系内,已知点 .
(1)图中点B的坐标是 ;
(2)点B关于原点对称的点D的坐标是 ;点A关于y轴对称的点C的坐标是 ;
(3)四边形ABCD的面积是 ;
(4)在y轴上找一点F,使,那么点F的坐标为 .
【答案】(1);
(2),;
(3)8; (4)或 .
【解析】
【分析】(1)根据坐标的意义即可得出B的坐标;
(2)根据两个点关于原点对称与y轴对称的关系分别得到点D与点C的坐标;
(3)根据,利用坐标即可求出;
(4)设,依据题意,即可求出y,最后得出点F的坐标.
【小问1详解】
解:过点B作x轴的垂线,垂足所对应的数为-3,因此点B的横坐标为-3,过点B作y轴的垂线,垂足所对应的数为4,因此点B的纵坐标为4,
点,
故答案为:;
【小问2详解】
如图:由于关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数,
∴点关于原点对称点,
由于关于y轴对称的两个点,其横坐标互为相反数,纵坐标不变,
∴ 关于y轴对称点,
故答案为:,;
【小问3详解】
由题意可知,如图:
故答案为:8;
【小问4详解】
如图:设,由(3)可知,
∵,
∴,
∴,
∴,
得y=1或-3,
∴点或 ,
故答案为:或 .
【点睛】此题考查了点的坐标,关于原点对称、y轴对称的点坐标的关系,绝对值以及利用坐标求相应图形的面积等相关内容,解题的关键是将坐标转化为线段的长.
21. 如图,绕点O旋转 得到 ,点A的对应点为点C.分别延长, 至点E,F且,连接,,, .
(1)求证:四边形 是平行四边形.
(2)若 , ,,求四边形 的周长.
【答案】(1)证明:∵绕点O旋转 得到 ,
∴,,
∵,
∴ ,
∴四边形 是平行四边形.
(2)
【解析】
【分析】(1)根据旋转的性质得出,,根据,得出 ,根据平行四边形的判定即可得出结论;
(2)作 于点H.根据等腰三角形的性质得出 ,根据平行四边形的性质得出, ,,求出 ,证明 为等腰直角三角形,得出 ,根据勾股定理得出,求出 ,根据勾股定理求出,最后求出结果即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:如图,作 于点H.
根据解析(1)可知: ,
∵,
∴,
∴·,
∵ ,
∴ ,
在 中,, ,,
∴ ,
∵ , ,
∴ 为等腰直角三角形,
∴ ,
∴根据勾股定理得:,
即,
解得: ,负值舍去,
则 ,
∴,
∴四边形 的周长为:
.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,解题的关键是作出辅助线,熟练掌握相关的判定和性质.
22. 某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元,试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件,销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;
(3)如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元,请你计算最大利润.
【答案】(1)w=-10x2+700x-10000;(2) 当单价为35元时,该文具每天的利润最大;(3)2000.
【解析】
【分析】(1)根据利润=(单价-进价)×销售量,列出函数关系式即可;
(2)根据(1)式列出的函数关系式,运用配方法求最大值;
(3)利用二次函数增减性直接求出最值即可.
【详解】(1)由题意得,销售量=250-10(x-25)=-10x+500,
则w=(x-20)(-10x+500)
=-10x2+700x-10000;
(2)w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250.
∵-10<0,
∴函数图象开口向下,w有最大值,
当x=35时,wmax=2250,
故当单价为35元时,该文具每天的利润最大;
(3)20<x≤30,对称轴左侧w随x的增大而增大,
故当x=30时,w有最大值,此时w=2000.
23. 如图,一小球M从斜坡上的O点处抛出,球的抛出路线是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,斜坡可以用一次函数刻画,若小球到达的最高的点坐标为,解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)在斜坡上的B点处有一棵树,树与y轴平行,B点的横坐标为2,树高为4,小球M能否飞过这棵树?
【答案】(1)
(2)小球M能飞过这棵树
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合及实际应用,求出抛物线的解析式是解题的关键
(1)根据顶点坐标设顶点式,将原点坐标代入,即可求解;
(2)计算出树的顶点的纵坐标,以及时抛物线上对应点的纵坐标,比较大小即可.
【小问1详解】
解:小球到达的最高的点坐标为,
设抛物线的解析式为,
抛物线经过原点O,
,
解得,
,
即抛物线的解析式为;
【小问2详解】
解: B点的横坐标为2,B点在斜坡上,
B点的纵坐标为,
树高为4,树与y轴平行,
树的顶点的纵坐标为:,
将代入,得:,
,
小球M能飞过这棵树.
24. 如图,在中,点E在边上, ,将线段绕A点旋转到的位置,使得,连接,与交于点G.
(1)求证: ;
(2)若,求 的度数.
【答案】(1)
证明:∵将线段绕点旋转到的位置,
∴ ,
∵,
∴,
即,
在和中,
,
∴,
∴ ;
(2)
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理以及三角形外角的性质,证明是解题的关键.
(1)由旋转的性质可得 ,利用证明,根据全等三角形的对应边相等即可得出 ;
(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出,那么.由,得出,再根据三角形外角的性质即可求出,进而即可求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵ ,,
∴,
∵是 的外角,
∴,
∴的度数为.
25. 如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(3,0),B(﹣1,0),抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=kx+b1经过点A和点C.
(1)求抛物线和直线AC的解析式;
(2)连接CD,请问:非第一象限内的抛物线上是否存在一点P,使△ACP的面积是△ACD面积的2倍?若有,请求出点P的坐标;若没有,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使线段QA绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1,且A1恰好落在抛物线上?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为 ;直线的解析式为
(2)或,理由见解析
(3)存在,点Q的坐标为和
【解析】
【分析】(1)将点,坐标代入抛物线解析式中,求出,得出抛物线的解析式,进而求出点的坐标,再将点,坐标代入直线的解析式中,即可得出结论;
(2)当点在下方时,利用抛物线的对称性得出,进而判断出的面积和的面积相等,即可得出结论;
(3)分点在轴上方和在轴下方,构造全等三角形即可得出结论.
【小问1详解】
解:把,代入 中,得
,解得,
抛物线的解析式为 ;
当时,,
点的坐标是 ,
把和代入中,得
,解得,
直线的解析式为;
【小问2详解】
当点在直线下方时,如图1,连接,
点是抛物线与轴的交点,
,
,
,
,此时,点与点重合,即,
过点作交抛物线于点,则直线的解析式为①,
抛物线的解析式为 ②,
联立①②解得,(是点的纵横坐标)或,
,
不在第一象限内,
点的坐标为或;
【小问3详解】
存在,理由如下:
如图2,①当点在轴上方时,设与对称轴交点为,
由(1)知,直线的解析式为,
当时,,
坐标为,
,
,
,
点为所求;
②当点在轴下方时,设点,
过点作于,
,
,
由旋转知,,,
,
,
,
,,
点的坐标为,
代入 中,
解得, 或(舍,
的坐标为,
点的坐标为和.
【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,三角形的面积的计算方法,全等三角形的判定和性质,构造全等三角形是解本题的关键.
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