精品解析：浙江省舟山市定海区第二中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

定海二中2024学年第一学期12月份质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可设，，代入原式，计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，， 将，代入中，得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，运用分式基本性质进行正确运算是解题的关键． 2. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】随机事件. 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断： 抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B. 3. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：C． 4. 在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求特殊三角形的外接圆直径． 根据勾股定理可得的斜边长，即为这个三角形的外接圆直径． 【详解】解：∵在中，两直角边分别为6和8， ∴斜边长为 ， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴这个三角形的外接圆直径是． 故选：C． 5. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9 【答案】A 【解析】 【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心． ∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 6. 如图，C、D是上直径两侧的点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．由直径所对圆周角为直角得，由三角形内角和定理得，由同弧所对圆周角相等得到． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，的长为， 故， 故选：B． 8. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可证∠C=∠B，又由AD=BD，可证∠B=∠DAB，即得∠DAP=∠C，可证△DAP∽△ACA，得到AD∶CD=DP∶AD，代值即可计算CD的长． 【详解】解：如图所示，连接AC， 由圆周角定理可知，∠C=∠B， ∵AD=BD， ∴∠B=∠DAB， ∴∠DAP=∠C， ∴△DAP∽△DCA， ∴AD∶CD=DP∶AD， 得 ， 把，代入得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 9. 如图，将以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转 得到，延长，交于点F，设，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要运用图形旋转的性质、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义来求解．先根据正切函数定义设，则，再利用旋转性质得到相关线段和角的关系，证明三角形为直角三角形后，通过正弦函数建立等式求解． 【详解】解：在中，， 设，则， 由旋转的性质得∶，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴ 故选∶D． 10. 已知点在二次函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时，若，则 B. 当时，若，则 C. 当时，若，则 D. 当时，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过设，将和表示为关于k的表达式，分析和的符号及它们的乘积的符号关系，结合a的符号判断选项的正确性即可． 【详解】解：∵点在上， ∴， ， 设，则有， ∴， ∵， ∴的符号取决于的符号， ∴当时，则有，所以； 当时，则有，所以； 当时，则有，所以； 当时，则有，所以； 当时，则有，所以； 对于选项C：当时，若， ∴且， ∴，即， 此时， 同理可验证其他选项均不正确； 故选C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握顶点坐标横坐标对应函数对称轴所在直线是解题的关键． 观察函数表达式，易知其对称轴为直线，将代入表达式，可求出函数值，即可得出顶点坐标． 【详解】解：对于二次函数 ， 其对称轴为直线， 本题中，，，代入公式， 得对称轴为直线，故顶点横坐标为0， 纵坐标为， 所以顶点坐标为 ． 故答案为： ． 12. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的四等份， ∴P（飞镖落在白色区域）= 故答案为：． 13. 已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的弧长为______________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握公式是关键． 根据弧长的公式计算即可． 【详解】解：根据弧长的公式， 得， 故答案为：． 14. 已知中，，，若为重心，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查重心的性质及勾股定理，熟练掌握重心的性质及勾股定理是解题的关键；连接并延长，交于点D，由题意易得点D是的中点，且，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点D， ∵为重心， ∴点D是的中点，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 15. 二次函数y＝x2﹣2mx+2m+3的顶点纵坐标为p，当m≥2时，p的最大值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，从而可得其顶点纵坐标的值，再利用二次函数的性质求最值即可得． 【详解】解：二次函数， 其顶点纵坐标， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 16. 如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，于点F，已知，过C、D、F的与边AD交于点G，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接FG、FC，由可得正方形边长，再由即可求得DG的值． 【详解】解：连接CF、GF，如图： 在正方形ABCD中，，，AD=CD ∵，， ∴， ∴，即 ∵， ∴EF=1，DF=4，DE=DF+DE=5， ∴， 在中，则勾股定理得， ， ∵，， ∴， ∵四边形GFCD是的内接四边形， ∴ ， ∵ ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的性质及应用，以及正方形的性质、相似三角形的性质及判定等知识，解题的关键是证明． 三、简答题（17-21每小题8分，22-23每小题10分，24题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值及分式的值，熟练掌握特殊三角函数值及分式的值是解题的关键； （1）根据特殊三角函数值可进行求解； （2）由题意易得，然后代入分式进行求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：由可得：， ∴． 18. 第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率． （1）第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是： （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，第一次取出的卡片图案为“琮琮”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果有：，，，，，共5种， 取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的概率为． 19. 如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点逆时针旋转角度，得到图2，其中，连接、． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：点、分别是、上的中点 、 由绕着点逆时针旋转角度得， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据点、分别是、上的中点可得、，进而得到，由旋转的性质可得，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”进行证明即可； 由相似三角形的性质可得，结合，利用勾股定理求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， 的长为． 20. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，． （1）求的度数． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，扇形面积，圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； （1）根据圆周角定理可知，根据所对的弧为半圆，即可求解； （2）根据阴影部分面积为扇形面积减去等边三角形的面积求解即可； 【小问1详解】 解：是半圆的直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 阴影部分的面积； 21. 台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为． （参考数据：，，，） （1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？ （2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，高度为10米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意得可得，由，得，继而求得； （2）过点作，可得，设为，则，由，得，继而可得，求得，即可得到值，即树的高度． 【小问1详解】 解：由题意得，， 所以， 因为，所以． 因此． ∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角． 【小问2详解】 解：能，计算如下， 过点作 ， 因为，所以， 设为，则， 又因为，所以， 因为，所以，解得， 所以， ∴大树顶端A距离地面的高度为10米． 22. 为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示． （1）根据图象信息，求y与x的函数关系式； （2）求五一期间销售草莓获得的最大利润． 【答案】（1）；（2）最大利润为3840元 【解析】 【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式； （2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润． 【详解】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0）， 则， 解得：， ∴当8≤x≤32时，y＝−3x＋216， 当32＜x≤40时，y＝120， ∴； （2）设利润为W，则： 当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072， ∵开口向下，对称轴为直线x＝40， ∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大， ∴x＝32时，W最大＝2880， 当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960， ∵W随x的增大而增大， ∴x＝40时，W最大＝3840， ∵3840＞2880， ∴最大利润为3840元． 【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值． 23. 已知二次函数（是常数，且）． （1）若拋物线经过，求二次函数解析式． （2）在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点的坐标． （3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或3 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、新定义，分类求解是解题的关键． （1）把代入解析式计算即可求解； （2）设点，则平移后点的坐标为：，将该点的坐标代入即可求解； （3）由抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍得到方程且，即可得到，再根据与的位置关系分情况讨论分别求最小值即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线经过， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设点，则平移后点的坐标为：， 将该点的坐标代入得：， 解得：， 则点的坐标为：； 【小问3详解】 解：存在， 理由： 一个点的纵坐标是横坐标的三倍的点所在图形解析式为：， 得方程组，，整理得：， ∵抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍， ∴，即 ∴， 当时，，当时，，当时，， 当，即时，在范围内随的增大而减小，则函数在时取得最小值，即，解得或（舍去）； 当，即时，则函数在顶点时取得最小值，即（舍去）； 当，即时，则函数在时取得最小值，即则或（舍去）； 综上，或3． 24. 已知：如图1，在中，为边上的一点，经过三点的圆交边于点，连结． （1）求证：． （2）作与关于直线对称，当点与点重合时（如图2），与交于点，设， 若，求的长； 记的面积为的面积为，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点，在同一个圆上， ∴，， ∴， ∴． （2） 的长为； 的值为． 【解析】 【分析】（1）连接，则，，可得，即可证得结论； （2）由对称的性质，结合已知可得，，由，，可得，根据勾股定理可得，证明，可得，即可得的长；设，则，根据勾股定理可得，取的中点，记为点，连接，由的圆周角所对的弦是直径，可得为的直径，，由三角形外角的性质，可得，证明，，可得，可得，，即可得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与关于直线对称，点与点重合， ∴，，， ∵经过三点的圆交边于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 设，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 取的中点，记为点，连接， ∵点，，在圆上，， ∴为的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为的面积为， ∴的值为． 【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等，对称的性质，勾股定理，的圆周角所对的弦是直径，三角形外角的性质，三角形相似的判定和性质，与三角形的高相关的计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定海二中2024学年第一学期12月份质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，则＝（　　） A. B. C. D. 2. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 3. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 5. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9 6. 如图，C、D是上直径两侧的点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图，将以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转 得到，延长，交于点F，设，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在二次函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时，若，则 B. 当时，若，则 C. 当时，若，则 D. 当时，若，则 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是___________ 12. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______． 13. 已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的弧长为______________cm． 14. 已知中，，，若为重心，则___________ 15. 二次函数y＝x2﹣2mx+2m+3的顶点纵坐标为p，当m≥2时，p的最大值为 _____． 16. 如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，于点F，已知，过C、D、F的与边AD交于点G，则______． 三、简答题（17-21每小题8分，22-23每小题10分，24题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2）已知，求的值． 18. 第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率． （1）第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率． 19. 如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点逆时针旋转角度，得到图2，其中，连接、． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 20. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，． （1）求的度数． （2）若，，求阴影部分的面积． 21. 台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为． （参考数据：，，，） （1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？ （2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由． 22. 为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示． （1）根据图象信息，求y与x的函数关系式； （2）求五一期间销售草莓获得的最大利润． 23. 已知二次函数（是常数，且）． （1）若拋物线经过，求二次函数解析式． （2）在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点的坐标． （3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 已知：如图1，在中，为边上的一点，经过三点的圆交边于点，连结． （1）求证：． （2）作与关于直线对称，当点与点重合时（如图2），与交于点，设， 若，求的长； 记的面积为的面积为，求的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $