精品解析：四川省自贡市第一中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

自贡一中2025-2026学年度高一上学期12月考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为，所以, 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分，必要条件关系判断. 【详解】不能推出，如， 不能推出，如， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数的定义与性质求解即可. 【详解】由于函数是幂函数，且在上单调递减， 则，且，解得或（舍）， 故选：B. 4. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的定义，特值法求解. 即利用计算求解. 【详解】，， 是奇函数， ， ，. 故选：B. 5. 定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及偶函数的性质，可得在上单调递增，根据条件，可得，求解即可得答案. 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 因为， 所以，即，解得，则解集为. 故选：C 6. 函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到在上单调递减，分段函数在上单调递减，需每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，，都有成立， 所以在上单调递减， 故，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 7. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再由乘1法和基本不等式可得最小值，由二次不等式的解法可得所求范围． 【详解】正实数满足，所以， 由恒成立，可得， ， 当且仅当时上式取等号， 则，解得， 故实数的取值范围是， 故选：B. 8. 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过图形，并因为，，所以，，从而可以通过勾股定理求得，又因为，从而可以得到答案. 【详解】等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，， ， 而，所以，故选项B正确. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.漏选得部份分，有错选不得分. 9. 下列各命题中的假命题是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；分、两种情况讨论，去绝对值，可判断B选项；解方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，A中的命题为假命题； 对于B选项，当时，；当时，. 综上所述，，，B中的命题为真命题； 对于C选项，取，则，C中的命题为真命题； 对于D选项，若，则，D中的命题为假命题. 故选：AD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 B. 函数的值域为 C. 已知函数，则 D. 若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域，判断A的真假；分离常数，分析函数的单调性，求值域判断B的真假；换元法求函数解析式，再求函数值，判断C的真假；根据求的取值范围，判断D的真假. 【详解】对A：对，由； 对，由， 所以函数的定义域为，故A错误； 对B：因为为增函数，且， ，所以函数的值域为，故B正确； 对C：设，则，所以， 所以，，所以，故C正确； 对D：因为关于的不等式对任意实数都成立，所以，解得：，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，若关于x的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. m的取值范围是 C. D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析可得在各段上的单调性，根据单调性的写法，可判断A的正误；由题意可得与图象有4个交点，作出图象，即可判断B的正误；根据二次函数的对称性，可判断C的正误，化简计算，可得，根据的范围及二次函数的性质，可判断D的正误. 【详解】当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，， 因为函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，且. 选项A：的单调递增区间为，，不能用“”连接，故A错误； 选项B：因为关于的方程恰有4个不同的实数根， 所以与的图象有4个交点， 作出与的图象，如图所示： 由图象可得，当时，与图象有3个交点， 当时，与图象有3个交点， 当时，与图象有4个交点，故B正确； 选项C：根据二次函数的对称性可得，关于对称， 所以，即，故C正确； 选项D：由图象可得，，，即， 所以，解得， 所以， 由图象可得，所以， 所以故D正确. 故选:BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于的不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由得，，即，整理得， 解得：. 故答案为： 13. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论求解不等式，结合解集中恰有两个整数可得答案. 【详解】当时，显然不合题意； 当时，原不等式可化为，即，所以， 因为解集中恰有两个整数，所以，即； 当时，原不等式可化为，即， 所以若时，则或，不合题意；若时，则或，不合题意；若时，则，不合题意. 综上可得，； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算即可得出答案； （2）根据对数的运算性质即可得出答案. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：. 16. 在① ；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合. （1）当时，求A∪B； （2）若_______，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）若选择①：实数a的取值范围是. 若选择②：实数a的取值范围是. 若选择③：实数a的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）由并集运算求解即可； （2）选①：由交集运算的结果列出不等式，得出实数a的取值范围.选②：由是的真子集，结合包含关系得出实数a的取值范围.选③：由，结合包含关系得出实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，集合， 所以. 【小问2详解】 若选择①， 因为，所以， 又，所以或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则， 因为，所以， 又，所以或解得， 所以实数a的取值范围是. 若选择③，则， 因为 ，所以， 又，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 17. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2. （1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【答案】（1）， （2）投资债券类产品万元，股票类投资为万元，收益最大为万元 【解析】 【分析】（1）设，，由函数和的图象分别过点和，分别将其代入即可； （2）设用投资风险型产品的资金为万元，用于投资稳健型产品的资金为万元，得年收益的解析式，化解即可. 【小问1详解】 由题意可设，， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，， 所以，. 【小问2详解】 设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元， 则，， 可得， 则当，即万元时，的最大值为3， 所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元． 18. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是奇函数，证明：的定义域为 ，所以是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）通过代入求 （2）先计算定义域，定义域关于原点对称且判断是奇函数 （3）将不等式化简，凑出符合基本不等式的形式求最值，结合恒成立要求得范围 【小问1详解】 解得： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，即 整理得：， 两边同乘以，得 当时，， 所以上式等价于 因为 当且仅当，即时等号成立 所以的取值范围是. 19. 已知函数，不等式的解集为且． （1）求在的值域； （2）记．当的定义域为时，值域为，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上的最小值为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据一元二次不等式的解集和求的解析式，再求二次函数在给定区间上的值域. （2）问题转化为二次函数的零点分布问题求参数的取值范围. （3）根据区间和二次函数对称轴的位置关系讨论函数在给定区间上的单调性，求其最小值即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以且， 所以， 又，所以，. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，，. 所以在上的值域为. 【小问2详解】 因为， 其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以在上单调递增. 由题意，是方程即的两个正根， 所以. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为. 当，即时，函数在上单调递减，所以； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，函数在上单调递增， 所以. 综上可知，函数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡一中2025-2026学年度高一上学期12月考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 6. 函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.漏选得部份分，有错选不得分. 9. 下列各命题中的假命题是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 B. 函数的值域为 C. 已知函数，则 D. 若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 11. 已知函数，若关于x的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. m的取值范围是 C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于的不等式的解集是__________. 13. 函数的单调递增区间是______． 14. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 16. 在① ；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合. （1）当时，求A∪B； （2）若_______，求实数a的取值范围. 17. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2. （1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 18. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围. 19. 已知函数，不等式的解集为且． （1）求在的值域； （2）记．当的定义域为时，值域为，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上的最小值为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $