精品解析：山西大同市实验中学2025-2026学年第二学期高一数学期中学情检测试卷

大同市实验中学2025－2026学年第二学期 高一年级数学期中学情检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以虚部为． 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积. 【详解】由的直观图可知原图中，， 所以的面积为. 故选：C 3. 已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向量除以模长即可. 【详解】与方向相同的单位向量为. 故选：C. 4. 如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用线性运算求得，然后求得，最后利用共线定理的推论列式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 因为P、B、N三点共线，所以，解得. 故选：D． 5. 已知向量，满足，，则在上的投影的数量为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影数量的定义来求解即可. 【详解】由题得在上的投影的数量为. 故选：B 6. 设为的外心，若，则点是的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心 【答案】C 【解析】 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 7. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得．，．据此可得，，． 【巧思妙解】，，． ，，，． 8. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】假设圆的半径，则圆的半径可知，进而通过勾股定理可求圆台的高，分别利用圆台和球的体积计算即可. 【详解】过作圆台的轴截面，如图所示 为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍， 不妨设圆的半径，则圆的半径 依题意， ，， ， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部与虚部相等 B. C. 向量对应的复数为 D. 若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数对应点计算判定C，D，根据复数运算及模长计算可判断选项A，B. 【详解】复数，对应的向量分别为， 则对应的，实部与虚部互为相反数，A选项错误； ，所以，B选项正确； 向量对应的复数为，C选项正确； 若， 在复平面内对应的点位于第三象限，则，则的取值范围为，D选项错误； 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D. 若，都是单位向量，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例说明选项A错误；利用向量的定义及性质判断选项BCD得解. 【详解】A. 若，满足，，但是不满足，所以该选项错误； B. 若，，则，所以该选项正确； C. 若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反，所以该选项正确； D. 若，都是单位向量，则，所以该选项正确. 故选：BCD 11. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：利用三角形内角性质结合余弦函数单调性计算即可得；对B：借助三角形内角性质与诱导公式计算即可得；对C：借助余弦定理的推论计算即可得；对D：借助余弦定理计算可得有两解，即可得解. 【详解】对A：由题意可得，又在上单调递减， 若，则，故A正确； 对B：若为钝角，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则，故， 设，则，，， 故， 即，化简得， 则，又，有，则，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 即，解得， 即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 13. 已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用球的内接三棱锥，得到球的半径与三棱锥棱长的关系，再利用余弦定理求解的长度即可. 【详解】依题意，将三棱锥补全为正三棱柱. 该三棱锥外接球球心恰为正三棱柱上下底面的中心连线的中点， 设的外接圆圆心为，外接圆半径为， 则，解得， 设外接球球心离底面的高度为， 在中，则，所以. 所以. 14. 如图，都是边长为2的等边三角形，A，B，D三点共线，则＝______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义，结合几何图形性质求出向量的模长与夹角即可求解。 【详解】因为，都是边长为的等边三角形， 所以，． 因为 ，，三点共线， 所以， 且． 在中，，，则， 由余弦定理得， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简复数，根据复数是纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）由复数在复平面内所对应的点在第四象限，根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由复数， 因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去）， 所以实数的值为. 【小问2详解】 由复数， 若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （Ⅰ）若，且，求向量； （Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角的正弦值. 【答案】(1) 或;(2) . 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）因为是在坐标前提下解决问题，所以求向量，即求它的坐标，这样就必须建立关于坐标的方程；（Ⅱ）求与的夹角的正弦值，首先应想到求它们的余弦值，如何求，还是要建立关于它的方程，可由与垂直关系，确立方程来解决问题. 试题解析：（Ⅰ），可设， 1分 ∴，， 2分 ∴ 4分 ∴或. 6分 （Ⅱ）∵与垂直，∴，即 8分 ∴，∴， 10分 ，所以与的夹角的正弦值 12分 考点：平面向量的坐标运算和向量之间的关系. 17. ①，，且；②； 从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. （1）求的值； （2）若是锐角三角形且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①：依题意可得，再由正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；选②，利用诱导公式及和差角的余弦公式化简，再由正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式转化为的三角函数，结合的范围及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 选①，因为，，且， 所以， 由正弦定理得：， 即， 则， 又因，所以， 所以； 选②，因为， 所以， 即， 由正弦定理得， 又因，，，则， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，， 所以， 因为， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以 18. 正方体 中， M，N ，Q ，P 分别是AB ，BC ， ， 的中点． （1）证明：M，N ，Q ，P 四点共面． （2） 证明：PQ，MN ，DC三线共点． 【答案】（1）连接. 分别为的中点，且 ， 分别为，的中点，且. 四边形为平行四边形，且 且四点共面. （2）由（1）知且 必交于一点. 平面平面. 平面平面 . 又平面平面. ，即三线共点. 【解析】 【分析】（1）连接，由正方体的几何特征及平面几何的知识可得，由平面的基本性质即可得证； （2）由题意可得是平面平面的交线，由平面的基本性质即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 19. 三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为． （1）求证：； （2）若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （3）若，试判断的形状． 【答案】（1）证明如下： 依题意，， 所以. （2）存在，； （3）正三角形. 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式推理得证. （2）利用余弦定理，结合（1）的结论及二倍角的正弦公式求解. （3）由（1）（2）的结论可得，再利用余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式及基本不等式推理判断即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在实数使等式成立．理由如下： 由（1）得，在中，由余弦定理得： ，， 三式相加整理得 ，所以时，存在实数使. 【小问3详解】 当时，由（1）得， 由（2）得，， 在中，由余弦定理得， 于是 ，当且仅当且时取等号， 由，得，则，， 即当且仅当且时取等号，亦即当且仅当为等边三角形时取等号， 因此，当且仅当为等边三角形时取等号， 而，所以为等边三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同市实验中学2025－2026学年第二学期 高一年级数学期中学情检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3. 已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，则在上的投影的数量为（ ） A. B. C. D. 2 6. 设为的外心，若，则点是的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心 7. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部与虚部相等 B. C. 向量对应的复数为 D. 若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D. 若，都是单位向量，则 11. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 13. 已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 14. 如图，都是边长为2的等边三角形，A，B，D三点共线，则＝______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （Ⅰ）若，且，求向量； （Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角的正弦值. 17. ①，，且；②； 从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. （1）求的值； （2）若是锐角三角形且，求的取值范围. 18. 正方体 中， M，N ，Q ，P 分别是AB ，BC ， ， 的中点． （1）证明：M，N ，Q ，P 四点共面． （2） 证明：PQ，MN ，DC三线共点． 19. 三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为． （1）求证：； （2）若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （3）若，试判断的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $